갤러킨법

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
리스트 아이작 뉴턴 고트프리드 라이프니즈 레온하르트 오일러 에밀 피카르 요제프 마리아 회네브로이스키 에른스트 린델뢰프 루돌프 립시츠 아우구스틴루이코치 존 크랭크 필리스 니콜슨 칼 데이비드 톨메 룬지 마르틴 쿠타
v t

수학에서, 수치해석 영역에서, 러시아 수학자 보리스 갤러킨의 이름을 딴 갤러킨 방법은 유한한 기본함수의 집합에 의해 결정된 선형 제약조건을 적용하여, 일반적으로 약한 제형에서 미분 방정식과 같은 연속적인 연산자 문제를 이산문제로 변환한다.

흔히 Galerkin 방법을 언급할 때, 다음과 같이 사용된 일반적인 가정 및 근사 방법과 함께 이름을 제공한다.

• Ritz-Galerkin 방법(Walther Ritz 이후)은 일반적으로 약한 공식에서 대칭적이고 양의 확정 이선형을 가정한다. 여기서 물리적 시스템의 미분 방정식은 시스템 에너지를 나타내는 이차함수의 최소화를 통해 공식화될 수 있으며 대략적인 해법은 주어진 t 집합의 선형 결합이다.그는 기본적인 기능을 한다.^[1]
• Bubnov-Galerkin 방법(이반 Bubnov 이후)은 이선형 형식을 대칭적으로 요구하지 않으며 에너지 최소화를 용액의 근사치에 사용되는 동일한 기본 함수에 의해 결정되는 직교성 제약조건으로 대체한다. 미분 방정식의 연산자 공식에서 Bubnov-Galerkin 방법은 연산자에 직교 투영을 적용하는 것으로 볼 수 있다.
• 페트로프-갈레르킨 방법(게오르기 1세 이후) Petrov^[2])는 용액의 근사치에 사용되는 기본 함수와는 다른 직교성 제약 조건(시험 기준 함수라고 함)에 대한 기본 함수 사용을 허용한다. Petrov-Galerkin 방법은 Bubnov-Galerkin 방법의 확장으로 볼 수 있으며, 미분 방정식의 연산자 공식에서 반드시 직교하지 않는 투영을 적용할 수 있다.

갤러킨 방법의 예는 다음과 같다.

• 가중 잔차의 갤러킨 방법, 유한요소법에서 전지구 강성 행렬을 계산하는 가장 일반적인 방법,^[3][4]
• 적분 방정식 해결을 위한 경계 요소 방법,
• 크릴로프 아공간 방법.^[5]

예제: 행렬 선형 시스템

우리는 먼저 Galerkin 방법을 다음과 같은 대칭적이고 양의 한정된 행렬을 가진$$ 선형 $방정식{\displaystyle }$ ${\displaystyle A\mathbf{}x\mathbf{}}$ = b =$$b {\$displaystyle$A\$mathbf {x$} =\$mathbf${b$}}}$ 시스템에 적용되는 것으로 소개하고 설명한다.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\\0&1\\0&1&2\end{bmatrix}}}$

해결책과 오른쪽 벡터

${\displaystyle \mathbf {x} ={\bmatrix}1\\\0\end{bmatrix},\mathbf {b} ={\matrix}2\0\nd{bmatrix}.}$

가져가자

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\0&1\end{bmatrix},}$

갤러킨 방정식의 행렬은

${\디스플레이 스타일 V^{*}AV={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix},}$

갤러킨 방정식의 우측 벡터는

${\displaystyle V^{*}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix},}$

그래서 우리는 해답 벡터를 얻는다.

