원자(측정 이론)

수학에서, 더 정확히는, 측정 이론에서, 원자는 양의 측정치를 가지고 더 작은 양의 측정치를 포함하지 않는 측정 가능한 집합이다.원자가 없는 척도는 비원자 또는 무원자라고 불린다.

정의.

측정 가능한 공간 $(X,\Sigma )$ $(X,\Sigma )$ $)$ 과 그 공간({displaystyle $(X,\Sigma$ $)$ 의 $(X,\Sigma )$ 측정 단위 $({$ $displaystyle\sigma$ })가 주어졌을 때, $σ$ (\ $displaystyle$ \Sigma $})$ 의 $\Sigma$ $집합$ 는 다음과 $A\subset X$ 같이 원자라고 불립니다.

\displaystyle \mu (A) > 0 }

측정 가능한

B\subset A

에 대해서는 A

(\displaystyle

B

\subset

A

)

를

B\subset A

사용합니다.

{\displaystyle\mu(B)<\mu(A)}

세트

B

(\displaystyle

B

)

의

B

측정값은 0입니다.

A $(표시 스타일$ A $)$ 가 $A$ 원자일 $경우$ A $(표시 스타일$ A $)$ 의 $A$ μ $($ $[A]$ 스타일 $\mu)$ $[A]$ - 등가 $\mu$ 클래스 $[A]$ [ $A](표시$ 스타일 A $)$ 에 $[A]$ 속하는 모든 서브셋은 원자이고 $[A]$ [ $](표시 스타일$ A $)$ 는 $[A]$ 원자 클래스라고 합니다.μ $\mu$ {\ $displaystyle \mu}$ 가 $\mu$ $\sigma$ {\ $displaystyle \sigma$ } -finite $\sigma$ 측도인 $\mu$ 원자 클래스는 셀 수 없을 정도로 많습니다.

예

집합 X = {1, 2, ..., 9, 10}을(를) 고려하여 시그마 변환 $\Sigma$ { $displaystyle \Sigma }$ 을 $\Sigma$ (를) X의 전력 집합으로 합니다.세트의 $\mu$ μ(\ $displaystyle\mu)$ 를 $\mu$ 카디널리티로 정의합니다.즉, 세트의 요소 수를 정의합니다.그리고 i = 1, 2, ..., 9, 10에 대한 각 싱글톤 {i}은 원자이다.
르베그 측도를 실제 선으로 생각해 보세요.이 측정에는 원자가 없습니다.

원자 대책

$\sigma$ 가능한 공간 $(X,\Sigma )$ $)$ $상의$ ${\$ {\ $displaystyle$ $(X,\Sigma )$ $\sigma$ $\sigma$ } - finite $\sigma$ $\mu$ μ {\ $displaystyle$ (X $,\Sigma )$ 는 $\mu$ $(X,\Sigma )$ 측정 가능한 양의 측정 세트에 모두 원자가 포함되어 있는 경우 원자 또는 순수 원자라고 불립니다.이는 X $(\displaystyle$ X $)$ 의 $X$ 카운트 가능한 파티션이 null ^[1]집합까지 원자에 의해 형성되어 있음을 의미합니다. $§$ (\ $displaystyle \sigma)$ $\sigma$ 의 $\sigma$ 가정은 필수적입니다.그렇지 않으면 공간 $(\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )$ , $(\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )$ ( $(\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )$ ) , $(\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )$ ) $(\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )$ { $displaystyle$ ( \ $mathbb { R }$ , { \ $mathcal$ { $P$ } ; \ $nu$ } )을 $(\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )$ 고려합니다. $\nu$ 서 ${\$ { \ $displaystyle$ \ nu $\nu$ }는 $\nu$ 카운트 측도를 나타냅니다.이 공간은 모든 원자가 싱글톤인 원자이지만 셀 수 없을 정도로 많은 분리된 원자의 분리 결합으로 분할할 수 없다 ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ n ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ \ $textstyle$ \ $bigcup$ _ {n ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ = $1$ }^{\ $infty }A_{n}$ 그리고 ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ null $집합$ N {\ $displaystyle$ N $}$ 은 $N$ 셀 수 있는 단일톤 집합이다.실수의 계수성은 ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ n ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ \ $textstyle$ N = \ $mathbb {R}$ \ $setminus \bigcup$ _ ${n=1}^{\$ $infty }$ $A_$ ${$ $n}$ 은 ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ $\nu$ 셀 수 없는 것이어야 하므로 $무한히$ 모순된다. $§$ ${\style$ \sigma $}$ -finite $\sigma$ 공간에 대한 $\sigma$ 의 유효성은 카운트 가능 결합이 다시 카운트 가능 결합이고 null 집합의 카운트 가능 결합이 null임을 관찰함으로써 유한 측정 공간에 대한 증명에서 비롯된다.

