집적인자

수학에서 적분 인자는 미분을 포함하는 주어진 방정식의 해결을 용이하게 하기 위해 선택하는 함수다. 보통 일반적인 미분 방정식을 푸는 데 사용되지만, 적분 인자에 의해 곱할 때 다변량 미적분학 내에서 불분명한 미분식을 정확한 미분(이 다음 스칼라 장을 주기 위해 통합할 수 있음)으로 만들 수 있을 때도 사용된다. 이것은 특히 온도가 엔트로피를 정확한 미분율로 만드는 통합 인자가 되는 열역학에서 유용하다.

사용하다

통합 인자는 통합을 용이하게 하기 위해 미분 방정식에 곱한 표현이다. 예를 들어, 비선형 2차 순서 방정식

{\dplaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}=Ay^{2/3}}

${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$ ${\$ 을(를) 통합 요인으로 인정 ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$ :

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}{\frac {dy}{dt}}}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}}.

통합하려면 다음 체인 규칙을 사용하여 방정식의 양쪽을 역방향으로 전환하여 파생형으로 표현할 수 있다는 점에 유의하십시오.

{\frac {d}{dt}}\왼쪽({\frac {1}{1}{d}\오른쪽)={\frac {d}{dt}\오른쪽)={\frac {d}}{dt}\왼쪽(A{{{5}}}y^{5/3}오른쪽).

그러므로

\left\frac {dy}{dt}\오른쪽)^{2}={\frac {6A}{5}}Y^{5/3}+C_{0}

$C_{0}$ 서 C ${\$ 은 $C_{0}$ 상수다.

이 양식은 용도에 따라 더 유용할 수 있다. 변수 분리를 수행하면

\int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt{\frac {6}A}{5}}Y^{5/3}+C_{0}}}}=t

이것은 비원소 적분을 포함하는 암묵적 해결책이다. 이 같은 방법을 사용하여 단순한 진자의 시기를 해결한다.

첫 번째 순서 선형 일반 미분 방정식 해결

통합 인자는 형태로 표현될 수 있는 일반적인 미분 방정식을 해결하는 데 유용하다.

y'+P(x)y=Q(x)

$M(x)$ 아이디어는 M $M(x)$ ( x $M(x)$ ) $M(x)$ 이라고 하는 기능을 찾는 것인데 $M(x)$ 이 기능을 "통합 인자"라고 부르는데, 우리는 이 차이를 통해 왼쪽 측면을 공통 파생 모델 밑에 넣기 위해 곱할 수 있다. 위에 나타낸 표준 $e^{\int P(x)\,dx}$ 선형 미분 방정식의 경우 적분 계수는 $e^{\int P(x)\,dx}$ $e^{\int P(x)\,dx}$ $e^{\int P(x)\,dx}$ ( x $e^{\int P(x)\,dx}$ ) $e^{\int P(x)\,dx}$ $e^{\int P(x)\,dx}$ ${\$ e $^{\int P(x)\,dx}}$ 이다 $e^{\int P(x)\,dx}$

$P(x)$ ( $P(x)$ ) $P(x)$ 의 적분이 로그와 관련된 $P(x)$ 경우에는 임의 상수를 적분 또는 절대 값에 포함할 필요가 없다는 점에 유의하십시오. 첫째, 가능한 모든 방정식을 풀려면 하나의 통합 요소만 필요하며, 둘째, 그러한 상수와 절대값은 포함되더라도 상쇄된다. For absolute values, this can be seen by writing $f(x) =f(x)\operatorname {sgn} f(x)$ , where $\operatorname {sgn}$ refers to the sign function, which will be constant on an interval if $f(x)$ is continuous. $\ln |f(x)|$ $\ln |f(x)|$ $\ln |f(x)|$ ( $\ln |f(x)|$ ) $displaystyle \ln f(x)}$ 은 $f(x)=0$ ( $f(x)=0$ ) $f(x)=0$ = 0 ${\displaystyle f(x)=0$ 일 때 정의되지 않으며 $\ln |f(x)|$ , 원래 함수에 로그 또는 역수(둘 중 어느 것도 0에 대해 정의되지 않음)가 포함된 경우에만 해독제의 로그가 나타나므로 이러한 간격은 우리 해결책의 유효성 간격이 될 것이다.

