안정분포

안정적

확률밀도함수 단위 척도 계수를 갖는 대칭 α-안정성 분포 단위 척도 계수를 사용하여 치우친 중심 안정 분포
누적분포함수 대칭 α-안정성 분포에 대한 CDF 치우친 중심 안정 분포의 CDF
매개변수	α ∈ (0, 2] — 안정성 매개변수 β ∈ [-1, 1] — 왜도 매개변수(왜도가 정의되지 않음) c ∈ (0, ∞) — 척도 파라미터 μ∈(-∞, ∞) — 위치 파라미터
지원	x α < 1 및 β = 1인 경우 μ, +³) x α < 1 및 β = -1인 경우 (-∞, μ]) x ∈ R 그렇지 않은 경우
PDF	일부 매개변수 값을 제외하고 분석적으로 표현할 수 없음
CDF	특정 매개변수 값을 제외하고 분석적으로 표현할 수 없음
평균	μ α > 1일 때, 그렇지 않으면 정의되지 않음
중앙값	μ β = 0일 때, 그렇지 않으면 분석적으로 표현할 수 없음
모드	μ β = 0일 때, 그렇지 않으면 분석적으로 표현할 수 없음
분산	2c2 α = 2일 때, 그렇지 않으면 무한
왜도	α = 2일 때 0, 그렇지 않으면 정의되지 않음
엑스트라 쿠르토시스	α = 2일 때 0, 그렇지 않으면 정의되지 않음
엔트로피	특정 매개변수 값을 제외하고 분석적으로 표현할 수 없음
MGF	${\displaystyle \exp (t}$ ${\displaystyle \mu }$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}{t\mathrm{}}^{}}$ 2) ${\$$\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \exp =2$ 그렇지$$ 않으면 정의되지 않음
CF	$\displaystyle \exp \!{\빅 [}\;it\mu - c\,t ^{\alpha }\,(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi )\;{\Big ]}}$ where ${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log c\,t &{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$

확률론에서 분포는 이 분포가 있는 두 독립 랜덤 변수의 선형 결합이 위치 모수와 척도 모수까지 분포가 같을 경우 안정적이라고 한다. 랜덤 변수는 분포가 안정적인 경우 안정적이라고 한다. 안정적인 분포 계열은 그것을 연구한 최초의 수학자 폴 레비(Paul Lévy)의 이름을 따서 레비 알파 안정 분포라고도 한다.^[1][2]

패밀리를 정의하는 네 가지 매개변수 중, 대부분의 관심은 안정성 매개변수 α(패널 참조)에 집중되었다. 안정 분포는 0 < α ≤ 2를 가지며, 상한이 정규 분포에 해당하며, α = 1은 코우치 분포에 해당된다. 분포는 α < 2에 대해 정의되지 않은 분산을 가지며, α α 1에 대해서는 정의되지 않은 평균을 가진다. 안정적인 확률 분포의 중요성은 독립적이고 동일한 분포(iid) 랜덤 변수의 정규화된 합계에 대해 "attractors"라는 것이다. 정규 분포는 안정적인 분포의 집단을 정의한다. 고전적인 중심 한계 정리에서는 변수의 수가 증가함에 따라 각각 유한 분산을 갖는 변수의 집합이 정규 분포를 따르는 경향이 있다. 유한 분산 가정이 없으면 한계는 정규 분포가 아닌 안정적인 분포일 수 있다. Mandelbrot는 Vilfredo Pareto 다음에 그러한 분포들을 "안정적인 Parettian 분포"^[3][4][5]라고 언급하였다. 특히 그는 1 < α < 2>로 양방향으로 최대 치우친 이들을 "파레토–"이라고 지칭했다.그는 일반 유통보다 주식과 상품 가격을 더 잘 설명한 것으로 여겼다.^[1][6]

정의

비감소분포는 다음 특성을 만족하는 경우 안정적인 분포다.

X와₁ X를₂ 랜덤 변수 X의 독립 복사본으로 만드십시오. 그 다음, 어떤 상수 a와 b > 0에 대해 임의 변수 aX₁ + bX가₂ 일부 상수 c > 0과 d에 대해 cX + d와 동일한 분포를 갖는 경우 X는 안정적이라고 한다. 분포가 d = 0으로 유지되면 분포가 엄격히 안정적이라고 한다.^[7]

정상분포, 코시분포, 레비분포는 모두 위의 속성을 가지고 있기 때문에 안정분포의 특수한 경우라는 것이 뒤따른다.

그러한 분포는 각각 위치 및 척도 매개변수 μ와 c에 의해 파라메트된 4-모수 확률 분포의 4-모수군을 형성하며, 각각 비대칭과 농도 측정에 대략 해당하는 두 형상 모수 β와 α를 형성한다(그림 참조).

확률 분포의 특성 함수 φ(t)는 확률 밀도 함수 f(x)의 푸리에 변환일 뿐이다. 따라서 밀도함수는 특성함수의 역 푸리에 변환이다.^[8]

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }\int _{-\int _{-\infit }^{\npty }\barphi (t)e^{-ixt}\,dt}$

일반 안정 분포에 대한 확률밀도함수는 분석적으로 작성할 수 없지만 일반 특성 함수는 분석적으로 표현할 수 있다. 랜덤 변수 X는 그 특성 함수를 다음과^[7][9] 같이 기록할 수 있는 경우에 안정적이라고 불린다.

