쿠마라스와미 분포

쿠마라스와미

확률밀도함수
누적분포함수
파라미터	$(*displaystyle a>0, )$ (실제) $(\displaystyle b>0,$ (실제)
지지하다	${\displaystyle x\in(0,1)}$
PDF	${\displaystyle abx^{a-1}(1-x^{a})^{b-1},}$
CDF	$(\displaystyle 1-(1-x^{a})^{b})$
의미하다	$(\displaystyle {b\Gamma(1+{\tfrac {1}{a}))\Gamma (b)}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}}+b)}}},$
중앙값	$\displaystyle \left(1-2^{-1/b}\오른쪽)^{1/a}$
모드	${\displaystyle {(\frac{}{}a\frac{}{}}^{}}$ - ${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$ a${\displaystyle {\frac{b}{}}^{}}$ -${\displaystyle {\frac{}{}}^{\mathrm{}}}$ ) ${\displaystyle 1^{}}$/ a${\displaystyle 1}$ 1, b${\displaystyle 1}$1,${\displaystyle b\mathrm{b}}$ 1, b )$$${\displaystyle (}$ (${\displaystyle 1}$ )$（$ 1 ） \ $display style$$$\ $geq$ 1,$$b \ $geq$ 1, ( $a$, b ) \$neq$ ( 1, $1$$$)$$} / $a$$$\ $display$ $style$$$\ $frac${ a - 1$$$}$ \ $frac$ { a - 1 }
분산	(문장 참조)
왜도	(complicated-see 텍스트)
예: 첨도	(complicated-see 텍스트)
엔트로피	${\displaystyle \left(1\!-\!{\tfrac{1}{b}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac{1}{를}}\right)H_ᆩ-\ln(농양)}$

확률 및 통계에서 Kumaraswamy의 이중 경계 분포는 구간(0,1)에 정의된 연속 확률 분포의 집합입니다.이것은 베타 분포와 비슷하지만, 확률 밀도 함수, 누적 분포 함수 및 분위수 함수를 닫힌 형태로 표현할 수 있기 때문에 특히 시뮬레이션 연구에서 사용하기 훨씬 쉽습니다.이 분포는 원래 Poondi Kumaraswamy가^[1] 제로 인플레이션으로 하한과 상한 경계 변수를 위해 제안했다.이는 양쪽 극 [0,1]^[2]인치에서 팽창으로 확장되었다.

특성화

확률밀도함수

인플레이션을 고려하지 않은 쿠마라스와미 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다.

$({displaystyle f(x;a,b)=abx^{a-1}{(1-x^{a})^{b-1},\{mbox{where}}\\x\in(0,1)})$

여기서 a와 b는 음이 아닌 형상 파라미터입니다.

누적분포함수

누적 분포 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle F(x;a,b)=\int _{0}^{x}f(\xi;a,b)d\xi = 1-(1-x^{a}^{b})^{b}.\ }$

분위수 함수

역수 누적분포함수(유량함수)는 다음과 같습니다.

$({displaystyle F^{-1}(y;a,b)=(1-y)^{\frac {1}{b})^{\frac {1}{a}}).\ }$

임의 간격 지원으로 일반화

가장 단순한 형태에서 분포는 (0,1)을 지원합니다.보다 일반적인 형태에서는 정규화된 변수 x가 이동되지 않은 변수 및 스케일되지 않은 변수 z로 대체됩니다.

${\displaystyle x=syslogfrac {z-z_{\text{min}}}{z_{\text{min}}},\qquad z_{\text{max}}},\qquad z_{\leq z_{\text{max}}}.,\!}$

특성.

Kumaraswamy 분포의 원시 모멘트는 ^[3][4]다음과 같습니다.

${\displaystyle m_{n}=b\Gamma(1+n/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+b+n/a)}}=B(1+n/a,b),}$

여기서 B는 베타 함수이고 δ(.)는 감마 함수를 나타낸다.이러한 원시 모멘트에서 분산, 왜도 및 과도한 첨도를 계산할 수 있습니다.예를 들어 분산은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \displaystyle ^{2}=m_{2}-m_{1}^{2}.}$

분포의 Shannon 엔트로피(nats 단위)^[5]는 다음과 같습니다.

