라돈 변환

수학에서 라돈 변환은 평면에 정의된 함수 f를 평면에 있는 선의 (2차원) 공간에 정의된 함수 RF로 가져가는 적분 변환이며, 특정 선에서의 값은 해당 선에 대한 함수의 적분선과 동일하다. 1917년 요한 라돈(Johann Radon)이 역변환 ^[1]공식을 제공하기도 했다. 라돈은 또한 3차원으로 변환 공식을 포함했는데, 이 공식에서 적분은 평면 위로 흡수된다(라인 위에 통합되는 것을 X선 변환이라고 한다). 그것은 후에 보다 고차원적인 유클리드 공간으로 일반화되었고, 보다 광범위하게 적분 기하학의 맥락에서 이루어졌다. 라돈 변환의 복잡한 아날로그는 펜로즈 변환으로 알려져 있다. 라돈 변환은 물체의 단면 스캔과 관련된 투영 데이터에서 이미지를 생성하는 단층 촬영에 광범위하게 적용된다.

설명

함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 알 수 없는 밀도를 나타내는$$ 경우 라돈 변환은 단층 스캔의 출력으로 얻은 투영 데이터를 나타낸다. 따라서 라돈 변환의 역방향은 투영 데이터에서 원래 밀도를 재구성하는 데 사용될 수 있으며, 따라서 반복재건이라고도 하는 단층재건(tomographic reconstruction)의 수학적 기초를 형성한다.

라돈 변환 데이터는 중심 이외의 포인트 선원의 라돈 변환이 사인파이기 때문에 종종 시노그램이라고 불린다. 결과적으로, 다수의 작은 물체의 라돈 변환은 진폭과 위상이 다른 다수의 흐릿한 사인파로 그래픽으로 나타난다.

라돈 변환은 컴퓨터 축단층촬영(CAT 스캔), 바코드 스캐너, 바이러스 및 단백질 복합체와 같은 고분자 어셈블리의 전자 현미경 검사, 반사 지진학 및 쌍곡선 부분 미분 방정식의 해법에 유용하다.

정의

$Let{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle f({\textbf{x}}}=f(x,y)}$는 다음과 같은 ^[2]세 가지 정규성 조건을 만족시키는 함수다$$.

1. ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ f$({\textbf {x}}$은(는) 연속됨$$;
2. 이중 적분 $\iint {\displaystyle {\displaystyle \frac{f(x}{}}}$) x ${\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{{}^{}}}}}$+ y ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle y}$ ${\dfrac \iint {\dfrac {\vert f\\textbf{x}}\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2$}$}}}*dxdy$ 전체 평면 위로 확장, 수렴;
3. for any arbitrary point ${\displaystyle (x,y)}$ on the plane it holds that ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \phi ,y+r\sin \phi )d\phi =0.$$}$

라돈 변환 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Rf}$은$($는) 각 라인을 따라 적분된 선에 의해$$ 직선 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$L\$mathb{R} ^{2}}$의 공간에 정의된 함수로서 다음과 같다.

구체적으로는 호 길이 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$에 대한$$ $모든{\displaystyle }$ 직선 L ${\displaystyle L}$의 파라메트리징은 항상 다음과 같이 작성할 수 있다$$.여기서 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$은(는) $원점$에서 L$$ ${\displaystyle L}$의 거리이고 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은$($는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ - 축으로$$ $L$에 대한 정규$$ 벡터 각이다. 따라서 수량$({\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle (\alpha ,s)}$은(는) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$$^{2}}$의 모든 선의 공간에 대한 좌표로 간주될 수 있으며$$, 라돈 변환은 다음과 같은 방법으로 이러한 좌표로 나타낼 수 있다. $보다$ 일반적으로, $n{\displaystyle }${\$displaystyle n$} -차원$$ 유클리드 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathb{R}$^$n}$에서$,$ 정규성 조건을 만족하는$$ $함수{\displaystyle }$ f$$${\$$displaystyle f}$의 라돈 변환은 모든 하이퍼플레인의 공간 ${\displaystyle {onn}_{}}$ ${\$$Rf}$이다. $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 정의되어 있다$.$

