콘웨이-맥스웰-포아송 분포

콘웨이-맥스웰-포아송

확률 질량 함수
누적분포함수
매개변수	${\displaystyle \lambda >0,\nu \geq 0}$
지원	${\displaystyle x\in \{0,1,2,\cHB\}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {\fracda ^{x}}{(x!)^{\nu }}{\frac {1}{Z(\lambda ,\nu )}}}$
CDF	${\displaystyle \sum _{i=0}^{x}\Pr(X=i)}$
평균	${\displaystyle \sum _{j=0}^{\inflt }{\frac {j\jda ^}{j}}{(j!)^{\nu }Z(\lambda ,\nu )}}$
중앙값	닫힌 양식 없음
모드	텍스트 보기
분산	${\displaystyle \sum _{j=0}^{\inflt }{\frac {j^{2}\jda ^{j}}{{j!}}}{\displaysty \sum!)^{\nu }Z(\lambda ,\nu )}}-\operatorname {mean} ^{2}}$
왜도	나열되지 않음
엑스트라 쿠르토시스	나열되지 않음
엔트로피	나열되지 않음
MGF	${\displaystyle {\frac {Z(e^{t}\lambda ,\nu )}{Z(\lambda ,\nu )}}}$
CF	${\displaystyle {\frac {Z(e^{it}\lambda ,\nu )}{Z(\lambda ,\nu )}}}$

확률 이론과 통계에서 콘웨이-맥스웰-포아송(CMP 또는 COM-Poisson) 분포는 리처드 W. 콘웨이, 윌리엄 L. 맥스웰, 시몬 데니스 포아송 분포의 이름을 딴 이산 확률 분포로, 과도한 분산과 과소산포를 모형화하여 포아송 분포를 일반화하는 것이다.지수 계열의 일원으로,^[1] 포아송 분포와 기하 분포가 특수 케이스로, 베르누이 분포가 제한 케이스로 되어 있다.^[2]null

배경

CMP 배포는 원래 콘웨이와 맥스웰이 1962년^[3] 국가 의존 서비스 요율을 가진 대기열 시스템을 처리하기 위한 솔루션으로 제안하였다.CMP 분포는 Boatwright et al. 2003과 Shmueli et al.에 의해 통계 문헌에 소개되었다.(2005).^[2]분포의 확률적 및 통계적 특성에 대한 첫 번째 상세 조사는 슈무엘리 외 연구진이 발표했다.(2005).^[2]COM-Poisson 분포의 일부 이론적 확률 결과는 Li et al. (2019)^[5]에 의해 연구되고 검토되며, 특히 COM-Poisson 분포의 특성화를 검토한다.null

확률 질량 함수 및 기본 특성

CMP 분포는 확률 질량 함수를 갖는 분포로 정의된다.

${\displaystyle P(X=x)=f(x;\lambda ,\nu )={\frac {\lambda ^{x}}{(x!)^{\nu }}{\frac {1}{Z(\lambda ,\nu )}}.}$

여기서:

${\displaystyle Z(\lambda ,\nu )=\sum _{j=0}^{\inflt }{\fract {\lambda ^{j}}{(j!)^{\nu }}.}$

$함수{\displaystyle }$ Z${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \lambda }$ ,${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle$ Z$(\lambda ,\nu )}$는 확률 질량 함수가 1에 합치도록 정규화 상수 역할을 한다$$.$Z{\displaystyle (}$ ${\displaystyle \lambda }$ ,${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle Z(\lambda ,\nu )}$에는 닫힌 형식이 없다는$$ 점에 유의하십시오.null

허용 매개변수의 영역은 > ${\displaystyle \lambda,\nu >0},$< >< ${\displaystyle 0<\lambda <1},$$\nu {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty \nu =0$ 입니다.

