와이불 분포

Weibull(2-모수)

확률밀도함수
누적분포함수
파라미터	$(0,+\infty ),$ 규모. ${\displaystyle k\in(0,+\infty)}$ 모양.
지지하다	${\displaystyle x\in [0,+\infty},}$
PDF	${\displaystyle f(x)=cases{\frac {k}{\fracda}}}\leftfrac {x}{\fracda}}\right}{k-1}e^{-(x/\facda)^{k}}},&x\geq 0,\0,&x <0>\end {case}}$
CDF	${\displaystyle\e^{-(x/\displayda)^{k}},&x\geq 0,\0,&x <0.\end {case}}$
의미하다	$(\displaystyle\lambda\,\Gamma(1+1/k),$
중앙값	$(\displaystyle \displayda (\ln 2)^{1/k},}$
모드	${\displaystyle {case}\displayda\frac {k-1}{k}\오른쪽}^{1/k},&k>1,\0,&k\leq 1.\end{case}}}$
분산	$\displaystyle \lambda ^{2}\left [\Gamma \left (1+{\frac {2}{k}}\right)-\left (\Gamma \left (1+{\frac {1}{k}}\right)],$
왜도	$(\displaystyle {\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}})$
예: 첨도	(텍스트 참조)
엔트로피	${\displaystyle \displaystyle (1-1/k)+\ln(\displayda /k)+1,}$
MGF	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {t^{n}\frac {t^{n}}{n!}}\Gamma(1+n/k),\k\geq 1}$
CF	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(it)^{n}}{n!}}\Gamma(1+n/k)}$
쿨백-라이블러 발산	이하를 참조해 주세요

확률론과 통계학에서 Weibull 분포 /ˈwabbll/는 연속 확률 분포입니다.1951년 스웨덴의 수학자 왈로디 바이불(Waloddi Weibull)의 이름을 따서 명명되었지만, 모리스 르네 프레셰가 최초로 확인하였고 로진 & 람믈러(1933)가 입자 크기 분포를 설명하기 위해 처음 적용하였다.

정의.

표준 파라미터화

Weibull 랜덤 변수의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다.^[1]

${\displaystyle f(x;\displayda,k)=display{case}{\frac {k}}}\left\frac {x}{\displayda}}}{k-1}e^{-(x/\displayda}},&x\geq 0,\0,x,\end {case}}}}$

여기서 k > 0은 형상 모수이고 θ > 0은 분포의 척도 모수입니다.상보적 누적분포함수는 확장지수함수이다.Weibull 분포는 다른 여러 확률 분포와 관련되어 있습니다. 특히 지수 분포(k = 1)와 레일리 분포($k{\displaystyle }$ = 2 및 ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ \ $displaystyle$\ $displayda$=$${$rt$ {$2}}\syslog )$ 사이에 $$^[2]보간됩니다.

수량 X가 "수명까지의 시간"인 경우 Weibull 분포는 고장률이 시간의 거듭제곱에 비례하는 분포를 제공합니다.형상 매개변수 k는 거듭제곱 더하기 1이므로 ^[3]이 매개변수는 다음과 같이 직접 해석할 수 있습니다.

• k< $(\$<1,}) 값은 이 지남에 따라 고장률이 감소함을 나타냅니다(단, Lindy 효과의 경우처럼 Weibull 분포가 아닌 Pareto 분포에^[4] 해당합니다).이는 유의한 "유아 사망률"이 있거나 불량품목이 조기에 고장나며 불량품목이 모집단에서 제외됨에 따라 시간이 지남에 따라 고장률이 감소하는 경우에 발생합니다.혁신 확산의 맥락에서 이는 부정적인 입소문을 의미한다. 즉, 위험 함수는 채택자 비율의 단조롭게 감소하는 함수이다.
• k ${\displaystyle =}$ $({$ k$=1,})$의 $값$은 고장률이 시간에 따라 일정함을 나타냅니다.이는 랜덤 외부 사건이 사망률 또는 기능 상실의 원인이 되고 있음을 시사할 수 있습니다.Weibull 분포는 지수 분포로 감소합니다.
• > (\$displaystyle$ k > 1$,$)의 값은 시간이 지남에 따라 장애율이 증가함을 나타냅니다.이는 "에이징" 프로세스가 있거나 시간이 지남에 따라 고장이 발생할 가능성이 높은 부품이 있을 때 발생합니다.혁신 확산의 맥락에서 이는 긍정적인 입소문을 의미한다. 즉, 위험 함수는 채택자 비율의 단조롭게 증가하는 함수이다.함수는 처음에 볼록한 다음 ( 1 / -$1$) / / , > ( \ $displaystyle$ ( $e ^$ { 1 / k } ) / $e^$ { 1 / k ,$k$> 1 ,의 굴곡점과 함께 오목합니다.