${\displaystyle 여기}$서 적분은 자연적 초대면 측정과 관련하여 $d{\displaystyle }$${\displaystyle }{\displaystyle \sigma \mathbf{}}$ ${\$$displaystyle$ $d\$$bert d\mathbf {x}$ $$$\vert }$ 항을$$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 2$}$ -차원$$ 사례에서 일반화한다. Observe that any element of ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ is characterized as the solution locus of an equation ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s}$, where ${\displaystyle \alpha \in S^{n-1}}$ is a unit vector and ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$. Thus the ${\d$$isplaystyle n}$ -차원$$ 라돈 변환은 다음을 통해$$ $S{\displaystyle {}^{}}$ n -${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ S$^{n-1}\time \mathb {R}}$에서 함수로 다시 작성될 수 있다. $대신{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k$} -차원$$ appine 하위공간인 $Rn{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$에 통합함으로써 라돈 변환을 아직 일반화하는 것도 가능하다$.$ X선 변환은 이 구조에서 가장 널리 사용되는 특수 사례로, 직선을 통해 통합하여 얻는다.

푸리에 변환과의 관계

라돈 변환은 푸리에 변환과 밀접한 관련이 있다. 우리는 여기서 일변량 푸리에 변환을 다음과 같이 정의한다.

$2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$ -벡터$$ $x{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \mathbf {x}$ = $(x,y$의 함수에 대해 일변량 푸리에 변환은 다음과 같다. 편의를 위해 $R{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= R${\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$ (${\displaystyle \alpha }$, s${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {R}_{\alpha }[f]={\mathcal{R}}[f](\alpha$ ,s$)}}}}$을 나타낸다$.$ 그러면 푸리에 슬라이스 정리에는 다음과 같이 명시된다. $여기$서 n${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \cos }$ cos${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \sin \alpha }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathbf {n} (\cos \chaves,\sin$\csin$$\$chd.)=(\cos$ \csin \csin.$}$

따라서 기울기 각도 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alph}$에서 선을 따라 진행되는 초기 기능의 2차원 푸리에 변환은 라돈 변환의 단일 변수 푸리에 변환($그{\displaystyle }$기능의 각도 α {\displaystyle $\alpha$ $\})$이다. 이 사실은 라돈 변환과 그 반비례 모두를 계산하는 데 사용될 수 있다. 결과는 n차원으로 일반화할 수 있다.

이중 변환

이중 라돈 변환은 라돈 변환의 일종이다. ${\displaystyle {\sigma n}_{}}$ ${\$ 공간의 함수 g를 시작으로 듀얼 라돈 변환은 다음에 의해 정의된 R의ⁿ 함수$$ $R{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{R}^{*}g}$이다.

The integral here is taken over the set of all hyperplanes incident with the point ${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$, and the measure ${\displaystyle d\mu }$ is the unique probability measure on the set ${\displaystyle \{\xi x\in \xi \}}$ invariant under rotations about the $점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ x$\}.$

구체적으로, 2차원 라돈 변환의 경우 이중 변환은 다음과 같이 제공된다.

이미지 처리의 맥락에서 이중 변환은 평면의 각 선에 정의된 기능을 취하여 '스모잉'하거나 선 위로 투영하여 이미지를 생성하기 때문에 일반적으로^[3] 백프로젝션이라고 불린다.

뒤얽힌 속성

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$이(가) ${\displaystyle {}^{}}$ n$${\$displaystyle \mathb {R}$^{$n}$에 정의된 라플라시안임을 나타내도록$$ 두십시오.

