자연 지수 패밀리

확률과 통계에서 자연 지수 패밀리(NEF)는 지수 패밀리(EF)의 특별한 경우인 확률 분포의 한 종류다.null

정의

일변량 케이스

자연 지수 패밀리(NEF)는 지수 패밀리의 하위 집합이다.NEF는 자연 매개변수 η과 자연 통계량 T(x)가 모두 정체인 지수 계열이다.모수가 θ인 지수 계열의 분포는 확률밀도함수로 작성할 수 있다(PDF)

${\displaystyle f_{X}(x\mid \theta )=h(x)\exp {\big(}\theta)T(x)(\theta )-A(\theta )\\\,\,}$

$여기$서 h${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle h(x)}$ 및$$ $A{\displaystyle (}$ ${\displaystyle \theta )}$ ${\displaystyle A(\theta )}$은(는) 알려진 함수다$$.따라서 매개변수 θ을 가진 자연 지수 계열의 분포는 PDF로 작성할 수 있다.

${\displaystyle f_{X}(x\mid \theta )=h(x)\ expx {\Big(}\\theta)\\theta x-A(\theta )\\\,\!}$

[NEF의 원조인 칼 모리스(Carl Morris)가 약간 다른 표기법을 사용하고 있다는 점에 유의하십시오.^[1]모리스는 A.] 대신 Ω을, A.] 대신 uses을 사용한다.

일반 다변량 사례

$x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X\mathcal{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$p$ 그러면 자연 지수 p 계열의 p가 다음과 같은 형태의 밀도 또는 질량 함수를 갖는다고 가정하자.

${\displaystyle f_{X}(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }})=h(\mathbf {x} )\ \exp {\Big (}{\boldsymbol {\theta }}^{\rm {T}}\mathbf {x} -A({\boldsymbol {\theta }})\ {\Big )}\,\!,}$

여기서 \mathb ${R} ^{p}$의 매개 변수 $\theta {\displaystyle \mathit{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}\$in $\mathb$ {R} ^{p}.$}$

모멘트 및 누적 생성 기능

자연 지수 계열의 구성원은 형태의 모멘트 생성 함수(MGF)를 가지고 있다.

${\displaystyle M_{X}(\mathbf {t} )=\exp {\big(}\\\boldsymbol {\ta})-A({\boldsymbol {\ta})\\\\\big )},}$

누적 생성 함수는 정의상 MGF의 로그이므로, 다음과 같다.

${\displaystyle K_{X}(\mathbf {t} )=A({\boldsymbol {\ta}}+\mathbf {t})-A({\boldsymbol {\ta})\,}$

예

가장 중요한 5가지 일변량 사례는 다음과 같다.

• 분산이 알려진 정규 분포
• 포아송 분포
• 알려진 형상 모수 α(또는 사용된 표기법 집합에 따라 k)를 갖는 감마 분포
• 알려진 시행 횟수의 이항 분포, n
• $알려진{\displaystyle }$ r ${\displaystyle r}$의 음이항 분포

이 다섯 가지 예(Poisson, 이항, 음이항, 정규, 감마)는 분산을 평균의 2차 함수로 쓸 수 있기 때문에 2차 분산함수를 갖는 NEF(NEF-QVF)라고 하는 NEF의 특별한 하위 집합이다.NEF-QVF는 아래에 설명되어 있다.null

지수 분포, 카이-제곱 분포, 레일리 분포, 웨이불 분포, 베르누이 분포, 기하 분포와 같은 분포는 위의 다섯 분포의 특별한 경우다.많은 일반적인 분포는 NEF이거나 NEF와 관련될 수 있다.예를 들어, 카이-제곱 분포는 감마 분포의 특별한 경우.베르누이 분포는 n = 1 trial을 갖는 이항 분포다.지수 분포는 형상 모수 α = 1 (또는 k = 1)을 갖는 감마 분포다.Rayleigh와 Weibull 분포는 각각 지수 분포의 관점에서 작성될 수 있다.null

일부 지수 분포는 NEF가 아니다.대수 정규 분포와 베타 분포는 지수 계열이지만 자연 지수 계열은 아니다.null

상기 배포의 대부분은 교과서 및 위 링크된 페이지에서 일반적으로 사용되는 매개변수화와는 다르게 작성되었다.예를 들어, 위의 파라미터화는 포아송 사례의 링크된 글의 파라미터화와 다르다.두 파라미터는 $\theta {\displaystyle }$= ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$( ( )${\displaystyle \theta =\log(\lambda$ $)\}$에 의해 관련되며, 여기서 λ은 평균 파라미터로, 밀도는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle f(k;\theta )={\frac {1}{k!}}\exp {\Big(}\\\\theta \k-\exp(\theta )\\\\}$

$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$so.

