열 방정식

수학과 물리학에서 열 방정식은 특정한 부분 미분 방정식이다. 열 방정식의 용액은 열함수라고도 한다. 열 방정식의 이론은 열과 같은 양이 주어진 영역을 통해 어떻게 확산되는지를 모형화하기 위해 1822년 조셉 푸리에 의해 처음 개발되었다.

원형 포물선 부분 미분 방정식으로서 열 방정식은 순수 수학에서 가장 널리 연구되는 주제 중 하나이며, 그 분석은 부분 미분 방정식의 넓은 영역에 기초하는 것으로 간주된다. 열 방정식은 리만 다지관에서도 고려될 수 있어 많은 기하학적 응용을 이끌어 낸다. Subbaramiah Minakshisundaram과 åke Pleijel의 작업에 이어 열 방정식은 스펙트럼 기하학과 밀접한 관련이 있다. 1964년 제임스 엘스와 조셉 샘슨에 의해 미분 기하학에 열 방정식의 반비선형 변형이 도입되어 1982년 리처드 해밀턴에 의해 리치 흐름의 도입에 고무되었고 2003년 그리고리 페렐만의 푸앵카레 추측의 증거에 절정에 이르렀다. 열 낟알로 알려진 열 방정식의 특정 용액은 아티야-싱어 지수 정리에 적용하여 예시된 것처럼 열 방정식이 정의된 지역에 대한 미묘한 정보를 제공한다.^[1]

열 방정식은 그 변종들과 함께 과학과 응용 수학의 많은 분야에서도 중요하다. 확률론에서 열 방정식은 Fokker-Planck 방정식을 통해 무작위 보행 및 브라운 운동 연구와 연결된다. 금융 수학의 블랙-숄즈 방정식은 열 방정식의 작은 변종이며, 양자 역학의 슈뢰딩거 방정식은 상상 시간에서 열 방정식으로 간주할 수 있다. 영상 분석에서 열 방정식은 픽셀화를 해결하고 가장자리를 식별하는 데 사용되기도 한다. 로버트 리히트마이어와 존 폰 노이만의 "인공 점성" 방법의 도입에 따라 열 방정식의 해법은 수역학적 충격의 수학적 공식화에 유용하게 사용되어 왔다. 열 방정식의 해법은 1950년대부터 짐 더글러스, D.W. 피스맨, 헨리 래크포드 주니어의 연구로 시작된 수치 분석 문헌에서도 많은 관심을 받아왔다.

방정식문

수학에서 R의ⁿ 오픈 서브셋 U와 R의 서브인터벌 I가 주어진다면 함수 u : U × I → R은 열 방정식의 해법이라고 말한다.

${\displaystyle {\frac {\fract u}{\properties t}={\fract x_{1}^{2}}+\cdots +{\fract ^{2}u}{\propert x_{n}^{2}}}}}}}}}}},}}}$

여기서(x₁, …, x_n, t)는 도메인의 일반 점을 나타낸다. 이러한 구절들이 직관적인 의미를 갖지 못하는 추상적인 맥락에서조차 t를 "시간"이라고, x_1n, …, x를 "공간 변수"라고 부르는 것이 전형적이다. 공간변수의 집합은 단순히 x라고 하는 경우가 많다. t의 어떤 주어진 값에 대해서도 방정식의 오른쪽은 함수 u(⋅, t)의 라플라크어: U → R. 이와 같이 열 방정식을 보다 콤팩트하게 쓰는 경우가 많다.

물리학과 공학적인 맥락에서, 특히 매체를 통한 확산의 맥락에서, 데카르트 좌표계를 고정시킨 다음, 3개의 공간 변수(x, y, z, t)와 시간 변수 t의 함수 u(x, y, z, t)의 구체적인 경우를 고려하는 것이 더 일반적이다. 그러면 하나는 열방정식의 해결책이라고 말한다.

${\displaystyle {\frac {\fract t}{\flash t}=\lifts\frace \frac}{{2}}+{\fract y^{2}}}+{\fract y^{2}}}}{{2}u}}\fract z^{2}\오른쪽)}}}$

α는 매질의 열 확산도라고 불리는 양의 계수다. 이 방정식은 다른 물리적 현상 외에도 동질적이고 등방성적인 매체에서 열의 흐름을 설명하며, u(x, y, z, t)는 점(x, y, z)과 시간 t의 온도다. 만약 매체가 동질적이고 등방성이 아니라면, α는 고정 계수가 아닐 것이고, 대신 (x, y, z)에 의존할 것이다. 이 방정식은 또한 약간 다른 형태를 가질 것이다. 물리학 및 공학 문헌에서는 ∆이 아닌 ²use을 사용하여 라플라시아인을 나타내는 것이 일반적이다.

그래서 너 ˙{\displaystyle{\dot{너}}}{.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion으로 사용된다 수학뿐만 아니라 물리학과 공학의 경우, 그 시간 파생 상품에 대한 뉴턴의 표기법을 사용하는 것이 흔하다.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}∂u/∂t. 또한 공간적 변수에 대한 명시적인 참조 없이 or 또는 ²either 중 하나를 사용하여 라플라시안(Laplacian)을 나타낼 수 있는 능력은 좌표계의 선택과 무관하다는 사실을 반영한다. 수학적 용어로, 라플라시안은 "번역적으로 그리고 회전적으로 불변한다"고 말할 수 있다. 사실, 이러한 대칭을 가진 가장 단순한 미분 연산자(느리게 말하면)이다. 이는 열 확산이 주요 예인 동질적이고 등방성인 모든 물리적 현상을 모델링할 때 라플라시안 사용과 열 방정식의 유의한 (그리고 순수하게 수학적) 정당성으로 간주될 수 있다.

"열도 상수" α는 열 방정식의 수학 연구에서는 존재하지 않는 경우가 많으며, 그 값은 공학에서 매우 중요할 수 있다. 이것은 다음과 같은 이유로 큰 차이가 아니다. 와의 함수가 되게 하라.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}=\alpha \Delta u.}$

새로운 함수 $v{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (}$ t /${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle v(t,x)=u(t/\alpha,x)}$를 정의한다$.$ 그러면 체인 규칙에 따라 다음과 같은 값이 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}v(t,x)={\frac {\partial }{\partial t}}u(t/\alpha ,x)=\alpha ^{-1}{\frac {\partial u}{\partial t}}(t/\alpha ,x)=\Delta u(t/\alpha ,x)=\Delta v(t,x)}$

(⁎)

따라서 일반 값 α인 열 방정식의 해법과 α = 1인 열 방정식의 해법 사이에는 직설적인 번역 방법이 있다.그러므로 수학적 분석을 위해서는 사례 α = 1만 고려해도 충분할 때가 많다.