${\displaystyle H=\left(1\!-\)!\tfrac {1} {a}\right}+\left(1\!-\)!{tfrac {1} {b}}\오른쪽)H_{b}-\ln(ab)}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 Hi$(\$는 조화수 함수입니다.

베타 배포와의 관계

Kumaraswamy 분포는 베타 ^[6]분포와 밀접한 관련이 있습니다.X가_a,b 파라미터 a와 b를 가진 Kumaraswamy 분포 랜덤 변수라고 가정합니다.그러면_a,b X는 적절하게 정의된 베타 분포 랜덤 변수의 a번째 루트입니다.좀_1,b 더 형식적으로 Y는 $매개변수{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ $=$ 1 {\$displaystyle$ \$alpha$=1}$$$및$ β ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle \display = b$를 갖는 베타 분포 랜덤 변수를 나타냅니다. X와_1,b Y 사이에는_a,b 다음과 같은 관계가 있습니다.

${\displaystyle X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a}}$

균등하게 분배하다

${\displaystyle \operatorname {P} \{X_{a,b}\leq x\}=\int _{0}^{x}abt^{a-1}(1-t^{a}^{b-1}dt=\int _{0}^{x^{a}{b-1}\t}\int _{x}\operatorn}}$

하나,γ 을과 Yα의 확률 변수, β 1/γ{\displaystyle Y_{\alpha)}^{1/\gamma}}을 고려하여;0{\displaystyle \gamma>0}고 Yα,({\displaystyle Y_{\alpha)}}는 베타 paramete과 확률 변수 분포를 의미한다generalised Kumaraswamy하는 것은 소개할 수 있다.개발 ${\displaystyle \alpha }${\$displaystyle \alpha }$ $및$ β {\$displaystyle \beta$ 이 일반화된 Kumaraswamy 분포의 원시 모멘트는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle m_{n}=gamfrac(\alpha +\gamma)\Gamma(\alpha +\gamma)}{\Gamma(\alpha +\gamma)}}$

단, ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ 1 {$displaystyle \alpha =$$1{\displaystyle }$$$} , ${\displaystyle \beta }$= b {$displaystyle \$$alpha$=$b$$$} , $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ a$$ ${\displaystyle a}$ {$displaystyle$\alpha $\}$ 의$$ $설정$에서는 원래의 모멘트를 재지정할 수 있지만, 일반적으로 누적분포함수는 폐쇄형식을 가지고 있지 않다.