포아송 분포에 나타나지 않는 추가$$ 매개 변수 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$을(를) 사용하면 붕괴 속도를 조정할 수 있다.이 붕괴율은 연속 확률의 비율의 비선형적인 감소,

${\displaystyle {\frac {P(X=x-1)}{P(X=x)}}}}={\frac {x^{\nu}{\lambda }}}.}$

When ${\displaystyle \nu =1}$, the CMP distribution becomes the standard Poisson distribution and as ${\displaystyle \nu \to \infty }$, the distribution approaches a Bernoulli distribution with parameter ${\displaystyle \lambda /(1+\lambda )}$. When ${\displaystyle \nu =0}$ the CMP distribut이온은 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 1-\lambda }$의 성공 확률과 함께 기하 분포로 감소한다 단, < ${\displaystyle \lambda <1$^[2]

CMP 분포의 경우, 모멘트는 반복 공식을 통해 찾을 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{r+1}]={\begin{cases}\lambda \,\operatorname {E} [X+1]^{1-\nu }&{\text{if }}r=0\\\lambda \,{\frac {d}{d\lambda }}\operatorname {E} [X^{r}]+\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X^{r}]&{\text{if }}r>0.\\end{case}}$

누적분포함수

For general ${\displaystyle \nu }$, there does not exist a closed form formula for the cumulative distribution function of ${\displaystyle X\sim \mathrm {CMP} (\lambda ,\nu )}$. If ${\displaystyle \nu \geq 1}$ is an integer, we can, however, obtain the following formula in terms of the generalized hy위계함수:^[6]

${\displaystyle F(n)=P(X\leq n)=1-{\frac {_{1}F_{\nu -1}(;n+2,\ldots,n+2;\lambda )}{\{n+1)!\}^{\nu -1}_{0}F_{\nu -1}(;1,\ldots ,1;\lambda )}.}$

정규화 상수

는 CMP분포의 순간들과 cumulants, 같은 많은 중요한 요약 통계, 정상화 일정 Z(λ, ν){Z(\lambda ,\nu)\displaystyle}.[2][7]사실, 그 확률 발전 기능은 E(sX)Z(sλ, ν)/Z{\displaystyle \operatorname{E}s^{X}=Z(λ, ν)(s\lambd의 조건으로 표현될 수 있다.한 ,\nu$)/Z(\lambda ,\nu )}$, 그리고 평균과 분산은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {E}X=\lambda {\frac {d}{d\lambda }}{\big \{}\big \{}\big \ln(Z(\lambda ,\nu ){\big \},},}$

${\displaystyle \operatorname {var}(X)=\lambda {\frac {d}{d\lambda }}\operatorname {E}X.}$

누적 생성 함수는

${\displaystyle g(t)=\ln(\operatorname {E}[e^{tX}]]=\ln(Z(\lambda e^{t},\nu )-\ln(Z(\lambda ,\nu )),}$

그리고 누룩은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle \kappa _{n}=g^{(n)}(0)={\frac {\partial t^{n}}}}\ln(Z(\lambda e^{t}\nu ){\bigg }_{t=0}\quad ngeq 1.}$

정규화 상수 $Z{\displaystyle (\lambda }$,${\displaystyle \nu }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{i}}$ ${\displaystyle \frac{!}{}}$ )${\displaystyle \frac{{}^{\nu }}{}}$ ${\$frac!$^{\nu }}}}$은(는) 일반적으로 닫힌 형태가 아니며, 다음과$$ 같은 주목할 만한 특별한 경우가 있다.

