연관 대수

수학에서, 연관 대수 A는 덧셈, 곱셈, 스칼라 곱셈의 호환 가능한 연산을 갖는 대수 구조이다.덧셈 연산과 곱셈 연산은 함께 A에게 링의 구조를 제공하고, 덧셈 연산과 스칼라 곱셈 연산은 함께 A에게 K 위의 벡터 공간의 구조를 제공합니다.이 글에서 우리는 또한 필드 K에 대한 연관대수를 의미하기 위해 K-대수라는 용어를 사용할 것이다.K-대수의 표준적인 첫 번째 예는 일반적인 행렬 곱셈을 갖는 필드 K 위의 정사각형 행렬의 고리입니다.

가환대수는 가환 곱셈 또는 동등하게 가환인 가환대수를 갖는 결합대수이다.

이 기사에서 연상 대수는 1로 표시된 승수 동일성을 갖는 것으로 가정된다. 그들은 때때로 명확화를 위해 단수 연상 대수로 불린다.수학의 일부 영역에서는 이 가정이 이루어지지 않으며, 우리는 이러한 구조를 비단순 연관 대수라고 부릅니다.또, 모든 링이 단이탈이며, 모든 링의 동형이 단이탈이라고 가정합니다.

많은 저자들은 필드 대신 교환환 R에 대한 연상대수의 보다 일반적인 개념을 고려한다: R-대수는 R-쌍선형 연산을 가진 R-모듈이며, 곱셈 아이덴티티도 포함한다.이 개념의 예로서 S가 중심 C를 가진 링일 경우 S는 연관된 C-대칭입니다.

정의.

R을 교환 링으로 합니다(따라서 R은 필드가 될 수 있습니다).연관지을 수 있는 R-대수(또는 간단히 말하면 R-대수)는 2개의 추가(링 추가와 모듈 추가)가 동일한 연산이며 스칼라 곱셈은 다음을 만족하도록 R 모듈인 링입니다.

r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)

R과 x의 모든 r에 대해, 대수의 y에 대해. (이 정의는 고리가 곱셈 항등식을 가지도록 되어 있기 때문에 대수가 단수라는 것을 의미한다.)

이와 동등하게 대응대수 A는 R에서 A의 중심까지의 링 동형사상과 함께 링이다.f가 이러한 동형사상일 경우 스칼라 곱셈은 ( $(r,x)\mapsto f(r)x$ $(r,x)\mapsto f(r)x$ f ( $(r,x)\mapsto f(r)x$ ) $(r,x)\mapsto f(r)x$ {\ $displaystyle$ $(r,x)\$ $mapsto$ f $(r)x}($ 여기서 곱셈은 링 곱셈)입니다.스칼라 곱셈이 주어지면 링 동형사상은 r $r\mapsto r\cdot 1_{R}$ 1 $R$ 로 $r\mapsto r\cdot 1_{R}$ 됩니다 $.$ elow)

모든 링은 $\mathbb {Z}$ 된 $\mathbb {Z}$ Z \ $displaystyle \mathbb {Z}$ - algebra입니다 $\mathbb {Z}$ . $\mathbb {Z}$ 서 Z $\$ 는 $\mathbb {Z}$ 정수의 링을 나타냅니다.

가환대수는 가환환이기도 한 결합대수이다.

모듈 범주에서 모노이드 객체로 사용

이 정의는 단수 연상 R-대수가 R-Mod(R-모듈의 모노이드 범주)의 모노이드 물체라고 말하는 것과 같다.정의상, 고리는 아벨군의 범주에 속하는 모노이드 물체이다. 따라서, 연관대수의 개념은 아벨군의 범주를 모듈의 범주로 대체함으로써 얻어진다.

이 아이디어를 더욱 추진하면서, 일부 저자들은 모듈의 범주처럼 행동하는 다른 범주의 모노이드 개체로서 "일반화된 고리"를 도입했다.실제로, 이러한 재해석은 대수 A의 요소에 대한 명시적인 언급을 피할 수 있게 해준다.예를 들어 연관성은 다음과 같이 나타낼 수 있다.모듈의 텐서 곱의 보편적 특성에 의해 곱셈(R-이선형 맵)은 고유한 R-선형 맵에 해당한다.

m:A\otimes _{R}A\to A

A\otimes

_

{R}A\toA

다음으로 어소시에이티비티는 아이덴티티를 나타냅니다.