이를 도출하려면 $M(x)$ ( $M(x)$ x ) $M(x)$ 을(를) $M(x)$ ( $M(x)$ $M(x)$ ) $M(x)$ 에 의한 곱셈이 부분파생물을 총파생물로 변환하는 $M(x)$ 등 첫 번째 순서 선형 미분 방정식의 통합 인자가 되게 $M(x)$ 한 다음, 다음과 같이 한다.

$M(x){\underset {\text{partial 파생상품}}{{{databrace {y'+P(x)y}}}}}}$
$M(x)y'+M(x)P(x)y$
$\underbrace {M(x)y'+M''+M''y} _{\text{total 파생상품}}$

2단계에서 3단계로 진행하려면 $M(x)P(x)=M'(x)$ ( $M(x)P(x)=M'(x)$ ) $M(x)P(x)=M'(x)$ ( x $M(x)P(x)=M'(x)$ ) $M(x)P(x)=M'(x)$ = $M(x)P(x)=M'(x)$ $M(x)P(x)=M'(x)$ ( $M(x)P(x)=M'(x)$ ) $M(x)P(x)=M'(x)$ 이(가) 필요한데, 이 용액은 $P(x)$ ( x $P(x)$ ) $P(x)$ 의 측면에서 $M(x)$ $($ $P(x)$ )을 산출하는 분리 가능한 미분 방정식이다 $P(x)$

$M(x)P(x)=M'(x)$
$P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}}$
$\int P(x)\,dx=\ln M(x)+c$
$M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}$

확인하려면 $M(x)$ ) $M(x)$ 을 $M(x)$ (를) 곱하면

M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)

제품 규칙을 역방향으로 적용하면 왼쪽이 $x$ $x$ 에서 단일 파생 모델로 표현될 수 있음을 알 수 있다.

M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)

우리는 이 사실을 사용하여 우리의 표현을 단순화한다.

{\dplaystyle {\frac {d}{dx}\왼쪽(M(x)y\오른쪽)=Q(x)M(x)}

$x$ $x$ 과(와) 관련하여 양쪽 통합

Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx}dx

e^{\int P(x)\,dx}y=(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx)++C

$C$ 서 C $C$ 은 $C$ (는) 상수임.

지수 값을 오른쪽으로 이동하면 일반 미분 방정식의 일반적인 해법은 다음과 같다.

y=e^{-\int P(x)\,dx}\왼쪽(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}

$Q(x)=0$ 한 미분 방정식의 경우 $Q(x)=0$ x $Q(x)=0$ ) $Q(x)=0$ = 0 $Q(x)=0$ 과 $Q(x)=0$ (와) 일반 미분 방정식의 일반적인 해법은 다음과 같다.

y=Ce^{-\int P(x)\,dx}

=

y=Ce^{-\int P(x)\,dx}

y=Ce^{-\int P(x)\,dx}

-

y=Ce^{-\int P(x)\,dx}

y=Ce^{-\int P(x)\,dx}

( x

y=Ce^{-\int P(x)\,dx}

)

y=Ce^{-\int P(x)\,dx}

y=Ce^{-\int P(x)\,dx}

{\

y

=Ce^{-\int P(x)\,dx

예를 들어, 미분 방정식을 고려하십시오.

y'-{\frac {2y}{x}}=0.

이 경우 $P(x)={\frac {-2}{x}}$ $P(x)={\frac {-2}{x}}$ ) $P(x)={\frac {-2}{x}}$ = $P(x)={\frac {-2}{x}}$ - $P(x)={\frac {-2}{x}}$ x ${\$ 을(를) 확인할 수 있다.

M(x)=e^{\int_{1}^{x(x)dx}}

M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}\,dx}=e^{-2\ln x}={\ln x}}={\ln(e^{\ln x}\오른쪽)^{-2}=x^{-2}

M(x)={\frac {1}{x^{2}}.