재료 과학 분야에서 강도 분포의 형상 매개변수 k를 Weibull 계수라고 합니다.혁신의 확산의 맥락에서 Weibull 분포는 "순수한" 모방/거부 모델입니다.

대체 파라미터화

의료 통계 및 계량경제학 분야 애플리케이션은 종종 다른 매개변수화를 ^[5][6]채택한다.형상 파라미터 k는 위와 같으며, scale 파라미터는 $= {\$ - ${\displaystyle k^{}}$(\$displaystyle$ b=\$displayda ^{-k$이다. 이 경우 x 0 0에 대하여 확률밀도함수는 다음과 같다.

$({displaystyle f(x;k,b)=bkx^{k-1}e^{-bx^{k}})$

누적 분포 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle F(x;k,b)=1-e^{-bx^{k}},$

위험 함수는

${\displaystyle h(x;k,b)=bkx^{k-1}$

그리고 그 평균은

${\displaystyle b^{-1/k}\Gamma(1+1/k).}$

세 번째 파라미터화도 찾을 ^[7][8]수 있습니다.형상 파라미터 k는 표준 케이스와 동일하며, Scale 파라미터 θ는 속도 파라미터 β = 1/diples로 대체된다.그러면 x 0 0의 경우 확률밀도함수는

${\displaystyle f(x;k,\displays}=\displayk\displaysk)^{k-1}e^{-((x)^{k}}}$

누적 분포 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle F(x;k,\beta)=1-e^{-(\display x)^{k}}$

위험 함수는

${{displaystyle h(x;k,\displays}=\display kk\display x}^{k-1}.}$

세 가지 모수화 모두에서 위험은 k < 1에 대해 감소하고 k > 1에 대해 증가하고 k = 1에 대해 상수가 증가하며, 이 경우 Weibull 분포는 지수 분포로 감소한다.

특성.

밀도 함수

Weibull 분포의 밀도 함수의 형태는 k 값에 따라 크게 변합니다.0 < k < 1의 경우, x가 위에서 0에 가까워지고 완전히 감소함에 따라 밀도 함수는 θ가 되는 경향이 있습니다.k = 1의 경우, x가 위에서 0에 가까워지고 완전히 감소함에 따라 밀도 함수는 1/10이 되는 경향이 있습니다.k > 1의 경우 x가 위에서 0에 가까워지면 밀도 함수는 0이 되는 경향이 있으며, 모드가 될 때까지 증가하다가 그 후에 감소합니다.밀도 함수는 0 < k < 1이면 x = 0에서 무한 음의 기울기를 가지며, 1 < k < 2이면 x = 0에서 무한 양의 기울기를 가지며, k = 1이면 x = 0에서 null 기울기를 가진다.k = 2의 경우 밀도는 x = 0에서 유한 양의 기울기를 갖는다.k가 무한대로 이동하면 Weibull 분포는 x = µ를 중심으로 한 Dirac 델타 분포로 수렴됩니다.또한 왜도와 변동 계수는 형상 모수에만 의존합니다.와이불 분포의 일반화는 타입 III의 고탄성 분포입니다.

누적분포함수

Weibull 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle F(x;k,\lambda)=1-e^{-(x/\displayda)^{k}},$

x 0 0 및 F(x; k; )) = 0(x < 0)입니다.

x = θ이면 k의 모든 값에 대해 F(x; k; θ) = 1⁻¹ - e 0 0.632이다.그 반대: F(x; k; θ) = 0.632에서 x θ의 값.

Weibull 분포의 분위수(역 누적 분포) 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle Q(p;k,\lambda)=\ln(-1-p)^{1/k}$

0 µp < 1의 경우.

고장률 h(또는 위험 함수)는 다음과 같이 구한다.