\displaystyle m\displaystyle m\display({\operatorname {id}\otimes m)=m\displays(m\otimes\operatorname {id}).}

링 동형상으로부터

연상대수는 이미지가 중심에 있는 링 동형사상에 해당한다.실제로, 고리 A와 고리 동형사상 $\eta \colon R\to A$ : R $\eta \colon R\to A$ 의 중앙에 이미지가 놓여 있는 {\ $displaystyle \eta \to$ A $}$ 에서 $\eta \colon R\to A$ 시작하여, A를 R-대수로 만들 수 있다.

r\cdot x=\eta(r)x

모든 r r R 및 x a A에 대해서.A가 R대수이고 x = 1이면, 같은 공식에 의해 R $\eta \colon R\to A$ $\eta \colon R\to A$ \ $displaystyle \eta \to$ A \ $\eta \colon R\to A$ A가 정의되며, 그 중심에 이미지가 놓여 있다.

환이 가환이면 그 중심과 같기 때문에 R-대수는 가환 동형사상 $\eta \colon R\to A$ : R $\eta \colon R\to A$ \ $displaystyle \eta \to A$ 와 함께 가환환 A로 간단히 정의할 수 있다.

위의 링 동형사상 θ는 구조도라고 불리는 경우가 많다.가환의 경우, 대상이 고리 동형상 R → A인 범주, 즉 R 아래에 있는 고리 동형상 A → A'인 형태, 즉 R → A'가 R → A'인 범주, 즉 코슬의 범주 등을 생각할 수 있다.그런 다음, 프라임 스펙트럼 펑터 스펙은 스펙 R에 대한 아핀 체계 범주에 대한 이 범주의 반등가성을 결정한다.

교환성 가정을 약화시키는 방법은 비교환 대수기하학, 그리고 최근에는 파생 대수기하학의 주제이다.「범용 매트릭스 링」도 참조해 주세요.

대수 동형사상

두 개의 R-대수 사이의 동형사상은 R-선형 링 동형사상입니다. $\varphi :A_{1}\to A_{2}$ 으로 $\varphi :A_{1}\to A_{2}$ : $\varphi :A_{1}\to A_{2}$ $\varphi :A_{1}\to A_{2}$ $\varphi :A_{1}\to A_{2}$ $\varphi :A_{1}\to A_{2}$ \ $displaystyle$ \ $varphi$ : $A_{1}\to$ A_ ${2}}$ 는 $\varphi :A_{1}\to A_{2}$ 다음 조건의 연관대수 동형사상이다.

{\displaystyle \varphi (r\cdot x)&=r\cdot \varphi (x+y)&=\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)&1\varphi (xy)

모든 R-대수의 클래스는 그 사이의 대수 동형사상과 함께 범주를 형성하며, 때로는 R-Alg로 표기된다.

가환 R-대수의 서브카테고리는 코슬리스 카테고리 R/CRING으로 특징지을 수 있습니다.CRing은 가환환 카테고리입니다.

예

가장 기본적인 예는 고리 그 자체입니다. 중심 위에 있는 대수 또는 중심에 있는 모든 부분 고리입니다.특히, 어떤 교환환도 그 서브링에 대한 대수이다.다른 예들은 대수학과 수학의 다른 분야 모두에서 풍부하다.

