분석적 연속성

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수학의 한 분야인 복잡한 분석에서 분석적 연속성은 주어진 분석함수의 정의 영역을 확장하는 기법이다.분석적 연속성은 종종 함수의 추가 값 정의에 성공하는데 성공하는데, 예를 들어, 함수가 초기에 정의되는 측면에서 무한 시리즈 표현이 다른 새로운 영역에서 성공한다.null

그러나 단계적 연속 기술은 어려움에 직면할 수 있다.이러한 것들은 본질적으로 위상학적 성격을 가지고 있어 불일치로 이어질 수 있다(둘 이상의 가치를 정의).그들은 대안으로 특이점의 존재와 관련이 있을 수 있다.여러 가지 복잡한 변수의 경우는 다소 다른데, 그 이유는 특이점들이 고립될 필요가 없고, 그것의 조사가 피복 코호몰로지 발달의 주요한 이유였기 때문이다.null

초기토론

f가 복잡한 평면 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 비어 있지 않은 열린 부분 집합 U에 정의된 분석 함수라고 가정합시다$.$ V가 U를 포함하는 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 큰 열린 부분 집합이고 F가 V에 정의된 분석 함수인 경우

$\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

그 다음에 F는 f의 분석적 연속이라고 불린다.즉, F to U의 제한은 우리가 시작했던 f의 기능이다.null

분석 연속성은 다음과 같은 점에서 고유하다: V가 두 분석 함수 F와₁ F의₂ 연결된 영역인 경우 U는 V에 포함되고 모든 z는 U에 포함된다.

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),}$

그때

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

V에.F₁ - F는₂ f의 개방된 연결 도메인 U에서 사라지기 때문에 전체 도메인에서 사라져야 하기 때문이다.이것은 홀로모르프 함수에 대한 정체성 정리에서 바로 뒤따른다.null

적용들

복잡한 분석에서 함수를 정의하는 일반적인 방법은 먼저 작은 도메인에서만 함수를 지정한 다음 분석적 연속성에 의해 함수를 확장하는 것이다.null

실제로 이러한 지속은 작은 영역에 먼저 어떤 기능 방정식을 설정한 다음 이 방정식을 사용하여 도메인을 확장함으로써 종종 이루어진다.리만 제타 함수와 감마 함수를 예로 들 수 있다.null

유니버설 커버의 개념은 분석 기능의 분석적 연속성을 위한 자연 영역을 정의하기 위해 처음 개발되었다.함수의 최대 분석적 연속성을 차례로 찾아내는 발상은 리만 표면의 발상으로 이어졌다.null

작업 예제

특정 분석 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$로 시작$.$ 이 경우 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ z$=1$}을(를$)$ 중심으로 한 파워 시리즈에 의해 주어진다$.$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infit }-1)^{k}(z-1)^{k}}$

카우치-하다마드 정리로는 수렴 반경이 1이다.That is, ${\displaystyle f}$ is defined and analytic on the open set ${\displaystyle U=\{ z-1 <1\}}$ which has boundary ${\displaystyle \partial U=\{ z-1 =1\}}$. Indeed, the series diverges at ${\displaystyle z=0\in \partial U}$.

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)=1/z}$을$($를) 모르는 척하고, 다른 지점에서 파워 시리즈를 업데이트하는 데 집중하십시오.${\displaystyle a}$ U ${\displaystyle a\in U$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\\infit }a_{k}(z-a)^{k}}}$

${\displaystyle k_{}}$ ${\$s를$$계산하여 이 새 파워 시리즈가 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에 포함되지 않은$$ $오픈{\displaystyle }$ 세트 V ${\displaystyle V}$에 수렴되는지 여부를 결정하며$,$ 그렇다면 엄격한$$ ${\displaystyle U\cup V}$에 대해 분석적으로 계속 $f{\displaystyle }$ ${\daystylease f}$을 수행하게 된다.$ly$가 U ${\displaystyle U}$보다 크다$.$

는{\displaystyle}까지의 거리 U{\partial\displaystyle U}∂에=1− 1>−;0{\displaystyle \rho =1- a-1>0}.;;{\displaystyle}에 반지름 r{r\displaystyle}의 D{D\displaystyle} 디스크자 0<>r<>ρ{0<, r<, \rho\displaystyle}세요;그리고 르ρ 있다.t∂ D{\disp$레이스타일 \partial D}$이(가) 경계선이 된다$$.$그{\displaystyle }$ 다음 D ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle Du}$ U ${\displaystyle D\cup \partial$D\$subset$ U$\}.$ Cauchy의 분화 공식을 사용하여 새로운 계수를 계산한다.