${\displaystyle \varphi(t;\displaysty \varphi(t;\data.c,\mu )=\exp \left(it\mu - ct ^\mu - ct ^\ct }\reft(1-i\required)\sgename {sgn}(t)\)\Phi \right)\right)}$

여기서 sgn(t)은 t의 표시일 뿐이고

${\displaystyle \Phi ={\begin{case}\tan \left({\frace}\pi }{2}}\오른쪽)&\\nalpha \neq 1\\\-{\frac {2}{\pi }\log ct &\alpha =1\case{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

μ μ R은 시프트 파라미터로, β β[-1, 1]은 왜도 파라미터로 불리며 비대칭의 측정값이다. 이 맥락에서 α < 2에 대해서는 분포가 두 번째 이상의 순간을 인정하지 않으며, 일반적인 왜도 정의는 세 번째 중심 모멘트가 된다는 점에 유의하십시오.

이것이 안정적인 분포를 제공하는 이유는 두 개의 독립 랜덤 변수의 합에 대한 특성 함수가 두 개의 해당 특성 함수의 곱과 같기 때문이다. 안정적인 분포에서 두 개의 랜덤 변수를 추가하면 α와 β의 값은 같지만 μ와 c의 값이 다를 수 있다.

모든 함수가 합법적인 확률 분포의 특성 함수(즉, 누적 분포 함수가 실제이고 감소하지 않고 0에서 1로 가는 함수)는 아니지만, 위에 주어진 특성 함수는 모수가 그 범위에 있는 한 정당화될 것이다. 일부 값 t에서 특성 함수의 값은 확률 분포 함수가 실제가 되도록 -t에서 값의 복잡한 결합이다.

가장 단순한 경우 β = 0에서 특성 함수는 단지 확장된 지수함수일 뿐이다. 분포는 μ에 대해 대칭이며 (레비) 대칭 알파 안정 분포로, 흔히 SαS로 약칭된다.

α < 1과 β = 1일 때, 분포는 [μ, ∞]에 의해 지지된다.

매개변수 c > 0은 분포의 폭의 척도인 반면 α는 분포의 지수 또는 지수로서 분포의 점증거동을 지정하는 척도인자다.

파라메트리제이션스

위의 정의는 안정적인 분포를 위해 사용 중인 파라메트리제이션 중 하나일 뿐이며, 가장 흔하지만 α = 1의 파라미터에서는 연속적이지 않다.

연속^[7] 파라메트리제이션은

${\displaystyle \varphi(t;\property,\property,\property, \exp \expect t(it\put - \property t ^{\put t }\put(1-i\putes \gename {sgn}(t)\)\c)\)\)\put.Phi \right)\right)}$

여기서:

${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\left( \gamma t ^{1-\alpha }-1\right)\tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log \gamma t &\alpha =1\end{cases}}}$

α와 β의 범위는 이전과 같으며, α(c와 같은)는 양수여야 하며, Δ(μ와 같은)는 실재해야 한다.

어느 파라메트리제이션에서든 임의변수의 선형 변환을 통해 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle y}$; ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 0}$)$${\디스플레이스타일 $f(y;\alpha ,\beta ,1,0)}$을 얻을 수 있다$.$ 첫 파라메트리제이션에서 이 작업은 다음과 같은 새로운 변수를 정의함으로써 이루어진다.

${\displaystyle y={\pi1}{\frac {x-\mu }{\present }{\frac {x-\mu }}{\frac {2}{\pi \ln \ln =1\case}}}}}}$

두 번째 파라메트리제이션에는

${\displaystyle y={\frac {x-\properties }{\property }}$

α가 무엇이든. In the first parametrization, if the mean exists (that is, α > 1) then it is equal to μ, whereas in the second parametrization when the mean exists it is equal to ${\displaystyle \delta -\beta \gamma \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right).$$}$

분배

따라서 안정적인 분포는 위의 네 가지 모수에 의해 지정된다. 모든 비감소 안정 분포는 매끄러운 (무한히 다른) 밀도 함수를 가지고 있음을 보여줄 수 있다.^[7] $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$; ${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$, c ,${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )$가 X의 밀도를 나타내는$$ 경우, Y는 X의 독립 복사본의 합이다.

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}k_{i}(X_{i}-\mu )\,}$

그 다음 ${\displaystyle Y}$는 1초 $f{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}(y}$/ s${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle ,}$ 0${\displaystyle }$)의 밀도를 가지고$$ 있다. ${\displaystyle {\tfrac {1}{s}f(y/s;\alpha;\beta ,c,0)$

${\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{N} k_{N}^{\alpha }\오른쪽)^{\frac {1}{\alpha }}}}}$

α < 2에 대하여 점근거동을 다음과 같이 기술한다.^[7]

${\displaystyle f(x)\sim {\frac {1}{ x ^{1+\alpha }}}\left(c^{\alpha }(1+\operatorname {sgn}(x)\beta )\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right){\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\pi }}\right)}$

여기서 γ은 감마함수(α ≥ 1과 β = ±1일 때 위 식이 0이지만 꼬리가 μ의 왼쪽 또는 오른쪽으로 사라지지 않는 것을 제외한다). 이러한 "무거운 꼬리" 행동은 모든 α < 2에 대해 안정적인 분포의 분산이 무한하도록 한다. 이 속성은 아래 로그 그림에 설명되어 있다.

