위상형 분포

Phase-type distribution
위상형식
매개변수 , S 하위 생성기 행렬
확률벡터
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위상형 분포는 콘볼루션 또는 지수 분포의 혼합에 의해 구성된 확률 분포다.[1] 그것은 하나 이상의 상호관련된 포아송 공정의 체계에서 비롯된다. 각각의 단계가 일어나는 순서는 그 자체가 확률적인 과정일 수 있다. 분포는 하나의 흡수 상태를 가진 마르코프 공정이 흡수될 때까지의 시간을 설명하는 랜덤 변수로 나타낼 수 있다. 마르코프 프로세스의 각 상태는 단계 중 하나를 나타낸다.

이산 시간 등가 - 이산 위상 유형 분포를 가진다.

위상형 분포의 집합은 모든 양의 값 분포의 분야에서 밀도가 높다. 즉, 모든 양의 값 분포의 근사치를 위해 사용할 수 있다.

정의

m + 1 상태의 연속 시간 마르코프 프로세스를 고려하십시오. 여기서 m ≥ 1은 상태 1, ...m은 과도 상태이고 상태 0은 흡수 상태임. 또한 확률 벡터(α0,α)가 제공한 m + 1상 중 어느 하나에서든지 공정이 시작할 초기 확률을 갖도록 한다. 여기서 α0 스칼라, α는 1 × m 벡터다.

연속 위상형 분포는 상기 공정의 시작부터 흡수 상태에서 흡수될 때까지의 시간의 분포다.

프로세스는 전환율 매트릭스의 형태로 작성될 수 있다.

여기서 Sm × m 행렬이고 S0 = –S1이다. 여기서 1m × 1 열 벡터를 나타내며, 모든 원소는 1이다.

특성화

공정이 흡수 상태에 도달할 때까지 시간 X의 분포는 위상형 분포라고 하며 PH(α,S)로 표시된다.

X의 분포 함수는 다음과 같다.

그리고 밀도함수,

모든 x > 0에 대해, 여기서 exp( · )은 행렬 지수다. 일반적으로 흡수 상태에서 공정이 시작될 확률은 0(즉, α0= 0)이라고 가정한다. 분포 함수의 모멘트는 다음과 같다.

위상 유형 분포의 Laplace 변환은 다음을 통해 제공된다.

가 정체성 매트릭스인 곳이지

특례

다음의 확률 분포는 모두 연속 위상 유형 분포의 특수한 경우로 간주된다.

  • 퇴행 분포, 점 질량이 0이거나 빈 위상 유형 분포 – 0 위상
  • 지수 분포 – 1상.
  • Erlang 분포 – 순서에 따라 2개 이상의 동일 위상
  • 결정론적 분포(또는 상수) – 위상 수가 무한해지고 각 상태의 시간이 0이 되면서 에를랑 분포의 제한 사례.
  • Coxian 분포 – 각 단계 후 종단/흡수 상태로 전환될 확률을 가진 2개 이상의 단계(필수적으로 동일하지는 않음)
  • 각각이 상호 배타적이거나 평행한 방식으로 발생할 확률을 갖는 과급수 분포(지수성의 혼합이라고도 함) – 2개 이상의 비식별적 단계. (참고: 지수 분포는 모든 평행 단계가 동일할 때 퇴보하는 상황이다.)
  • 저자극 분포 – 순차적으로 2개 이상의 위상이 비식별적이거나 동일하고 비식별적인 위상의 혼합일 수 있으며, Erlang을 일반화한다.

위상형 분포는 모든 양의 값 분포 분야에서 밀도가 높기 때문에, 우리는 어떠한 양의 값 분포도 나타낼 수 있다. 그러나 위상형은 가벼운 꼬리 또는 평판 분포다. 따라서 위상 유형별 헤비테일 또는 렙토쿠르틱 분포의 표현은 근사치의 정밀도가 우리가 원하는 만큼 좋을 수 있다 하더라도 근사치가 된다.

다음의 모든 예에서 0에는 확률 질량이 없다고 가정한다. 즉, α0 = 0이다.

지수 분포

위상형 분포의 가장 단순한 비경쟁적 예는 모수 λ의 지수 분포다. 위상형 분포의 모수는 S = -³ 및 α = 1이다.

과급수 또는 지수 분포의 혼합

지수 분포 또는 과배수 분포와 λ1, λ2n, ..., 0>0의 혼합은 위상 유형 분포로 나타낼 수 있다.