대수학

임의의 링 A는 Z대수로 간주할 수 있습니다.Z에서 A로의 고유한 링 동형은 A의 항등식에 1을 보내야 한다는 사실에 의해 결정됩니다.따라서 링과 Z-대수는 아벨 군과 Z-모듈이 동일한 방식으로 동등한 개념입니다.
특성 n의 링도 마찬가지로 (Z/nZ) 대수이다.
R-모듈 M이 주어졌을 때, End(M_R)로 표기되는 M의 내형고리는 (r·solv)(x) = r·solv(x)를 정의하여 R-대수로 한다.
교환환 R 내의 계수를 갖는 행렬의 링은 행렬 가산 및 곱셈 하에서 R대수를 형성한다.이는 M이 finally-generated, freeR-module인 경우의 이전 예와 일치합니다.
- 특히, 필드 K로부터의 엔트리가 있는 제곱 n-by-n 행렬은 K 위에 연상 대수를 형성한다.
복소수는 실수에 대한 2차원 교환대수를 형성한다.
사분위수는 실수에 대한 4차원 연관대수를 형성한다(복소수가 사분위수에 있지 않기 때문에 복소수에 대한 대수는 아니다).
실계수를 갖는 다항식은 실수에 대한 교환대수를 형성한다.
모든 다항식 링 R[x₁, ..., x_n]는 교환 R-대수이다.실제로, 이것은 집합₁ {x_n, ..., x}의 자유 가환 R-대수입니다.
집합 E의 자유 R-대수는 집합 E에서 얻은 R 계수와 비정류 부정수의 대수이다.
R-모듈의 텐서 대수는 자연스럽게 연관 R-대수이다.외부 대수와 대칭 대수와 같은 지분에 대해서도 마찬가지입니다.범주적으로 말하면, R-모듈을 텐서 대수에 매핑하는 함수는 R-대수를 기본 R-모듈에 보내는 함수에 왼쪽 인접한다(승법 구조를 잊는다).
다음 링은 δ링 이론에서 사용됩니다.가환환 A가 주어졌을 때 $G(A)=1+tA[\![t]\!],$ $G(A)=1+tA[\![t]\!],$ ( $G(A)=1+tA[\![t]\!],$ A ) $G(A)=1+tA[\![t]\!],$ + $G(A)=1+tA[\![t]\!],$ A $G(A)=1+tA[\![t]\!],$ [ [ $G(A)=1+tA[\![t]\!],$ , { $displaystyle$ G ( A ) $= 1$ + $tA$ [ \ ! [ $t$ ] , } , 항이 1 인 공식 멱급수 집합으로 $G(A)=1+tA[\![t]\!],$ $G(A)=1+tA[\![t]\!],$ .이는 멱급수의 곱인 군 연산을 갖는 아벨 군이다.그런 다음 ( $(1+at)\circ (1+bt)=1+abt,$ + $(1+at)\circ (1+bt)=1+abt,$ ) $(1+at)\circ (1+bt)=1+abt,$ ( $(1+at)\circ (1+bt)=1+abt,$ + $(1+at)\circ (1+bt)=1+abt,$ ) $=$ + $(1+at)\circ (1+bt)=1+abt,$ t , $(1+at)\circ (1+bt)=1+abt,$ \ $displaystyle ( 1$ + $at$ )\ $display$ ( $1$ + $bt$ )= $1$ + $abt$ , $(1+at)\circ (1+bt)=1+abt,$ $}$ 로 $(1+at)\circ (1+bt)=1+abt,$ 나타나는 곱셈을 갖는 링이 됩니다.덧셈 아이덴티티는 1이고 곱셈 아이덴티티는 $1+t$ + $1+t$ \ $displaystyle$ 1 + $t$ 입니다 $1+t$ $A$ 는 $A$ $G(A)$ G ( $G(A)$ ) \ $displaystyle$ G ( A ) （ A $G(A)$ ） - 대수의 $G(A)$ $G(A)$ 구조를 가집니다. ${begin{case}G(A)\toA\1+\sum_{i>0}a_{i}t^{i}\map to a_{1}\end{case}$ 한편, A가 γ-고리일 경우, 링 동형성이 존재한다. ${\displaystyle\case\case}A\to G(A)\a\mapsto 1+\sum _{i>0}\lambda ^{i}(a)t^{i}\end{case}}$ G $A)$ { $displaystyle$ G $(A)}$ 에게 $G(A)$ A-대수의 구조를 $G(A)$ 합니다.

표현 이론

리 대수의 보편 포락 대수는 주어진 리 대수를 연구하는 데 사용될 수 있는 연관 대수이다.
G가 군이고 R이 교환환일 경우, G에서 R까지의 모든 함수의 집합은 유한한 지지를 갖는 R-대수를 곱셈으로 한다.이것은 G의 군 대수라고 불린다.시공은 (이산) 그룹의 연구에 적용하기 위한 시작 지점입니다.
만약 G가 대수군(예를 들어 반단순 복소수 Li군)이라면, G의 좌표환은 G에 대응하는 Hopf 대수 A이다.G의 많은 구조가 A의 구조로 번역된다.
유향 그래프의 진동대수(또는 경로대수)는 그래프 내의 경로에 의해 생성된 필드에 걸친 자유 연상대수이다.

분석.

