현지 시간(수학)

현지 시간의 표면과 함께 Ito 프로세스의 샘플 경로.

확률적 과정의 수학적 이론에서, 현지 시간은 브라운 운동과 같은 반물질적 과정과 연관된 확률적 과정으로, 입자가 주어진 수준에서 소비한 시간의 양을 특징짓는 것이다. 현지 시간은 통합이 충분히 원활하지 않으면 다나카 공식과 같은 다양한 확률적 통합 공식에 나타난다. 무작위 분야의 맥락에서 통계 역학으로도 연구되고 있다.

형식 정의

연속적인 실제 값 세미마팅게일 $(B_{s})_{s\geq 0}$ $(B_{s})_{s\geq 0}$ ) $(B_{s})_{s\geq 0}$ $(B_{s})_{s\geq 0}$ 0 ${\$ 0 $}$ 의 경우 $(B_{s})_{s\geq 0}$ $x$ $x$ 지점에서 $B$ $B$ 의 현지 시간은 확률적 과정으로 정의되며 $x$ , 이 과정은 다음과 같다.

L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta(x-B_{s})\,d[B]_{s}}

여기서 $\delta$ $\delta$ 은 $\delta$ (는) Dirac 델타 함수이고 $[B]$ [ $[B]$ $[B]$ $[B]$ 은 $[B]$ (는) 이차 변동이다. 그것은 폴 레비에 의해 발명된 개념이다. 기본적인 생각은 $L^{x}(t)$ $L^{x}(t)$ ( $L^{x}(t)$ ) $L^{x}(t)$ 이(가) $B_{s}$ s ${\$ 가 $x$ $t$ ${\displaystyle$ t $}$ 까지 x ${\displaystyty$ x}에서 소비한 $B_{s}$ 시간을 나타내는 (적정적으로 재조정되고 시간변수) 척도라는 $L^{x}(t)$ 것이다 $t$ 보다 엄밀하게 보면 될 수 있다.

L^{x}(t)=\lim \downarrow 0}{{\frac {1}{2\varepsilon }}\{0}^{0}}{0}}}{\x-\varepsilon <B_s}}}}}},d[B]_{s}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

항상 존재하는 것으로 보일 수 있다. Note that in the special case of Brownian motion (or more generally a real-valued diffusion of the form $dB=b(t,B)\,dt+dW$ where $W$ is a Brownian motion), the term $d[B]_{s}$ simply reduces to $ds$ , which explains 그것이 $x$ $x$ 에서 $B$ $B$ $B$ 의 로컬 시간이라고 불리는 이유 $x$ 이산 상태 공간 프로세스 $(X_{s})_{s\geq 0}$ ( $(X_{s})_{s\geq 0}$ $(X_{s})_{s\geq 0}$ ) s $(X_{s})_{s\geq 0}$ $(X_{s})_{s\geq 0}$ ${\$ 로컬 시간은 $(X_{s})_{s\geq 0}$ 보다 간단하게 표현될^[1] 수 있다.

L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\\\{x\}}}\\\x_}\,ds.

다나카식

다나카 공식은 $\mathbb {R} :$ R $\mathbb {R} :$ : ${\displaystyle$ $\$ $mathb {R}$ : {\ $displaystyle (X_{s})_{s\geq$ 0 $}$ 에 $(X_{s})_{{s\geq 0}}$ 대한 임의의 연속 세미마틴날레 $(X_{s})_{s\geq 0}$ $(X_{s})_{s\geq 0}$ )의 로컬 시간의 정의를 제공한다.

L^{x}(t)= X_{t}-x - X_{0}-x -\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)\,dX_{s},\qquad t\geq 0.

더 일반적인 형태는 마이어와^[3] 왕에 의해 독립적으로 증명되었다;^[4] 이 공식은 Itô의 보조정리기를 두 배 다른 기능들에 대해 더 일반적인 등급의 기능들로 확장한다. $F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ : $F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ → R ${\$ F $:\mathb {R} \rightarrow \mathb {R}}$ 이(가) 경계 변동인 파생 $F',$ $F$ $'$ , ${\displaystyle F'$ 과 절대적으로 연속적인 경우 $F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

F(X_{t}=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})\,dX_{s}+{\frac {1}{1}{1}:{2}}\int _{-\int _{-\inflt }^{}}{\inflt }{x}(t)\,dF'{-},},},},

여기서 $F'_{-}$ - $′{\$ 는 왼쪽 $F'_{-}$ 파생상품이다.