양쪽을 $M(x)$ $M(x)$ $M(x)$ ) $M(x)$ 에 곱하기

{\frac {y'}{x^{2}}-{\frac {2y}{x^{3}}}}=0

위의 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

{\frac {d(x^{-2}y)}{dx}=0

x에 대해 양쪽을 통합함으로써 우리는 얻는다.

x^{-2}y=C

또는

y=Cx^{2}

다음과 같은 접근법을 사용하여 동일한 결과를 얻을 수 있다.

{\frac {y'}{x^{2}}-{\frac {2y}{x^{3}}}}=0

{\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}=0

{\frac {x(y'x^{2}-2xy)}}{x^{5}}}=0

{\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.

지수의 법칙을 뒤집으면 알 수 있다.

\왼쪽 \frac {y}{x^{2}}\오른쪽)=0

또는

{\frac {y}{x^{2}}=C,

또는

y=Cx^{2}.

$C$ 서 C $C$ 은 $C$ (는) 상수임.

2차 선형 일반 미분 방정식 해결

1차 방정식의 인자를 통합하는 방법도 2차 방정식으로 자연스럽게 확장될 수 있다. The main goal in solving first order equations was to find an integrating factor $M(x)$ such that multiplying $y'+p(x)y=h(x)$ by it would yield $(M(x)y)'=M(x)h(x)$ , after which subsequent integration and division by $M(x)$ ( $M(x)$ ) $M(x)$ 이(가) $y$ $y$ 을(를) 산출할 수 있다 $M(x)$ $y$ 두 번째 순서 선형 미분 방정식의 경우, $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ ) $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ = $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ p $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ ( x $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ ) $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ x ${\\$ p $(x)\,dx)}.$

(M(x)y)"=M(x)\left(y'+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right\right)=M(x)h(x)}

이는 통합 인자가 사용 $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ 가능하려면 두 번째 순서 $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ 이 y $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ + $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ p $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ ( $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ ) $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ + ( $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ ( x $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ ) $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ + $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ p $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ ) $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ = h ( $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ ) $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ = h $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ ( x ) $#\displaystyle y'+2p(x)+\left(p(x)^{2}+p$ '( $x)=h(x)$ 형식이어야 함을 의미한다.

예 1

예를 들어, 미분 방정식

y'+2xy'+\왼쪽(x^{2}+1\오른쪽)y=0

통합 요인을 사용하여 정확하게 해결할 수 있다. $적절한$ $p(x)$ ( $p(x)$ ) $p(x)$ 은(는) y $'$ ${\$ y $'}$ 용어를 $y'$ 검토하여 추론할 수 있다 $p(x)$ . In this case, $2p(x)=2x$ , so $p(x)=x$ . After examining the $y$ term, we see that we do in fact have $p(x)^{2}+p'(x)=x^{2}+1$ , so we will multiply all terms by the integrating factor $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$ $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$ $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$ $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$ = $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$ x $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$ / $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$ {\ $displaystyle$ e $^{\int$ x $\,dx}=e^{x^{2}/$ 2 $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$ 이로써 우리는

e^{x^{2}/2}y'+2e^{2e^{2}p(x)y'+e^{x^{2}/2}\좌측(p(x)^{2}+p'(x)\right=0

다시 배열해서 줄 수 있는

\left(e^{x^{2}/2}y\right)=0

두 배의 수율 통합

e^{x^{2}/2}y=c_{1}x+c_{2}}

통합 계수로 나누면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

{\displaystyle y={\frac {c_{1}x+c_{2}2}}:{e^{x^{2}/2}}:

예 2

2차 통합 인자의 약간 덜 명백한 적용은 다음과 같은 미분 방정식을 포함한다.