${\displaystyle h(x;k,\displayda)={k \over \displayda }\leftsechx \over \sechda }\right}^{k-1}.}$

평균 고장 간격 MTBF는

$디스플레이 스타일MTBF}}(k,\lambda)=\gamda \Gamma(1+1/k).}$

순간

Weibull 분포 랜덤 변수의 로그 모멘트 생성 함수는 다음과 같이 주어진다^[9].

$\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \leftfrac {t}+1\right}}$

여기서 δ는 감마 함수이다.마찬가지로 로그 X의 특성 함수는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \leftfrac {k}}+1\right).}$

특히 X의 n번째 원시 모멘트는 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle m_{n}=\gamma ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\오른쪽).}$

Weibull 랜덤 변수의 평균 및 분산은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\displaystyle \operatorname {E}(X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right),$

그리고.

$\displaystyle \operatorname {var}(X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^2}\left,}$

왜도는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \gamfrac {2\Gamma _{1}^{3}-3\Gamma _{1}\Gamma _{2}+{3}{{3}{\Gamma _{2}^{2}]^{3/2}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {\delta }_{}}$ i $=$ ( 1${\displaystyle }$+${\displaystyle i}$ /${\displaystyle k}$ $){displaystyle \Gamma$ _${i$}=\$Gamma (1+i/k$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle _{1}=black {Gamma \left(1+{\flac {3}{k}}\right)\blackda ^{3}-3\mu ^{2}-\mu ^{3}}}}}}$

여기서 평균은 μ, 표준 편차는 θ로 표시됩니다.

과잉 첨도는 다음에 의해 주어진다.

$\displaystyle _{2}=gamfrac {-6}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma_{4}{2}[2}$

여기서 ${\displaystyle {\delta }_{}}$ i $=$ ( ${\displaystyle 1}$+${\displaystyle i}$ /${\displaystyle k}$ $){displaystyle \Gamma$ _${i$}=\$Gamma (1+i/k$첨도 초과는 다음과 같이 표시될 수 있다.

$\displaystyle \mu ^{2}=gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\displays _ {1}\mu ^{3}\mu ^{2}\displaystyle ^{4}}-{\mu ^{4}}-3}.}$

모멘트 생성 함수

X 자체의 함수를 생성하는 순간에는 다양한 표현을 사용할 수 있습니다.멱급수로서, 원시 모멘트는 이미 알려져 있기 때문에,

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {t^{n}\frac {t^{n}}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\오른쪽).}$

또는 적분을 직접 다루려고 시도할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty}e^{frac {k}{\frac {x}{\frac {x}}\right)^{-(x/\frac}}^{-k},{\frac}},{\fright}}}},k}}},{k}}},},},},},},},},k},k},k},k},k},k},$

매개변수 k가 k = p/q로 표현되는 유리수라고 가정하면,^[10] 이 적분은 분석적으로 평가할 수 있다.t를 -t로 치환하면 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \operatorname {E} \left [ e^ { - tX } \ right ] = parcfrac {1} {\ frac {p^ {k} , {\ farcrt {2\pi}} } {{\ farcrcrcrt {2\pi}} } ^+p-2} } } 、 、 。\left(\left).{\frac {1-k}{p}, {\frac {2-k}{p}, \frac {p}, \frac {0}{q}, \frac {1}{q}, \frac {q}, \frac {q}, \frac {q}, \frac {q}, \frac {q},\frac {\frac}, {\frac}, {p},\frac {p},\frac {p},\frac {p}, {p},\frac}, {p}, {p}, {p},$

여기서 G는 Meijer G-함수입니다.

특성 함수는 또한 Muraleedharan 등에 의해 얻어졌다. (2007년).3-모수 Weibull 분포의 특성 함수와 모멘트 생성 함수도 Muraledharan & Soares(2014) harvts 오류에 의해 도출되었다: 직접 접근법에 의한 목표 없음: CITREFMuraledharanSoares2014(도움말).