${\displaystyle {\displaysty}a_{k}&={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{\partial D}{\frac {(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a+re^{i\theta }-1)^{n}rie^{i\theta }d\theta }{(re^{i\theta })^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a-1+re^{i\theta })^{n}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\sum _{m=0}^{n}{\binom{n}{n1}:{n-m}(re^{i\theta })^{m}d\theta }{{m^{i\theta }}{k}}\\&=(-1)^{k^{k-1}{-k-1}\end{igned}}}}}}}}}}}}$

그것은

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}={\frac {1}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k},}$

어느, V={<>− z,}.{\displaystyle V=\{z-a<>;\}.}U{U\displaystyle}의 만약 우리가 을과∈ U{\displaystylea\in U};1{\displaystyle a>1}을 고른다면, V{V\displaystyle}가 아니다 부분 집합이고 수렴 반지름은{\displaystyle}을 가지고 있다.실제로($U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$보다 영역에 rger$.$ $그림$에는 a${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 2}$( ${\displaystyle 3}$+ i${\displaystyle }$) .${\displaystyle$ a$={\tfrac {1}{1$}:{2$}}(3+i$)에 대한 결과가 표시된다$.$$}$

프로세스를 계속 진행할 수 있다: $b{\displaystyle }$u ${\displaystyle U}$v ${\displaystyle V}${\$displaystyle b\in$U\$cup$ V$}$을(를) 선택하고$,$ $b{\displaystyle }${\$displaystyle$b$\}$에서 파워 시리즈를 최신화하고, 새 파워 시리즈가 수렴되는 위치를 결정한다.지역에 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\cup V}$이$($가) 포함되지 않은 점이 포함되어 있다면, 우리는$$ 분석적으로 $더{\displaystyle }$ 먼 f$${\$displaystyle f}$을(를) 가질 것이다.이 특정 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 펑크 난 복잡한 $평면{\displaystyle \mathbb{}}$ C ${\displaystyle \setminus }${ 0${\displaystyle }$} . ${\displaystyle \mathb$ {$C} \setminus$\{$0\}$까지 분석적으로 계속할 수 있다$$.$}$

세균의 공식적 정의

아래에 정의한 권력 시리즈는 세균의 개념에 의해 일반화된다.분석적 연속성의 일반 이론과 그 일반화는 피복 이론으로 알려져 있다.내버려두다

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infit }\property _{k}(z-z_{0})^{k}}}}}$

다음과 같이 정의된 디스크 D_r(z₀), r > 0에 수렴하는 파워 시리즈이다.

( )={ z C: - < ${\displaystyle D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathb {C}$: $z-_{0} <r$

일반성의 상실 없이, 여기서 아래로, 비록 r이 ∞일지라도, 우리는 항상 그러한 r의 최대치가 선택되었다고 가정할 것이다.또한 일부 소형 오픈 세트에 정의된 분석 함수로 시작하는 것과 동등하다는 점에 유의하십시오.우리는 벡터가

${\displaystyle g=(z_{0},\filename _{0},\filename _{1},\ldots )}$

f의 세균이다.g의 base g는₀ z이고₀, g의 줄기는 (α₀, α₁, α₂, ...), g의 상단₁ g는 α이다₀.g의 상단은 z에서 f의₀ 값이다.null

임의 벡터 g = (z₀, α₀, α₁, ...)는 어느 정도 수렴 r의 반경이 0 이상인 z 주위에₀ 있는 분석함수의 파워 시리즈를 나타낸다면 세균이다.따라서 우리는 세균 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\$mathcal{G}}$에 대해 안전하게 말할 수 있다$.$

세균 집합의 위상

g와 h를 세균이 되게 하라.h - 0< r < ${\displaystyle h_{0}-g_{0$}-{0}-{0$}}$ <$r}>$가 g의 수렴 반지름이고 g와 h가 정의한 파워 시리즈가 두 도메인의 교차점에 동일한 함수를 지정하면 h는 g에 의해 생성(또는 호환)된다고 말하고 g ≥ h를 쓴다.이 호환성 조건은 전이적, 대칭적 또는 대칭적이지 않다.우리가 transitability로 관계를 확장하면 대칭적 관계를 얻게 되는데, 따라서 균에 대한 동등성 관계(순서가 아니라)이기도 하다.Transitability에 의한 이 확장은 분석적 연속성의 정의 중 하나이다.동등성 관계는 $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$로 표시된다$.$

$우리$는 G$${\$displaystyle${\$mathcal {G}$에 위상을 정의할 수 있다$.$ Let r > 0, and let let let right.