α = 2일 때 분포는 가우스파(아래 참조), 꼬리 점근은 exp(-x²/4c²)/(2cc)이다.

단측안정분포 및 안정계수분포

α < 1과 β = 1일 때, 분포는 [μ, ∞]에 의해 지지된다. 이 가문을 일방적인 안정분포라고 한다.^[10] 표준분포(μ=0)는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=f\left(x;\alpha ,1,\cos \left({\frac {\alpha \pi }{2}}\right)^{1/\alpha },0\right)}$, where ${\displaystyle \alpha <1}$.

Let q${\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- i ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \pi \mathrm{}}$/ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2$ 그 특성 함수는 $\phi {\displaystyle (t;}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ $\$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle q}$ t ${\displaystyle {}^{}}$)${\$ t$;\alpha ^{}\}\rig$) 입니다$.$ 따라서 PDF의 통합 형식은 (참고: ( )< ${\displaystyle {\text{{{{{}}<0}$ 이다.

${\displaystyle {\reasoned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\re \left[\int _{-\int _}^{-e^}e^{-q t ^{\alpha }}}}\\\\\\\\\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\sin(tx)\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt,{\text{ or }}\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\cos(tx)\cos({\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt.\\end{aigned}}$

이중 사인 적분은 매우 작은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 더 효과적이다$.$

Consider the Lévy sum ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ where ${\displaystyle X_{i}\sim L_{\alpha }(x)}$, then Y has the density ${\displaystyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {x}{\nu }}\right)}$ where ${\disp$$레이스타일 \nu =N^{1/\alpha$ $\}\}.$ 세트 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x=1$ 안정적인 카운트 분포에 도달한다.^[11] 표준 분포는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha }{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right)}$, where ${\displaystyle \nu >0}$ and ${\displaystyle \alpha <1}$.

안정 카운트 분포는 단측 안정 분포 이전의 결합 분포다. 위치 척도 패밀리는 다음과 같이 정의된다.

Nα(ν, ν 0, θ))αΓ(1α)1ν − ν 0Lα(θν − ν 0){\displaystyle{\mathfrak{N}}_ᆯ(\nu, \nu_{0}일 경우 ,\theta)={\frac{\alpha}{\Gamma({\frac{1}{\alpha}})}}{\frac{1}{\nu -\nu_{0}}}L_ᆴ\left({\frac{\theta}{\nu -\nu_{0}}}\right)},ν>ν 0{\displays.$tyle \nu >\nu _{0},$> ${\displaystyle \theta >0},$< 1 ${\displaystyle \property$ <$1$

또한, [${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}\mathrm{})}$ $){\displaystyle$[\$nu$ _${0},\fty )}$이 지원하는 단측 분포이기도 하다$.$ 위치 파라미터 $parameter{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 컷오프 위치인 반면$$, $while{\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$은 스케일을 정의한다$$.

$\alpha {\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$일 때$,$ ${\displaystyle {L\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {\frac{2}{}}_{}}$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle L_{\frac$ {$1}{1$}{2$}}(x)}$은 역 감마 분포인 레비 분포다. 따라서$$ $N{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\frac{\mathrm{}}{}}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\nu ;}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle$ ${\$$mathfrak{N}_{\frac {1}{$1}:{$2}}(\nu$ ;\$nu$$$_${0},\$theta$$)은 형상 3/2와 척도 4의 $이동{\displaystyle \mathrm{}}$ $감마$ 분포인 것이다$.$

N12(ν, ν 0, θ)=14π θ 3/2(ν − ν 0)1/2e− ν − ν 04θ{\displaystyle{\mathfrak{N}}_{\frac{1}{2}}(\nu, \nu_{0}일 경우 ,\theta)={\frac{1}{4{\sqrt{\pi}}\theta ^{3/2}}}(\nu -\nu_{0})^{1/2}e^{-{\frac{\nu -\nu_{0}}{4\theta}}}},ν>ν 0{\displaystyle \n.$u >\nu _{0},$> 0 ${\displaystyle \theta >0$

Its mean is ${\displaystyle \nu _{0}+6\theta }$ and its standard deviation is ${\displaystyle {\sqrt {24}}\theta }$. It is hypothesized that VIX is distributed like ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ with ${\displays$$tyle \nu _{0}=10$$.4}$ 및 $\theta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1.6}$ ${\displaystyle \theta =1.6}($의 섹션 7 참조) 따라서 안정적인 카운트 분포는 변동성 과정의 1차 한계 분포다. 이러한 맥락에서 $\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 "바닥의 변동성"이라고 부른다$$.

안정적인 카운트 분포를 도출하기 위한 또 다른 접근방식은 단측 안정 분포의 Laplace 변환을 사용하는 것이다(의 2.4절).