임의의 바나흐 공간 X가 주어졌을 때, 연속 선형 연산자 A : X → X는 (연산자의 구성을 곱셈으로 사용하여) 연관 대수를 형성한다. 이것은 바나흐 대수이다.
위상 공간 X가 주어졌을 때, X 위의 연속 실수 또는 복소수 함수는 실수 또는 복소수 연관 대수를 형성한다. 여기서 함수는 포인트 단위로 추가 및 곱된다.
필터링된 확률 공간(δ, F, (F_t,_{t ≥ 0} P)에 정의된 반상위 집합은 확률적 적분 하에서 고리를 형성한다.
와일 대수
아즈마야 대수

기하학 및 조합학

클리포드 대수는 기하학과 물리학에 유용하다.
국소적으로 유한한 부분 순서 집합의 발생 대수는 조합학에서 고려되는 연상 대수이다.
분할대수와 그 하위대수(Brawer 대수 및 Temperley-Lieb 대수 포함)

구성

서브알제브라: R대수 A의 서브대수는 A의 서브링이자 서브모듈인 A의 서브셋이다.즉, 링 곱셈, 스칼라 곱셈을 추가하여 닫아야 하며 A의 ID 요소를 포함해야 합니다.
몫대수: A를 R대수로 하자.r · x = (r1_A)x이후 A의 어떤 고리론적 아이디얼 I는 자동적으로 R모듈이 된다.이것은 몫환 A/I에 R-모듈과 실제로는 R-대수의 구조를 제공합니다.따라서 A의 모든 링 동형상은 R-대수이기도 합니다.
다이렉트 제품: R-알제브라 계열의 직접 산물은 고리 이론의 직접 산물이다.이것은 명백한 스칼라 곱셈을 가진 R 대수가 됩니다.
무료 제품: R-대수의 자유곱은 그룹의 자유곱과 유사하게 형성할 수 있다.무료 제품은 R-알제브라 범주에 속하는 공동 생산물이다.
텐서 곱: 두 개의 R-대수의 텐서 곱 또한 자연스러운 방법으로 R-대수이다.자세한 내용은 대수의 텐서곱을 참조하십시오.교환환 R 및 임의의 고리 A가 주어졌을 때, r · (s ≤ a) = (rs ≤ a)를 정의함으로써 텐서 곱 R _Zδ A를 R 대수의 구조로 할 수 있다.A 를 R _Z에 송신하는 펑터는, R 대수를 그 기본 링에 송신하는 펑터에 인접해 있습니다(모듈 구조를 잊습니다).다음 항목도 참조하십시오.링 교환

분리 가능 대수

A를 교환환 R 위의 대수라고 하자.다음으로 대수 A는 $A^{e}:=A^{op}\otimes _{R}A$ e : $A^{e}:=A^{op}\otimes _{R}A$ $A^{e}:=A^{op}\otimes _{R}A$ $A^{e}:=A^{op}\otimes _{R}A$ p $A^{e}:=A^{op}\otimes _{R}A$ R $A^{e}:=A^{op}\otimes _{R}A$ { $displaystyle$ A^ { $e$ } 위의 $A^{e}:=A^{op}\otimes _{R}A$ 모듈입니다.= $x\cdot (a\otimes b)=axb$ $^{$ op}\ $otimes _{R}$ A $},$ 동작 $x\cdot (a\otimes b)=axb$ b $x\cdot (a\otimes b)=axb$ )= $x\cdot (a\otimes b)=axb$ $x\cdot (a\otimes b)=axb$ b $(a\displaystyle x\cdot (a\otimes$ b)= $axb$ 그리고 나서, 정의에 의해, Aseparable는 것으로 알려져 있으면 곱셈 지도 한 ⊗ RA→ A,)⊗ y↦ x y{\displaystyle A\otimes_{R}A\to A,\,x\otimes(xy}를 분할한다로 Ae{\displaystyle A^{e}}-linear map,[2]A⊗{\displaystyle A\otimes A}은 Ae{\displaystyle A^{e}}-module에 의해()⊗ y)⋅.(A⊗ b). x⊗ yb{\displaystyle(x\otimes y)\cdot(a\otimes b)=ax\otimes yb} 갈Equivalently,[3]A{A\displaystyle}은 분리, 만약 그것이 사영 모듈에 대한 e{\displaystyle A^{e}}, 따라서, Ae{\displaystyle A^{e}}-projective 차원의 A, 가끔 불렀습니다 bidimension A,을 측정하는 failur.e는 of 분리 가능성.

유한 차원 대수

A를 필드 k 위의 유한 차원 대수라고 하자.그럼 A는 아르티니아 반지네요.