${\displaystyle U_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}:g\geq h, g_{0}-h_{0} <r\}.}$

세트 U_r(g)는 ${\displaystyle 모든\mathcal{}}$ r > 0 및 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ G ${\$에 대해 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 토폴로지에 대한 오픈 세트의 기초를 정의한다$.$

$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$즉, 동등성 클래스)의 연결된 성분을 sheaf라고 한다.우리는 또한 ${\displaystyle g_{}}$g (${\displaystyle h}$) = ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ : ${\displaystyle U_{}}$r (${\displaystyle g}$) →${\displaystyle C\mathbb{}}$ ,$${\$displaystyle \pi$ _${g}(h)=h_{0}:$에 의해 정의된 지도에 주목한다.U_${r}(g)\to \mathb {C},},$ 여기서 r은 g의 수렴 반지름이다.이러한 차트 세트는 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$G$$}$에 대한 지도책을 구성하므로 G ${\$mathcal {G}}은$($는) Riemann 표면이다$.$${\displaystyle \mathcal{G}}$ ${\$은(는) 범용 분석함수라고도 한다$$.null

분석적 연속성의 예

${\displaystyle L(z)=\sum _{k=1}^{{k=1}^{\frac {(-1)^{k+1}{k+1}:{k}}}{k-1)^{k}}}}}}$

z = 1에 가까운 자연 로그에 해당하는 파워 시리즈.이 파워 시리즈는 세균으로 변할 수 있다.

${\displaystyle g=\왼쪽(1,0,1,-{\frac {1}{1}:{1}:{1}:{1}:{1},-{\frac {1}{3},-{\frac {1}{5},-{\frac {1}{6},\ldots \right}}}}$

이 세균은 수렴 반경이 1이므로 이에 해당하는 피복 S가 있다.이것은 로그 함수의 피복이다.null

분석함수의 고유성 정리는 분석함수의 덩어리로도 확장된다: 분석함수의 껍질이 0 세균(즉, 일부 근방에서 피복은 균일하게 0)을 포함하면 피복 전체가 0이다.이 결과로 무장한 우리는 위에서 설명한 바와 같이 로그함수의 sheaf S의 세균 g를 취하여 power series f(z)로 바꾸면 이 함수는 exp(f(z) = z가 되는 속성을 가지게 된다는 것을 알 수 있다. 만약 우리가 분석함수에 역함수 정리 버전을 사용하기로 결정했다면, 우리는 매우 다양한 o를 구성할 수 있었다.기하급수적인 지도에 대한 반대는, 하지만 우리는 그것들이 모두 S에서 어떤 세균에 의해 대표된다는 것을 발견할 것이다.그런 의미에서 S는 지수지도의 "하나의 참된 역"이다.null

구 문헌에서는 분석함수의 묶음을 다값함수라고 불렀다.일반적인 개념은 sheaf를 참조하십시오.null

자연경계

전원 시리즈가 수렴 r의 반경을 가지고 있고 해당 디스크 내부의 분석 함수 f를 정의한다고 가정합시다.수렴 원 위의 점을 고려한다.f가 분석적 확장을 갖는 인접 지역이 있는 지점, 그렇지 않으면 단수적이다.모든 점이 단수라면 원은 자연적인 경계다.null

보다 일반적으로, 우리는 f가 분석적인 개방된 연결 도메인에 정의를 적용할 수 있으며, 도메인의 경계점을 정규 또는 단수로 분류할 수 있다: 도메인 경계는 모든 점이 단수이면 자연적인 경계로, 이 경우 도메인은 홀로모피의 영역이다.null

예 I: 자연 경계가 0인 함수(최초 제타 함수)

() > ${\displaystyle \Re (s)>1}$의 경우, 이른바 프라임 제타 $함수$인 P${\displaystyle }$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ P$}$을$($를) 다음과 같이 정의한다.

$[\displaystyle P]:=\sum _{p\{\text{prim}}p^{-s}.}$

함수는 positive ( )> ${\displaystyle \Re (s)$과 같은 함수로 $summ{\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \zeta}이($$s$)1}일 때 Riemann 제타 함수의 요약 형식과 유사하다$.$ 단, 모든 양의 숫자에 대한 합계를 취하는 대신 원시 숫자로만 제한된다.prime zeta 함수는 리만 제타 함수의 로그에 $의한$ P${\displaystyle }$( s${\displaystyle )}$${\displaystyle 0$$<\$$(s$$){1$$}$의 표현에서 오는 사실과 같이모든 에 대한 해석적 연속성을 가진다.