리파라메트리제이션 트릭

>0 (\$displaystyle$$\alpha$> $0$을 수정합니다. $({\displaystyle }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$, ${\displaystyle n_{}}$n ) $($ \ $displaystyle$( \$pi$_ {$1}$ , \$pi$_ {$n$$}$ )은$$ 음이 아닌 음이 아니고,${\displaystyle {}_{}}$ ( \$displaystyle g_{1$} ,$g_{$n$$})는 ${\displaystyle \text{we}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$의 ${\displaystyle {}^{}}$된 샘플이 $됩니다{\displaystyle {}_{}}$$.$$Weibull$^[11]}}(1,\alpha^{-1}),

• $\displaystyle \arg \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha})\sim {\text {Categoryical}}\left({\frac {pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}}$
• $displaystyle \min$$Weibull}}\left(\sum$ _${i}\pi$_{$i}\right)^{-\alpha$},\$alpha$^{-$1}\right$

섀넌 엔트로피

정보의 엔트로피는 다음과 같습니다.

${\displaystyle H(\lambda,k)=\display \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+ln \leftfrac \frac \frac {k}}$

여기서$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \gamma)$는 오일러-마셰로니 상수입니다.Weibull 분포는 음이 아닌 실제 랜덤 변수에 대한 최대 엔트로피 분포로, 고정 기대값은 θ이고^kk 고정 기대값은 ln(θ^kk) -$${\({$displaystyle \gamma$입니다.

모수 추정

최대우도

$k{\displaystyle }$${\$$displaystyle$ k$$$}$ 파라미터의$$ 최대우도 추정치는 다음과 같습니다$.$

${\displaystyle {\widehat } = frac {1} {n} \ sum _ {i=1} {n} x_{i} {k} ^{\frac {1} {k} }$

k$(\$style k)의 최대우도 추정치는 다음 방정식의^[12] k에 대한 해이다.

$({displaystyle 0=sum _{i=1}^{n}^{k}\ln x_{i}){\sum _{i=1}^{k}-{\frac {1}{n}-{\frac {1}{n}-{\sum _i=1}^{n}x_{i}})x_i}}{displaysty}{i}}}$

이 방정식은 k$^(\$를 암묵적으로만 $정의$하는 것으로$,$ 일반적으로 k(\$displaystyle$ k$)$에 대해 수치적 방법으로 풀어야 합니다.

언제 x1>x2대리자 ⋯>)N{\displaystyle x_{1}>, x_{2}>, \cdots입니다.;x_{.데이터에서 N{N\displaystyle}샘플 이상의 N}}은 N{N\displaystyle} 큰 관찰된 샘플, 다음λ{\lambda\displaystyle}매개 변수 km그리고 4.9초 만{k\displaystyle}is[12] 대한 최대 가능성 추정자다.

${\displaystyle {\widehat } {{k} = flac {1} {N} } \sum _ {i=1} {{N} (x_{i}^k} - x_{N}^{k}} }$

또한 이 조건을 고려할 때 k$\displaystyle$의^{[citation needed]} 최대우도 추정치는

$({displaystyle 0={i=1}^{N}(x_{i}^{k})\ln x_{i}-x_{N}^{k}){\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-{n}){n}{nfrac}:{n}:{n}$

이 함수는 암묵적 함수이므로 일반적으로 k$\displaystyle$k에$$ $대해{\displaystyle }$ 수치적 방법으로 풀어야 한다.

와이불 플롯

데이터에 대한 Weibull 분포의 적합성은 Weibull ^[13]그림을 사용하여 시각적으로 평가할 수 있습니다.Weibull 플롯은 Q-Q 플롯의 한 유형에서 특수 축에 대한 데이터의 $경험적{\displaystyle \stackrel{}{}}$누적 분포 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ F$$ ( x ) ${displaystyle$ {\$widehat {F}}(x)}$의 플롯이다.축은 ln${\displaystyle （}$ - ${\displaystyle \ln }$$$${\displaystyle ）}$ (${\displaystyle 1\stackrel{}{}}$- ${\displaystyle F^}$( ${\displaystyle x}$) { $displaystyle \$$ln$ ( - \$ln$( 1 - { \ $widehat${$F}}$ ($x$$$)$$${\displaystyle \}}$ 대 ln$( x$)입니다.변수가 이렇게 변경되는 이유는 누적 분포 함수를 선형화할 수 있기 때문입니다.

${{displaystyle {begin{-(x/\lambda)}\[4pt]-\ln(1-F(x)&=(x/\lambda)^{k}\[4pt]\underbrace {ln(1-F(x)}_rmy'text'$

이것은 일직선의 표준적인 형태라고 볼 수 있다.따라서 데이터가 Weibull 분포에서 가져온 경우 Weibull 그림에 직선이 있어야 합니다.

