가우스 q-분포

수학적 물리학과 확률과 통계에서 가우스 q-분포는 확률 분포의 한 계열로, 제한 사례로서 균일한 분포와 정규(가우스) 분포를 포함한다. 디아즈와 테루엘이 소개한 것으로 ^{[clarification needed]}가우스나 정규 분포의 q아날로그다.

분포는 0에 대칭이며 정규 분포의 제한적인 경우를 제외하고 경계를 이룬다. 제한 균등 분포는 -1 ~ +1 범위에 있다.

정의

가우스 q 밀도.

q를 간격[0, 1)의 실제 숫자로 한다. 가우스 q 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}

어디에

\nu =\nu(q)={\frac {1}{\sqrt{1-q}}

c(q)=2(1-q)^{1/2}}\sum _{m=0}^{\inflac {(1-1)^{m+1}{{{m+1}}{{{1-q^{2m+1}{1-q^{2}}.

real $number$ t {\ $displaystyle$ t}의 q-analogue[t]_q는 다음과 $t$ 같이 제공된다.

[t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}

지수함수의 q-아날로그는 q-exponential E이며^x
_q, 이 q-exponential은 다음과 같이 주어진다.

E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\inflt q^{j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}

여기서 요인 설계의 q-dates는 q-dates, [n]!_q이며, q-dates는 q-dates에 의해 차례로 주어진다.

[n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\,

정수 n > 2와 [1]_q에 대해! = [0]_q! = 1.

누적 가우스 q 분포.

가우스 q 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같다.

G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}

여기서 통합 기호는 잭슨 적분을 나타낸다.

함수_q G는 다음에 의해 명시적으로 주어진다.

G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu ,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1-q}{c(q)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n(n+1)}(q-1)^{n}}{(1-q^{2n+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{n}}}x^{2n+1}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\1&{\text{if}}\ x>\nu \end{cases}}

어디에

(a+b)_{q}^{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).

가우스 q-분포의 순간은 다음과 같다.

{\frac{1}{c(q)}}\int_{-\nu }^{}{{q^{2}}^{-q^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1],!!,

{\frac {1}{c(q)}\int _{-\nu }^{}{{q^{2}}^{-q^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,

기호 [2n - 1]!! 다음과 같은 이중 요인의 q-dates이다.

[\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots[1]=[2n-1]!!\,}