${\displaystyle \mathbf {y} ={\nf{bmatrix}0\\\0\end{bmatrix}}}$

Galerkin 방정식$({\displaystyle V{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle V}$) ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ b ${\$= $V^{*}\mathbf {b}}}$에 대한 대략적인 솔루션을 최종적으로 상향 조정하여 원래 방정식에 대한 솔루션을 결정함$.$

${\displaystyle V\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}0\\\0\\end{bmatrix}}.}$

In this example, our original Hilbert space is actually the 3-dimensional Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ equipped with the standard scalar product ${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {v} }$, our 3-by-3 matrix ${\displaystyle A}$ defines the bilinear form ${\displaystyle a(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{T}A\mathbf {v} }$, and the right-hand-side vector ${\displaystyle \mathbf {b} }$ defines the bounded linear functional ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=\mathbf {b} ^{T}\mathbf {v} }$. The columns

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\bmatrix}0\\\\1\nd{bmatrix}\mathbf {e}_{2}={bmatrix}0\0\\1\end{bmatrix},},}$

$행렬{\displaystyle }$ V {\$displaystyle$ V}이$(가)$ 갤러킨 투영의 2차원 하위 공간의 정형화된 기초를 형성한다$$. The entries of the 2-by-2 Galerkin matrix ${\displaystyle V^{*}AV}$ are ${\displaystyle a(e_{j},e_{i}),\,i,j=1,2}$, while the components of the right-hand-side vector ${\displaystyle V^{*}\mathbf {b} }$ of the Galerkin equation are ${$$\displaystyle f(e_{i}),\,i=1,2}$. Finally, the approximate solution ${\displaystyle V\mathbf {y} }$ is obtained from the components of the solution vector ${\displaystyle \mathbf {y} }$ of the Galerkin equation and the basis as ${\displaystyle \sum _{j=1}^{2}\mathbf {y} _{j}\mathbf {e$$} _{j$

힐버트 공간의 선형 방정식

선형 방정식의 약한 공식화

힐베르트 $공간{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle V}$에 대한 약한 공식으로 제기되는 추상적인 문제를 가진 갤러킨의 방법,$$즉,

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ V${\displaystyle }$, a (${\displaystyle u}$ , v )${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$($v$ ) ${\$$displaystyle v\in V,a(u,v)=f(v)}$에 대해 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle$ v\in V}을(를) 찾으십시오$.$

여기서 $a{\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle$ a$(\cdot ,\cdot )}$은 이선형(${\displaystyle (,\cdot }$)이고$,$ f {\$displaystyle a(\cdot,\cdot )$은 $나중$에 지정될 것이다$$)이고, $f{\displaystyle }$ ${\displaystystyle f$$}$은 $}$에 경계 선형 기능이다$.$

갤러킨 치수 감소

차원 n의 하위$$ 공간 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{n}\subset V}$을(를) 선택하고 예상되는 문제를 해결하십시오.

$모든$ $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle u_{}}$n , ${\displaystyle v_{}}$n${\displaystyle }$) = ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)$${\$displaystyle v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n}}}=f(v_{n}})$를 찾으십시오$$$.$

우리는 이것을 갤러킨 방정식이라고 부른다. 방정식은 변하지 않고 공간만 변했다는 점에 유의하십시오. 문제를 유한차원 벡터 서브스페이스로 줄이면 ${\displaystyle {Vn}_{}}${\$displaystyle$ $u_{n$$}}$에서 기본 벡터의 유한 선형 조합으로$$ $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle$ $u_{n$$}}$을(를) 수치적으로 계산할 수 있다$.$

갈레르킨 직교성

Galerkin 접근방식의 주요 특성은 오류가 선택한 하위공간과 직교한다는 것이다. V ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{n}\subset V}$이므로$$vn ${\$을(를) 원래 방정식의 테스트 벡터로 ${\displaystyle {사용}_{}}$할 수 있다. 둘을 빼면 ${\displaystyle {errorn}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}u}$ -${\displaystyle }$u - ${\displaystyle {}_{}}$ -$$ {\$displaystyle \epsilon _{n}=u-u_{n}}$ 오류에 대한 Galerkin 정형성 관계가 나오는데, 이는 원래$$ 문제의 해결책인 $u{\displaystyle }$ ${\$$}$와 Galerkin 방정식 $u\_{\displaystyle {}_{}}${$n}$ 사이의 오류입니다.