α>이후 0{\displaystyle \alpha>0}또 다른 하나의 선택)Δ v{\textstyle{\frac{\partial}{\partial지}}v=\Delta v}∂∂ tv을 만족시키{\displaystyle v}(⁎)위에 v(t,)))u(t,α − 1/2)){\displaystyle v(t,x)=u(t,\alpha ^{-1/2}))}을 설정하여'v'가 정의할 두개의 점에 유의해야 한다. possibl 여기서 논의한$$ 새로운 $함수{\displaystyle }$ v$${\$displaystyle v}$을(를) 정의하여 시간의 측정 단위 또는 길이의 측정 단위를 변경하는 수단.

해석

방정식의 물리적 해석

비공식적으로, 라플라크 연산자 ∆은 점 근처에 있는 함수의 평균 값과 그 지점의 값 사이의 차이를 제공한다. 따라서 u가 온도라면 ∆은 각 점을 둘러싸고 있는 물질이 그 지점의 물질보다 평균적으로 뜨겁거나 차가운지 여부를 알려준다.

열역학 제2법칙에 따르면 열은 고온의 몸에서 인접하고 차가운 신체로, 온도 차이와 그들 사이의 물질의 열전도율에 비례하여 흐를 것이다. 열이 물질로 유입될 때(존중, 존중, 감소) 열량을 물질의 양(질량)으로 나눈 비율에 비례하여 그 온도는 증가(존중, 감소)하며, 물질의 특정 열 용량이라 불리는 비례 계수는 증가한다.

이러한 관측치의 조합에 의해, 열 방정식은 한 지점에서 재료가 가열(또는 냉각)되는 비율$$ $˙{\$이 주변 재료가 얼마나 뜨거운(또는 차가운)지에 비례한다고 말한다. 방정식의 계수 α는 열전도율, 특정 열, 물질의 밀도를 고려한다.

방정식의 수학적 해석

위의 육체적 사고의 전반부는 수학적 형태로 넣을 수 있다. 열쇠는, 어떤 고정된 x에 대해서도

${\displaystyle {\begin}u_{(x)}(0)&=u(x)\\u_{u_}'(0)=0)={\frac {1}{n}}\delta u(x)\end(liged}}}}}}$

여기서 u_(x)(r)는 x를 중심으로 반경 r의 구 표면 위에 있는 u의 평균값을 나타내는 단수함수로서 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle u_{(x)}={\frac {1}{\1}오메가 _{n-1}r^{n-1}\int_{\y: x-y =r\}u\,d{\mathcal {H}}{n-1},}}$

여기서 Ω은_{n − 1} n차원 유클리드 공간에서 단위 공의 표면적을 나타낸다. 이것은 r의 작은 양의 값에 대해 u_(x)(r)의 값으로 인코딩된다는 점에서, x 지점에서의 ∆u 값과 x 근처 지점에서의 u(x) 값 사이의 차이를 측정한다는 위의 진술을 공식화한다.

이 관측에 따라 열 방정식을 함수의 최소 평균값을 부과하는 것으로 해석할 수 있다. 열 방정식의 해법으로 볼 때, of의 작은 양의 값에 대한 u(x, t + )) 값은 x를 중심으로 하는 매우 작은 반경의 구에 걸쳐 함수 u(⋅, t)의 평균값의 1/2n배 정도로 근사하게 추정할 수 있다.

해결 방법의 특성

열 방정식은 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 피크(local maxima)가 점차 침식되는 반면$$, 수축(local minima)은 채워지는 것을 의미한다. 어떤 시점의 가치는 그것이 그것의 바로 주변 환경의 평균값과 동일한 경우에만 안정되게 유지될 것이다. 특히 동네의 값이 선형함수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle C}$ $+$에 $매우$ 가까우면 그 동네의 중심에 있는 값은 그 시간에 변하지 않을 것이다$($즉, 파생상품$$$u{\displaystyle \stackrel{}{}}$ u${\$

보다 미묘한 결과는 최대 원리로, 매체의 모든$$ $영역{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$에서 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 최대값이 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 경계에 있지 않는$$한 이전에 $발생$한 최대값을 초과하지 않는다$.$ 즉, 최대 템페가 된다.영역 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에서 열이 $외부{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$에서 들어오는 경우에만 증가될$$ 수 있다$.$ 이는 포물선 부분 미분 방정식의 속성이며 수학적으로 입증하기 어렵지 않다(아래 참조).

또 다른 흥미로운 특성은 처음에$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 매체 내부의 일부 표면에 걸쳐 급격한 값 점프(불연속성)를 가졌다고 해도, 그 표면을 통과하는 열 흐름의 순간적이고 무한히 큰 속도에 의해 점프가 즉시 평활된다는 것이다. 예를 들어, 처음에는 균일하지만 다른 온도$${0}와 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1${\$ $u_{1$$\}\}$에서 서로 접촉하도록 두 개의 격리된 몸체가 만들어지면, 접촉 지점의 온도는 즉시 어느 정도의 중간 값을 가정하게 되며, ${\display$)를 $중심으로 구역$이 발달하게 된다.$aystyle u}$은(는) ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$과(와) ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$} 사이에 점차 달라진다$$$.$

매질의 한 지점에 갑자기 일정량의 열이 가해지면 확산파 형태로 사방으로 퍼져 나간다. 탄성파나 전자파와 달리 확산파의 속도는 시간이 지날수록 떨어진다: 더 넓은 지역에 퍼질수록 온도 구배가 감소하고, 따라서 열 흐름도 감소한다.

구체적인 예

균일한 막대의 열 흐름

열 흐름의 경우 열 방정식은 열 전도 및 에너지 보존의 물리적 법칙에 따른다(Cannon 1984).

등방성 매체에 대한 푸리에의 법칙에 따르면 표면을 통과하는 단위 면적당 열 에너지의 흐름 속도는 해당 매체에 걸친 음의 온도 구배와 비례한다.

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\,\bla u}$

where ${\displaystyle k}$ is the thermal conductivity of the material, ${\displaystyle u=u(\mathbf {x} ,t)}$ is the temperature, and ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$ is a vector field that represents the magnitude and direction of the heat flow at the point ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathbf{x}}$ ${\$의 공간 및 $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$$.$

매체가 균일한 단면 및 재료의 얇은 막대인 경우, 위치는 단일 좌표 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$이고$,$ $증가{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$을(를) 향한 열 흐름은 스칼라 필드 $q$=$t,x)$이고$,$ 그라데이션은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ x$}$에 대한 일반적인 파생이다$.$ 방정식이 되다

${\displaystyle q=-k\,{\frac {\frac u}{\property x}}}$

$Q{\displaystyle }$= ${\displaystyle Q}$( ${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q=Q(x,t$)}을$($를) 각 지점과 시간에 바 단위 부피당 내부 열에너지로 한다$$. 열 에너지 발생이 없는 경우 외부 또는 내부 발생원에서 재료의 단위 ${\displaystyle \mathrm{부피당}}$ 내부 열 에너지 변화율인 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle Q}$ /${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ t ${\displaystyle \partial$ Q$/\partial$ t$\}$은 온도 변화율인${\displaystyle \mathrm{}}$u ${\displaystyle u}$ /${\displaystyle \mathrm{}t}$ t ${\displaystyt${\$partial u/\partial t}$에 비례한다$.$ 그것은

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}=c\,\rho \,{\frac {\partial u}{\partial t}}}}}$

여기서 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은 특정 열 용량(가스의 경우 일정한 압력에서)이고$$ $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은 물질의 밀도(단위 부피당 질량)이다$$. 이 파생은 물질은 시간뿐만 아니라 공간을 통한 일정한 질량 밀도와 열 용량을 가지고 있다고 가정한다.