• ${\displaystyle Z(\lambda ,1)=\mathrm {e}^{\lambda }}}$
• ${\displaystyle Z(\lambda ,0)=(1-\lambda )^{-1}$
• $\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow \infit }Z(\lambda ,\nu )=1+\lambda }$
• ${\displaystyle$$I_{0}(2{\sqrt{\lambda$ $\}\}\}\},$ $여기$서 I ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}(\frac{\mathrm{x}}{}}$) = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0(}}{x}^{}}$ ) = 0${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$k${\displaystyle \frac{!)}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}^{}}{}k\frac{}{}\frac{{}^{}}{}}$ 2${\displaystyle k^{\mathrm{}}}$ ${\$}{1$}{(k!)}!)$$^{2}}}{\big (}{\frac {x}{2}}{\big )^{2k}}}}}}}$는 제1종류의 변형된 베셀 함수다.^[7]
• For integer ${\displaystyle \nu }$, the normalizing constant can expressed ^[6] as a generalized hypergeometric function: ${\displaystyle Z(\lambda ,\nu )=_{0}F_{\nu -1}(;1,\ldots ,1;\lambda )}$.

정상화 상수는 일반적으로 닫힌 형태를 가지지 않기 때문에 다음과 같은 점증적 팽창이 관심의 대상이다.> ${\displaystyle \nu >0}$ 수정그리고 나서,${\displaystyle }\lambda {\displaystyle }$ → ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \lambda \rightarrow \infit$ $\},$^[8]

${\displaystyle Z(\lambda ,\nu )={\frac {\exp \left\{\nu \lambda ^{1/\nu }\right\}}{\lambda ^{(\nu -1)/2\nu }(2\pi )^{(\nu -1)/2}{\sqrt {\nu }}}}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\big (}\nu \lambda ^{1/\nu }{\big )}^{-k},}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 c ${\$은(는) 확장에 의해 고유하게 결정된다$$.

${\displaystyle \left(\Gamma(t+1)\right)^{-\nu }={\frac {\nu ^{\nu(t+1/2)}}}{{{{nu t+(1+\pi \오른쪽)^{{j=0}}\sum _{j=0}^{\frac{c_{j}}{\gamma (\nu t+(1+\nu )/2+j)}}}}}}}}}}}$

In particular, ${\displaystyle c_{0}=1}$, ${\displaystyle c_{1}={\frac {\nu ^{2}-1}{24}}}$, ${\displaystyle c_{2}={\frac {\nu ^{2}-1}{1152}}\left(\nu ^{2}+23\right)}$. Further coefficients are given in.^[8]null

순간, 누적 및 관련 결과

$\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$의 일반 값의 경우 CMP 분포의 평균, 분산 및 모멘트에 대한 닫힌 폼 공식은 존재하지 않는다$.$그러나 우리는 다음과 같은 깔끔한 공식을 가지고 있다.^[7]Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle j{}_{}}$) ${\displaystyle r{}_{}}$= j${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{j}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cdots }$(${\displaystyle j}$- r${\displaystyle }$+ 1)${\displaystyle }$⋯ (j - ${\displaystyle r}$ + ${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle (j)_{r}=j(j-1)\cdots (j-r+1)}}}$은 하강 요인(down factor)을 나타낸다$$.$X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle C\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{M}}$ ${\displaystyle \mathrm{P}}$( ${\displaystyle \lambda }$ ,${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle$ X$\sim \mathrm {CMP$} $(\$lambda ,\$nu )},$> ${\displaysty \lambda ,\nu >0$그러면

${\displaystyle \operatorname {E}[(X)_{r}^{\nu }}=\lambda ^{r}}}$

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$의 경우$.$

일반적으로 폐쇄형 공식은 CMP 분포의 순간과 적분에는 사용할 수 없으므로, 다음과 같은 점증적 공식들이 관심의 대상이다.X번 국도 CMP(λ, ν){\displaystyle X\sim \mathrm{CMP}(\lambda ,\nu)},ν>0{\displaystyle \nu>0}. Denote은 비대칭도 γ 1)κ 3σ 3{\displaystyle \gamma_{1}={\frac{\kappa_{3}}{\sigma ^{3}}}}과 과도한 첨 γ 2)κ 4σ 4{\displaystyle \gamma_{2}={\frac{자.\kap$pa _{4}}{\sigma ^{4$$4$$}}$여기서 ${\displaystyle {where\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= V ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$(${\displaystyle X}$)$${\$displaystyle \sigma ^{$2}=\$mathrm$ {$Var}($X$)\}.$ 그러면 $\lambda {\displaystyle }$→ ${\displaystyle \lambda \righrow$\rigraw \rightarrow \$ft$^[8]