가환 대소문자

A는 아르티니아이므로, 만약 그것이 가환이라면, 그것은 아르티니아 국소환의 유한곱이며, 그 잔차장은 기저장 k 위의 대수이다.이제, 축소된 아르티니아 국소 고리는 필드이며, 따라서 다음과 같다^[4].

$디스플레이 스타일$ A는 $A$ 분리 가능합니다.
$A\otimes {\overline {k}}$ $a$ $({$ { $overline$ $A\otimes {\overline {k}}$ {k $})$ 는 $A\otimes {\overline {k}}$ $\overline {k}$ k의 대수적 닫힘입니다. ${\overline {k}}$ 서 $k$ 는 ${\overline {k}}$ k의 ${\overline {k}}$ 일부 대수적 닫힘입니다 $.$
$A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ $A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ $A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ $A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ $A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ $A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ $A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ \ $displaystyle$ A \ $otimes$ { k $A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ } $A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ = 일부 n에 $대해$ 오버라인 { $k$ }^{ $n$ 。
$\dim _{k}A$ k $(\displaystyle \dim$ _ ${k}A)$ 는 $\dim _{k}A$ k $(\displaystyle$ k $)$ - $(\$ displaystyle A\to $\overline {k})$ $동형사$ A $displaystyle$ A\ $to$ \line {k $A\to {\overline {k}}$

가환 대소문자

단순 아르티니아 고리는 분할환 위의 (완전) 행렬환이기 때문에, 만약 A가 단순 대수라면, A는 k 위의 분할 대수 D 위의 (완전) 행렬 대수이다. 즉, $A=M_{n}(D)$ $A=M_{n}(D)$ $A=M_{n}(D)$ n ( $D$ ) $A=M_{n}(D)$ \ $display style$ A = $M$ _ { $n$ （ D $A=M_{n}(D)$ ） $A=M_{n}(D)$ \ display style A = M _ { n } ( D ) \ displaystyple A이면, A는 반수이다.Ebras)는 Artin-로 알려진 사실-웨더번 정리.

A가 아르티니아어라는 사실은 야콥슨 라디칼의 개념을 단순화한다; 아르티니아어 고리의 경우, A의 야콥슨 라디칼은 모든 (양면) 최대 이상들의 교차점이다.

웨더번의 주요 정리는 다음과 같이 ^[5]기술한다: 0의 아이디얼 I를 갖는 유한 차원 대수 A의 경우 $(A/I)^{e}$ A / $I$ 의 $A/I$ $(A/I)^{e}$ 이 ( $(A/I)^{e}$ $(A/I)^{e}$ I ) e $(A/I)^{e}$ \ $display ( A$ / $I$ )^{ $e}$ - e $(A/I)^{e}$ \ display ( A / I ) - display ( A / I )^{e} - display가 기껏해야 1일 경우 $p:A\to A/I$ 자연 $p:A\to A/I$ P : $p:A\to A/I$ : A : A : $p:A\to A/I$ / I : A / I : A / $stystyledisplay$ A / I $p:A\to A/I$ display $A/I$ A / $p:A\to A/I$ 입니다. $A에서 A/I$ 로 $p:A\to A/I$ 분할됩니다. 즉 $,$ A(\ $displaystyle$ A $)$ 에는 $A$ $B$ $p|_{B}:B{\overset {\sim }{\to }}A/I$ $p|_{B}:B{\overset {\sim }{\to }}A/I$ $p|_{B}:B{\overset {\sim }{\to }}A/I$ $p|_{B}:B{\overset {\sim }{\to }}A/I$ ~ $(\displaystyle p_{B):$ $B{\overset$ {\sim }{\ $to }}A/I는$ 동형사상입니다.I를 제이콥슨 라디칼로 간주하면, 그 정리는 특히 제이콥슨 라디칼이 반단순 대수에 의해 보완된다고 말한다.그 정리는 리 대수에 대한 리바이스 정리와 유사하다.

격자와 순서

R을 분수 K의 필드를 가진 Noetherian 적분 도메인으로 $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q}$ (예를 들어 Z $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q}$ \ $displaystyle \mathbb {Z},$ \ $mathbb {Q}).$ 유한 차원 K 벡터 공간 V 내의 격자 L은 V에 걸친 V의 최종 생성 R-하위 모듈, 즉 $L\otimes _{R}K=V$ $L\otimes _{R}K=V$ K $L\otimes _{R}K=V$ \ $displaystyle$ L \ $otimes$ _ ${ R$ } $K = V$ 이다.