${\displaystyle h(k)={\frac {1}{k!}}},{\text{과 }A(\theta )=\exp(\theta )\ .}$

이 대체 매개변수화는 수학 통계에서 계산을 크게 단순화할 수 있다.예를 들어 베이지안 추론에서 후확률 분포는 두 분포의 산물로 계산된다.일반적으로 이 계산은 확률분포함수(PDF)를 작성하고 통합해야 하지만, 위의 파라미터로 그러한 계산을 피할 수 있다.대신, 아래에 설명된 NEF의 특성 때문에 분포 간의 관계를 추상화할 수 있다.null

다변량 사례의 예로는 알려진 시행 횟수의 다항 분포가 있다.null

특성.

자연 지수 계열의 특성은 이러한 분포와 관련된 계산을 단순화하는 데 사용될 수 있다.null

일변량 케이스

1. NEF의 적분은 NEF의 적산 생성 기능의 파생상품으로 계산할 수 있다.n번째 누적분산은 t = 0에서 평가된 t와 관련하여 누적분 생성함수의 n번째 파생물이다.

누적 생성 함수는

${\displaystyle K_{X}(t)=A(\theta +t)-A(\theta )\,}$

첫 번째 누적분포함수는

${\displaystyle \kappa _{1}=K_{X}'(t){\Big }_{t=0}=\왼쪽.{\frac {d}{dt}A(\theta +t)\오른쪽 _{t=0}\,}$

평균은 첫 순간이고 항상 첫 번째 누적분포와 같기 때문에

${\displaystyle \mu _{1}=\kappa _{1}=\operatorname {E}[X]=K'_{X}(0)=A'(\theta )\,}$

분산은 항상 제2의 누적분이며, 항상 제1의 순간과 제2의 순간과 관련된다.

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\kappa _{2}=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}\...}$

하도록

${\displaystyle \operatorname {Var}[X]=K"_{X}(0)=A"(\theta )\,}$

마찬가지로 n번째 누적분포함수는

$\displaystyle \kappa _{n}=A^{(n)}(\theta )\,}$

2. 자연 지수 가족(NEF)은 수녀원에 의해 폐쇄된다.^{[citation needed]}null

NEF에서 배포된 ${\displaystyle {}_{}}$과 동일한 독립된 ($iid{\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}{X}_{}}$1 , …${\displaystyle }$, X$$n {\$displaystyle X_{1},\ldots$ ,$X_{$n}}}이(가) 있는 경우, then${\displaystyle \underset{i}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\}\}\}\}\}\}\}}}}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$이(가 NEF가 NEF인$$ 경우.이것은 누적 생성 함수의 특성에서 나타난다.null

3. NEF 분포를 갖는 랜덤 변수에 대한 분산 함수는 평균 단위로 기록할 수 있다.^{[citation needed]}null

${\displaystyle \operatorname {Var}(X)=V(\mu).}$

4. NEF 분포의 처음 두 순간은 해당 분포 계열 내의 분포를 고유하게 지정한다.^{[citation needed]}null

${\displaystyle X\sim \operatorname {NEF}[\mu ,V(\mu )].}$

다변량 케이스

다변량 사례에서 평균 벡터 및 공분산 행렬은^{[citation needed]}

${\displaystyle \opermbol {E}[X]=\nabla A({\boldsymbol {\ta }}){\nv}[X]=\nabla \nabla ^{\rm{\boldsymbol{\ta}}}}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \nabla$}은$($는) 그라데이션이고${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$and ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$ ${\$ {$T}}}$은(는) 헤시안 행렬이다.null

2차 분산 함수를 갖는 자연 지수 패밀리(NEF-QVF)

자연 지수 계열의 특별한 경우는 2차 분산 함수를 갖는 계열이다.6개의 NEF에는 분포의 분산을 평균의 2차 함수로 기록할 수 있는 2차 분산 함수(QVF)가 있다.이것들은 NEF-QVF라고 불린다.이러한 분포의 성질은 칼 모리스에 의해 처음 설명되었다.^[2]null

${\displaystyle \operatorname {Var}(X)=V(\mu )=\nu _{0}+\nu _{1}\mu +\nu _{2}\mu ^{2}.}$

6개의 NEF-QVF

6개의 NEF-QVF는 분산과 평균 사이의 관계의 복잡성을 증가시키기 위해 여기에 기록되어 있다.null

1. 고정 분산 $X{\displaystyle }$~ N${\displaystyle }$(${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle {\mu \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle$ X$\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$을 갖는 정규 분포는 분산이 일정하기 때문에 NEF-QVF이다$$.분산은 ${\displaystyle \mathrm{Var}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\mu }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 따라서 분산은 평균의 도 0 함수다.null

2. The Poisson distribution ${\displaystyle X\sim \operatorname {Poisson} (\mu )}$ is NEF-QVF because all Poisson distributions have variance equal to the mean ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=V(\mu )=\mu }$, so variance is a linear function of the mean.null

3. The Gamma distribution ${\displaystyle X\sim \operatorname {Gamma} (r,\lambda )}$ is NEF-QVF because the mean of the Gamma distribution is ${\displaystyle \mu =r\lambda }$ and the variance of the Gamma distribution is ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=V(\m$$u )=\mu ^{2}/r}$따라서 분산은 평균의 2차 함수다.null