${\displaystyle P(s)=\sum _{n\geq 1}\mu(n){\frac {\log \zeta(ns)}{n}}.}$

Since ${\displaystyle \zeta (s)}$ has a simple, non-removable pole at ${\displaystyle s:=1}$, it can then be seen that ${\displaystyle P(s)}$ has a simple pole at ${\displaystyle s:={\tfrac {1}{k}},\forall k\in \mathbb {Z} ^{+}}$. Since the set of points

${\displaystyle \operatorname {Sing} _{P}=\left\{k^{-1}k\in \mathb {Z}^{+}\오른쪽\}=\{1,\frac {1}{1}{1}2}},{\frac {1}{3}}}},{\ldotsrigrig\}}}}}}}}}}}}}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

누적점 0($k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ∞ ${\displaystyle$k\$mapsto \infit })$을 가지고 있으며,$$ 0이 $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaysty$P$(s)}$의 자연적 경계를 형성하고 있음을 알 수 있다$.$This implies that ${\displaystyle P(s)}$ has no analytic continuation for s left of (or at) zero, i.e., there is no continuation possible for ${\displaystyle P(s)}$ when ${\displaystyle 0\geq \Re (s)}$. As a remark, this fact can be problematic if we are performing a complex contour integral over an inTerval의 진짜 부품 0에 대해 대칭, 어떤 C을 위해서 나는⊆ F C(s)∈(− C, C),∀ sℜ 그런 ∈ 나는 F{\displaystyle I_{F}\subseteq \mathbb{C}){\text{그런}})\Re(s)\in(-C,C),\forall s\in I_{F}};분모로에 달려 있는 피적분 함수 함수 0{\displaystyle C>0}, 말한다. P(${\displaystyle s}$) ${\displaystyle P}$을(를) 필수적으로 표시한다$$.null

예 II: 일반적인 열상 시리즈(단위 원의 부분 집합으로서의 자연 경계)

정수 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle c\geq$ 2$\}$의 경우, 우리는 전력 시리즈 확장에 의해 c의 lacunary 시리즈를 정의한다.

${\displaystyle {\mathcal{L}_{c}(z):=\sum _{n\geq 1}z^{c^{n}, z <1.}$

이후 cn+1)c⋅ cn{\displaystyle c^{n+1}=c\cdot c^{n}분명히,}이 나는 c에 대해 어떤 z를 충족시키면 z<>에 대한 함수 방정식({\displaystyle{{나는\mathcal}}_ᆯ(z)};1{\displaystyle z<1}나는 c(z)에 의해)z댁+Lc(zc){\displaystyle{\mathcal 있다. {L}}_{$c}(z)=z^{c}+{\mathcal {L}_{c}(z^{c})}$.또한 어떤 정수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m\geq 1$에 대해서도 L ${\displaystyle c_{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle {\l}_{c}(z)$에 대해 다음과$$ 같은 다른 함수 방정식을 가지고 있다는 것은 어렵지 않다.

${\displaystyle {\mathcal{L}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{m-1z^{c^{i}+{\mathcal{L}}{c^{m}),\forall z <1.}$

어떠한 긍정적인 자연수 c의 경우, 오목한 시리즈 기능 z1{\displaystyle z=1}에서 찍었다. 우리는 다른 복잡한 z와 z을 나는 c의 해석 접속 법. 문제({\displaystyle{{나는\mathcal}}_ᆬ(z)}생각해 보자. 1.{\displaystyle z>1 갈라진다.}우리는 어떤 n≥ 1{\display 본다.$스타일 n\geq$${\displaystyle 1}$$\},$ $함수{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$ c${\displaystyle {}_{}}$z ) ${\displaystyle$${\$$mathcal{L}_{c}(z)}$는 ${\displaystyle c^{}}$ n {\$displaystyle$c^{$n}}$ -throot$$ of unity에서 분산된다.따라서 그러한 모든 뿌리에 의해 형성된 집합은 단위 원의 경계에서 밀도가 높기 때문에 계수가 ${\displaystyle 1}$을 초과하는 복합 z에 대해$$ ${\displaystyle L_{}}$ $c{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$( z$){\displaystyle {\mathcal{L$}_{c$}(z)}$의 분석적 연속성은 없다.null

$이{\displaystyle }$ 사실의 ${\displaystyle \mathrm{증거는}}$c$$ 2. {\$displaystyle$ c$:=2.}$ 즉$$^[1], $정수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle n\geq 1$에 대해서는 다음과 같이 하는 경우의 표준 논거에서 일반화된다.

${\displaystyle {\mathcal{R}_{c,n}:=\왼쪽\{z\in \mathb {D} \cpartial {\mathb {D}}:z^{c^{n}=1\right\}}}}$

여기서 $D{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은$($는) 복합 평면의 ${\displaystyle 열린{\mathcal{}}_{}}$ 단위 ${\displaystyle {디스크}_{}}$를 ${\displaystyle {나타내며}^{}{,}_{}}$ R = c, n${\displaystyle {}_{}}$= $,$ n = {\$displaystyle{R}_{c,n}$= $c^{$$n}}},$ $즉{\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {z{}^{}}^{}}$ c${\displaystyle {{}^{}}^{}}$=$1s$와 같은 단위 원 안에 있는 $c$ ${\$ z가 있다.$tyle z^{$${\displaystyle c}$$^{n$${\displaystyle \}=}$$1$ 이제 증거의 핵심 부분은 < ${\displaystyle$ ${\mathcal {L}_{$$c}(z)}$에 $대한{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ 기능 방정식을 사용하여 $다음$과 같은 것을 보여주는 것이다.