$A$ K $($ 디스플레이 스타일 A_{ $K})$ 를 $A_{K}$ 유한 차원 K 대수로 합니다. $A_{K}$ K $(\$ style A_ ${K})$ 의 주문은 격자인 R-서브대칭입니다.일반적으로 격자보다 순서가 훨씬 적습니다. 예를 들어, ${1 \over 2}\mathbb {Z}$ 2 ${1 \over 2}\mathbb {Z}$ Z(\ $displaystyle {1\over2}\mathbb {Z})$ 는 ${1 \over 2}\mathbb {Z}$ Q $(\$ 의 $\mathbb {Q}$ 격자이지만 차수는 아닙니다(^[6]대수가 아니므로).

최대순서는 모든 주문 중에서 최대순서입니다.

표현

대수 A의 표현은 A에서 어떤 벡터 공간(또는 모듈) V의 내형 대수에 이르는 대수 동형 θ : A → End(V)이다.θ가 대수적 동형사상이라는 특성은 θ가 승법 연산(즉, A의 모든 x와 y에 대하여 θ(xy) = θ(y))를 보존하고, θ가 A의 단위를 끝(V)의 단위(즉, V의 항등사상사상)로 보내는 것을 의미한다.

A와 B가 2개의 대수이고, θ : A → End(V)와 θ : B → End(W)가 2개의 표현일 경우, A ${\$ \ $displaystyle$ \otimes $\otimes$ B → End(V $\otimes$ $\otimes$ \ $displaystyle$ \ $\otimes$ $）$ ⊗ （ V ） ⊗ \displaystyle \ $otimes$ $\otimes$ product⊗ $stylestylestyle$ a product product product product a a a a a product product product product product product product a a a product product product a a product product product product product product product product product product product product product product product product product product product product product product빚은, 어떤 추가적인 조건을 부과하지 않고, 결과가 여전히 동일한 대수(텐서 곱이 아닌)의 표현인 방식으로 단일 연관 대수의 두 표현에 대한 텐서 곱을 정의하는 자연스러운 방법은 없다.여기서, 표현들의 텐서 곱에 의해, 일반적인 의미는 의도된다: 결과는 곱 벡터 공간에서 동일한 대수의 선형 표현이어야 한다.이러한 추가 구조를 적용하면 아래 설명된 바와 같이 일반적으로 Hopf 대수 또는 Lie 대수의 개념이 도출된다.

홉프 대수의 동기

$\sigma :A\rightarrow \mathrm {End} (V)$ 를 들어 A $\sigma :A\rightarrow \mathrm {End} (V)$ $\sigma :A\rightarrow \mathrm {End} (V)$ ( $\sigma :A\rightarrow \mathrm {End} (V)$ V $\sigma :A\rightarrow \mathrm {End} (V)$ ) \ $displaystyle \display:$ $A\rightarrow \mathrm$ {End $}($ $\tau :A\rightarrow \mathrm {End} (W)$ $)}$ 및 $\sigma :A\rightarrow \mathrm {End} (V)$ $\tau :A\rightarrow \mathrm {End} (W)$ : : $\tau :A\rightarrow \mathrm {End} (W)$ $\tau :A\rightarrow \mathrm {End} (W)$ $\tau :A\rightarrow \mathrm {End} (W)$ d ( $\tau :A\rightarrow \mathrm {End} (W)$ W ) $\tau :A\rightarrow \mathrm {End} (W)$ \ $displaystyle$ \ display $:$ $A\rightarrow \mathrm {End}(W$ 곱 벡터 공간에 어떻게 작용하느냐에 따라 텐서 곱 $\rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)$ $\rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)$ : $\rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)$ $\rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)$ ( $\rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)$ ) $\rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)$ ( $\rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)$ $)\style \rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)$ 를 $\rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)$ 형성할 수 있습니다.

\displaystyle \rho(x)(v\otimes w)=(\display(x)(v)\otimes(\displaystyle(x)(w))}

그러나, 그러한 지도는 선형적이지 않을 것이다. 왜냐하면 누군가는 다음과 같이 할 것이기 때문이다.

\displaystyle \rho (kx)=\otimes \displays (kx)=k\displays (x)=k^{2}\rho (x)

k k K. 대수 동형사상 δ A → A a A를 정의하고 텐서 곱 표현을 다음과 같이 정의함으로써 추가 구조를 적용함으로써 이 시도를 구하고 선형성을 복원할 수 있다.