에너지 보존의 $법칙$을 x {\$displaystyle$ x$}$을 중심으로 한 매체의 작은 요소에 적용하면, 특정 $지점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에서 열이 누적되는 속도가 해당 지점에서의 열 흐름의 파생량과 동일하다고$$ 결론짓는다$.$ 그것은

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}=-{\partial q}{\partial x}}}$

위의 방정식을 보면 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial q}{\partial x}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\;=\;{\frac {k}{c\rho }}{\frac {\fract ^{2}u}{\propert x^{2}}:}$

즉, 분산 계수를 갖는 하나의 차원에서의 열 방정식이다.

${\displaystyle \cHB ={\frac {k}{c\rho}}}$

이 양을 매질의 열확산이라고 한다.

복사손실회계

복사열 손실을 설명하기 위해 방정식에 추가 용어를 도입할 수 있다. According to the Stefan–Boltzmann law, this term is ${\displaystyle \mu \left(u^{4}-v^{4}\right)}$, where ${\displaystyle v=v(x,t)}$ is the temperature of the surroundings, and ${\displaystyle \mu }$ is a coefficient that depends on physical properties of the material. 내부 에너지의 변화 속도는

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}=-{\frac {\partial q}{\partial x}-\mu \left(u^{4}-v^{4}\오른쪽)}$

그리고 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 진화 방정식은$$

${\displaystyle {\frac {\fract u}{\c\rho }}{\frac {k}{c\rho}{\frac {\property x^{2}}-{\frac {}{c\rho }}}}{c\c\v^{4}\오른쪽).}$

균일하지 않은 등방성 매체

열역학 제1법칙(즉, 에너지의 보존)에 의해 주어진 상태 방정식은 다음과 같은 형태로 작성된다는 점에 유의한다(질량 전달이나 방사선이 없다고 가정). 이 양식은 보다 일반적이며 특히 어떤 속성(예_p: c 또는 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho$ $\})$이 어떤 용어에 영향을 미치는지 인식하는데 유용하다.

${\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial t}{\partial t}-\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)={\dot{q}_{V}}}}$

여기서 ${\displaystyle q_{}}$ V ${\$는 체적 열원이다.

입체 문제

3차원 공간에서의 등방성 및 균질 매체에서의 열 전파의 특별한 경우, 이 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle =\lift(u_{xx}+u_{yyy}+u_{z}\right)}$

여기서:

• ${\displaystyle u}$=${\displaystyle u}$ ( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle u=u(x,y,z,t)}$는 공간과 시간의 함수로써 온도임$$;
• ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{}}$ ${\displaystyle \frac{u}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$ ${\$ u$}{\data$. $t}}$은 시간의 경과에 따른 지점에서의 온도 변화 비율이다.
• ${\displaystyle u_{}}$ x ${\$$u{\displaystyle }$ y ${\$ ${\displaystyle u_{}}$ z z ${\$$displaystyle$ $u_{zz}}$는 $각각{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle$y$\},$ $z{\displaystyle }${\$displaystysty z}$ 방향에서$$ 두 번째 공간 파생(도관)이다$$.
• ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \equiv }$ ≡ ${\displaystyle \frac{c{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ $\$\ \$\equiv$ {\$tfrac${$k}{c_{p$}\rho$}}}}$은 열전도 k ${\$ $k$ 특정 열 용량 $c_{p$ 질량 밀도 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$에 따라 물질 고유량이다$.$

열 방정식은 푸리에의 전도 법칙의 결과물이다(열전도 참조).

매체가 전체 공간이 아닌 경우 열 방정식을 고유하게 해결하기 위해서는 u에 대한 경계 조건도 지정해야 한다. 전체 공간에서 해결책의 고유성을 판단하려면, 예를 들어 해결책의^[2] 성장이나 부호 조건에 대한 지수적 구속 조건(비부정 해결책은 David Widder의 결과로 고유함)과 같은 추가 조건을 가정할 필요가 있다.^[3]

열 방정식의 용액은 물체의 온열기에서 냉기 영역으로의 열 흐름에 의한 초기 온도 분포를 점진적으로 평활화하는 것이 특징이다. 일반적으로, 많은 다른 상태와 출발 조건은 같은 안정된 평형을 지향할 것이다. 따라서 현재 열 분포로부터 용액을 뒤집고 초기 또는 초기 조건에 대해 결론을 내리는 것은 가장 짧은 기간을 제외하고 매우 부정확하다.

열 방정식은 포물선 부분 미분 방정식의 원형적인 예다.

라플라스 연산자를 사용하면 열 방정식을 단순화할 수 있으며, 다음과 같이 임의의 치수의 공간에 걸쳐 유사한 방정식으로 일반화할 수 있다.

${\displaystyle u_{t}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \Delta u,}$

여기서 라플라스 연산자 Δ 또는 ∇,² 즉 그라데이션의 발산인 Δ를 공간 변수에서 취한다.

열 방정식은 열 확산뿐만 아니라 입자 확산 또는 신경 세포의 작용 전위 전파와 같은 다른 확산 과정도 관리한다. 비록 그것들이 자연적으로 확산되는 것은 아니지만, 일부 양자역학 문제들은 열 방정식의 수학적인 유사성에 의해서도 지배된다(아래 참조). 그것은 또한 블랙-숄즈 또는 올슈타인-울렌벡 과정과 같이 금융에서 발생하는 일부 현상을 모형화하는 데 사용될 수 있다. 방정식과 다양한 비선형 아날로그는 영상 분석에도 사용되어 왔다.