이산 측정

원자 등급의 원자의 교차가 비어 있지 않은 경우 $\sigma$ {\ $displaystyle \sigma$ } -finite $\sigma$ atomic $\mu$ μ {\ $displaystyle \mu}$ 를 $\mu$ 이산이라고 한다.이는 $\mu$ μ {\ $displaystyle \mu}$ 가 $\mu$ 셀 수 없을 정도로 많은 Dirac 측정값의 가중치 합이라고 하는 $\mu$ 과 같습니다^[2].즉, $x_{1},x_{2},...$ $x_{1},x_{2},...$ 1, $x_{1},x_{2},...$ 2, $x_{1},x_{2},...$ . $x_{1},x_{2},...$ {\ $displaystyle x_{1$ }, $x_{$ }, ...이 있습니다. $X$ X}) 및 $c_{1},c_{2},...$ , $c_{1},c_{2},...$ $...({displaystyle c_{1$ }, $c_{$ 2})의 } $X$ 입니다 $.$ μ $c_{1},c_{2},...$ ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$ ∑ k ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$ = ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$ c k ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$ $x$ k { $textstyle$ \ $mu$ = \ $sum _ {k=$ 1}^{\infty $}c_{k$ }\ $color _{x_{$ k ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$ 와 ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$ 양의 실수(가중치)의 }는 ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ 1 ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$ k = 1 ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ c ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ k ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ k ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ k text k ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ text k （ A $)$ 를 ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ 한다 $.$ $A\in \Sigma$ \ $Sigma$ 각 점 $x_{k}$ (\ $displaystyle$ x_ $x_{k}$ {k})를 k $(\displaystyle$ k $)$ - 원자 $k$ 등급의 원자의 공통점으로 선택할 수 있습니다 $.$

개별 측정치는 원자적이지만 역의 의미는 $다음$ 과 같습니다. X $X=[0,1]$ [ $X=[0,1]$ , $]$ { $displaystyle$ X = [ $0$ , $1$ $\mu =1$ $X=[0,1]$ $\Sigma$ \ $displaystyle$ \ $Sigma$ } $\sigma$ $\mu =0$ $\sigma$ 、 \ $displaystyle$ \ $sigma$ 。카운트 가능한 서브셋의 $\mu =0$ $\mu =0$ 0 \ $displaystyle$ \ $mule$ $\mu =1$ $\mu =0$ $\mu =1$ 。e 서브셋다음으로 단일 원자 클래스가 있는데, 이 원자 클래스는 공동 계수 가능한 서브셋에 의해 형성됩니다.μ $({displaystyle \mu})$ 는 $\mu$ 원자이지만 고유 원자 등급의 원자 교차가 비어 $\mu$ μ({ $displaystyle \mu})$ 는 $\mu$ Dirac 측정의 합으로 넣을 수 없습니다.