${\displaystyle \forall z\in {\mathcal {R}}_{c,n},\qquad {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{n}})=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(1)=+\infty .}$

Thus for any arc on the boundary of the unit circle, there are an infinite number of points z within this arc such that ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\infty }$. This condition is equivalent to saying that the circle ${\displaystyle C_{1}:=\{z: z =1\}}$ forms a natural bounda${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle }$> 1. ${\$$displaystyle {\mathcal{L}_{c}(z)}$ 함수에 대한$$ ry.{\$displaystyle c\in \mathb {Z}\quad c>1$의 고정 선택$.$$}$ 따라서 단위 원의 내부를 넘어서는 이러한 기능에 대한 분석적 연속성이 없다.null

모노드로미 정리

모노드로미 정리는 직접적인 분석적 연속성의 존재에 대한 충분한 조건(즉, 더 큰 집합의 분석적 함수에 대한 분석적 함수의 확장)을 제공한다.null

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$이$($가) D의 개방형 집합이며 분석 함수가 f라고 가정하자.만약 G가 D를 포함하는 단순하게 연결된 영역이라면, 예를 들어, F는 D의 어떤 고정 지점 a에서 시작하는 G의 모든 경로를 따라 분석 연속성을 가지고 있고, F는 G에 직접 분석 연속성을 가지고 있다.

위의 언어에서 이것은 G가 단순하게 연결된 도메인이고, S가 기저점 집합이 G를 포함하는 sheaf라면, G에는 세균이 S에 속하는 분석 함수 f가 존재한다는 것을 의미한다.

하다마르의 갭 정리

파워 시리즈용

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\\infit }a_{k}z^{n_{k}}}}}$

와 함께

${\displaystyle \liminf _{k\to \inflt }{\frac {n_{k+1}:{n_{k}}}1}$

수렴의 원은 자연적인 경계선이다.그런 파워 시리즈를 열전이라고 한다.이 정리는 외젠 파브리와 조지 폴리야에 의해 실질적으로 일반화되었다.null

폴리야의 정리

내버려두다

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infit }\property _{k}(z-z_{0})^{k}}}}}$

파워 시리즈가 되면 다음과 같은 such_k {-1, 1}이 존재한다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infit }\varepsilon _{k}\{k}\{k}(z-z_{0}})^{k}}}}}}}}}}}$

자연경계로서 f around z의₀ 컨버전스 디스크를 가지고 있다.null

이 정리의 증명은 하다마드의 갭 정리를 이용한다.null

유용한 정리:비양성 정수에 대한 분석적 연속성을 위한 충분한 조건

대부분의 경우, 복잡한 함수의 분석적 연속성이 존재하는 경우, 그것은 적분 공식에 의해 주어진다.다음 정리는 가설들이 충족된다면, ${\displaystyle 우리}$가 양의 실재들을 따라 그것의 수렴점에서 임의의 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ C$[\$까지 분석함수를 계속할 수 있는 충분한 조건을 제공한다($$정확하게 많은 극은 제외).더욱이 이 공식은 0에서 평가된 원래 함수의 상위 순서(정수) 파생상품에 의해 정확히 표현되는 비양수 정수에 대한 연속성 값을 명시적으로 나타낸다.^[2]null

정리 가설

아래에 명시된 이 기능의 지속에 대한 정리를 적용하기 위해 ${\displaystyle 함수\mathbb{}}$ F${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$→ C ${\$ F$:\mathb {R} ^{+}\to \mathb {C}$에 다음 조건을 만족하도록$$ 요구한다.