데이터에서 경험적 분포 함수를 구하는 방법에는 여러 가지가 있다.${\displaystyle \stackrel{}{}}$한 가지 방법은 ${\displaystyle F\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{^}{}}$ $=$ i - ${\displaystyle \frac{}{}}$.${\displaystyle \frac{\mathrm{3n}}{}}$+$.$4 {$displaystyle {F}}= flac {i-0.3$}을 $사용$하여 각 점에 대한 수직 좌표를 구하는 것이다.$}{n+0.$4}} $여기$서$i$(\$displaystyle$i$$)는 데이터 $포인트$의 순위이고$n$(\$displaystyle$n$$)은 ^[14]데이터 포인트 수입니다.

선형 회귀 분석을 사용하여 적합도를 수치적으로 평가하고 Weibull 분포의 모수를 추정할 수도 있습니다.구배는 형상 파라미터 $(\displaystyle$ k$)$를 직접 알려주고 척도 파라미터$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \lambda)$도 유추할 수 있다.

쿨백-라이블러 발산

$\displaystyle D_{\text{KL}(\mathrm {Weib}_{2}\mathrm {Weib}_{2})=\log {\log {\displayda _{1}{k_{1}}}-\log {\displaystyle {k_2} {\textda {{k} {{k} {{1}} {{{k}}} {{{k}}}}} {{k}}}} {{{k}}}}}}}}}} {{{{k}}}}}^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}+1\right)-1}$^[15]

적용들

Weibull 분포가 사용됩니다^{[citation needed]}.

• 생존 분석에서
• 신뢰성 엔지니어링 및 고장 분석
• 전기 공학에서 전기 시스템에서 발생하는 과전압을 나타냅니다.
• 제조 및 배송 시간을 나타내는 산업 공학 분야
• 극단적 가치 이론에서
• 풍속 분포를 설명하기 위해 기상 예보 및 풍력 산업에서 자연 분포는 종종 Weibull^[18] 모양과 일치하기 때문에
• 통신 시스템 엔지니어링 분야
  • 레이더 시스템에서 일부 유형의 클러터에 의해 생성된 수신 신호 수준의 분산을 모델링합니다.
  • Weibull 페이딩 모델은 실험 페이딩 채널 측정에 적합한 것으로 보이므로 무선 통신 페이딩 채널을 모델링합니다.
• 웹 페이지의 ^[19]드웰 시간을 모델링하기 위한 정보 검색.
• 일반 보험에서는 재보험금 청구 규모와 누적된 퇴적 손실의 발생을 모델링한다.
• 기술 변화 예측(샤리프-이슬람 ^[20]모델이라고도 함)
• 수문학에서 와이불 분포는 연간 최대 하루 강우량 및 하천 유량과 같은 극단적인 사건에 적용된다.
• 셰일 ^[17]유정의 석유 생산률 곡선을 모형화하기 위한 감소 곡선 분석.
• 연삭, 밀링 및 파쇄 작업에서 발생하는 입자의 크기를 설명할 때 2-파라미터 Weibull 분포를 사용하며, 이러한 용도에서는 로진-래머 ^[21]분포라고도 합니다.이 경우 로그 정규 분포보다 적은 미립자를 예측하며 일반적으로 좁은 입자 크기 ^[22]분포에서 가장 정확합니다.누적분포함수의 $해석$은 F${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ; ${\displaystyle k}$ , ${\displaystyle )}$) { $displaystyle$F ($x$; $k$, \ $lambda$) is$$ x$$( \ $displaystyle$x$$)보다 작은 입자의 질량분율이며, $여기$서 {\$${ $displaystyle$$$\ $lambda$$$}는$$$$ 평균 입자크기,$k$는 특정 확산의 척도이다.e사이즈
• 무작위 점 구름(이상 기체 내 입자의 위치 등): 주어진 입자에서 x$(\displaystyle$x) $거리$에서의 가장 가까운 입자를 찾을 확률은 k ${\displaystyle =}$(\$displaystyle$ k$=3$$})$ $및{\displaystyle }$ ${\displaystyle =1}$ / = $(\$=$1/da ^3})$인 Weibull 분포에 의해 주어진다.입자의 ^[23]밀도와 일치합니다.
• 우주선 탑재에서의 방사선 유도 단일 이벤트 효과의 비율을 계산할 때, 실험적으로 측정된 디바이스 단면 확률 데이터를 입자 선형 에너지 전달 ^[24]스펙트럼에 적합시키기 위해 4 파라미터의 와이블 분포를 이용한다.Weibull 적합치는 원래 입자 에너지 수준이 통계적 분포와 일치한다는 믿음 때문에 사용되었지만, 이 믿음은 나중에 거짓으로 판명되었고 Weibull 적합치는 입증된 물리적 기초가 아닌 ^[25]조정 가능한 많은 매개변수 때문에 계속 사용됩니다.