모든 원자가 싱글톤에 해당하는 경우 원자라면 $μ$ {\ $displaystyle$ \mu $}$ 는 $\mu$ 이산입니다.이 경우 위의 $x_{k}$ k $(\$ 는 $x_{k}$ 원자 싱글톤이므로 고유합니다.보렐 집합과 함께 제공되는 분리 가능한 메트릭 공간 내의 모든 유한 측도는 ^[3]이 조건을 충족합니다.

비원자적 조치

원자가 없는 측정치를 비원자 측정치 또는 확산 측정치라고 합니다.즉, 측정 가능한 $집합$ A $($ $\mu (A)>0$ $\mu (A)>0$ $(A)$ 의 $\mu (A)>0$ 측정 $A$ 가능한 집합 A $(\displaystyle$ \ $mu(A)$ > $0)$ 에 대해 측정 가능한하위 $집합$ B $(\$ $displaystyle$ B $)$ 가 $B$ $A$ 존재하는 경우 측정 $\mu$ 한 μ $(\displaystyle$ \ $mu$ )는 원자적이지 않습니다 $\mu$ .

\displaystyle \mu (A)>\mu (B)> 0.}

최소 1개의 양의 값을 갖는 비원자 측정치는 $\mu (A)>0$ μ ( $\mu (A)>0$ > $\mu (A)>0$ (\ $displaystyle \mu (A)$ > $0)$ 인 $\mu (A)>0$ $집합$ A $(\displaystyle$ A $)$ 부터 시작하여 측정 가능한 집합의 감소 시퀀스를 구성할 수 있기 때문에 무한히 많은 값을 가진다.

A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots

그렇게 해서

\displaystyle \mu (A_{1})=\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots > 0.}

이것은 원자가 있는 측정치에는 해당되지 않을 수 있습니다.위의 첫 번째 예를 참조하십시오.

비원자적인 측정에는 실제로 가치의 연속이 있는 것으로 판명되었습니다.μ $\mu$ {\ $displaystyle \mu}$ 가 $\mu$ 비원자 $A$ 이고 A{\ $displaystyle$ A $}$ 가 $A$ $\mu (A)>0,$ μ ( $\mu (A)>0,$ > $\mu (A)>0,$ 0 , {\ $displaystyle \mu (A)$ > $0$ , {\displaystyle b $}$ 인 $\mu (A)>0,$ $b$ 측정값 집합인 $\mu$ 다음과 같은 모든 $실수$ b {\ $displaystyle$ b}가 충족됨을 증명할 수 있습니다.

\displaystyle \mu (A)\geq b\geq 0

A의

측정

가능한

서브셋

B

(style

B

)

가

B

존재하기 때문에 A의

서브셋

B(

style

B)는

A

다음과 같습니다.

\displaystyle \mu(B)=b.}

이 정리는 바츠와프 시에르핀스키에 ^[4]^[5]기인한다.이는 연속 함수에 대한 중간값 정리를 연상시킵니다.

비원자 측도에 관한 시에르핀스키 정리 증명 스케치.그러나 입증을 쉽게 할 수 있는 조금 더 강력한 문장은 ( $(X,\Sigma ,\mu )$ $S:[0,c]\to \Sigma$ $)$ { $display$ (X $,\Sigma,\mu)}$ 이 $(X,\Sigma ,\mu )$ $\mu (X)=c,$ 비원자 측정 공간이고 $\mu (X)=c,$ μ ( $\mu (X)=c,$ ) $\mu (X)=c,$ $,$ { $display$ style \ $S:[0,c]\to \Sigma$ $(X$ $S:[0,c]\to \Sigma$ $S:[0,c]\to \Sigma$ { $displaystyle$ S $}$ 의 $S:[0,c]\to \Sigma$ 가 $존재$ 한다는 것이다. $\mu :\Sigma \to [0,c].$ a right-param to $\mu :\Sigma \to [0,c].$ μ : $\mu :\Sigma \to [0,c].$ $\mu :\Sigma \to [0,c].$ [ $\mu :\Sigma \to [0,c].$ , $\mu :\Sigma \to [0,c].$ . { $displaystyle \mu$ : \ $Sigma \ to$ [ $0$ , $c$ ].} 즉 $\mu :\Sigma \to [0,c].$ , 측정 $S(t)$ 한 $S(t)$ S ( $S(t)$ t $S(t)$ )의 단일 파라미터 패밀리( \ $displaystyle S$ ( $S(t)$ t $S(t)$ )가 존재하며, 모든 $0\leq t\leq t'\leq c$ t $0\leq t\leq t'\leq c$ t $0\leq t\leq t'\leq c$ {\ c { $displaystyle 0\leq$ t'\ $leq$ c }에 대해 다음과 같습니다 $.$