관련 분포

• $X$~ ${\displaystyle \text{Kumaraswamy}}$ ${\displaystyle (1}$,${\displaystyle 1}$)$${$displaystyle X\sim {Kumaraswamy}(1,1)}$인 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle }X{\displaystyle }$ ~${\displaystyle U}$ (${\displaystyle 0,1}$)$${$displaystyle$ X$\sim$U ($0,1)},$
• $X{\displaystyle }$~${\displaystyle U}$ ( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$) ( \ $displaystyle$X \ $sim$U ($0$ , $1$${\displaystyle {{}^{}}^{}}$, ${\displaystyle {1^{\frac{\mathrm{}}{}}}^{}}$ ) ,${\displaystyle {}^{}}$}$$ ( 균일한 분포 ( ) )$1$ )${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$a ~ ${\displaystyle \mathrm{Kumaraswamy}}$( a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) \ $displaystyle${ $1$ { \ \ { \ \ \ \ \$left$ ( 1 - X$)\$ $right$ )$}^{\tfrac {1}{b}}{\big}}}^{\tfrac {1}{a}}\sim {{textrm {Kumaraswamy}}(a,b),}$
• $X$~ ${\displaystyle \mathrm{베타}}$(${\displaystyle 1}$,$$b ) { $displaystyle$X \$sim$ {$Beta$} ( $1 , b$ ) $$（ aution)$ution{\displaystyle }$ ） ${\displaystyle 、}$ X ~ ${\displaystyle \mathrm{Kumaraswamy}}$ (${\displaystyle 1}$, b$$) （ $displaystyle X$ $\ sim$ { $Kumaraswamy$} ($1$ ,$b$ ) 。
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{베타}}$(${\displaystyle \mathrm{a}}$ ,${\displaystyle }$1$$) { $displaystyle$X \$sim$ { $Beta$} ($$a ,$$1 ) $$、 $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{Kumaraswamy}}$(${\displaystyle a}$ , $1$ )$$（ $displaystyle$X \$sim$ { $Kumaraswamy$} ($a$ , 1 )$$。
• $X$~ ${\displaystyle \text{Kumaraswamy}}$(${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle 1}$) { $displaystyle$X \$$$sim$ { $Kumaraswamy}$ ($a$ , ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$(${\displaystyle }$、 ${\displaystyle \mathrm{1<img\; alt="X\backslash sim\; \{\backslash textrm\; \{Kumaraswamy\}\}(a,1)\backslash ,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/842a695b7bc9f7fb23960d8ac5463245af4e7269"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:25.894ex;\; height:2.843ex;">}}$ if$$、 1 )$$、 ${\displaystyle \text{Kumaraswamy}}$ ${\displaystyle (}$ $1$) 、 $sim${ $textrm${$Kumaraswamy$} ($1$ , $a$)$$。
• $X$~ ${\displaystyle \text{Kumaraswamy}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle a}$) { $displaystyle$X \$$$sim$ { $Kumaraswamy}$( $1$,$a$ )${\displaystyle }({\displaystyle }$ ( 、 ${\displaystyle \mathrm{1<img\; alt="X\backslash sim\; \{\backslash textrm\; \{Kumaraswamy\}\}(1,a)\backslash ,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/76b722656009d34a11b8dba673ed5b0857569f3f"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:25.894ex;\; height:2.843ex;">}}$ )$$、 $Kumaraswamy$( $a$, $1$ )$。$
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{Kumaraswamy}}$(${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle 1}$) { $display style X \ sim$ { $Kumaraswamy}$( $a$${\displaystyle }$, 1$$)${\displaystyle }$、${\displaystyle \mathrm{log<img\; alt="X\backslash sim\; \{\backslash textrm\; \{Kumaraswamy\}\}(a,1)\backslash ,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/842a695b7bc9f7fb23960d8ac5463245af4e7269"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:25.894ex;\; height:2.843ex;">}}$ ( ( ( ( ( (${\displaystyle }$( ( (${\displaystyle （}$ X )$$ \ $display style$- \$log$ ($X$ ) $\ sim$ { $Exponential$} ( a )$$、
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{Kumaraswamy}}$(${\displaystyle 1}$,$$b ) { $displaystyle$$$X \$sim$ { $Kumaraswamy$$}$ ($1$, b${\displaystyle }$)$$ $log$ （ 1 - $X$ \ sim${\displaystyle }${ $textrm${$Exponential }$ 、
• X${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{Kumaraswamy}}$(${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$) { $displaystyle$X \$sim$ { $Kumaraswamy}$ ($a$ , $b$) $x$ 、 X${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{GB1}}$ (${\displaystyle \mathrm{a}}$ , 1, 1,${\displaystyle b}$ )$$、 \ $displaystyle$X \ $sim${ $GB1} （$ a , $1$, $1$, b )$$、 ） if 、 、 、 ized 。

예

Kumaraswamy 분포의 예로는 상한은_max z이고 하한은 0인 용량 z의 저장용량을 들 수 있다.이는 또한 많은 저장용기가 빈 저장용기 상태와 가득 찬 저장용기 ^[2]상태 모두에 대해 0이 아닌 확률을 가지기 때문에 두 개의 팽창을 갖는 자연스러운 예이기도 하다.

레퍼런스