관련 분포

• Weibull 분포는 두 형상 모수가 모두 k인 일반화 감마 분포입니다.
• 변환된 Weibull 분포(또는 3-모수 Weibull)에는 추가 ^[9]모수가 포함됩니다.확률 밀도 함수를 가지고 있다.

  ${\displaystyle f(x;k,\timeda,\theta)={k \over \timeda }\leftsqx-\timeda }\right}^{-\timedx-\timeda }\right)^{k}},$

  x≥θ{x\geq \theta\displaystyle}와 f(x;k, λ, θ)x<>에)0{\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta)=0};θ{\displaystyle x<, \theta}, k>로 0{\displaystyle k>0}은 형상 모수,λ>0{\displaystyle \lambda>0}가 스케일 파라미터와 θ{\displaystyle \theta.}은 locati은분포의 모수에서 선택합니다.$§ \displaystyle$ \theta$$} ${\displaystyle 값}$은 일반$$ Weibull 프로세스가 시작되기 전에 초기 장애 없는 시간을 설정합니다.${\displaystyle \mathrm{\theta }}$ ${\displaystyle =}$0 { $displaystyle \theta$=$0$}이면 이는 2-모수 분포로 감소합니다.
• Weibull 분포는 랜덤 $W$의 분포(\$displaystyle$ W$)$로 특징지을 수 있으며, 따라서 랜덤 변수는

  ${\displaystyle X=\left({\frac {W}{\lambda}}}\오른쪽)^{k}}$

  강도 ^[9]1의 표준 지수 분포입니다.
• 이는 Weibull 분포도 균일한 분포로 특성화할 수 있음을 의미합니다. U$${\$display$ U$}$가 (${\displaystyle 0}$${\displaystyle ,}$ 1)${\displaystyle }${style $(0,$1) {\$style$ (0,1$)}$에 균일하게$$분포되어 있는 경우, 랜덤 $변수{\displaystyle }$ $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle ={}^{}}$= ( - ln${\displaystyle \ln }$ ( U ) ${\displaystyle 1}$/ k $display style$ W = \ $lambda$ ( - 1 / 1 )$meter{\displaystyle }$ k$(\displaystyle$ k$)$ $및$ {\(\$displaystyle$$\lambda$ 여기서 - $($U$)$는 바로 위의$$X(\$displaystyle$ X$)$에 해당합니다$.{\displaystyle }$이는 Weibull 분포를 시뮬레이션하기 위한 쉽게 구현되는 수치 체계로 이어진다.
• Weibull 분포는 k $= 1일$ $때{\displaystyle }$ ${\displaystyle 강도}$1 /$$${\$ {\$displaystyle$ 1$/\displayda}$인 지수 분포와 k$= 2일$ 때 $모드{\displaystyle }$ $=$= ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ / 2$$\$displaystyle$ $\displayda$ / {\$displayrt {2$$\}\}$의 Rayle 분포 사이에 보간됩니다.
• Weibull 분포(신뢰성 공학에서는 보통 충분)는 추가 지수가 1인 3개의 모수 지수 Weibull 분포의 특수한 경우입니다.지수화된 Weibull 분포는 단일 모달, 욕조^[26] 모양 및 단조 고장률을 수용합니다.
• Weibull 분포는 일반화 극단값 분포의 특수한 경우입니다.이와 관련하여 1927년 ^[27]Maurice Fréchet에 의해 분포가 처음 확인되었다.이 연구를 위해 명명된 밀접하게 관련된 프레셰 분포는 확률 밀도 함수를 가진다.