$X$ $X$ 이 $X$ (가) 브라운 운동인 경우, $\alpha \in (0,1/2)$ $\alpha \in (0,1/2)$ ( $\alpha \in (0,1/2)$ $\alpha \in (0,1/2)$ 1 $\alpha \in (0,1/2)$ / $\alpha \in (0,1/2)$ ) ${\displaystyle \alpha \in (0,1/2)$ 에 $\alpha \in (0,1/2)$ 대해 현지 $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ L $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ = $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ ( $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ ( $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ ) $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ , $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ 0 ${\$ $_{x\in \mathb {R},t\geq 0}}$ 에 a.s인 수정 사항이 있음 $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ . $지수$ $\alpha$ {\ $displaystyle$ $\alpha }$ 을 $x$ (를 $)$ $가진$ x ${\$ $displaystyle$ $x$ $}$ 의 연속형 $\alpha$ 경계 x ${\displaystyle$ x $}$ 및 $t$ ${\$ $displaystytle t$ $}$ 에 대해 균일하게 $t$ ^[5] L ${\$ $displaystystyle t$ $}$ 의 $t$ 연속형 .s가 $L$ 있다 $x$

다나카의 공식은 브라운 운동을 반영하는 1차원(B )에 대한 명시적인 Dob-Meyer 분해(Doeb-Meyer 분해)를 제공한다. $(|B_{s}|)_{s\geq 0}$ $(|B_{s}|)_{s\geq 0}$ ) $(|B_{s}|)_{s\geq 0}$ 0 $(|B_{s}|)_{s\geq 0}$ {\ $displaystyle (B_{s} )_{s\geq$ 0 $(|B_{s}|)_{s\geq 0}$

레이-나이트 이론

$L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}$ $E$ $E$ 의 확률적 과정과 관련된 $L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}$ 현지 시간 L $L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}$ = $L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}$ t $L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}$ ) x $L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}$ $L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}$ ${\$ E $})$ 의 필드는 무작위 필드 영역에서 잘 연구된 주제다 $E$ . Ray-Knight 유형의 이론은 필드 L을_t 관련 가우스 과정과 연관시킨다.

일반적으로 제1종류의 Ray-Knight형 이론은 기초 공정의 타격 시간에_t 필드 L을 고려하는 반면, 제2종류의 이론은 지역 시간 분야가 먼저 주어진 값을 초과하는 정지 시간의 관점에서 이루어진다.

제1차 레이-나이트 정리

Let (B_t)_{t ≥ 0} be a one-dimensional Brownian motion started from B₀ = a > 0, and (W_t)_t≥0 be a standard two-dimensional Brownian motion W₀ = 0 ∈ R². Define the stopping time at which B first hits the origin, $T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}$ . Ray^[6] and Knight^[7] (independently) showed that

\displaystyle \왼쪽\{L^{x}(T)\colon x\in [0,a]\오른쪽\}{\\\stackrel {D}}{{D}}\{W_{x}}^{2}\colon x\in [0,a]\right\}\,},}

(1)

여기서 (L_t)_{t ≥ 0}은 (B_t)의 현지 시간 분야로,_{t ≥ 0} C[0, a]에 평등이 분포되어 있다. 공정_x W는 제곱 베셀 공정으로 알려져 있다.

제2차 레이-나이트 정리

(B_t)_{t ≥ 0} 표준 1차원 브라운₀ 운동 B = 0 ∈ R이 되게 하고 (L_t)_{t ≥ 0}은 현지 시간의 관련 분야로 한다. 0에서 로컬 시간이 a > 0을 초과하는 경우는 T로_a 한다.

T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}]a\}.