열 방정식은 기술적으로 특수 상대성을 위반하는 것으로, 그 해결책은 교란의 즉각적인 전파를 수반하기 때문이다. 전방 라이트 콘 외부의 장애 부분은 대개 안전하게 무시할 수 있지만, 열 전달을 위해 합리적인 속도를 개발해야 할 필요가 있다면 쌍곡선 문제를 대신 고려해야 한다. 즉, 2차 시간 파생 모델이 포함된 부분 미분 방정식이다. 비선형 열전도의 일부 모델(도 포물선 방정식)은 유한한 열전송 속도를 가진 용액을 가지고 있다.^[4][5]

내부열발생

위의 u 함수는 신체의 온도를 나타낸다. 또는 단위를 변경하여 매질의 열 밀도로서 u를 나타내는 것이 편리할 때도 있다. 열 밀도는 균일한 매질에서 온도에 비례하기 때문에 열 방정식은 여전히 새로운 단위에서 준수된다.

신체가 열 방정식을 준수하고 또한 공간과 시간에 따라 다른 알려진 함수 q에 의해 주어진 속도로 단위 부피당 자체 열(예: 와트/리터 - W/L)을 발생시킨다고 가정하자.^[6] 그러면 단위 부피당 열 u는 방정식을 만족한다.

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial u}{\partial t}}=\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{k}}q.}$

예를 들어 텅스텐 전구 필라멘트는 열을 발생시키기 때문에 q를 켤 때 양의 0이 아닌 값을 갖는다. 조명이 꺼진 동안 텅스텐 필라멘트의 q 값은 0이 될 것이다.

푸리에 시리즈를 이용한 열 방정식 해결

열 방정식에 대한 다음과 같은 솔루션 기법은 1822년에 출판된 그의 논문 테오리 분석 드 라 칼루르에서 Joseph Fourier에 의해 제안되었다. 하나의 공간 변수에 대한 열 방정식을 고려하십시오. 이것은 막대 안의 열전도를 모형화하는 데 사용될 수 있다. 방정식은

${\displaystyle u_{t}=\display u_{xx}}}$

(1)

여기서 u = u(x, t)는 두 변수 x와 t의 함수다. 여기

• x는 공간 변수여서 x ∈ [0, L], 여기서 L은 로드 길이.
• t는 시간 변수여서 t ≥ 0이다.

우리는 초기 상태를 가정한다.

${\displaystyle u(x,0)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]}$

(2)

함수 f가 주어지는 곳과 경계 조건

( , t)= 0= ( , t) > 0 ${\displaystyle u(0,t)=0=u(L,t)\quad \forall t>0$

(3)

경계 조건(3)을 만족하는 것과 동일하게 0이 아닌 다음 특성으로 (1)의 해결책을 찾도록 하자: u는 x에 대한 u의존도가 분리되어 있는 제품이다.

$[\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)]}$

(4)

이 해법 기법을 변수의 분리라고 한다. u를 다시 방정식 (1)로 대체한다.

${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X"(x)}}}$

오른손은 x에만 의존하고 왼손은 t에만 의존하기 때문에, 양쪽은 일정한 값인 어떤 값인 λ과 같다. 따라서 다음과 같다.

$\displaystyle T'(t)=-\lambda \alpha T(t)}$

(5)

그리고

$[\displaystyle X](x)=-\lambda X(x)]}$

(6)

이제 ∆ 0 값에 대한 (6)에 대한 비경쟁적 해결책이 발생할 수 없음을 보여 줄 것이다.

1. λ < 0이라고 가정해 보자. 그러면 B, C와 같은 실수가 존재한다.
   $${\displaystyle X(x)=Be^{\sqrt{-\lambda }\,x}+Ce^{-{\sqrt{-\lambda }}\,x}.}$$

   
   (3)에서 우리는 X(0) = 0 = X(L)를 얻으며, 따라서 B = 0 = C는 u가 동일한 0임을 의미한다.
2. λ = 0이라고 가정하자. 그리고 X(x) = Bx + C와 같은 실제 숫자 B, C가 존재한다. (3)식으로부터 우리는 1과 동일한 방식으로 u가 동일한 0이라고 결론짓는다.
3. 그러므로 반드시 > > 0의 경우일 것이다. 그러면 A, B, C 같은 실수가 존재한다.
   $${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t}$$

   
   그리고
   $${\displaystyle X(x)=B\sin \left({\sqrt {\lambda }}}\,x\right)++C\cos \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right).}$$

   
   (3)에서 C = 0을 얻고, 어떤 양의 정수 n을 얻는다.
   $${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$$

   

이는 u의 의존도가 특수 형태(4)를 갖는 특수한 경우에 열 방정식을 해결한다.

일반적으로 경계조건(3)을 만족시키는 (1)에 대한 해결책의 합도 (1)과 (3)을 만족한다. (1), (2) 및 (3)에 대한 해결책은 다음에 의해 주어진다는 것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{{n_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}\l}\right)e^{-{\frac {n^{2}\alpha t}{L^2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}\right)\,dx.}$

솔루션 기술 일반화

위에서 사용한 용액 기법은 다른 많은 유형의 방정식으로 크게 확장될 수 있다. 0 경계 조건을 가진 연산자 u를_xx 고유특성으로 나타낼 수 있다는 생각이다. 이는 자연스럽게 선형 자기 적응 연산자의 스펙트럼 이론의 기본 사상 중 하나로 이어진다.

선형 연산자 Δu = u를_xx 고려하십시오. 함수의 무한 시퀀스

${\displaystyle e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}{L}\right)}}$

n ∆ 1은 Δ의 고유 특성이다. 정말,

${\displaystyle \Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi^{2}}:{L^{2}}:e_{n}.}$

더욱이 경계조건 f(0) = f(L) = 0인 Δ의 모든 고유함수 f는 일부 n ≥ 1에 대해_n e 형식이다. n ≥ 1에 대한 함수_n e는 [0, L]의 실제 값 함수 공간에 있는 특정 내적 생산물에 관하여 정사각형 순서를 형성한다. 이 말은

${\displaystyle \langle e_{n}e_{m}\angle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}^{*}(x)dx=\delta _{mn}}$

마지막으로, {e_n}_{n ∈ N} 시퀀스는 L(0², L)의 밀도 있는 선형 하위 공간에 걸쳐 있다. 이것은 우리가 실제로 연산자 Δ를 대각선화했다는 것을 보여준다.

비균형 비등방성 매체에서의 열전도

일반적으로 열전도 연구는 몇 가지 원리에 기초한다. 열 흐름은 에너지 흐름의 한 형태로서, 이와 같이 우주 영역으로의 열 흐름의 시간 속도를 말하는 데 의의가 있다.