${\displaystyle {\int }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ e -${\displaystyle z^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {}_{}x}$) ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle {}^{}}$- z ${\displaystyle {{\alpha }^{}}^{}}$ ${\$ $\}\}\}\},$ 여기서 α< $\displaysty \alpha <1$

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ /${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle x=1/\nu }$을$($를) 놓으십시오. 그러면 표준 Laplace 분포와 표준 안정 카운트 분포의 제품 분포로서 좌측에 있는 적분을 분해할 수 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-{\frac { z }{\nu }}}\right)\left({\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {$$1}{\nu }}L_{\alpha }({\frac {1}{\nu }})\right)d\nu ={\frac {1}{2}}{\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}e^{- z ^{\alpha }}}$, where ${\displaystyle \alpha <1}$.

This is called the "lambda decomposition" (See Section 4 of ^[11]) since the right hand side was named as "symmetric lambda distribution" in Lihn's former works. However, it has several more popular names such as "exponential power distribution", or the "generalized error/normal distribution", often referred to when α > 1.

The n-th moment of ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ is the ${\displaystyle -(n+1)}$-th moment of ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$, All positive moments are finite. This in a way solves the thorny issue of diverging moments in the stable distribution.

Properties

• All stable distributions are infinitely divisible.
• With the exception of the normal distribution (α = 2), stable distributions are leptokurtotic and heavy-tailed distributions.
• Closure under convolution

Stable distributions are closed under convolution for a fixed value of α. Since convolution is equivalent to multiplication of the Fourier-transformed function, it follows that the product of two stable characteristic functions with the same α will yield another such characteristic function. The product of two stable characteristic functions is given by:

${\displaystyle \exp \left(it\mu _{1}+it\mu _{2}- c_{1}t ^{\alpha }- c_{2}t ^{\alpha }+i\beta _{1} c_{1}t ^{\alpha }\operatorname {sgn}(t)\Phi +i\beta _{2} c_{2}t ^{\alpha }\operatorname {sgn}(t)\Phi \right)}$

Since Φ is not a function of the μ, c or β variables it follows that these parameters for the convolved function are given by:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\mu _{1}+\mu _{2}\\ c &=\left( c_{1} ^{\alpha }+ c_{2} ^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}\\[6pt]\beta &={\frac {\beta _{1} c_{1} ^{\alpha }+\beta _{2} c_{2} ^{\alpha }}{ c_{1} ^{\alpha }+ c_{2} ^{\alpha }}}\end{aligned}}}$

각 경우 결과 모수가 안정적인 분포를 위해 필요한 구간 내에 있음을 알 수 있다.

일반화된 중심 한계 정리

이 섹션은 검증을 위해 추가 인용구가 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. (2020년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

안정적인 분포의 또 다른 중요한 특성은 일반화된 중심 한계 정리에서 그들이 수행하는 역할이다. 중심 한계 정리에서는 0분산이 유한한 독립적이고 동일한 분포(즉.d.) 변수의 수의 합은 변수의 수가 증가함에 따라 정규 분포를 따르는 경향이 있다고 기술하고 있다.

Gnedenko과 콜모고로프로 인한 일반화 국가들은 확률 변수의 대칭 분포 다양한 바로 멱함수 꼬리(Paretian 꼬리)는 것의 합, xα − 1{\displaystyle)^{-\alpha)}− 감소하고}이 0<, α ⩽ 2{\displaystyle 0<, \alpha \leqslant 2}(고 따라서 무한한 varia.nce), 합계 수가 증가함에 따라 안정적인$$ 분포 f(${\displaystyle x}$;${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle 0}$ )${\displaystyle f(x;\$displaystyle f(x;\$display$,0$,c,0)}$을(를) 경향이 있다.^[12] > ${\displaystyle \alpha >2}$일 경우 합은 안정성 파라미터가 2인 안정적인 분포, 즉 가우스 분포로 수렴된다.^[13]

다른 가능성도 있다. 예를 들어, 랜덤 변수의 특성 함수가 작은 t(양수 또는 음수)에 대해${\displaystyle 1}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\alpha ln}t}$ t${\displaystyle }${\$displaystyle$1+a t $^{\alpha }\ln$ t$$}}에 대해 점증적이지 않은 경우, 그러한 랜덤 변수의 합계에 대한 특성 함수의 값이 지정된 값 u:

${\displaystyle \varphi _{\text{sum}=\varphi ^{n}=u}$

t → 0을 순간적으로 가정하면 위의 한도를 n → ∞:

${\displaystyle \ln u=\lim _{n\to \inflt }n\n\ln \varphi =\lim_{na t ^{\na t ^.}$

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle {\ligned}\ln(\ln u)&=\ln \left(\lim _{n\to \inflt }na t ^{\na }\ln t \right)\\\[5pt]&=\lim _{n\to \infit }\ln \ln \ln \right)=\lim _{n\to \infitt }\\ln(na)+\lnt(\ln t )\lined{line}}$

이것은 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$ $displaystyle \ln t}$이$({\displaystyle \frac{}{}}$가) - ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle {-1}{\tfrac$ {-1}{\$alpha }}\ln}$에 대해 증상이 없음을$$ 보여주므로$$ 이전 방정식을 사용하여 다음 작업을 수행하십시오.

${\displaystyle t \sim \left\frac {-\buffer \ln u}{na\lnn}\right)^{1/\property }}$

이는 합을 다음과 같이 나눈 것을 의미한다.