W_t₀ = 0에서 시작된 독립적인 1차원 브라운 운동으로,_{t ≥ 0} 그 다음^[8]

\left\{L_{T_}}^{x}+W_{x}^{2}\colon x\geq 0\right\}{\\stackrel {D}}}{{D}}}\{{x}+{\sqrt{a}}^{2}\colon x\geq 0\right\}\,},

(2)

동등하게 공정 $(L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}$ $(L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}$ a $(L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}$ ) $(L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}$ 0 $(L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}$ {\ $displaystyle (L_{T_{a}^{x})_{x\geq$ 0}( $(L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}$ 공간 $변수$ x{\ $displaystyle x}$ 의 공정 $x$ 은{\ $displaysty a}$ 에서 시작된 0차원 베셀 공정의 제곱과 분포가 같으며, 이와 같이 마르코비안이다.

일반화 레이-나이트 이론

보다 일반적인 확률적 프로세스에 대한 Ray-Knight 유형의 결과가 집중적으로 연구되었으며 (1)과 (2)의 아날로그 문장은 모두 대칭성이 강한 마르코프 공정으로 알려져 있다.

참고 항목

메모들

^ Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer.
^ Kallenberg (1997). Foundations of Modern Probability. New York: Springer. pp. 428–449. ISBN 0387949577.
^ Meyer, Paul-Andre (2002) [1976]. "Un cours sur les intégrales stochastiques". Séminaire de probabilités 1967–1980. Lect. Notes in Math. Vol. 1771. pp. 174–329. doi:10.1007/978-3-540-45530-1_11. ISBN 978-3-540-42813-8.
^ Wang (1977). "Generalized Itô's formula and additive functionals of Brownian motion". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. 41 (2): 153–159. doi:10.1007/bf00538419. S2CID 123101077.
^ Kallenberg (1997). Foundations of Modern Probability. New York: Springer. pp. 370. ISBN 0387949577.
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^ Knight, F. B. (1963). "Random walks and a sojourn density process of Brownian motion". Transactions of the American Mathematical Society. 109 (1): 56–86. doi:10.2307/1993647. JSTOR 1993647.
^ Marcus; Rosen (2006). Markov Processes, Gaussian Processes and Local Times. New York: Cambridge University Press. pp. 53–56. ISBN 0521863007.

참조

K. L. Chung과 R. J. Williams, Stochastic Integration 소개, 제2판, 1990, Birkhauser, ISBN 978-0-8176-3386-8.
M. Marcus와 J. Rosen, Markov Processs, Gaussian Processs, Local Times, 제1판, 2006, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-86300-1
P.Mortars와 Y.페레스, 브라운 모션, 2010년 1판, 캠브리지 대학 출판부, ISBN 978-0-521-76018-8

[1] Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer.

[Kallenberg-2] Kallenberg (1997). Foundations of Modern Probability. New York: Springer. pp. 428–449. ISBN 0387949577.

[3] Meyer, Paul-Andre (2002) [1976]. "Un cours sur les intégrales stochastiques". Séminaire de probabilités 1967–1980. Lect. Notes in Math. Vol. 1771. pp. 174–329. doi:10.1007/978-3-540-45530-1_11. ISBN 978-3-540-42813-8.

[4] Wang (1977). "Generalized Itô's formula and additive functionals of Brownian motion". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. 41 (2): 153–159. doi:10.1007/bf00538419. S2CID 123101077.

[Kallenberg2-5] Kallenberg (1997). Foundations of Modern Probability. New York: Springer. pp. 370. ISBN 0387949577.

[6] Ray, D. (1963). "Sojourn times of a diffusion process". Illinois Journal of Mathematics. 7 (4): 615–630. doi:10.1215/ijm/1255645099. MR 0156383. Zbl 0118.13403.

[7] Knight, F. B. (1963). "Random walks and a sojourn density process of Brownian motion". Transactions of the American Mathematical Society. 109 (1): 56–86. doi:10.2307/1993647. JSTOR 1993647.

[8] Marcus; Rosen (2006). Markov Processes, Gaussian Processes and Local Times. New York: Cambridge University Press. pp. 53–56. ISBN 0521863007.