이것은 자연 회전 불변 2차 차등 연산자다. On ${\displaystyle \Sigma _{n}}$, the "radial" second derivative ${\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}$ is also rotationally invariant. 라돈 변환과 그 이중 변환은 다음과 같은 의미에서 이 두 미분 연산자를 위해 서로 얽혀 있다.^[4] 다공간적 차원에서 파동방정식에 대한 해답을 분석함에 있어서, 서로 얽힌 속성은 Lax와 Philips의 번역적 표현으로 이어진다.^[5] 영상^[6] 및 수치 분석에서^[7] 이것은 치수 분할 방법으로서 다차원 문제를 단차원 문제로 줄이는 데 이용된다.

재구성 접근법

재구성 프로세스는 투영 데이터로부터 영상(또는 이전 섹션의$$ $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ f$})$을 생성한다. 재건축은 역문제다.

라돈 반전식

2차원 사례에서 라돈 변환으로부터$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을(를) 복구하기 위해 가장 일반적으로 사용되는 분석 공식은 필터링된 백 분사 공식 또는 라돈 반전 공식이다^[8].

여기서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는${\displaystyle )}$ $h{\displaystyle \stackrel{}{}^(k}$ )$=$ k {\$displaystyle {\h}($k)=$k$}}과(와) 같다$.$^[8] 일부 문헌에서는 convolution 커널 $h{\displaystyle }$ ${\displaysty h}$을(는) Ramp filter라고 한다$$.

흉포함

직관적으로 필터링된 백프로젝트 공식에서${\displaystyle }$(${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\frac{x}{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$)${\displaystyle }$( k${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$( k${\displaystyle }$) ${\$디스플레이 $스타일 \좌측({\widehat {{\frac{d}{dx}}}}}\!(k)=ik{\widehat{f$ $필터$는 파생 모델과 유사한 연산을 수행하는 것을 볼 수 있다. 대충 말해서, 필터는 물체를 더 단수적으로 만든다. 라돈 반전증의 양적 진술은 다음과 같다.

여기서 $∗{\$는 이전에$$ 라돈 변환에 대해 정의된 부호다. 따라서 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {⟨}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{}}_{}}^{}}$ 0${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {⟩}^{}}$ ${\$ g$(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle$\langle \$mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \rigle$ $\}\}\}$에 대해 다음이 있다. The complex exponential ${\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$ is thus an eigenfunction of ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}}$ with eigenvalue ${\displaystyle {\frac {1}{ \mathbf {k_{0}} }}}$$$.따라서 $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 단수 값은$$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{1k\mathbf{}}{}}}$ $displaystyle$ ${\$$sqrt {\\frac$${$1$}{\mathbf{k$ $이러한{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ 단수 $값$은 0$$${\$입니다$.$^[8]

반복재건 방법

여과된 백-투영방식과 비교했을 때 반복재건은 연산시간이 많아 실용성이 제한된다. 단, 라돈 역전의 악연성으로 인해 여과된 백-투사 방법은 불연속성 또는 소음 발생 시 실현 불가능할 수 있다. 반복적 재구성 방법(예: 반복적 희소성 점증적 최소 분산^[9])은 전 세계적으로 많은 연구 관심을 끄는 재구성 결과에 대해 금속 아티팩트 감소, 소음 및 선량 감소를 제공할 수 있다.

반전 공식

라돈 변환과 그 이중화에 대한 명시적이고 계산적으로 효율적인 반전 공식들을 이용할 수 있다. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$차원의$$ 라돈 변환은 다음 공식으로 반전될 수 있다.^[10]