${\displaystyle \left \frac {na\lnn}{\na\ln}{\rection }^{\frac {1}{\fract }}}$

has a characteristic function whose value at some t′ goes to u (as n increases) when ${\displaystyle t'=(-\ln u)^{\frac {1}{\alpha }}.}$ In other words, the characteristic function converges pointwise to ${\displaystyle \exp(-(t')^{\alpha })}$ and therefore by Lévy's continuity로 나눈 합계를 정리한다.

${\displaystyle \left \frac {na\lnn}{\na\ln}{\rection }^{\frac {1}{\fract }}}$

안정성 매개변수 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$ \alpha $}$ 및 척도$$ 매개변수 1을 사용하여 대칭 알파-변수 분포로 수렴한다.

이는 꼬리가 ${\displaystyle x{}^{}}$- ${\displaystyle 3^{}}$ ${\$x$^{-3}$로 감소하는 랜덤 변수에 적용할 수 있다$.$ 이 랜덤 변수는 평균은 있지만 분산이 무한하다. 다음 분포를 따르자.

${\displaystyle f(x)={\preas}{1}{1}{3}& x \leqslant 1\\\\\\frac {1}{3}x^{-3}& x >1\end{case}}}}}}}}}$

라고 써도 된다.

${\displaystyle f(x)=\int _{1}^{\inflt }{{w^{2}{w^{4}}}h\왼쪽_frac {x}{w}\오른쪽)right}$

어디에

${\displaystyle h\lefthpair\frac {w}\{x}\오른쪽)={\frac{1}{1}{1}{1}{1}{x}}\frac{w}\오른쪽 <1,\frac {x}{w}}\right >1\end{case}}}$

우리는 특징 함수의 점근성 확장의 선행 용어를 찾고자 한다. 확률분포 1w(${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle w\frac{}{}}$)${\displaystyle }${\$displaystyle${\$tfrac {$1}{$w}h\좌({\tfrac {x}{w}}\오른쪽)$의 특성함수는 ${\displaystyle \frac{\sin (\mathrm{tw}}{}}$) ${\displaystyle \frac{t}{}}$ ${\displaystyle {\tfrac($tw$){\sin($tw){{$tw}}}}}}}}}}}$이므로 f(x)에 대한 특성함수는 f.

${\displaystyle \varphi(t)=\int _{1}^{\inflt }{\frac {2\sin(tw)}{tw^{4}}property}$

그리고 우리는 다음을 계산할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\varphi(t)-1&, =\int _{1}^{\infty}{\frac{2}{w^{3}}}\left[{\frac{\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&, =\int _{1}^{\frac{1}{t}}{\frac{2}{w^{3}}}\left[{\frac{\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw+\int _{\frac{1}{t}}^{\infty}{\frac{2}{w^{3}}}\left[{\frac{\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&, =\int _{1}^{\frac{1}{t}}{\f.rac{2}{w^{3}}}\왼쪽[{\frac {\sin(tw)}{tw}-1+\왼쪽\{-{\frac{t^{2}w^{3!}}}}{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right\}\right]\,dw+\int _{\frac {1}{ t }}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{ t }}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+\int _{1}^{\frac {1}{ t }}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right]dw+\int _{\frac {1}{ t }}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{ t }}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+\left\{\int _{0}^{\frac {1}{ t }}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}}\오른쪽]{0}^-\{0}^{1}{{0}^{2}{{w^{3}}}\왼쪽[{\frac {\sin(tw)}{t}-1+{\frac{t^{2}^{2}}!}}\right]dw\right\}+\int _{\frac {1}{ t }}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{ t }}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+t^{2}\int _{0}^{1}{\frac {2}{y^{3}}}\left[{\frac {\sin(y)}{y}}-1+{\frac {y^{2}}{6}}\right]dy-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right]dw+t^{2}\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{y^{3}}}\left[{\frac {\sin(y)}{y}}-1\right]dy\\&=-{\frac {t^{2}}{3}}\int _{1}^{\frac {1}{ t }}{\frac {dw}{w}}+t^{2}}C_{1}-\int _{0}^{1}{0}^{1}{2}{w^{3}}}}\왼쪽[{\frac {\sin(tw)}{tw}-1+{\t^{{2}-{{6}}}}}{{6}}}\w+{2]dw+t^{2}{2}{2}}}C_{2}\\&={\frac {t^{2}}:{3}\ln t +t^{2}}C_{3}-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right]dw\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln t +t^{2}}C_{3}-\int _{0}^{0}^{1}{{0}^{2}{w^{3}}}}\왼쪽[{\frac {t^{4}w^{4}}}}}}}{5!}}}+\cdots \right]\&={\frac {t^{2}}:{3}\ln t +t^{2}}}C_{3}-{\mathcal {O}\왼쪽(t^{4}\오른쪽)\end{arged}}}$

여기서 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}} 및 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 상수다$$. 그러므로

${\displaystyle \varphi (t)\심 1+{\frac {t^{2}}:{3}\ln t }$

그리고 위에서 말한 것(그리고 f(x;2,0,0)의 분산이 2라는 사실)에 따라, $n{\displaystyle \sqrt{}}$(${\displaystyle \sqrt{\ln }}$ ${\displaystyle \sqrt{}}$ )${\displaystyle \sqrt{}}$/ ${\displaystyle \sqrt{12}}$, ${\displaystyle {\sqrt{n(\ln$)(\ln$)/12}}$로 나눈 이 랜덤 변수의 인스턴스들의 합은 분산 1을 가진 가우스 분포로 수렴할 것이다$$. 그러나 어떤 특정한 n에서의 차이는 여전히 무한할 것이다. 한계 분포의 폭은 변수의 분산이 유한한 경우(이 경우 폭이 n의 제곱근으로 커지는 경우)보다 빠르게 증가한다는 점에 유의한다. 합을 n으로 나누어 얻은 평균은 큰 숫자의 법칙에 따라 n이 증가함에 따라 폭이 0에 가까워지는 가우스 쪽을 지향한다.