\displaystyle S(t)\subseteq S(t)',}

\displaystyle \mu \left(S(t)\right)=t.}

이 증거는 모든 단조 부분 섹션 세트에 적용된 조른의 보조법에서

\mu

μ(\

displaystyle

\mu

)

까지 쉽게 따라갑니다.

\displaystyle \Gamma:=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [ 0 , c ] , S \ ; \ mathrm { specone } , { \ text { for all } t \ in D \ ; ( \ mu ( S ( t ) = t ) \ } 。

그래프를

\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').

하여 정렬됩니다. g

\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').

a

\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').

(

\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').

)

\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').

\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').

r

\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').

p

\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').

( S

\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').

display

\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').

。{

display

style

\

mathrm { graph

} (

S

)

\Gamma

\

subseteq

\

mathrm

{

graph

} display

\mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').

\Gamma

displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay

\

\Gamma ,

\Gamma

style

\Gamma ,

\

Gamm

。

mma }

에는

\Gamma

클레임을 증명하는 도메인

[0,c],

,

[0,c],

,

{\displaystyle [ 0

, c

]

, } 가

[0,c],

있습니다.

「」를 참조해 주세요.

원자(질서 이론) - 질서가론의 유사한 개념
디랙 델타 함수
원자 이벤트라고도 하는 초등 이벤트

메모들

^ "Analysis - Countable partition in atoms".
^ "Why must a discrete atomic measure admit a decomposition into Dirac measures? Moreover, what is "an atomic class"?".
^ Kadets, Vladimir (2018). A Course in Functional Analysis and Measure Theory. Switzerland: Springer. p. 45. ISBN 978-3-319-92003-0.
^ Sierpinski, W. (1922). "Sur les fonctions d'ensemble additives et continues" (PDF). Fundamenta Mathematicae (in French). 3: 240–246. doi:10.4064/fm-3-1-240-246.
^ Fryszkowski, Andrzej (2005). Fixed Point Theory for Decomposable Sets (Topological Fixed Point Theory and Its Applications). New York: Springer. p. 39. ISBN 1-4020-2498-3.

레퍼런스

Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. (1997). Real analysis. Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall. p. 108. ISBN 0-13-458886-X.
Butnariu, Dan; Klement, E. P. (1993). Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions. Dordrecht: Kluwer Academic. p. 87. ISBN 0-7923-2369-6.

외부 링크

수학 백과사전의 원자

[1] "Analysis - Countable partition in atoms".

[2] "Why must a discrete atomic measure admit a decomposition into Dirac measures? Moreover, what is "an atomic class"?".

[3] Kadets, Vladimir (2018). A Course in Functional Analysis and Measure Theory. Switzerland: Springer. p. 45. ISBN 978-3-319-92003-0.

[4] Sierpinski, W. (1922). "Sur les fonctions d'ensemble additives et continues" (PDF). Fundamenta Mathematicae (in French). 3: 240–246. doi:10.4064/fm-3-1-240-246.

[5] Fryszkowski, Andrzej (2005). Fixed Point Theory for Decomposable Sets (Topological Fixed Point Theory and Its Applications). New York: Springer. p. 39. ISBN 1-4020-2498-3.

[1]

[2]

[3]

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