y'+2\display(x)y'-y=1

언뜻 보기에 이것은 분명히 2차 순서 통합 요인에 필요한 형태가 아니다. $y'$ 는 y $'$ {\ $displaystyle$ y $'}$ 앞에 $2p(x)$ ( $2p(x)$ $2p(x)$ {\ $displaystyle 2p$ $(x$ $)$ 용어를 $2p(x)$ 가지고 있지만 $y'$ $y$ $y$ $y$ 앞에 $p(x)^{2}+p'(x)$ $p(x)^{2}+p'(x)$ ( $x$ ) $p(x)^{2}+p'(x)$ + $p(x)^{2}+p'(x)$ ( $)$ 가 $없다. 그러나$ ,

p(x)^{2}+p'=\csc ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)

그리고 피타고라스의 정체성으로부터 코탕트와 코세칸트와 관련된 것,

\csc ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)=-1

따라서 $실제로$ y $y$ 앞에 필요한 용어를 사용하고 통합 요인을 $y$ 사용할 수 있다.

e^{\int \dx(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}}=\sin(x)

각 항에 $\sin(x)$ $\sin(x)$ ( $\sin(x)$ ) $\sin(x)$ 이 $\sin(x)$ (가) 제공하는 항목 곱하기

\sin(x)y'+2\board(x)\sin'-\sin(x)y=\sin(x)

재배열된

[\displaystyle (\sin(x)y)"=\sin(x)}

두 번 통합하면

\sin(x)y=-\sin(x)+c_{1}x+c_{2}

마지막으로, 통합 인자로 나누면

y=c_{1}x\csc(x)+c_{2}\csc(x)-1

n번째 순서 선형 미분 방정식 해결

통합 요인은 어떤 순서로도 확장될 수 있지만, 이를 적용하는 데 필요한 방정식의 형태는 순서가 증가할수록 점점 구체화되어, 주문 3 이상에 유용하지 않게 된다. $n$ 인 생각은 함수 $M(x)y$ ( $M(x)y$ x ) $M(x)y$ ${\displaystyle$ M $(x)y}$ ${\displaystyle n$ $}$ 을 n $n$ ${\displaystyle$ n $}$ 에 대해 $n$ 미분 방정식을 정렬하고 유사 항을 결합하는 것이다. 이것은 형태에 방정식을 산출할 것이다.

M(x)F\!\left(y,y',y'),\ldots,y^{(n)}\right)}

$n$ $n$ 의 $n$ 순서 방정식이 $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ , $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ y $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ ′ $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ , $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ ″ , $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ ( $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ ) ${\$ F $\!$ $n$ $n$ 번 $n$ 차별화한 후 얻은 $\left(y,y',y'),\ldots,$ $h(x)M(x)$ $^{$ n( $n)}\right}$ 은(는) 모든 항에 통합 인자를 곱하고 $h(x)M(x)$ ) M $h(x)M(x)$ ${\$ $displaysty$ $h(x)M(x)}$ n $)$ 을 $h(x)M(x)$ $n$ 양쪽에 있는 통합 인자로 나누어 최종 결과를 얻을 수 있다.

예

인자 통합의 세 번째 순서는 다음과 같다.

(M(x)y')'=M(x)\left(y'')+3p(x)y'+3p(x)^{2}+3p'(x)^{3}+3p'(x)+p(x)\right}}}'y'오른쪽)

따라서 우리의 방정식이 형식이어야 함

y'+3p(x)y'+3p(x)^\왼쪽(3p)(x)^{2}+3p'(x)\오른쪽)^{3}+3p'(x)+p'+p'(x)\right)=h(x)

예: 미분 방정식

y'+3x^{2}y'+\왼쪽(3x^{4}+6x\오른쪽)+\왼쪽(x^{6}+6x^{3}+2\오른쪽)=0

$p(x)=x^{2}$ 는 p $p(x)=x^{2}$ ( $p(x)=x^{2}$ ) $p(x)=x^{2}$ = $p(x)=x^{2}$ $p(x)=x^{2}$ ${\$ 그래서 우리의 통합 $e^{x^{3}/3}$ 는 $e^{x^{3}/3}$ x $e^{x^{3}/3}$ / $e^{x^{3}/3}$ {\ $displaystyle e$ ^{ $x^{3$ . 재배열은 다음을 준다.