${\displaystyle \operatorname {E} X=\lambda ^{1/\nu }\left(1-{\frac {\nu -1}{2\nu }}\lambda ^{-1/\nu }-{\frac {\nu ^{2}-1}{24\nu ^{2}}}\lambda ^{-2/\nu }-{\frac {\nu ^{2}-1}{24\nu ^{3}}}\lambda ^{-3/\nu }+{\mathcal {O}}(\lambda ^{-4/\nu })\right),}$

${\displaystyle \mathrm {Var} (X)={\frac {\lambda ^{1/\nu }}{\nu }}{\bigg (}1+{\frac {\nu ^{2}-1}{24\nu ^{2}}}\lambda ^{-2/\nu }+{\frac {\nu ^{2}-1}{12\nu ^{3}}}\lambda ^{-3/\nu }+{\mathcal {O}}(\lambda ^{-4/\nu }){\bigg )},}$

${\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\lambda ^{1/\nu }}{\nu ^{n-1}}}{\bigg (}1+{\frac {(-1)^{n}(\nu ^{2}-1)}{24\nu ^{2}}}\lambda ^{-2/\nu }+{\frac {(-2)^{n}(\nu ^{2}-1)}{48\nu ^{3}}}\lambda ^{-3/\nu }+{\mathcal {O}}(\lambda ^{-4/\nu }){\bigg )},}$

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\lambda ^{-1/2\nu }}{\sqrt {\nu }}}{\bigg (}1-{\frac {5(\nu ^{2}-1)}{48\nu ^{2}}}\lambda ^{-2/\nu }-{\frac {7(\nu ^{2}-1)}{24\nu ^{3}}}\lambda ^{-3/\nu }+{\mathcal {O}}(\lambda ^{-4/\nu }){\bigg )},}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{-1/\nu }}{\nu }}{\bigg (}1-{\frac {(\nu ^{2}-1)}{24\nu ^{2}}}\lambda ^{-2/\nu }+{\frac {(\nu ^{2}-1)}{6\nu ^{3}}}\lambda ^{-3/\nu }+{\mathcal {O}}(\lambda ^{-4/\nu }){\bigg )},}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=\lambda ^{n/\nu }{\bigg (}1+{\frac {n(n-\nu )}{2\nu }}\lambda ^{-1/\nu }+a_{2}\lambda ^{-2/\nu }+{\mathcal {O}}(\lambda ^{-3/\nu }){\bigg )},}$

어디에

${\displaystyle a_{2}=-{\frac {n(\nu -1)(6n\nu ^{2}-3n\nu -15n+4\nu +10)}{24\nu ^{2}}}+{\frac {1}{\nu ^{2}}}{\bigg \{}{\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}{\bigg \}}.}$

${\displaystyle {\kappa n}_{}}$ ${\$의 점증상 시리즈는 모든 n ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n\geq$ 2}$및$${\displaystyle \mathrm{and}}$ 1 =${\displaystyle {}_{}}$E ${\displaystyle }$ X ${\displaystyle \kappa _{1}=\operatorname$ {E$} X}$에 대해 유지된다$.$

정수 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$}의 경우 모멘트

$\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$이(가) 순간의 명시적 정수 공식인 경우 얻을 수 있다.사례 $\nu {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \nu =$1}은(는$)$ 포아송 분포에 해당한다$$.$\nu {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \nu$=2}이라고 가정합시다. m$$$m{\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$^[7]

${\displaystyle \operatorname {E} [(X)_{m}]={\frac {\lambda ^{m/2}I_{m}(2{\sqrt {\lambda }}}{I_{0}(2{\sqrt {\lambda }}}}.}$