특례

f(x) 형태에 대한 일반적인 분석 용액은 없다. 그러나 특성 함수의 검사에서 볼 수 있는 기본적인 기능 측면에서 표현될 수 있는 세 가지 특별한 경우가 있다.^[7][9][14]

• α = 2의 경우 분포는 분산 variance² = 2c² 및 평균 μ를 갖는 가우스 분포로 감소한다. 왜도 변수 β는 아무런 영향도 없다.
• α = 1 및 β = 0의 경우 분포는 척도 모수 c와 시프트 모수 μ를 사용하여 Cauchy 분포로 감소한다.
• α = 1/2 및 β = 1의 경우 분포는 척도 모수 c와 시프트 모수 μ를 사용하여 레비 분포로 감소한다.

위의 세 가지 분포도 다음과 같은 방법으로 연결된다는 점에 유의하십시오. 표준 Cauchy 랜덤 변수는 가우스 랜덤 변수(모두 평균 0 포함)의 혼합물로 볼 수 있으며, 분산은 표준 Lévy 분포에서 도출된다. 그리고 사실 이것은 보다 일반적인 정리(의 페이지 59 참조)의 특별한 경우로서, 대칭 알파 안정 분포는 이러한 방식으로 볼 수 있다(혼합 분포의 알파 매개변수는 혼합 분포의 알파 매개변수의 2배와 같으며 혼합 분포의 베타 매개변수는 항상 1과 같다).

합리적인 값이 α인 안정적 PDF를 위한 일반적인 폐쇄형 표현은 메이저 G 기능 측면에서 볼 수 있다.^[16] Fox H-Functions는 또한 안정적인 확률밀도함수를 표현하는데 사용될 수 있다. 단순한 합리적 숫자의 경우 닫힌 형태 표현은 덜 복잡한 특수함수의 관점에서 이루어지는 경우가 많다. 특수함수의 관점에서 다소 단순한 표현을 가진 몇몇 폐쇄형 표현들을 사용할 수 있다. 아래 표에서, 기본 기능에 의한 PDF의 표현 가능은 E로, 특수 기능에 의한 표현 가능은 s로 표시한다.^[15]

		α
		1/3	1/2	2/3	1	4/3	3/2	2
β	0	s	s	s	E	s	s	E
	1	s	E	s	s		s

특수 사례 중 일부는 특정 이름으로 알려져 있다.

• α = 1 및 β = 1의 경우 분포는 이 이름으로 물리학에서 특정 용도를 갖는 란다우 분포다.
• α = 3/2 및 β = 0의 경우 분포는 척도 모수 c와 시프트 모수 μ를 갖는 Holtsmark 분포로 감소한다.

또한 c가 0에 근접하거나 α가 0에 근접할 때 한계에서 분포는 디락 델타 함수 Δ(x - μ)에 근접한다.

시리즈 표현

안정적 분포는 더 단순한 적분의 실제 부분으로 재작성될 수 있다.^[17]

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\re \left[\int _{0}^{\inft }e^{it(x-\mu )^{-(ct)^{\alpha }}}}\i\bet }\dtrigot.}$

두 번째 지수화를 테일러 시리즈로 표현하면 다음과 같다.

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}}\,dt\오른쪽]}$

여기서 $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{c}{}^{}{\alpha }^{}}$( 1 - ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ ${\displaystyle )}$) {\$displaystyle q=$c^{\$alpha }(1-i\beta \Phi$ 통합 및 합산의 순서를 거꾸로 하고 통합 수율을 실행한다.

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\re \left[\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}}}\{\frac {i}{x-\mu }}\오른쪽)^{\\\알파 n+1}\감마(\알파 n+1)\오른쪽]}$

x μ μ에 유효하며 적절한 매개변수 값에 수렴한다. (참고: x - μ에서 델타 함수를 생성하는 n = 0 항이 삭제됨) 첫 번째 지수를 연속적으로 표현하면 일반적으로 덜 유용한 x - μ의 양의 힘으로 또 다른 지수를 산출하게 된다.

