함수의 영점

수학에서, 실제, 복잡함 또는 일반적으로 벡터 값을 갖는 $함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle$$f$$\}$의 0($때로는$ 루트라고도 함)은 $f{\displaystyle }$${\displaystyle$ $f$$}$ 도메인의 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$$\}$의 멤버$$ x ${\disp$.$레이스타일$ f$}$은(는) x ${\displaystyle x}$에서 0의 값을 얻거나 동등하게$$x {\$displaystyle x}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{등식}}$ f${\displaystyle (}$ $x{\displaystyle }$ ) =$displaystyle f(x)=0}$에 대한 해결책이다$.$^[1] 따라서 함수의 "0"은 0"은 0의 출력을 생성하는 입력 값이다.^[2]

다항식의 루트는 해당 다항 함수의 0이다.^[1] 대수학의 근본적인 정리는 0이 아닌 어떤 다항식도 그 정도와 기껏해야 같은 숫자의 뿌리를 가지고 있으며, 그 다항식으로 계산된 복잡한 뿌리(또는 더 일반적으로는 대수적으로 닫힌 연장에서의 뿌리)를 고려할 때 뿌리의 수와 정도가 같다는 것을 보여준다.^[3] 예를 들어, 도 2의$$ 다항식 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 다음과 같이 정의된다.

다음부터 두 루트 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$ 및 $3$ ${\displaystyle 3}$이(가$)$ 있음

함수가 실제 숫자를 실제 숫자에 매핑하는 경우, 함수의 0은 그래프가 X축을 충족하는 지점의 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$ - 좌표가$$ 된다. 이 컨텍스트에서 이러한$$ 점$({\displaystyle \mathrm{x}}$, 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x,0)}$의 대체 이름은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ - intercept이다$$.

방정식의 해법

알 수 없는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 모든 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle f(x)=0}$

좌익의 모든 조건을 재정비하여 그러한 방정식의 해법이 $정확히{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$함수의 0이라는 것을 뒤따른다$.$ 다시 말해, "함수의 0"은 정확히 "함수를 0과 동일시하여 얻은 방정식의 해법"이며, 함수의 0에 대한 연구는 방정식의 해법 연구와 정확히 동일하다.

다항근

홀수도의 모든 실제 다항식에는 홀수 수의 실제 뿌리(승수를 세는 것)가 있다. 마찬가지로 짝수 정도의 실제 다항식도 짝수 수의 실제 뿌리를 가져야 한다. 따라서 실제 홀수 다항식은 최소 1개의 실제 루트를 가져야 하는 반면(가장 작은 홀수 전수는 1이기 때문이다), 다항식도 실제 루트가 없을 수 있다. 이 원리는 중간값 정리를 참고하여 증명할 수 있다: 다항식 함수는 연속적이므로 함수 값은 음에서 양으로 또는 그 반대로 변하는 과정에서 0을 교차해야 한다(홀수함수에 대해서는 항상 발생한다).

대수학의 기본 정리

$대수학$의 기본 정리는 도 n {\displaystyle n}의 모든 다항식에는 그 다중성과 함께 계산된 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$의 복합적 뿌리가 있다고$$ 명시한다. 실제 계수를 갖는 다항식의 비현실적인 뿌리는 결합 쌍으로 나온다.^[2] 비에타의 공식은 다항식의 계수를 그 뿌리의 합과 산물에 연관시킨다.

컴퓨팅 루트

예를 들어 다항식 함수와 같은 함수의 컴퓨팅 루트는 종종 전문화 또는 근사치 기법(예: 뉴턴의 방법)을 사용해야 한다. 그러나 4도 이하의 모든 다항식 함수를 포함한 일부 다항식 함수는 모든 뿌리를 계수의 측면에서 대수적으로 표현할 수 있다(더 자세한 내용은 대수적 해법 참조).

제로 세트

수학의 다양한 영역에서 함수의 0 집합은 모든 함수의 0 집합이다. More precisely, if ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ is a real-valued function (or, more generally, a function taking values in some additive group), its zero set is ${\displaystyle f^{-1}(0)}$, the inverse image of ${\displaystyle \{0\}}$ in ${\displaystyle X}$.

0 집합이라는 용어는 0이 무한히 많을 때 일반적으로 사용되며, 0 집합은 일부 비종교적 위상학적 특성을 가지고 있다. 예를 들어 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 수준 집합은 ${\displaystyle f}$- c ${\displaystyle f-c}$의 0 집합이다$.$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 cozero 집합은 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 0 집합($$즉, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이 nonzero인 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합)의 보완물이다.

적용들

대수 기하학에서, 대수적 다양성의 첫 번째 정의는 0 세트를 통해서이다. $구체적$으로, 아핀 대수 집합은 필드 위에$$ 있는 다항식 $고리$ $[$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $1$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ $]$에서 여러 다항식 $k$의 0 집합의 교차점이다$.$ 이런 맥락에서 제로 세트는 제로 로쿠스라고도 한다.

분석 및 기하학에서 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 닫힌 부분 집합은 모든 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 정의된 매끄러운 함수의 0 집합이다$.$ 이것은 파라콤팩트(paracompactness)의 관상으로서 매끄러운 다지관까지 확장된다.

차동 기하학에서는 다지관을 정의하는 데 0 세트가 자주 사용된다. 중요한 특수한 경우는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$부터 R $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$까지의 부드러운$$ 함수인 경우$$.$$$0$이 $f{\displaystyle }$ ${\displaystystyle f}$의 정규 값이면 차원이 된다$$$.$m${\displaystyle }$= ${\displaystyle p\mathrm{-n}}$ ${\displaystyle m=p-n}$ 정규 값 정리.

예를 들어, ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$에서 $m{\displaystyle }$${\$$$$\mathb {$${\displaystyle R}$$} ^{m+1$}의 단위 m {\displaystyle \$mathb$ {R} ^{m+1$}$는 실제 ${\displaystyle 값}$ 함수 $f{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle }$) =${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty f(x)=\vert x\$vert $^{2}-1}-1$}의 0 집합이다$.$

참고 항목

• 마르덴의 정리
• 루트 찾기 알고리즘
• 센도프의 추측
• 무한에서 사라지다
• 제로 크로싱
• 0과 극

참조

추가 읽기

• Weisstein, Eric W. "Root". MathWorld.