모멘트 및 요인 모멘트에 대한 연결 공식을 사용하면

${\displaystyle \operatorname {E}X^{m}=\sum _{k=1}^{m}\left\{m \atop k}\right\}{\fract\\lambda ^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\lambda }}}{I_{0}(2{\sqrt {\lambda }}}}.}$

특히 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 평균은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \operatorname {E}X={\frac {{\sqrt {\lambda }I_{1}(2{\sqrt {\lambda }})}{{{{{\sqrt}}{\sqrt{\lambda }}}}}}{I_{0}(2{\sqrt {\lambda }}}}.}$

또한 $E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {E} X^{2}=\lambda }$을(를) 사용하기 때문에 다음과 같이 분산이 주어진다$.$

${\displaystyle \mathrm {Var}(X)=\lambda \left(1-{\\frac {I_{1}(2{\sqrt{\lambda }}})^{2}}:{{{}}}I_{0}(2{\sqrt {\lambda }}}^{2}}}\오른쪽).}$

이제 $\nu {\displaystyle 1}$ 1$${\$displaystyle \nu \geq 1}$이(가) 정수라고 가정합시다.그러면

${\displaystyle \operatorname {E}[(X)_{m}]={\frac {\lambda ^{m}}{{m!)^{\nu -1}{\frac {_{0}F_{\nu -1}(;m+1,\ldots ,m+1;\lambda )}{_{0}F_{\nu -1}(;1,\ldots ,1;\lambda )}}}.}$

특히.

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\lambda {\frac {_{0}F_{\nu -1}(;2,\ldots,2;\lambda )}{{0}F_{0}{0}{nu -1}(;1,\ldots,1;\lambda )}),},},},},},},},},}$

그리고

${\displaystyle \mathrm {Var} (X)={\frac {\lambda ^{2}}{2^{\nu -1}}}{\frac {_{0}F_{\nu -1}(;3,\ldots ,3;\lambda )}{_{0}F_{\nu -1}(;1,\ldots ,1;\lambda )}}+\operatorname {E} [X]-(\operatorname {E} [X])^{2}.}$

중위수, 모드 및 평균 편차

$X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle C\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{M}}$ ${\displaystyle \mathrm{P}}$( ${\displaystyle \lambda }$ ,${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle$ X$\sim \mathrm {CMP} (\lambda ,\nu )}$을(를) 놓으십시오$.$ X ${\$$displaystyle$ X$}$의 모드는${\displaystyle }$integer$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {\nu }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ⌋$$⌋ ⌋ ^ ^ { \$lambda ^{1$/\$nu$ $}\rfloor }$ 만약 1 / < < < < < < < < < < { { { { { { { { { ${$ { { { { { { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\$그렇지 않으면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모드는 ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {\nu }^{}}$ ${\$ $and$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ /${\displaystyle {\nu }^{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda ^{1/\nu }-1}$이다$.$^[7]

$평균{\displaystyle }$ ${{\$에 대한$$ X ${\displaystyle {\nu }^{}}$${\displaystyle \lambda }$의 평균 편차는 다음과 같다$$.

${\displaystyle \operatorname {E} X^{\nu }-\lambda =2Z(\lambda ,\nu )^{-1}{\frac {\lambda ^{\lfloor \lambda ^{1/\nu }\rfloor +1}}{\lfloor \lambda ^{1/\nu }\rfloor !}}.}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 중위수에 대해 알려진 명시적 공식은 없지만 다음과 같은 점증적 결과를 사용할 수 있다$.$^[7]$m$ ${\displaystyle m}$을(를) $X{\displaystyle }$~ $CMP$ ($$ ,$ν$)의 $중위수$가 되게$$ 한다$.$그러면

${\displaystyle m=\lambda ^{1/\nu }+{\mathcal {O}\왼쪽(\lambda ^{1/2\nu }\오른쪽),}$

$as{\displaystyle }$as as$$$us$→ as as$$an$as$ an$as$ us.