• 지역 V로 유입되는 열 흐름의 시간 속도는 시간에 의존하는 수량_t q(V)에 의해 주어진다. 우리는 Q가 밀도Q를 가지고 있다고 가정한다. 그래서
  $${\displaystyle q_{t}(V)=\int _{V}Q(x,t)\,dx\quad }$$

  
• 열 흐름은 시간에 의존하는 벡터 함수 H(x)로, 면적 dS와 단위 정상 벡터 n을 가진 최소 표면 요소를 통과하는 열의 시간 속도는 다음과 같다.
  $${\displaystyle \mathbf {H}(x)\cdot \mathbf {n}(x)\dS.}$$

  
  따라서 V로 유입되는 열 흐름의 속도도 표면 적분으로 지정된다.
  $${\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H}(x)\cdot \mathbf {n}(x)\dS}$$

  
  여기서 n(x)은 x에서 바깥쪽을 가리키는 정상 벡터다.
• 푸리에 법칙에 따르면 열 에너지 흐름은 온도 구배에 대해 다음과 같이 선형적으로 의존한다.
  $${\displaystyle \mathbf {H}(x)=-\mathbf {A}(x)\cdot \nabla u(x)}$$

  
  여기서 A(x)는 대칭적이고 양수가 분명한 3 × 3 실제 행렬이다.
• 발산 정리에 의해 V로 들어가는 열 흐름을 위해 통합된 이전의 표면은 체적 적분으로 변환될 수 있다.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{t}(V)&=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}\,dx\end{aligned}}}$$

  
• x에서 온도 변화 시간 비율은 최소 부피 원소로 흐르는 열에 비례하며, 비례 상수는 상수 κ에 의존한다.
  $${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa(x)Q(x,t)}$$

  

이러한 방정식을 종합하면 열 흐름의 일반적인 방정식이 된다.

${\displaystyle \i1}u(x,t)=\kappa(x)\sum_{i,j}\sum_{x_{i}}}{x_{ij}(x)\bigl({x_{j}){j}u}u(x,t){\bigr )}}}}}}}}}}}}}:}$

비고.

• 계수 κ(x)는 x: x =${\displaystyle 1}$/ (${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {}_{}}$ $){\displaystyle \kappa =1/(\rho c_{p})$에서 물질의 x × 밀도에서 물질의 특정 열의 역행이다$.$
• 등방성 매질의 경우 매트릭스 A는 열전도 k와 동일한 스칼라 매트릭스다.
• 계수 행렬 A가 스칼라(stalar)가 아닌 비등방성 사례에서, 또는 그것이 x에 의존하는 경우, 열 방정식의 해법에 대한 명시적 공식은 거의 적을 수 없지만, 관련 추상적 Cauchy 문제를 고려할 수 있고 그것이 잘 다듬어진 문제라는 것을 보여줄 수 있고/또는 약간의 질적 적합성을 보여줄 수 있다.s (양성 초기 데이터의 보존, 무한 전파 속도, 평형을 향한 수렴, 평활화 특성) 이것은 보통 1-모수 세미그룹 이론에 의해 이루어진다. 예를 들어, A가 대칭 행렬인 경우, 타원 연산자는 다음과 같이 정의된다.
  $${\displaystyle Au(x):=\sum _{i,j}\properties _{x_{i}a_{ij}(x)\properties _{x_{j}u(x)}$$

  
  자기반복적이고 방산적이므로 스펙트럼 정리에 의해 1개의 세미그룹을 생성한다.

기본 솔루션

열 커널이라고도 하는 기본 용액은 알려진 위치에서 열의 초기 포인트 선원의 초기 조건에 해당하는 열 방정식의 용액이다. 이것들은 특정 영역에 걸쳐 열 방정식의 일반적인 해결책을 찾는 데 사용될 수 있다. 예를 들어 (Evans 2010)을 참조하라.

하나의 변수에서 그린의 함수는 초기 값 문제의 해결책이다(Duhamel의 원리에 의해, 첫 번째 방정식의 해법으로 델타 함수를 가진 함수의 정의에 상당한다).

${\displaystyle {\begin}u_{t}-ku_{xx}(x,t)=0&(x,t)\in \mathb {R}\time (0,\infit)\u(x,0)=\delta(x)&\case{}}}}}}}}$

여기서 Δ는 디락 델타 함수다. 이 문제에 대한 해결책은 근본적인 해결책(열 커널)이다.

${\displaystyle \Phi(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}\ex \left(-{\frac{x^{2}}{4kt}\오른쪽).}$

콘볼루션을 적용하면 초기 조건 u(x, 0) = g(x) for -matrix < x ∞, 0) 및 0 < t ∞의 경우 1개의 변수 열 방정식의 일반적 용액을 얻을 수 있다.

$\displaystyle u(x,t)=\int \Phi(x-y,t)g(y)dy.}$

몇 가지 공간 변수에서 근본적인 해결책은 유사한 문제를 해결한다.

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=\delta (\mathbf {x} )\end{cases}}}$

n-변수 기본 용액은 각 변수의 기본 용액의 산물이다. 즉,

${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,t)=\Phi (x_{1},t)\Phi (x_{2},t)\cdots \Phi (x_{n},t)={\frac {1}{\sqrt {(4\pi kt)^{n}}}}\exp \left(-{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }{4kt}}\right).}$

그런ⁿ 다음 R에 대한 열 방정식의 일반적인 용액은 convolution에 의해 얻으므로 u(x, 0) = g(x)로 초기 값 문제를 해결하려면 다음과 같이 한다.

${\displaystyle u(\mathbf {x},t)=\int _{\mathb {R}^{n}\Phi(\mathbf {x} -\mathbf {y},t)g(\mathbf {y} )d\mathbf {y}.}.}}}$

도메인 Ω(Rⁿ)의 일반적인 문제는

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \Omega \times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=g(\mathbf {x} )&\mathbf {x} \in \Omega \end{cases}}}$

Dirichlet 또는 Neumann 경계 데이터 중 하나를 사용하여. 그린의 기능은 항상 존재하지만, 도메인 Ω을 한 가지 변수 문제(아래 참조)로 쉽게 분해할 수 없는 한, 명시적으로 적는 것이 불가능할 수 있다. 그린의 기능을 획득하는 다른 방법으로는 영상의 방법, 변수의 분리, 라플라스 변환 등이 있다(Cole, 2011).

1D로 그린의 기능 솔루션

1차원적인 다양한 초등 그린의 기능 솔루션이 여기에 기록되어 있다. 다른 많은 기능들은 다른 곳에서도 이용할 수 있다.^[7] 이 중 일부에서 공간적 영역은 (-based, probled)이다. 다른 지역에서는 노이만 또는 디리클레 경계 조건이 있는 반무한 간격(0,610)이다. 한 가지 더 큰 변화는 이것들 중 일부는 불균형 방정식을 해결한다는 것이다.

${\displaystyle u_{t}=ku_{xx}+f.}$

여기서 f는 x와 t의 어떤 주어진 기능이다.

동열방정식

초기값 문제(-floss,properties)

${\displaystyle {\begin}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in \mathb {R}\time (0,\infit )\\u(x,0)=g(x)&#text{\text}초기조건}}\종료{케이스}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}\int_{-\inflt }^{\npt{\frac{(x-y)^{2}}{4kt}\g(y)\,dy}$

댓글을 달다. 이 해결책은 기본 해결책의 변수 x에 관한 해결책이다.