\displaystyle \rho =(\display \otimes \delta )

이러한 동형사상 δ는 특정한 공리를 만족시키면 공복이라고 불린다.그 결과 생기는 구조를 바이알게브라라고 합니다.연관대수의 정의와 일치하기 위해서는, 연립대수는 반드시 공결합이어야 하며, 만약 대수가 단립대수라면, 공대수도 공결합대수여야 한다.Hopf 대수는 2개의 표현의 텐서 곱뿐만 아니라 2개의 표현의 Hom 모듈도 정의할 수 있는 추가적인 구조를 가진 바이얼 대수로, (또한, 그룹의 표현 이론에서 어떻게 행해지는 것과 유사합니다.)

리 대수의 동기

텐서 곱을 더 현명하게 정의할 수 있다.예를 들어,

x\mapsto \rho (x)=\otimes {Id}_{W}+{\mbox {Id}_{V}\otimes \rho (x)

그래서 텐서 곱 공간에 대한 작용은 다음과 같이 주어진다.

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

) (

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

⊗

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

)

=

(

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

)

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

)

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

+ v

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

+ (

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

)

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

w (

x

)\ display

style

\

rho

(

x

) ( v \

otimes

w )= ( \

display

style ( x )

v

)\

otimes w

+ v \

times

( \

display

( x )

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

w ) }

이 맵은 x로 분명히 선형이기 때문에 초기 정의의 문제는 없습니다.그러나 곱셈은 유지되지 않습니다.

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

y )

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

=

（

x

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

）

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

、

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

+

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

V

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

（

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

）

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

（

y ）

、

\ display

style \rho

( xy ) = \

display

style \

rho

( x ) \

display

( x ) \

display

style ( x ) \

rho

(

x

)

=

\ rho ( x ) \ displan ( y ) \ disclan ( y ) \

disclan

( y ) \ time ( y ) \

times

( y ) \ display ( y ) \ disp

하지만 일반적으로 이것은 같지 않다.

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

)

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

（

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

)

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

w

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

（ y

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

⊗ +

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

+

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

x )

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

+

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

y

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

）、

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

（

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

） +

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

V

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

）

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

y

） \ display

style

\

rho

(

x

) \

rho

( y )

=

\

otimes

( x )

이는 텐서 곱의 정의가 너무 순진하다는 것을 보여준다. 분명한 해결책은 텐서 곱이 반대칭이 되도록 정의하여 중간 두 항이 취소되도록 하는 것이다.이것은 리 대수의 개념으로 이어진다.

비단수 대수

몇몇 저자들은 반드시 곱셈적 동일성을 가지지 않는 구조들을 언급하기 위해 "관련 대수"라는 용어를 사용한다. 따라서 반드시 단수적이지는 않은 동형사상을 고려한다.

비단순 연관 대수의 한 예는 모든 함수 f:R → R의 집합에 의해 주어지며, 이 함수의 x는 무한대에 가까울 때 한계가 0이다.

또 다른 예는 연속 주기 함수의 벡터 공간과 컨볼루션 곱이다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 편집자 주 $:$ A는 $흥미$ 로운 $A^e$ 경우 완전한 $매트릭스$ 링으로, 매트릭스가 오른쪽에서 동작하도록 하는 것이 일반적입니다.
^ Cohn 2003, § 4.7.
^ 동등성을 확인하려면 A $A\otimes _{R}A\to A$ R $A\otimes _{R}A\to A$ $A\otimes _{R}A\to A$ $A\otimes _{R}A\to A$ \ $displaystyle$ A \ $otimes$ _ ${R}A$ \ $to$ A의 $A\otimes _{R}A\to A$ 을 $A\otimes _{R}A\to A$ 사용하여 투영 섹션을 구성할 수 있습니다.
^ 워터하우스 1979, § 6.2.
^ Cohn 2003, 정리 4.7.5.
^ 1999년 Artin 1999, Ch. IV, § 1

레퍼런스

Artin, Michael (1999). "Noncommutative Rings" (PDF).
Bourbaki, N. (1989). Algebra I. Springer. ISBN 3-540-64243-9.
Cohn, P.M. (2003). Further Algebra and Applications (2nd ed.). Springer. ISBN 1852336676. Zbl 1006.00001.
네이선 제이콥슨, 고리 구조
James Byrnie Shaw(1907) 선형 연관 대수 개요, 코넬 대학 역사 수학 모노그래프 링크.
Ross Street(1998) Quantum Groups: 현대 대수학의 입문, 지수 없는 표기법의 개요.
Waterhouse, William (1979), Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN 978-0-387-90421-4, MR 0547117

[1] 편집자 주 $:$ A는 $흥미$ 로운 $A^e$ 경우 완전한 $매트릭스$ 링으로, 매트릭스가 오른쪽에서 동작하도록 하는 것이 일반적입니다.