스타인 특성화

X}CMP(λ, ν){\displaystyle X\sim{\mbox{CMP}}(\lambda ,\nu)∼고, f:Z+↦ R{\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\mapsto({R}}가 f(X+1)<>⁡ 그런 것을 의미한다고 가정해 보자;∞{\displaystyle \operatorname{E}f(X+1)<>\infty}와 E⁡ Xν f(X)<>∞{\displaystyle자.\operato$r이름 {E} X^{\nu }f(X) <\fully$ 그러면

${\displaystyle \operatorname {E}[\lambda f(X+1)-X^{\nu }f(X)]=0.}$

Conversely, suppose now that ${\displaystyle W}$ is a real-valued random variable supported on ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ such that ${\displaystyle \operatorname {E} [\lambda f(W+1)-W^{\nu }f(W)]=0}$ for all bounded ${\displaystyle f:\mathbb {$$Z} ^{+}\mapsto$\mapsto $\mathb$ {$R$ 그런 다음 $W{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{CMP}(}$ ${\displaystyle \lambda }$ ,${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle W\sim {\mbox{CMP}}(\lambda ,\nu$ $)\}.$^[7]

제한적 분포로 사용

Let ${\displaystyle Y_{n}}$ have the Conway–Maxwell–binomial distribution with parameters ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle p=\lambda /n^{\nu }}$ and ${\displaystyle \nu }$. Fix ${\displaystyle \lambda >0}$ and ${\displaystyle \nu >0}$.그런 다음, $Y{\displaystyle \mathrm{}}$ n ${\$ 분포에서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{M}}$ P (${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle \CMP}(\lambda$,\$nu )}$ 분포로$$ 수렴하여$$ n${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}${\$displaysty n\righarrow \infty }.$ 이러한 결과는 이항 분포의 고전적인 Poisson 근사치를 일반화한다$.$^[7]보다 일반적으로 CMP 분포는 Conway-Maxwell-Poisson 이항 분포의 제한적 분포로 발생한다.^[7]COM-이항 분포가 COM-Poisson에 근사하다는 사실과는 별도로, Zhang et al. (2018)^[9]는 확률 질량 함수를 갖는 COM-음 이항 분포가 있음을 보여준다.

${\displaystyle \mathrm {P}(X=k)={\frac {{{{\frac {\gama(r+k)}{k!\감마(r)}}}^{{p^{{p^{k}}{{{p-p}}^{r}}}{\sum \limits _{i=0}^{{{\frac {\감마(r+i)}}{{{\\\frac!\감마(r)}}}^{\nu{p^{i}}{{{{(1-p)}^{r}}}}}}}}}{\좌({\frac {\감마(r+k)}}{k!\감마(r)}}^{{p^{k}}{{p^{{{p-p}^{r}}}{{\frac {1}{C(r,\nu,p)}}}}}},\quad(k=0,1,2,\ldots)}}}$

$r{\displaystyle }$→ +$∞$ {\$displaystyle{r\to +\inflt}}$으로 COM-Poisson인 제한 분포로 수렴한다.$$

관련 분포

• ${\displaystyle X}$~ ${\displaystyle \mathrm{CMP}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ X$\sim \operatorname {CMP} (\lambda ,1$ 그런 다음 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 매개 변수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$}과 함께 포아송 분포를 따른다$$$.$
• Suppose λ<1{\displaystyle \lambda<1}.만약 X번 국도 CMP(λ, 0){\displaystyle X\sim \mathrm{CMP}(\lambda ,0)}그리고 나서, 우리는 이러한 X형태{X\displaystyle}확률 질량 함수 P(X)km그리고 4.9초 만)= λ k({\displaystyle P(X=k)=\lambda ^{km그리고 4.9초 만}(1-\lambda)}, k ≥ 0{\d을 기하 분포를 따르고 있다.$isplaystyle k\geq$ 0$\}.$
• The sequence of random variable ${\displaystyle X_{\nu }\sim \mathrm {CMP} (\lambda ,\nu )}$ converges in distribution as ${\displaystyle \nu \rightarrow \infty }$ to the Bernoulli distribution with mean ${\displaystyle \lambda (1+\lambda )^{-1}}$.