${\displaystyle \Phi(x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}\exp \leftleft{x^{2}}:{4kt}\오른쪽),}$

및 함수 g(x). (기본 해결책의 그린의 함수 번호는 X00이다.)

따라서 분화와 관련된 경련체의 일반적 특성에 따르면 u = g ∗ φ은 동일한 열 방정식의 용액이다.

${\displaystyle \left(\partial \{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *g)=\left[partial(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\rig)\\\\\\\\Phi \right]*g=0.}$

게다가

${\displaystyle \Phi(x,t)={\frac {1}{\sqrt{t}\Phi \좌측({\frac {x}{\sqrt{t},1\우측)}$

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\infit }\Phi(x,t)\,dx=1,}$

따라서, 특정 g에 따라, ((,, t) g g → g as t → 0으로 다양한 의미에서의 approx ( by, t)에 대한 일반적인 사실에 의해. 예를 들어, g가 R에서 경계되고 연속된다고 가정할 경우, then((, t) ∗ g는 t → 0으로 균일하게 g로 수렴되며, 이는 u(x, t)가 × [0, ∞)에 u(x, 0) = g(x)로 연속된다는 것을 의미한다.

균일한 디리클레 경계 조건의 (0,93) 초기 값 문제

${\displaystyle {\case}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in[0,\inflt )\input (0,\inflt )\u(x,0)=g(x)&\text{\text}IC}\\u(0,t)=0&{\text{BC}\end{case}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

댓글을 달다. 이 용액은 R로 적절히 확장된 데이터 g(x)에 적용되는 앞의 공식에서 얻는다. 즉, 홀수 함수가 되도록, g(-x) := -g(x)를 모든 x에 대해 허용한다. 이에 상응하여, (-195,63)의 초기 값 문제의 해결은 t의 모든 값에 대한 변수 x에 관한 홀수함수 함수로서, 특히 t를 만족한다.균질 디리클레 경계 조건 u(0, t) = 0. 이 솔루션의 그린의 함수 번호는 X10이다.

균일한 Neumann 경계 조건의 (0,610)의 초기 값 문제

${\displaystyle {\case}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in[0,\inflt )\input (0,\inflt )\u(x,0)=g(x)&\text{\text}IC}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}\end{case}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

댓글을 달다. 데이터를 갖추는도록 하기 위하여 우함수;짝 함수, g(−x)는 것:모든인데 Correspondingly하기 위한 g())가변 x에 t의 모든 가치를 존중하는, R에 초기 값 문제의 해결책은 일정한 기능;0, 그리고 특히, 채택된 방법으로 적절하게 R확장 g())적용 이러한 해결책은 첫번째 해결 방안 공식에서 가져옵니다. smooth, 균일한 Neuman 경계 조건 u_x(0, t) = 0을 만족한다. 이 솔루션의 그린의 함수 번호는 X20이다.

균질 초기 조건과 비균질 디리클레 경계 조건의 문제 (0,92)

${\displaystyle {\case}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in[0,\inflt )\input (0,\inflt )\u(x,0)=0&{\text}IC}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}\end{case}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}{x}{x}{4\pi k(t-s)^{3}}}}}\ex \frac{x^{2}}{4k(t-s)}\ds,\qquad \s for xall_0}$

댓글을 달다. 이 해결책은 의 가변 t에 관한 콘볼루션이다.

${\displaystyle \psi(x,t):=-2k\partial _{x}\Phi(x,t)={\frac {x}{4\pi kt^{3}}}}\exp \left(-{\frac{x^{4kt}}}\오른쪽)}$

및 함수 h(t). φ(x, t)이 근본적인 해결책이기 때문에

${\displaystyle \properties _{t}-k\properties _{x}^{2},}$

함수 ψ(x, t)도 같은 열 방정식의 해법이며, u := ψ h도 분화에 관한 콘볼루션의 일반적 성질 덕택이다. 게다가

${\displaystyle \cHB(x,t)={\frac {1}{x^{2}}}\,\frac \좌측(1,{\frac {t}{x^{2}}}\우측)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infit }\propert (x,t)\,dt=1,}$

즉, 특정 h에 따라 ψ(x, ⋅)에 대한 근사치에 대한 일반적인 사실에 의해, 다양한 의미로 ∗(x, )) h → h as x → 0. 예를 들어, [0, ∞)에서 지원을 받아 R에 연속적으로 h를 가정할 경우, ((x, )) h는 콤팩타에서 x → 0으로 균일하게 수렴되며, 이는 u(x, t)가 u(0, t) = h(t)와 [0, ∞)× [0, ∞)]에 연속된다는 것을 의미한다.

비균질 열 방정식

균일한 초기 조건의 문제(-basic, operative)

댓글을 달다. 이 해결책은 기본 해결책의 변수 x와 t 둘 다에 관한 R의² 경련이다.

${\displaystyle \Phi(x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}\exp \leftleft{x^{2}}:{4kt}\오른쪽),}$

그리고 f(x, t) 함수 f(x, t)는 둘 다 전체 R에² 정의된 것과 같으며 모든 t → 0에 대해 동일한 0을 의미한다. 는 것을 확인한다.

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *f)=f,}$

분포의 언어로 표현되는 것은

${\displaystyle \left(\displaystyle \left)({t}-k\reads _{x}^{2}\오른쪽)\피 =\delta ,}$

여기서 분포 Δ는 디랙의 델타 함수로서, 즉 0에서 평가된다.

균일한 디리클레 경계 조건 및 초기 조건의 (0,92) 문제

${\displaystyle {\case}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in[0,\fty )\incipal(x,0)=0&{\text}IC}\\u(0,t)=0&{\text{BC}\end{case}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds}$

댓글을 달다. 이 용액은 R ×[0,t]로 적절히 확장된 데이터 f(x, t)에 적용되는 앞의 공식에서 얻어서 변수 x의 홀수 함수, 즉 f(-x, t) := -f(x, t)를 모든 x와 t에 대해 허용한다. 이에 상응하여 (-195,63)의 비균형 문제 해결은 t의 모든 값에 대한 변수 x에 관한 홀수 함수로서, 특히 동종 디리클레 경계 조건 u(0, t) = 0을 만족한다.

균일한 Neumann 경계 조건 및 초기 조건의 (0,610) 문제

${\displaystyle {\case}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in[0,\fty )\incipal(x,0)=0&{\text}IC}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}\end{case}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds}$

댓글을 달다. 이 용액은 R ×[0,t]로 적절히 확장된 데이터 f(x, t)에 적용되는 첫 번째 공식에서 얻어서 변수 x의 고른 함수, 즉 f(-x, t) := f(x, t)를 모든 x와 t에 대해 허용한다. 이에 상응하여 (-195,63)의 비균형 문제 해결은 t의 모든 값에 대한 변수 x에 관한 짝수 함수로서, 특히 부드러운 함수로서 동종 Neumann 경계 조건 u_x(0, t) = 0을 만족한다.