• (T-1) 함수는 모든 주문의 연속적인 파생상품이 있어야 한다. 즉, $F{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ C ${\displaystyle {\infty }^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle F\in {\c}^{\$c}^{\$inful }(\mathb {R} ^{+})$.In other words, for any integers ${\displaystyle j\geq 1}$, the integral-order ${\displaystyle j^{th}}$ derivative ${\displaystyle F^{(j)}(x)={\frac {d^{(j)}}{dx^{(j)}}}[F(x)]}$ must exist, be continuous on ${\displaystyle \mathbb {R} ^$${+}$및 그 자체는 구별이 가능하여 F의 모든 상위 파생상품이 양의 실수에서 x의 매끄러운 기능이 되도록 한다.
• (T-2) 함수 F가 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ Z${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ {${\displaystyle Z}$$}^{+}$에 대해 빠르게 감소하고 있음을 요구한다. t가 무한대로 제한됨에 따라$$ $t{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyt t$^{$n}F$(t$)\}에 대한$ 제한 동작을 얻는다$$.
• (티 3). 모든 복잡한 s가ℜ(s)을에 F의(상호 gamma-scaled)Mellin 대해 변환 존재한다. s의 예외로 0{\displaystyle \Re(s)>0}{ζ 1(F),ζ 2(F),…,ζ k(F)}{\displaystyles\in\와 같이{\zeta_{1}(F),\zeta _ᆵ(F),\ldots(_ᆶ(F)\}}(또는 긍정적인 진정한 부품들과 함께 모든에 ex ∈.pcept한정된 수의 예외 극에서 삼시적으로 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle {\widetilde {\mathcal{M}}[F]:={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s}F(t){\frac {dt}{t}},\qquad \left {\widetilde {\mathcal {M}}}[F](s)\right \in (-\infty ,+\infty ),\forall s\in \{z\in \mathbb {C} :\Re (z)>0\}\setminus \{\zeta _{1}(F),\ldots ,\zeta _{k}(F)\}.}$

정리의 결론

F는 위의 모든 조건(T1)-(T3)을 만족하는 양의 실체에 정의된 기능이 되도록 한다.Then the integral representation of the scaled Mellin transform of F at s, denoted by ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}[F](s)}$, has an meromorphic continuation to the complex plane ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{\zeta _{1}(F),\ldots ,\zeta _{k}(F)\}}$$$.게다가, 음이 아닌 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$에 대해$,$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=n}$ ${\displaystyle$ s$:=-n}$ 지점에서의 F의 연속성은 공식에 의해 명시적으로 주어진다$$.

${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}[F](-n)=(-1)^{n}\times F^{(n)}(0)\equiv (-1)^{n}\times {\frac {\partial ^{n}}{{\partial x}^{n}}}\left[F(x)\right] _{x=0}.}$

예

예 I: 리만 제타 함수와 베르누이 수와의 연결

우리는 그 정리를 함수에 적용할 수 있다.

${\displaystyle F_{\zeta }(x):={\frac {x}{e^{x}-1}=\sum _{n\geq 0}B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}},}$

어느 것이 베르누이 숫자의 기하 급수적인 발전 기능, Bn{\displaystyle B_{n}}.ℜ(s)을 들어;그 다음을 native을 하는 1{\displaystyle \Re(s)> 1}, 우리는(s)), ζ M~[Fζ]({\displaystyle\zeta(s)={\widetilde{{\mathcal M}}}[F_{\zeta}](s)}을 표현할 수 있다고 해당합니다.egral이 범위에서 s에 대한 정수 n${\displaystyle \mathrm{n}}$ 1 ${\displaystyle n\geq$ 1$}$의 역방향 힘에 대한 공식:

${\displaystyle {\frac {1}{n^{s}}={\frac {1}{1}{{n1}}}}\int _{0}^{+\infit }t^{s-1}e^{-nt}dt,\Re(s)1.}$

이제 마지막 방정식의 통합은 각 양의 정수 n에 대해 t의 균일하게 연속되는 함수이므로,()> 1 ${\$$displaystyle \zeta (s)}$에 의해 주어질 때마다$$ ${\displaystyle }$( ) ${\$$displaystyle \Re (s)1$}에 대한 적분 표현을 한다.

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n\geq 1}n^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }\left(\sum _{n\geq 1}e^{-nt}\right)t^{s-1}dt={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\frac {F_{\zeta }(t)}{t}}dt.}$

이 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \zeta {}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle F_{\zeta }(x)}}$에 통합된 Mellin 변환에 대한 부품별 통합을 수행할 때 다음과 같은 관계도 얻는다$.$

${\displaystyle \zeta(s)={\frac {1}{{(s-1)}}{\widetilde {\mathcal {M}}[F_{\zeta }}](s-1).}$

Moreover, since ${\displaystyle e^{t}\gg t^{n}}$ for any fixed integer polynomial power of t, we meet the hypothesis of the theorem which requires that ${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }t^{n}\cdot F_{\zeta }(t),\forall n\in \mathbb {Z} ^{+}}$.베르누이 숫자의 일반적인 생성함수에 테일러의 정리를 표준적으로 적용하면 $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\zeta }_{}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{n}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle B\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ !${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle n!}$= B ${\displaystyle n_{}}$ ${\$n}{$n!$$}}}\timesn!=$$B_{n}}$. In particular, by the observation made above to shift ${\displaystyle s\mapsto s-1}$, and these remarks, we can compute the values of the so-called trivial zeros of the Riemann zeta function (for ${\displaystyle \zeta (-2n)}$) and the rational-valued negative odd integer order constants, ${\displaystyle \zeta (-(2n+}$${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle \zeta(-2n+1)), n\geq$ 0$\}$ 공식에 따라

${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {1}{n+1}}{\widetilde {\mathcal {M}}}[F_{\zeta }](-n-1)={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}F_{\zeta }^{(n+1)}(0)={\begin{cases}-{\frac {1}{2}},&n=0;\\\infty ,&n=1;\\-{\frac {B_{n+1}}{n+1}},&n\geq 2.\end{case}}}$

예 II: 일부 산술 시퀀스에 대한 F의 요약 함수 해석

F는 다음과 같은 추가 조건을 만족하는 양의 실에서 충분히 감소하는 매끄러운 함수라고 가정하자.