${\displaystyle a(\epsilon _{n},v_{n}}=a(u,v_{n},v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})=0.}$

갈레르킨 방정식의 행렬 형식

갤러킨의 방법의 목적은 방정식의 선형 시스템의 생산이기 때문에 알고리즘적으로 솔루션을 계산하는 데 사용할 수 있는 행렬 형태를 만든다.

Let ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ be a basis for ${\displaystyle V_{n}}$. Then, it is sufficient to use these in turn for testing the Galerkin equation, i.e.: find ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ such that

${\displaystyle a(u_{n},e_{i}}=f(e_{i})\properties i=1,\ldots,n.}$

이$$ 기준에 대해 ${\displaystyle u_{}}$ n ${\$을(를) 확장하여$$ ${\displaystyle u_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ j = 1 n ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\$j}}}}}}}}}}}}을 위의 방정식에 삽입하여 구한다.

${\sum _{j=1}^{nu_{j}e_{j}e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n1}u_{j}a(e_{j}e_{i})=f(e_{i})\i1,\ldots,n.}$

이 이전 방정식은 실제로 방정식 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Au=f}$의 선형 시스템이다$.$

${\displaystyle A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}$

행렬의 대칭

행렬 항목의 정의로 인해 갈레르킨 방정식의 행렬은 이선형이 $a{\displaystyle (}$ ${\displaystyle \cdot ,\cdot }$)를 형성하는 경우( if$$, ⋅ ) ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}.$

Galerkin 방법의 분석

여기서 우리는 대칭적 이선형, 즉 대칭적 형태에 국한할 것이다.

$a(u,v)=a(v,u)를 표시한다.}$

이것이 실제로 갤러킨 방법의 제약은 아니지만, 표준 이론의 적용은 훨씬 더 간단해진다. 또한 비대칭 사례에서는 Petrov-Galerkin 방법이 필요할 수 있다.

이 방법들의 분석은 두 단계로 진행된다. 첫째, 우리는 갈레르킨 방정식이 하다마드의 의미에 있어서 잘 드러난 문제라는 것을 보여줄 것이며 따라서 독특한 해결책을 인정할 것이다. 두 번째 단계에서는 Galerkin 솔루션 ${\displaystyle u_{}}$ ${\$의 근사치 품질을 연구한다$.$

분석은 대부분 이선형식의 두 가지 특성 즉,

• 경계성: 모든${\displaystyle }u$에 대해 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u,v\in V}$이(가) 유지됨

  ${\displaystyle }$ (${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Vert }$ u ${\displaystyle u}$ u ${\displaystyle v}$v $\$ {\$displaystyle a(u,v$)\$leq$C$\$ $\ \,\ v\ }$일부$$ 상수 > 0 ${\displaystyle$ C$>0}$

• 타원성: 모든 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \in }$ V ${\displaystyle u\in V}$ 고정용$$

  ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle u,u}$ ) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ u 2 ${\$ c> ${\displaysty$c$>$0. {\displaysty c>$0.$$}$

Lax-Milgram 정리(약제형성 참조)에 의해, 이 두 조건은 약제형성에서의 원래 문제의 잘 노출됨을 암시한다. 다음 절의 모든 규범은 위의 불평등이 가지고 있는 규범이 될 것이다(이 규범을 흔히 에너지 규범이라고 한다).

갤러킨 방정식의 정확성

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{n}\subset$ V$\},$ 이선형식의 경계성 및 타원성이 ${\displaystyle {Vn}_{}}$ ${\$에 적용되기 때문에 갤러킨 문제의 호조성은 사실 원래 문제의 호조성으로부터 물려받은 것이다$.$

준최고의 근사치(Céa의 보조정리)

원본과 Galerkin 솔루션$$ 사이의 $u{\displaystyle }$ -$$ {\$displaystyle u-u_{n}$ 오류는 견적을 허용한다.