where ${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$, and the power of the Laplacian ${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$ is defined as a pseudo-differential operator if necessary by the Fourier transform: 계산을 위해 라플라시안 파워는 듀얼 $변환{\displaystyle {}^{}}$ R$∗{\$ R$^{*}$로 감산하여 다음을$$ 제공한다.^[11] 여기서 H ${\displaystyle s_{}}$ ${\$는 s 변수에 대한 Hilbert 변환이다. 2차원에서는 연산자 $H{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{s}{}}$ ${\$dd s {\$dplaystyle {\mathcal {H}_{s}{\frac {d}{ds}}}}$이(가) 이미지 처리에 램프 필터로 나타난다$$.^[12] 다음 두 변수 중$$ 압축적으로 지원되는 $연속함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 대해 푸리에 슬라이스 정리 및 통합을 위한 변수 변경으로부터 직접 증명할 수 있다. 따라서 이미지 처리 컨텍스트에서 램프 필터($s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ 변수$$)를 적용한 다음 백프로젝팅하여 원본$$ 이미지 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $Rf}$를 '시노그램$$'시노그램' ${\displaystyle \mathrm{데이터}}$ R$$f {\$displaystyle$ Rf}에서 복구할 수 있다. 필터링 단계는 효율적으로 수행될 수 있고(예를 들어 디지털 신호 처리 기법을 사용), 백 투영 단계는 단순히 이미지의 픽셀에 값을 누적하는 것이므로, 이는 매우 효율적이며, 따라서 널리 사용되는 알고리즘을 의미한다.

분명히 후자의 방법에 의해 얻은 반전 공식은 다음과 같다.^[3]

이중 변환은 다음과 같은 유사한 공식으로 반전될 수도 있다.

대수기하에서의 라돈 변환

대수 기하학에서 라돈 변환(Brylinski-Radon 변환이라고도 함)은 다음과 같이 구성된다.

쓰다

${\d}{d}{d}{\stackrel{p_{1}{{1}{\gets }}H{\\stackrel{p_{2}}:{\\to{}}\mathbf {P} ^{\vee,d}}}}}$

for the universal hyperplane, i.e., H consists of pairs (x, h) where x is a point in d-dimensional projective space ${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$ and h is a point in the dual projective space (in other words, x is a line through the origin in (d+1)-dimensional affine space, and h is a hyperplane in that space) such that x is coh로 둘러싸인

그 다음 브라이링크시-라돈 변환은 적절한 파생 범주인 에테일 셰이브 사이의 functor이다.

$[\displaystyle Rad:=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).}$

이 변형에 대한 주요 정리는 이 변형이 투사적 공간과 그것의 이중 투사적 공간에 비뚤어진 피복의 범주를 일정한 피복까지 동등하게 유도하는 것이다.^[13]

참고 항목

• 치주문자
• 일치 필터
• 디콘볼루션
• X선 변환
• 펑크 변환
• Hough 변환은 연속적인 형태로 쓰여질 때 라돈 변환과 동일하지는 않더라도 매우 유사하다.^[14]
• Cauchy-Crofton 정리는 공간에서의 곡선의 길이를 계산하기 위해 밀접하게 관련된 공식이다.
• 고속 푸리에 변환

메모들

참조

추가 읽기

• Lokenath Debnath; Dambaru Bhatta (19 April 2016). Integral Transforms and Their Applications. CRC Press. ISBN 978-1-4200-1091-6.
• Deans, Stanley R. (1983), The Radon Transform and Some of Its Applications, New York: John Wiley & Sons
• Helgason, Sigurdur (2008), Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 39 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/surv/039, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854
• Herman, Gabor T. (2009), Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections (2nd ed.), Springer, ISBN 978-1-85233-617-2
• Minlos, R.A. (2001) [1994], "Radon transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Natterer, Frank (June 2001), The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics, vol. 32, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1
• Natterer, Frank; Wübbeling, Frank (2001), Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-472-9
• Kiehl, Reinhardt; Weissauer, Rainer (2001), Weil conjectures, perverse sheaves and l'adic Fourier transform, Springer, doi:10.1007/978-3-662-04576-3, ISBN 3-540-41457-6, MR 1855066

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Radon Transform". MathWorld.
• Analytical projection (the Radon transform) (video). Part of the "Computed Tomography and the ASTRA Toolbox" course. University of Antwerp. September 10, 2015.