${\displaystyle \Delta [F](x-1)=F(x-1)=:f(x)=\fall x\in \mathb {Z}^{+}.}$

숫자의 이론적 맥락에서, 우리는 그러한 F를 산술 함수 f의 요약 함수로 간주한다.

${\displaystyle F(x):={\sum _{n\geq x}^{\premy }f(n)}}$

여기서 )= , < < $<<<\displaystyle F(x)=0,\all 0<x<1$}을$($를) 취하며, 이전 합에 대한 프라임 노트는 Perron의 정리를 진술하는 데 사용되는 표준 규약에 해당한다.

${\displaystyle F_{f}(x):={\sum _{n\leq x}}^{\prime }f(n)={\begin{cases}\sum _{n\leq [x]}f(n),&x\in \mathbb {R} ^{+}\setminus \mathbb {Z} ;\\\sum _{n\leq x}f(n)-{\frac {f(x)}{2}},&x\in \mathbb {R} ^{+}\cap \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

우리는 f의 DGF의 분석적 연속성 또는 초당 f에 대한 Dirichlet 시리즈의 동등한 분석에 관심이 있다.

${\displaystyle D_{f}s:=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}.}$

일반적으로 우리는;0{\displaystyle \sigma_{0,f}>. 0}일 경우, 정의 같은 Df({\displaystyle D_{f}(s)}절대적으로 둘러 sℜ(s)을 만족하는;σ 0, f{\displaystyle \Re(s)>, \sigma_{0,f}}수렴은, 그리고 Df(통합의 음영 부분, σ 0, f의 특정한 가치를 가지고 있습니다.s){\dis$playstyle D_{f}(s)}$ is assumed to have a pole at ${\displaystyle s:=\pm \sigma _{0,f}}$ and so that the initial Dirichlet series for ${\displaystyle D_{f}(s)}$ diverges for all s such that ${\displaystyle \Re (s)\leq \sigma _{0,f}}$. It is known that there is a relationshipf의 요약 함수를 mellin 변환하여 폼의$$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$- ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\mapsto -s}$에서 DGF를 계속한다.

${\displaystyle D_{f}={\mathcal {M}[F]-s]=\int _{1}^{1}{{1}^{\inflt }{F_{f}}{x^{s+1}dx}}}$

즉, D ${\displaystyle f{}_{}}$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle D_{f}(s)}$이(가) 원점의 왼쪽 복잡한 평면에 연속성을 갖는다면$$, f의 DGF의 역 멜린 변환에 의해 f의 합계 함수를 다음과 같이 실제 부품이 0 미만인 상태로 계속 s로 표현할 수 있다.^[3]

${\displaystyle F_{f}(x)={\mathcal {M}^{-1}\왼쪽[{\mathcal {M}[F_{f}(-s)\right]={\mathcal {{M}^{-1}[D_{f}-s](x)].}$

우리는 부품별 합산을 수행함으로써 우리의 매끄러운 목표함수 F에 주어진 어떤 규정된 f의 DGF, 즉 Dirichlet 생성함수를 형성할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}D_{f}(s)&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }\left(\sum _{n\geq 1}(F(n)-F(n-1))e^{-nt}\right)t^{s}dt\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\lim _{N\to \infty }\left[F(N)e^{-Nt}+\sum _{k=0}^{N-1}F(k)e^{-kt}\left(1-e^{-t}\right)\right]dt\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}(1-e^{-t})\int _{0}^{\infty }F(r/t)e^{-r}drdt\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\left(1-e^{-t}\right){\widetilde {F}}\left({\frac {1}{t}}\right)dt\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\left(1-e^{-1/u}\right)}}{u^{s}(1-u)}}}F\왼쪽({\frac {u}{1-u}\오른쪽)du,\end{aigned}}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $F{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle L}$[ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ]}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\f}(x)\equiv {\$mathcal {$L}[F](x)}$은 F의 Laplace-Borel 변환이며, 다음과 같은$$ 경우

${\displaystyle F(z):=\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}}z^{n}}}$

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$/ ${\displaystyle n}$!${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle \mathrm{n}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ n${\displaystyle !}$ ${\displaystyle f_{n}/n!$에 ${\displaystyle 의해}$ 열거된 일부 시퀀스의 지수 생성 함수에 해당한다.$=F^{(n)}(0)/n!}$ $$(F 약 0의 Taylor 시리즈 확장에 의해 규정됨) 다음으로,

${\displaystyle {\widetilde{F}}(z)=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}}}}}}}}}$

계수가${\displaystyle }$[${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle F\stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$≡ f${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle F^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\mathrm{n}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle [z^{n}]{\widetilde{F}}\equiv f_{n}=F^{n$}($0$에 의해 열거되는 시퀀스에 대한 일반적인 생성 함수 형식이다.