${\displaystyle \u-u_{n}\\leq {\frac {c}\inf_{v_{n}\inf_{v_{n}\inf_{v_{n}\}$

즉, 상수 $C{\displaystyle }$/ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C/c}$까지의$$Galerkin 솔루션 ${\displaystyle u_{}}$ ${\$은 ${\displaystyle {Vn}_{}}$ ${\$의 다른 벡터처럼 원래 솔루션 $u{\displaystyle }$ ${\$ ${\displaystyle u_{}}$$}$에 가깝다는$$ 뜻$.$ 특히 공간별 $근사치$를 연구하기에 충분하다.$레이스타일 V_{n$ 방정식이 풀리는 것을 완전히 잊어버렸다.

증명

증거는 매우 간단하고 모든 갤러킨 방법 뒤에 숨겨진 기본 원칙이기 때문에 여기에 포함시킨다: 이선형(불소양성)과 갈러킨 직교성(중간의 등호)의 타원성과 경계에 의해 임의 v${\displaystyle {}_{}}v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ n ${\$ :

${\displaystyle c\ u-u_{n}\^{2}\leq a(u-u_{n},u-v_{n}})=a(u-u_{n},u-v_{n}\leq C\ u-u_{n}\,\ u-v_{n}\.}$

$c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle u}$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c\ u-u_{n}\}$로 나누고 가능한$$ $모든{\displaystyle {}_{}}$ v ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대해 최소값을 취하면 보조마늘이$$ 나온다.

에너지 규범에서 갤러킨의 가장 좋은 근사 특성

For simplicity of presentation in the section above we have assumed that the bilinear form ${\displaystyle a(u,v)}$ is symmetric and positive definite, which implies that it is a scalar product and the expression ${\displaystyle \ u\ _{a}={\sqrt {a(u,u)}}}$ is actually a valid vector norm, called 에너지 규범 이러한 가정 하에서 에너지 규범에 있어 갤러킨의 가장 좋은 근사 속성을 추가로 쉽게 증명할 수 있다.

에너지 규범에 갈레르킨 a-정통성과 카우치-슈워즈 부등식을 이용하여, 우리는 에너지 규범을 얻는다.

${\displaystyle \ u-u_{n}\ _{a}^{2}=a(u-u_{n}, u-u_{n})=a(u-u_{n}, u-v_{n}\leq \ u-u_{n}\,\ u-v_{n}\.}$

Dividing by ${\displaystyle \ u-u_{n}\ _{a}}$ and taking the infimum over all possible ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$ proves that the Galerkin approximation ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ is the best approximation in the energy norm within the subspace ${\displaystyle V_n\subset V}$${\displaystyle V_{n}\subset V}$, i.e. ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ is nothing but the orthogonal, with respect to the scalar product ${\displaystyle a(u,v)}$, projection of the solution ${\displaystyle u}$ to the subspace ${\displaystyle V_{n}}$.

층계 구조물의 Galerkin 방법

I. 엘리사코프, M. 아마토, A. 마르자니, P.A. 아르반, J.N. 레디는 층계 구조물에 갤러킨 방법의 응용을 연구했다^[6][7][8][9]. 그들은 정확한 결과를 얻기 위해서는 일반화된 기능, 즉 단위 스텝 함수, 디락 델타 함수, 더블트 함수가 필요하다는 것을 보여주었다.

역사

그 접근법은 보통 보리스 갤러킨에게 인정된다.^[10][11] 그 방법은 무엇보다도 헨키와^[12] 던컨에^[13][14] 의해 서양 독자에게 설명되었다. 그것의 융합은 Mikhlin과^[15] Leipholz에^{[16][17][18][19]} 의해 연구되었다. Fourier 방법과의 우연은 Elishakoff et al.에 의해 설명되었다.^[20][21][22] 리츠의 보수적 문제 해결방법과 동등하다는 것이 싱어가 보여줬다.^[23] 갠더와 워너는^[24] 리츠와 갤러킨 방법이 어떻게 현대 유한요소법으로 이어졌는지 보여줬다. 100년간의 방법의 발전은 레핀에 의해 논의되었다.^[25] 엘리사코프, 카플루노프, 카플루노프는^[26] 티모셴코의 진술과 달리 갈레르킨의 방법이 리츠에 의해 개발되지 않았음을 보여준다.

참고 항목

• 리츠법

참조

외부 링크

• "Galerkin method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 수학월드의 갤러킨 방법