  ${\displaystyle f_{\rm {Frechet}(x;k,\lambda})=ffrac {k}{\frac {x}{\frac {x}{-k}e^{-k}=-f_{\rm {Weibull}(x;lamb)}}.}$

• Weibull 분포가 서로 다른 여러 랜덤 변수의 최소값으로 정의되는 랜덤 변수의 분포는 다중-Weibull 분포입니다.
• Weibull 분포는 Rosin & Ramler(1933)에 의해 입자 크기 분포를 설명하기 위해 처음 적용되었다.분쇄 공정에서의 입자 크기 분포를 설명하기 위해 광물 가공에 널리 사용됩니다.이 맥락에서 누적 분포는 다음과 같이 주어진다.

  ${\displaystyle f(x;P_{\rm {80}}},m)=cases}1-e^{\ln \left(0.2\right)\left\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\0&x <0,\end {case}}$

  어디에
  • $(\displaystyle$ x$)$는 입경입니다.
  • $(\$은 입경 분포의 80번째 백분위수입니다.
  • $\displaystyle$m은 분포의$$ 확산을 나타내는 파라미터입니다.
• 스프레드시트에서 사용할 수 있기 때문에 기본 동작이 Erlang ^[28]분포에 의해 더 잘 모델링되는 경우에도 사용됩니다.
• X${\displaystyle }$~ ${\displaystyle W\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{b}u}$ l ( ${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle 1\frac{2}{}}$ $){$ $displaystyle$X \$sim$ \ $mathrm${$Weibull$} ( \ $lambda$ , { \ $frac {$ } { \ $frac$ { $}$ )인$$ $경우{\displaystyle \sqrt{}}$X ~ ${\displaystyle E\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ p ${\displaystyle \mathrm{o}}$ n ${\displaystyle \mathrm{ti}}$ l${\displaystyle }$( ${\displaystyle \frac{\sqrt{1}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ $){$ $displaystyle${ $sqrt$ { $X$$$} \ $sim$} \ expac } \ expacon } \$frmathrm$} { expac } \ frm } { expecial } }
• k 값이 동일한 경우 감마 분포는 유사한 모양을 취하지만 Weibull 분포는 더 편평한 분포를 따릅니다.

• 안정 카운트 분포의 관점에서 k$\displaystyle$는 Levy의 안정성 매개변수로 간주할 수 있습니다.Weibull 분포는 커널 밀도의 적분으로 분해할 수 있습니다.여기서 커널은 Laplace $분포$ F$(x;$ $Rayleigh$ ${\displaystyle }$F$(x;$2$, δ$ 중 하나입니다.

  ${\displaystyle F(x;k,\lambda)={\begin{경우}\displaystyle \int _{0}^{\infty}{\frac{1}{\nu}}\,F(x;1,\lambda \nu)\left(\Gamma \left({\frac{1}{k}}+1\right){\mathfrak{N}}_ᆳ(\nu)\right)\,d\nu ,&, 1\geq k>, 0;{\text{또는}}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty}{\frac{1}{s}}\,F(x;2{\sqrt{2}}\lambda는 그것)\left({\sqrt{\frac{2}{\pi}}}\,\Gamma \lef.t({\frac {1} {k}} + 1 \ right )V_{k}(s)\right),ds,&2\geq k>0;\end{case}}$

  N k${\displaystyle {}_{}}$($$ ) { $style${ $mathfrak${ $N} _${ $k$} _ { k } （ $nu$） $where$ 、 ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle k{}_{}（}$ s$$） { $display$ V$_$ { $k$} ( s )는$$ ${\displaystyle \mathrm{안정적}}$인 볼륨 분포입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 피셔-티펫-네덴코 정리
• 로지스틱 분포
• 입경 분석을 위한 로진-래믈러 분포
• 레일리 분포
• 안정적인 계수 분포

레퍼런스

참고 문헌

• 를 클릭합니다Fréchet, Maurice (1927), "Sur la loi de probabilité de l'écart maximum", Annales de la Société Polonaise de Mathématique, Cracovie, 6: 93–116.
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외부 링크

• "Weibull distribution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 산술 페이지 – Weibull 분석
• Weibull 분포
• Weibull을 사용한 신뢰성 분석
• 인터랙티브 그래픽스:일변량 분포 관계
• 온라인 Weibull 확률도