[2] Cohn 2003, § 4.7.

[3] 동등성을 확인하려면 A $A\otimes _{R}A\to A$ R $A\otimes _{R}A\to A$ $A\otimes _{R}A\to A$ $A\otimes _{R}A\to A$ \ $displaystyle$ A \ $otimes$ _ ${R}A$ \ $to$ A의 $A\otimes _{R}A\to A$ 을 $A\otimes _{R}A\to A$ 사용하여 투영 섹션을 구성할 수 있습니다.

[4] 워터하우스 1979, § 6.2.

[5] Cohn 2003, 정리 4.7.5.

[6] 1999년 Artin 1999, Ch. IV, § 1

[1]

[4]

[5]

[6]

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목차

정의.

모듈 범주에서 모노이드 객체로 사용

링 동형상으로부터

대수 동형사상

예

대수학

표현 이론

분석.

기하학 및 조합학

구성

분리 가능 대수

유한 차원 대수

가환 대소문자

가환 대소문자

격자와 순서

관련 개념

콜게브라

표현

홉프 대수의 동기

리 대수의 동기

비단수 대수

「」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

대수 구조 → 고리 이론 링 이론

기본 개념 반지. • 서브링 • 이상적 • 비율 링 • 소수점 이상 • 분수의 총 고리 • 링 제품 • 연상 대수의 자유곱 • 대수의 텐서 곱 링 동형사상 • 커널 • 내부 자기동형성 • 프로베니우스 내형성 대수 구조 • 모듈 • 연관 대수 • 등급 링 • 인볼루티브 링 • 링의 카테고리 • 초기 $\mathbb {Z}$ Z ${\displaystyle \mathbb$ { $Z}$ • 단자 $0=\mathbb {Z} _{1}$ 0 $=$ $0=\mathbb {Z} _{1}$ 1 {\ $displaystyle$ 0=\ $mathbb {Z} _{1}}$ 관련 구조 • 필드 • 유한 필드 • 비연관 링 • 리 링 • 조던 링 • 세미닝 • 세미필드
가환 대수 교환환 • 통합 도메인 • 통합 폐쇄 도메인 • GCD 도메인 • 고유한 인수 분해 영역 • 주요 이상 영역 • 유클리드 도메인 • 필드 • 유한 필드 • 컴포지션 링 • 다항식 링 • 정식 파워 시리즈 링 대수적 수론 • 대수적 수 필드 • 정수의 고리 • 대수적 독립성 • 초월수 이론 • 초월도 p-adic 수 이론과 소수점 • 직접 한계/역 한계 • $\mathbb {Z} _{1}$ $\mathbb {Z} _{1}$ 1 $(\$ • 정수 $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ 로 Zⁿ $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ n $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ { $displaystyle \mathbb {Z}$ / $p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer $\mathbb {Z} (p^{\infty })$ Z ( ${\$ ) ( \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { Z } ( $p^$ { \ infty $}$ ) } • Base-p 원 $\mathbb {T}$ T ${\display\mathbb$ {T $}$ } • Base-p $\mathbb {Z}$ Z {\ $displaystyle \mathbb {Z} }$ • $\mathbb {Z} [1/p]$ 은 $\mathbb {Z} [1/p]$ Z [ $\mathbb {Z} [1/p]$ $\mathbb {Z} [1/p]$ $]{ displaystyle \mathbb {Z} [1/$ p]} • Base-p 실수 $\mathbb {R}$ {\style $\mathbb {R} 표시}$ • p-adic $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$ p \ $style \mathbb {Z} _{p}$ • p-adic $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Q} _{p}$ ${$ style $\mathbb {Q}_{p}$ 표시 • p-adic $\mathbb {T} _{p}$ $\mathbb {T} _{p}$ p \ $style \mathbb {T}$ _ ${p}$ 대수기하학 • 아핀 품종
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