= i= 1 }

지수 분포 랜덤 변수의 밀도 혼합은 다음을 통해 특성화할 수 있다.

또는 누적분포함수

~ E ( i ) 포함

얼랑 분포

에를랑 분포는 두 개의 매개변수를 가지고 있는데, 모양은 정수 k > 0과 비율 λ > 0이다. 이것은 때때로 E(k, λ)로 표기된다. 에를랑 분포는 상태 1에서 출발할 확률을 1과 같게 하여 S를 대각선 원소 - λ과 초대각선 원소 λ의 k×k 행렬로 만들어 위상형 분포의 형태로 작성할 수 있다. 예를 들어, E(5,610),

그리고

주어진 위상 수에 대해 Erlang 분포는 변동 계수가 가장 작은 위상 유형 분포다.[2]

저자극 분포는 전환(비균종 사례)마다 다른 비율을 가지면서 에를랑 분포를 일반화하는 것이다.

에를랑 분포의 혼합물

두 Erlang 분포와 파라미터 E(3,312,3), E(3,3), (α12)의 혼합물(α1 + α2 = 1 및 각 i에 대해 αi ≥ 0)은 위상 유형 분포로 나타낼 수 있다.

그리고

콕시안 분포

Coxian 분포Erlang 분포의 일반화다. 상태 k에서 흡수 상태로만 들어갈 수 있는 대신에 그것은 어떤 단계에서도 도달할 수 있다. 위상 유형 표현은 다음을 통해 제공된다.

그리고

여기1 0 < p,...,pk-1 ≤ 1. 모든i p = 1인 경우 Erlang 분포가 있다. 모든 반복 위상 유형 분포가 등가 Coxian 표현을 가지기 때문에 Coxian 분포는 매우 중요하다.

일반화된 Coxian 분포는 첫 번째 단계에서 시작해야 하는 조건을 완화한다.

특성.

독립 PH 랜덤 변수의 미니마

지수 분포와 유사하게 PH 분포의 등급은 독립 랜덤 변수의 최소값에서 닫힌다. 이것에 대한 설명이 여기에 있다.

위상 유형 분산 랜덤 변수에서 표본 생성

BuTools에는 위상 유형 분산 랜덤 변수에서 샘플을 생성하는 방법이 포함되어 있다.[3]

기타 분포 근사치

모든 분포는 위상 유형 분포에 의해 임의로 잘 근사할 수 있다.[4][5] 그러나 실제로 근사 공정의 크기가 고정되면 근사치가 불량할 수 있다. 시간 1의 결정론적 분포와 10상 간의 근사치로, 평균 길이 0.1의 각 분산이 0.1(어랑 분포의 분산이[2] 가장 작기 때문에).

  • BuTools 3개의 지정된 순간에 위상 유형 분포를 맞추기 위한 Mathematica 스크립트Mathematica 스크립트
  • 최소 위상 유형 분포를 지정된 3개의[6] 모멘트에 맞추기 위해 MATLAB 스크립트를 모멘트 매칭
  • KPC-툴박스 MATLAB 스크립트 라이브러리를 Markovian 도착 프로세스 및 단계 유형 배포에 경험적 데이터셋을 적합시킨다.[7]

데이터에 위상 유형 분포 적합

데이터에 위상 유형 분포를 적합시키는 방법은 최대우도 방법 또는 모멘트 일치 방법으로 분류할 수 있다.[8] 위상 유형 분포를 큰꼬리 분포에 적합시키는 것이 일부 상황에서는 실용적인 것으로 나타났다.[9]

  • Ph불연속 위상 유형 분포를 데이터에[10] 적합시키기 위한 C 스크립트 적합
  • EMPht 기대-최대화 알고리즘을 사용하여 데이터 또는 모수 분포에 위상 유형 분포를 적합시키기 위한 C 스크립트다.[11]
  • 하이퍼스타는 광범위한 영역에서 위상형 분포를 활용하기 위해 위상형 피팅을 단순하고 사용자 친화적으로 만들겠다는 핵심 아이디어를 중심으로 개발됐다. 그래픽 사용자 인터페이스를 제공하고 사용자 상호 작용이 거의 없는 상태에서 적합한 결과를 산출한다.[12]
  • jPhase는 Java 라이브러리로서, 적합한 위상[13] 유형 분포를 사용하여 대기열에 대한 메트릭을 계산할 수도 있다.