예

열 방정식은 선형이기 때문에 위의 그린의 함수 용액의 적절한 선형 조합을 취함으로써 경계 조건, 비균형 항 및 초기 조건의 다른 조합의 용액을 찾을 수 있다.

예를 들어, 해결하기 위해

$\displaystyle {\begin}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in \mathb {R}\time (0,\infit )\\u(x,0)=g(x)&\text{\text}IC}\end{case}}$

let u = w + v를 사용하여 문제를 해결하십시오.

${\displaystyle {\begin}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&(x,t)\in \mathb {R}\time (0,\\\\v(x,0)=0,\,w(x)=g,&{\cext}\n\\\\\\cext}\cext}IC}\end{case}}$

마찬가지로, 해결하기 위해

${\displaystyle {\case}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in[0,\inflt )\in[0,\inflt )\\u(x,0)=g(x)&#text{\text}IC}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}\end{case}}$

let u = w + v + r 여기서 w, v 및 r이 문제를 해결함

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&{\text{IC}\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&{\text{BC}\end{case}}$

열 방정식의 평균 값 특성

열 방정식의 해법

${\displaystyle(\partial _{t}-\Delta )u=0}$

조화 함수의 평균 값 속성과 유사한 평균 값 속성을 만족시키다.

${\displaystyle \Delta u=0,}$

좀 더 복잡하긴 하지만 정확히, 만약 당신이 해결한다면

${\displaystyle(\partial _{t}-\Delta )u=0}$

그리고

$[\디스플레이 스타일(x, (x,t)E_{\lambda }\subset \mathrm {dom}(u)}$

그때

${\displaystyle u(x,t)={\frac {\lambda }{4}\int _{E_{\lambda }}{\frac{x-y,t-s){{{2}}:{s^{2}}:ds}ds\,dy,}$

여기서 E는_λ "열공"이며, 이는 열 방정식의 기본 용액의 초수준 집합이다.

${\displaystyle E_{\lambda }:=\{(y,s):\Phi (y,s)>\lambda \}}$

${\displaystyle \Phi(x,t):=(4t\pi )^{-{{\frac {n}{2}}:}\exp \left(-{\frac { x ^2}}:{4t}\오른쪽).}$

에 유의하십시오.

${\displaystyle \mathrm {diam}(E_{\lambda }}=o(1)}$

λ → ∞으로, 위의 공식은 λ의 크기가 충분히 큰 (open) set dom(u)의 어떤 (x, t)에 대해 유지된다.^[8] 이것은 조화 함수에 대한 유사 인수와 유사한 인수로 나타낼 수 있다.

정상 상태 열 방정식

정상 상태 열 방정식은 시간에 따라 결정되지 않는다. 즉 다음과 같은 조건이 존재한다고 가정한다.

${\displaystyle {\frac {\property u}{\put t}=0}$

이 조건은 시간 상수와 경계 조건이 부과된 이후 경과한 시간에 따라 달라진다. 따라서 이 조건은 시간 의존도가 높은 열 방정식을 정상 상태의 사례에 의해 근사하게 추정할 수 있을 정도로 시간 평형 상수가 빠른 상황에서 충족된다. 균등하게, 충분한 시간이 경과하여 열장이 더 이상 시간 내에 진화하지 않는 모든 경우에 대해 정상 상태 조건이 존재한다.

정상 상태의 경우 공간 열 경사가 존재할 수 있지만(또는 없을 수 있음) 있다면 시간에 따라 변하지 않는다. 따라서 이 방정식은 선원이 켜지는 모든 열 문제(예: 자동차에서 엔진이 시동됨)의 최종 결과를 설명하고, 모든 영구 온도 구배가 우주에서 스스로 자리 잡을 수 있도록 충분한 시간이 경과한 후 이러한 공간 구배는 더 이상 시간에서 변하지 않는다(다시 말해 자동차와 함께). (엔진이 충분히 오래 작동한 상태임) 다른 (비교적) 해결책은 모든 공간 온도 구배도 사라지는 것이고, 이 경우 공간에서도 온도가 균일해진다.

이 방정식은 열전달 과정의 동력에 초점을 맞추지 않고 물질의 물리학을 더 잘 이해하는데 도움을 줄 수 있다. 그것은 시간과 함께 온도장과 열 수송의 평형이 있다고 가정하는 단순한 공학적 문제에 널리 사용된다.

정상 상태 조건:

${\displaystyle {\frac {\property u}{\put t}=0}$

열원을 포함하는 부피의 정상 상태 열 방정식(비균종 사례)은 포아송의 방정식이다.

${\displaystyle -k\dlla ^{2}u=q}$

여기서 u는 온도, k는 열전도율, q 선원의 열전도율 밀도.

전기 공학에서 이것은 고려 중인 공간에 전하가 포함된 경우에 해당한다.

체적 내에 열원이 없는 정상 상태 열 방정식(동질 케이스)은 전하를 포함하지 않는 자유 공간의 체적 전기학 방정식이다. 라플레이스의 방정식으로 설명된다.

${\displaystyle \nabla ^{2}u=0}$

적용들

입자확산

다음 중 하나를 포함하는 방정식에 의해 입자 확산을 모델링할 수 있다.

• 다량의 입자가 집단적으로 확산되는 경우 c로 표시된 입자의 체적 농도 또는
• P로 표시된 단일 입자의 위치와 관련된 확률 밀도 함수.

어느 경우든 열 방정식을 사용한다.

${\displaystyle c_{t}=D\Delta c,}$

또는

${\displaystyle P_{t}=D\Delta P.}$

c와 P는 모두 위치와 시간의 함수다. D는 확산 공정의 속도를 제어하는 확산계수로, 일반적으로 초당 제곱 미터로 표현된다. 확산 계수 D가 일정하지는 않지만 농도 c에 따라 달라지는 경우(또는 두 번째 경우 P), 비선형 확산 방정식을 얻는다.

브라운 운동

확률론적 $공정{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X$}을(를) 확률론적 미분 방정식의 솔루션이 되도록$$ 한다.

${\displaystyle {\begin}\mathrm {d}X_{t}={\sqrt {2k}\;\mathrm {d}B_{t}\X_{0}=0\case}}}}}}}$

여기서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) Wiener 프로세스(표준 브라운 운동)이다. $그런{\displaystyle }$ 다음 X ${\displaystyle X}$의 확률밀도함수가 다음 기준으로$$ 언제든지 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 제공됨$$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}\ex \frac{x^{2}}:{4kt}\오른쪽)}$

어떤 것이 초기 가치 문제의 해결책인가?