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v t 확률적 과정
이산 시간	베르누이 과정 분기공정 중식당공정 갤턴-왓슨 프로세스 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수 마르코프 체인 모란공정 무작위 보행 루프 소거 자기 회피 편향된 최대 엔트로피
연속시간	첨가공정 베셀 공정 출생-사망 과정 순산 브라운 운동 브릿지 소풍 분수 기하학 므안데르 코시 공정 접촉공정 연속 시간 무작위 보행 콕스 공정 확산공정 경험적 과정 펠러 공정 플레밍-비오트 공정 감마공정 기하학적 공정 호크스 공정 헌트 프로세스 상호작용 입자 시스템 이타 확산 Itô 공정 점프 확산 점프 프로세스 레비 공정 현지 시간 마르코프 가법 맥킨-블라소프 프로세스 올슈타인-울렌벡 공정 포아송 공정 화합물 비균질 슈람-루너 진화 세미마팅게일 시그마마팅게일 안정공정 슈퍼프로세스 전보공정 분산 감마 공정 위너 공정 비너 소시지
둘 다	분기공정 갈베스-뢰케르바흐 모델 가우스 과정 Hidden Markov 모델(HM) 마르코프 과정 마팅게일 차이점. 국부적 서브- 슈퍼- 무작위 역학 시스템 재생공정 갱신공정 가변 길이 메모리를 가진 확률적 체인 화이트 노이즈
필드 및 기타	디리클레 공정 가우스 랜덤 필드 깁스 치수 홉필드 모형 이싱 모형 포츠 모형 부울 네트워크 마르코프 랜덤 필드 퍼콜레이션 피트만-요르 프로세스 점공정 콕스 포아송 랜덤 필드 랜덤 그래프
시계열 모델	자기 회귀 조건부 이성애(ARCH) 모형 자기 회귀 통합 이동 평균(ARIMA) 모형 자기 회귀(AR) 모형 자기 회귀-이동 평균(ARMA) 모형 일반화된 자기 회귀 조건부 이질성(GARCH) 모형 이동 평균(MA) 모형
금융모델	이항 옵션 가격 책정 모델 블랙-더만-장난감 블랙-카라신스키 블랙-숄즈 첸 일정한 분산 탄력성(CEV) 콕스-잉거솔-크로스(CIR) 가르만-콜하겐 히스로-자로우-모턴(HJM) 헤스턴 호-리 헐-화이트 LIBOR 시장 렌들먼-바터 SABR 변동성 바시체크 윌키
보험수리적 모형	불만 크렘레-룬드베르크 리스크 프로세스 스파레-앤더슨
모델 대기 중	벌크 유체 일반화 대기열 네트워크 M/G/1 M/M/1 M/M/c
특성.	카들래그길 연속 연속경로 에르고딕 교환가능 펠러-연속성 가우스마르코프 마르코프 믹싱 조각 결정론 예측 가능한 점진적으로 측정 가능 자기 유사성 고정된 시간역전성
한계 정리	중앙 한계 정리 돈스커의 정리 두브의 마탱게일 융합 이론 에르고딕 정리 피셔-티펫-그네덴코 정리 큰편차원리 대수의 법칙(약한/강한) 반복 로그의 법칙 최대 에고딕 정리 사노프의 정리 제로원 법칙(블루멘탈 , 보렐-칸텔리, 엥겔베르트-슈미트, 휴이트-사비지, 콜모고로프, 레비)
불평등	버크홀더-데이비스-건디 두브 마팅게일 Dob's upcrossing 쿠니타-와타나베 마르킨키에비치-지그문트
도구들	캐머런-마틴 공식 랜덤 변수의 수렴 돌리언스데이드 지수 두브 분해 정리 Dob-Meyer 분해 정리 두브의 선택적 정지 정리 딘킨 공식 파인만-카크 공식 여과 기르사노프 정리 최소 생성기 Itô 적분 It le의 보조정리 카루넨-로이브 정리 콜모고로프 연속성 정리 콜모고로프 확장 정리 레비-프로호로프 미터법 말리아빈 미적분학 마팅게일 표현 정리 선택적 정지 정리 프로호로프의 정리 이차변동 반영원리 스코로크호드 적분 스코로크호드의 표현 정리 스코로크호드 공간 스넬 봉투 확률 미분 방정식 다나카 정지시간 스트라토노비치 적분 균일 통합성 일반적인 가설 위너 스페이스 고전적인 추상적
규율	생명수학 제어 이론 계량학 에고다이즘 극단값 이론(EVT) 큰편차이론 수학금융 수학통계학 확률론 큐잉 이론 갱신 이론 파멸 이론 신호처리 통계 확률적 분석 시계열 분석 머신러닝
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