단측 안정 분포의 경우,${\displaystyle }q{\displaystyle }$ = ${\displaystyle \exp (}$ (${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{i\alpha }}$ ${\displaystyle /}$ /${\displaystyle 2\mathrm{}}$ )$${\$displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi$/$2)}$과 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {i\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ qi$^{\alpha }=1$}이므로 위의 시리즈 확장을 수정할 필요가 있다$.$ 요컨대 실체가 없다. 그 대신 특성 함수의 적분은 다음과 같은 결과를 내는 음축에서 수행해야 한다.^[18][10]

${\displaystyle {\reasoned}L_{\알파 }(x)&={\frac {1}{\pi }}\re \left[\sum _{n=1}^{\frac {(-q)^{n}}{n!}}}}\{\frac {-i}{x}\오른쪽)^{\\\알파 n+1}\감마(\알파 n+1)\오른쪽]\\&={\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\n=1}\inflt }{\frac {-\sin(n(\cHB +1)\pi )}{n!}}}\{\frac{1}{x}\오른쪽)^{\\알파 n+1}\감마(\알파 n+1)\\end{aigned}}}}$

안정변수의 시뮬레이션

역 $F{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ F$^{-1}(x)}$에 대한 분석 식이 없고 $CDF{\displaystyle }$ F${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle F(x)}$ 자체에$$ 대한 분석 식이 없기 때문에 안정적인 랜덤 변수의 시퀀스를 시뮬레이션하는 것은 간단하지 않다.^[19][11] 거부나 반전 방법과 같은 모든 표준 접근법은 지루한 계산을 필요로 할 것이다. 훨씬 더 우아하고 효율적인 솔루션은 챔버스, 말로우즈 및 스틱(CMS)에 의해 제안되었는데,^[20] 그는 어떤 적분 공식이^[21] 다음과 같은 알고리즘을 산출한다는 것을 알아차렸다.^[22]

• 평균이 ${\displaystyle \frac{\mathrm{1인}}{}}$ $독립$ 지수 ${\displaystyle \frac{\mathrm{랜덤}}{}}$ $변수$ W {\$displaystyle W}$에 균일하게$$ 분포된 $U{\displaystyle }$${\displaystyle }${\displaystyle U${\displaystyle \}}$ 생성$$$($ - \ 2, $fr$ 2 ) {\$displaystyle \left$(-{\$tfrac$ {\$pi }{2}}\오른쪽$$)$
• $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha \neq$ 1$}$ 계산의$$ 경우:

${\displaystyle X=\좌측(1+\zeta ^{2}\우측)^{\frac {1}{1}{2\alpha }}{\frac {\sin(\alpha (U+\xi )}}}{(\cos)(U))}^{\frac {1}{\alpha }}}}}\왼쪽({\frac {\cos(U-\alpha(U+\xi ))}{{W}}\오른쪽)^{\frac {1-\alpha }{\alpha }},}$

• $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \property =$1$}$계산의$$ 경우:

${\displaystyle X={\frac {1}{\xi }}\left\{\left({\frac {\pi }{2}}+\beta U\right)\tan U-\beta \log \left({\frac {{\frac {\pi }{2}}W\cos U}{{\frac {\pi }{2}}+\beta U}}\right)\right\},}$

어디에

${\displaystyle \jeta =-\frac {\pi \pi \pi \pi \{2}},\qquad \case}{\frac {1}{\\\cctan\\zeta )&###\neq 1\\{\pi{2}}&#1\case}$

이 알고리즘은 랜덤 변수${\displaystyle }X{\displaystyle }$ ~ S ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\beta }$, ${\displaystyle 1}$, $){\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,$1$,0)}$을 산출한다$.$ 자세한 증명은 을 참조한다.^[23]

표준 안정 랜덤 변수의 시뮬레이션 공식을 고려할 때, 다음 속성을 $사용$하여 매개변수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$ c ${\displaystyle$ c$},$$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta },$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$의 모든 허용 값에 대해 안정적인$$ 랜덤 변수를 쉽게 시뮬레이션할 수 있다. $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}\beta }$, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$인 경우$$

${\displaystyle Y={\begin}cX+\mu &\\alpha \neq 1\\\cX+{\frac {2}{{\pi}}\beta c+\mu &\alpha =1\end{case}}}}}$

$S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}\beta }$, ${\displaystyle c}$ ,${\displaystyle \mu )}$^[24] ${\displaystyle S_{\alpha }(\beta ,c,\mu )$이다.$$${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$= 2 ${\displaystyle \alpha =2}($및 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty \beta =0$ CMS 방법은 가우스 방법을 잘 알려진 Box-Muller 변환으로 축소하여 가우스 랜덤 변수를 생성한다. 이 문헌에서는 Bergström과 LePage 시리즈 확장의 적용 등 많은 다른 접근법이 제안되었다. 참조 및 ^[26]참조. 그러나 CMS 방법은 가장 빠르고 정확한 것으로 간주된다.

적용들

안정적인 분포는 이론과 실제 양쪽 모두에서 그들의 중요성에 기인한다. 중심 한계 정리가 2차(그리고 아마도 1차) 순서 모멘트가 없는 무작위 변수에 일반화되었기 때문이다. 그리고 그에 수반되는 안정적 가족의 자기 유사성. Benoît Mandelbrot는 면화가격이 α와 알파-안정적인 분포를 따를 것을 제안하게 된 것은 금융 데이터에 대한 자기 유사 모델(즉, 연간 자산 가격 변동에 대한 분포의 형태는 유권자의 일일 또는 월별 가격 변동과 유사해야 한다) 요구와 함께 정상성에서 벗어난 것으로 보인다. 1.7과 같다.^[6] 레비 분포는 비판적 행동과 재무 데이터 분석에서 자주 발견된다.^[9][27]