4. The binomial distribution ${\displaystyle X\sim \operatorname {Binomial} (n,p)}$ is NEF-QVF because the mean is ${\displaystyle \mu =np}$ and the variance is ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=np(1-p)}$ which can be written in terms of the mean as ${\displaystyle V(X)=-}$${\displaystyle V(X)=-np^{2}+np=-\mu ^{2}/n+\mu.$$}$

5. The negative binomial distribution ${\displaystyle X\sim \operatorname {NegBin} (n,p)}$ is NEF-QVF because the mean is ${\displaystyle \mu =np/(1-p)}$ and the variance is ${\displaystyle V(\mu )=\mu ^{2}/n+\mu .$$}$

6. 일반화된^{[clarification needed]} 쌍곡선 세컨트 분포(NEF-GHS)에 의해 생성된 (매우 유명하지 않은) 분포는 V ($\mu$^{[citation needed]} )${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mu }$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ n +${\displaystyle n}$ $(\displaystyle V(\mu )=\mu ^{2}/n+n$$},$ > 0 ${\displaystystylease \mu$ >$0.$$}$

NEF-QVF의 속성

NEF-QVF의 속성은 이러한 분포를 사용하는 계산을 단순화할 수 있다.null

1. 2차 분산함수(NEF-QVF)를 갖는 자연 지수 패밀리는 선형 변환의 경동하에 폐쇄된다.^{[citation needed]}즉, NEF-QVF의 선형 변환의 콘볼루션도 NEF-QVF이지만 반드시 원본은 아니다.null

NEF-QVF에서 배포된 것과 동일한 독립 배포(iid) $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle X_{}}$ n ${\$NEF-QVF의 선형 변환의 콘볼루션도 NEF-QVF이다.null

${\displaystyle Y}$ =${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}=}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ (${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{X}_{}}$ ${\displaystyle i{}_{}}$- b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ c ${\$가 X의 선형 변환의 콘볼루션이다$$.Y의 평균은 $\mu {\displaystyle {}^{}}$μ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle n}$(${\displaystyle \mu }$- b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle c}$ ${\$ Y의 분산은 원래 NEF-QVF의 분산함수로 쓸 수 있다.원래 NEF-QVF에 분산 기능이 있는 경우

${\displaystyle \operatorname {Var}(X)=V(\mu )=\nu _{0}+\nu _{1}\mu +\nu _{2}\mu ^2},}$

새로운 NEF-QVF에는 분산 기능이 있다.

${\displaystyle \operatorname {Var}(Y)=V^{*}(\mu ^{*})=\nu _{0}^{*}+\nu _{1}^{1}*}\nu _{2}^{*}}\mu ^{2}}}}$

어디에

${\displaystyle \nu _{0}^{*}=nV(b)/c^{2}\...}$

${\displaystyle \nu _{1}^{*}=V'(b)/c\...}$

${\displaystyle \nu_{2}^{*}/n=\nu _{2}/n\,}$

2. Let ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\displaystyle X_{2}}$ be independent NEF with the same parameter θ and let ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$. Then the conditional distribution of ${\displaystyle X_{1}}$ given ${\displaystyle Y}$ has quadratic variance in ${\dis$${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1 {\$displaystyle X_{1}$및$$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}: NEF-QVF인 경우에만$$$$ 재생 $스타일$ Y$}$그러한 조건부 분포의 예로는 NEF-QVF가 모두 아닌 정규, 이항 분포, 베타 분포, 초기하 분포 및 기하 분포가 있다.^[1]null

3. NEF-QVF는 Pearson 분포 시스템에서 μ에 대한 사전 분포가 있다(Pearson 분포라고도 함).NEF-QVF 분포의 결합 이전 분포의 예로는 정규, 감마, 상호 감마, 베타, F- 및 t- 분포가 있다.다시 말하지만, 이 결합 전자는 모두 NEF-QVF가 아니다.^[1]null

4. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle \mu }$ ^[1]μ$[\displaystyle X\mid\mid$ \mu $}$이(가) NEF-QVF 분포를 가지고 있고 μ가 사전 분포를 가지고 있다면, 한계$$ 분포는 잘 알려진 분포다.null

위의 표기법과 함께 이러한 특성들은 복잡한 계산과 미적분학을 사용하여 일반적으로 수행될 수 있는 수학적 통계에서 계산을 단순화할 수 있다.null

이 기사는 대체로 또는 전적으로 단일 출처에 의존한다. 관련 토론은 토크 페이지에서 찾을 수 있다. 추가 출처에 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 출처 찾기: "자연 지수 가족" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2012년 6월)

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참조

• 모리스 C. (1982) 2차 분산 함수를 갖는 자연 지수 계열: 통계 이론.오스틴 텍사스 대학교 통계학 연구소의 수학 학부.