따라서 우리가 글을 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle G_{F}(x):={\frac {x}{1-x}}F\left({\frac {x}{1-x}}\오른쪽)=\sum _{n\geq 0}\left(\sum _{k=0}^{n}}{n}}}{n}}}}}{binom {n}}{k}}}}}}[z(z)\오른쪽)x^{n+1},},}$

F의 이항 변환의 서명 변형으로 교대로 해석되면 DGF를 -${\displaystyle s}$ ${\displaystyle -s}$에서 다음 Mellin 변환으로 표현할 수 있다$.$

${\displaystyle {\reasoned}D_{f}(s)&={\mathcal {M}}[G_{F}](-s){\mathcal {M}}\left[1-e^{-1/x}\right](-s)\\&={\frac {{\mathcal {M}}[G_{F}](-s)}{s-1}}\left(1-\Gamma (s)\right)\end{aligned}}}$

Finally, since the gamma function has a meromorphic continuation to ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }$, for all ${\displaystyle s\in \mathbb {C} \setminus \{0,1,2,\ldots \},}$ we have an analytic continuation of the DGF for f at -s of the form

${\displaystyle D_{f}-{f}-{\frac {1-\감마(-s)}{s+1}{s+1}{\mathcal{M}[G_{F}s),}$

여기서 비 음의 정수 n에 대한$$ ${\displaystyle D_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle D_{f}(-n)}$의 공식은 다음과 같이 정리의 공식에 따라 주어진다.

${\displaystyle D_{f}(-n)=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}}}\왼쪽(1-e^{-1/x}\오른쪽){\frac {1-x}{1-x}}}{1-x}}}}}}F\왼쪽({\frac {x}{1-x}\오른쪽)\오른쪽]{\Biggr }_{x=0}}$

Moreover, provided that the arithmetic function f satisfies ${\displaystyle f(1)\neq 1}$ so that its Dirichlet inverse function exists, the DGF of ${\displaystyle f^{-1}}$ is continued to any ${\displaystyle s\in \mathbb {C} \cap \{z:$\Re(z)\in(-\infty ,-\sigma_{0,f})\cup(\sigma_{0,f},+\infty)\}}그것은 어떠한 복잡한 ss을 제외한 수직 라인 z사이의, 또는 응용 프로그램 종속f-specific f-defined, 소위 임계 지구에서)±0σ, f{\displaystylez=\pm \sigma_{0,f}},ℜ(s)<>이 역함수 DGF의 가치가 아니고 − σ 0, f는${\displaystyle \Re(s)(--\sigma _{0,f})$는 다음을 통해 제공됨

${\displaystyle D_{f^{-s}={\begin{case}0,&n\in \mathb {N} ;\-{\frac {s+1}{1-\Gamma-s)}}{\mathcal {{M}}[G_{F}^{-1}],{{n\text{otherwise}}}}}}\end{case}}$

Dirichlet 역함수의 DGF를 이 f 정의 임계 스트립 내부의 s로 계속하려면, 이 함수를 초기에 정의하는 Dirichlet 시리즈가 값에 절대적으로 수렴되도록 s를 연결할 수 있는 DGF, ${\displaystyle D_{}}$f (${\displaystyle s}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle D_{f}(s$에 대한 기능 방정식에 대한 지식이 요구되어야 한다.s of s inside this strip—in essence, a formula providing that ${\displaystyle D_{f}(s)=\xi _{f}(s)\times D_{f}(\sigma _{0,f}-s)}$ is necessary to define the DGF in this strip.^[5]null

참고 항목

• 미타그-레플러 별
• 홀로모르픽 함수 미적분학

참조

• Lars Ahlfors (1979). Complex Analysis (3 ed.). McGraw-Hill. pp. 172, 284.
• Ludwig Bieberbach (1955). Analytische Fortsetzung. Springer-Verlag.
• P. Dienes (1957). The Taylor series: an introduction to the theory of functions of a complex variable. New York: Dover Publications, Inc.

외부 링크

• "Analytic continuation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Math 페이지에서 계속 분석
• Weisstein, Eric W. "Analytic Continuation". MathWorld.