${\displaystyle {\begin}u_{t}-ku_{xx}(x,t)=0,&(x,t)\in \mathb {R} \time (0,+\infty )\u(x,0)=\delta(x)\case}}}.$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은(는) Dirac 델타 함수다.

자유 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식

간단한 분할을 통해 적용된 힘장이 없는 경우 질량 m의 단일 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같은 방법으로 다시 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\psi }_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle i\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\hslash }{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{2m}}{}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \psi _{t}={\frac {i\hbar }{2m}}\Delta \psi$ $\},$

여기서 i는 상상의 단위, ħ은 축소된 플랑크의 상수, ψ은 입자의 파동함수다.

이 방정식은 다음과 같은 변환을 통해 얻는 입자 확산방정식과 형식적으로 유사하다.

${\displaystyle {\begin}c(\mathbf {R},t)&\to \psi(\mathbf {R},t)\\D&\to {\frac {i\hbar }{2m}\end{aigned}}}}$

입자확산의 경우 결정된 녹색함수의 표현에 이 변환을 적용하면 슈뢰딩거 방정식의 녹색함수가 산출되며, 이는 t = 0:의 파동함수에 대한 적분을 통해 언제든지 파동함수를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \psi(\mathbf {R},t)=\int \psi \left(\mathbf {R} ^0},t=0\right)G\왼쪽(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{0},t\right)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}}}}$

와 함께

${\displaystyle G(\mathbf {R},t)=\왼쪽({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\오른쪽)^{3/2}e^{-{\frac {\mathbf {R}{2}m}{2i\hbar t}}}}}.}$

비고: 양자 역학과 확산 사이의 이러한 비유는 순전히 형식적인 것이다. 물리적으로 슈뢰딩거 방정식을 만족시키는 파동함수의 진화는 확산 이외의 기원을 가질 수 있다.

폴리머의 열 확산성

구면 좌표에서 푸리에 이론과 함께 열 방정식을 직접 실용적으로 적용하는 것은 열 전달 프로파일의 예측과 폴리머(Unsworth 및 Duarte)에서의 열 확산도 측정이다. 이 이중 이론 실험 방법은 고무, 기타 여러 가지 실용적 관심의 고분자 물질, 마이크로플루이드 등에 적용할 수 있다. 이 저자들은 구체 T의_C 중심에 있는 온도에 대한 표현을 도출했다.

${\displaystyle {\frac {T_{C}-T_{S}}{T_{0}-T_{S}}}=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\exp \left({-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}\right)}$

여기서 T는₀ 구의 초기 온도이고 T는_S 구 표면의 온도, 반지름 L이다. 이 방정식은 또한 생물물리학에서 단백질 에너지 전달과 열 모델링에 응용되는 것을 발견했다.

추가 애플리케이션

열 방정식은 여러 현상의 모델링에서 발생하며 옵션 모델링에서 금융 수학에서 종종 사용된다. 블랙-숄즈 옵션 가격 결정 모델의 미분 방정식은 열 방정식으로 변환될 수 있어 친숙한 수학 본문에서 비교적 쉬운 해법이 가능하다. 단순 옵션 모델에 대한 대부분의 확장은 폐쇄형 폼 솔루션을 가지고 있지 않으므로 모델링된 옵션 가격을 얻기 위해서는 숫자적으로 해결되어야 한다. 다공성 매체에서의 압력 확산을 설명하는 방정식은 열 방정식과 형태가 동일하다. 디리클레, 노이만, 로빈 경계 조건을 다루는 확산 문제는 형태 분석 솔루션(Thambynayagam 2011)을 닫았다. 열 방정식은 또한 이미지 분석(Perona & Malik 1990)과 기계 학습에서도 스케일 공간이나 그래프 라플라크 방법 뒤에 숨은 구동 이론으로 널리 사용된다. 열 방정식은 (Crank & Nicolson 1947)의 암묵적 Crank-Nicolson 방법을 사용하여 수치로 효율적으로 해결할 수 있다. 예를 들어, 이 방법은 닫힌 폼 솔루션이 없는 많은 모델까지 확장될 수 있다(Wilmott, Howison & Dewyne 1995).

다지관의 열 방정식의 추상적인 형태는 아티야-싱어 지수 정리에 주요한 접근법을 제공하며, 리만 기하학의 열 방정식에 대한 훨씬 더 많은 연구를 가져왔다.

참고 항목

• 칼로리 다항식
• 곡선단축유동
• 확산방정식
• 상대성 열전도
• 슈뢰딩거 방정식
• 바이에스트라스 변환

메모들

참조

• Cannon, John Rozier (1984), The one–dimensional heat equation, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 23, Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, ISBN 0-201-13522-1, MR 0747979, Zbl 0567.35001
• Crank, J.; Nicolson, P. (1947), "A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of the Heat-Conduction Type", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 43 (1): 50–67, Bibcode:1947PCPS...43...50C, doi:10.1017/S0305004100023197
• Evans, Lawrence C. (2010), Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, 19 (2nd ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4974-3
• Perona, P; Malik, J. (1990), "Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion" (PDF), IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 12 (7): 629–639, doi:10.1109/34.56205
• Thambynayagam, R. K. M. (2011), The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers, McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1
• Wilmott, Paul; Howison, Sam; Dewynne, Jeff (1995), The mathematics of financial derivatives. A student introduction, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-49699-3

추가 읽기

• Carslaw, H.S.; Jaeger, J.C. (1988), Conduction of heat in solids, Oxford Science Publications (2nd ed.), New York: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9
• Cole, Kevin D.; Beck, James V.; Haji-Sheikh, A.; Litkouhi, Bahan (2011), Heat conduction using Green's functions, Series in Computational and Physical Processes in Mechanics and Thermal Sciences (2nd ed.), Boca Raton, FL: CRC Press, ISBN 978-1-43-981354-6
• Einstein, Albert (1905), "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen", Annalen der Physik, 322 (8): 549–560, Bibcode:1905AnP...322..549E, doi:10.1002/andp.19053220806
• Friedman, Avner (1964), Partial differential equations of parabolic type, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall
• Unsworth, J.; Duarte, F. J. (1979), "Heat diffusion in a solid sphere and Fourier Theory", Am. J. Phys., 47 (11): 891–893, Bibcode:1979AmJPh..47..981U, doi:10.1119/1.11601
• Widder, D.V. (1975), The heat equation, Pure and Applied Mathematics, 67, New York-London: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]

외부 링크

위키다양성은 열 방정식에 대한 학습 자원을 가지고 있다.

위키미디어 커먼즈에는 열 방정식과 관련된 미디어가 있다.

• 열 방정식의 유도
• 선형 열 방정식: 특정 솔루션 및 경계 값 문제 - EqWorld에서 발생
• "The Heat Equation". PBS Infinite Series. November 17, 2017 – via YouTube.