참고 항목

참조

  1. ^ Harchol-Balter, M. (2012). "Real-World Workloads: High Variability and Heavy Tails". Performance Modeling and Design of Computer Systems. p. 347. doi:10.1017/CBO9781139226424.026. ISBN 9781139226424.
  2. ^ Jump up to: a b Aldous, David; Shepp, Larry (1987). "The least variable phase type distribution is erlang" (PDF). Stochastic Models. 3 (3): 467. doi:10.1080/15326348708807067.
  3. ^ Horváth, G. B.; Reinecke, P.; Telek, M. S.; Wolter, K. (2012). "Efficient Generation of PH-Distributed Random Variates". Analytical and Stochastic Modeling Techniques and Applications. Lecture Notes in Computer Science. 7314. p. 271. doi:10.1007/978-3-642-30782-9_19. ISBN 978-3-642-30781-2.
  4. ^ Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor S. (1998). "Steady-State Solutions of Markov Chains". Queueing Networks and Markov Chains. pp. 103–151. doi:10.1002/0471200581.ch3. ISBN 0471193666.
  5. ^ Cox, D. R. (2008). "A use of complex probabilities in the theory of stochastic processes". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 51 (2): 313. doi:10.1017/S0305004100030231.
  6. ^ Osogami, T.; Harchol-Balter, M. (2006). "Closed form solutions for mapping general distributions to quasi-minimal PH distributions". Performance Evaluation. 63 (6): 524. doi:10.1016/j.peva.2005.06.002.
  7. ^ Casale, G.; Zhang, E. Z.; Smirni, E. (2008). "KPC-Toolbox: Simple Yet Effective Trace Fitting Using Markovian Arrival Processes". 2008 Fifth International Conference on Quantitative Evaluation of Systems (PDF). p. 83. doi:10.1109/QEST.2008.33. ISBN 978-0-7695-3360-5.
  8. ^ Lang, Andreas; Arthur, Jeffrey L. (1996). "Parameter approximation for Phase-Type distributions". In Chakravarthy, S.; Alfa, Attahiru S. (eds.). Matrix Analytic methods in Stochastic Models. CRC Press. ISBN 0824797663.
  9. ^ Ramaswami, V.; Poole, D.; Ahn, S.; Byers, S.; Kaplan, A. (2005). "Ensuring Access to Emergency Services in the Presence of Long Internet Dial-Up Calls". Interfaces. 35 (5): 411. doi:10.1287/inte.1050.0155.
  10. ^ Horváth, András S.; Telek, Miklós S. (2002). "PhFit: A General Phase-Type Fitting Tool". Computer Performance Evaluation: Modelling Techniques and Tools. Lecture Notes in Computer Science. 2324. p. 82. doi:10.1007/3-540-46029-2_5. ISBN 978-3-540-43539-6.
  11. ^ Asmussen, Søren; Nerman, Olle; Olsson, Marita (1996). "Fitting Phase-Type Distributions via the EM Algorithm". Scandinavian Journal of Statistics. 23 (4): 419–441. JSTOR 4616418.
  12. ^ Reinecke, P.; Krauß, T.; Wolter, K. (2012). "Cluster-based fitting of phase-type distributions to empirical data". Computers & Mathematics with Applications. 64 (12): 3840. doi:10.1016/j.camwa.2012.03.016.
  13. ^ Pérez, J. F.; Riaño, G. N. (2006). "jPhase: an object-oriented tool for modeling phase-type distributions". Proceeding from the 2006 workshop on Tools for solving structured Markov chains (SMCtools '06) (PDF). doi:10.1145/1190366.1190370. ISBN 1595935061.
  • M. F. Neuts (1975), 위상 유형의 확률 분포, In Liber Amicorum Professor. 명예 H. 플로린, 173-206페이지 루바인 대학
  • M. F. Neuts. 확률론적 모델의 매트릭스-지오메트릭스 솔루션: 알고리즘 접근법, 2장: 위상 유형의 확률 분포; 도버 출판물 Inc., 1981.
  • G. 라투슈, V. 라마스와미. Stochastic Modeling의 Matrix Analytic Methods 소개, 제1판 제2장: PH 분포; ASA SIAM, 1999.
  • C. A. O'Cinneide (1990). 위상 유형 분포의 특성화. 통계에서의 통신: 확률론적 모델, 6(1), 1-57.
  • C. A. O'Cinneide(1999년). 단계 유형 분포: 개방형 문제와 가지 특성, 통계에서의 통신: 확률론적 모델, 15(4), 731-757.