그것들은 또한 분광학에서 쿼시스트압으로 확장된 스펙트럼 라인에 대한 일반적인 표현으로 발견된다.^[17]

2001년 12월에 CGRO BATSE 하드 X선 태양 플레어에 대해 태양 플레어 대기 시간 이벤트(플레어 이벤트 간 시간)의 레비 분포가 실증되었다. 레비 통계 서명의 분석 결과, 두 개의 서로 다른 메모리 서명이 명백했다. 하나는 태양 주기와 관련된 것이고 다른 하나는 지역화된 태양 활성 지역 효과 또는 조합과 관련이 있는 것으로 보이는 것이다.^[28]

기타 분석 사례

분석적으로 표현 가능한 안정적인 분포의 많은 사례가 알려져 있다. $안정적$인 분포가 $(x$; ${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle c}$ ,$μ$)로 표현되도록 두십시오$.$ $그러면$ $우리$는 다음을 알 수 있다$.$

• Cauchy 분포는 $f{\displaystyle (x}$; ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ , ${\displaystyle 0}$ )에 의해 주어진다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle f(x;1,0,$1,$0)$$}$
• 레비 분포는 $f{\displaystyle (x}$; 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 0}$)에 의해 주어진다$.$ ${\displaystyle f(x;{\tfrac{1}{2}},$1,$0.$$}$
• 정규 분포는 $f{\displaystyle (x}$; 2,${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 0}$ )에 의해 주어진다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle f(x;2,0,1,0)$$}$
• $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}\nu {}_{}}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$을(를) Lommel 함수로 하고$$ 나서 다음을 수행하십시오.^[29]

${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{3},0,1,0\오른쪽)=\Re \left({\frac {2e^{-{\frac {i\pi }{4}}}}{3{\sqrt {3}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}S_{0,{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2e^{\frac {i\pi }{4}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)\right)}$

• $S{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle S($${\displaystyle x}$$)}$ 및$$ $C{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle C(x)}$이(가) 프레스넬 통합을 나타내도록$$ 한 다음,^[30]

${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{2}},0,1,0\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi x ^{3}}}}\left(\sin \left({\tfrac {1}{4 x }}\right)\left[{\frac {1}{2}}-S\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi x }}}\right)\right]+\cos \left({\tfrac {1}{4 x }}\right)\left[{\frac {1}{2}}-C\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi x }}}\right)\right]\right)}$

• $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle K_{v}(x)}$을(를) 두 번째 유형의 수정된 Besel 함수로 설정한$$ 후:^[30]

${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{3}},1,1,0\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {2{\sqrt {2}}}{3^{\frac {7}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}K_{\frac {1}{3}}\left({\frac {4{\sqrt {2}}}{3^{\frac {9}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}$

• ${\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) 초기하 함수를 나타내는$$ 경우:^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {4}{3}},0,1,0\right)&={\frac {3^{\frac {5}{4}}}{4{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {7}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {11}{12}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {6}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {8}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {7}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {6}{12}},{\tfrac {8}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)-{\frac {3^{\frac {11}{4}}x^{3}}{4^{3}{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {13}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {17}{12}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {18}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {15}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {17}{12}};{\tfrac {18}{12}},{\tfrac {15}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)\\[6pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},0,1,0\right)&={\frac {\Gamma \left({\tfrac {5}{3}}\right)}{\pi }}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {5}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {5}{6}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)-{\frac {x^{2}}{3\pi }}{}_{3}F_{4}\left({\tfrac {3}{4}},1,{\tfrac {5}{4}};{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {4}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)+{\frac {7x^{4}\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}{3^{4}\pi ^{2}}}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {19}{12}};{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {5}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)\end{aligned}}}$

with the latter being the Holtsmark distribution.

• Let ${\displaystyle W_{k,\mu }(z)}$ be a Whittaker function, then:^[31][32][33]

${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {2}{3}},0,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }} x }}\exp \left({\tfrac {2}{27}}x^{-2}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {4}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {2}{3}},1,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }} x }}\exp \left(-{\tfrac {16}{27}}x^{-2}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {32}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},1,1,0\right)&={\begin{cases}{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }} x }}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left(-{\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x<0\\{}\\{\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }} x }}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}$

See also

• Lévy flight
• Lévy process
• Other "power law" distributions
  • Pareto distribution
  • Zeta distribution
  • Zipf distribution
  • Zipf–Mandelbrot distribution
• Stable and tempered stable distributions with volatility clustering – financial applications
• Multivariate stable distribution
• Discrete-stable distribution

Notes

• The STABLE program for Windows is available from John Nolan's stable webpage: http://www.robustanalysis.com/public/stable.html. It calculates the density (pdf), cumulative distribution function (cdf) and quantiles for a general stable distribution, and performs maximum likelihood estimation of stable parameters and some exploratory data analysis techniques for assessing the fit of a data set.
• libstable is a C implementation for the Stable distribution pdf, cdf, random number, quantile and fitting functions (along with a benchmark replication package and an R package).
• R Package 'stabledist' by Diethelm Wuertz, Martin Maechler and Rmetrics core team members. Computes stable density, probability, quantiles, and random numbers. Updated Sept. 12, 2016.

References