모수 추정

데이터로부터 CMP 분포의 모수를 추정하는 몇 가지 방법이 있다.가중 최소 제곱법과 최대우도 등 두 가지 방법이 논의될 것이다.가중 최소 제곱 접근법은 단순하고 효율적이지만 정밀도가 부족하다.반면에, 최대 가능성은 정확하지만, 더 복잡하고 계산적으로 집약적이다.null

가중 최소 제곱

가중 최소 제곱은 CMP 분포의 모수에 대한 대략적인 추정치를 도출하고 분포가 적절한 모형인지 여부를 결정하는 단순하고 효율적인 방법을 제공한다.이 방법을 사용한 후 모형이 적절하다고 판단될 경우 모수의 더 정확한 추정치를 계산하기 위해 대체 방법을 사용해야 한다.null

이 방법은 위에서 논의한 바와 같이 연속 확률의 관계를 이용한다.이 방정식의 양쪽의 로그를 취함으로써 다음과 같은 선형 관계가 발생한다.

${\displaystyle \log{\frac {p_{x-1}{p_{x}}=-\log \boda +\nu \log x}$

여기서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle Pr}$ ${\displaystyle (X}$= ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \Pr(X=x)}$을(를) 의미한다$.$모수를 추정할 때 $확률$을 x ${\displaystyle$ x$}$ 및 $x$ - ${\displaystyle 1}$의 상대적 주파수로 대체할 수 있다$.$ CMP 분포가 적절한 모델인지 확인하려면 0 카운트가 없는 모든 비율에 대해$$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \log$ x$}$에 대해 값을 플로팅해야 한다.데이터가 선형인 것으로 보이면 모형이 적합할 가능성이 높다.null

모델의 적합성이 결정되면 로그$($${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle p{\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ $){\displaystyle \log({\hat{p}_{x-1}/{\$$displaystyle \log x$의 회귀 분석({\hat{p}/{$p}_{x}}})$을 적합하게 하여 파라미터를 추정할 수 있지만, 따라서 가중치가 최소된다.정사각형 회귀 분석을 사용해야 한다.역가중 행렬은 대각선 상에 각 비율의 분산을 가지며, 첫 번째 비대각선상에 1단계 공분산(두 가지 모두 아래에 제시됨)을 갖는다.null

${\displaystyle \var} \left[\log {{\frac {{p}_{x-1}{x-1}{{p}}}}\{\frac {1}{np}}}}+{np_{x-1}}}}}}}}에 대한 {\frac {np}{x-1}:{x-1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {{\text{cov}}\lift(로그 {{\frac {{p}_{x-1}:{\hat {{p}_{x}}}}},\log {{\frac {{p}}}{x}}}}}}{x+1}\right)\대략적으로 -{{{{np}{np_{nx}}}}}}}}}}}}}}}{np_{x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

최대우도

CMP 우도 함수는

${\displaystyle {\lambda ,\nu \mid x_{1},\dots,x_{n}=\lambda ^{S_}}\exp(-\nu S_{2})Z^{-n}(\lambda ,\nu )}$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{여기}}}$서 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${$}x_${$${\displaystyle {i\mathrm{}}_{}}$$}}$ 및${\displaystyle {}_{}}$S$$${\displaystyle \underset{2}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i = ${\displaystyle {1n}_{}\log }$x${\displaystyle }$i! {\$displaystyle$S_{$2}=\sum _{$i=1}^{$n}\log$ x_${i$ 다음 두 방정식을 최대화할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\bar {X}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\log X!]={\overline {\log X!}}}$

분석 솔루션이 없는 경우.null

대신에, 최대우도 추정치는 뉴턴-래프슨 방법에 의해 숫자로 근사치된다.각 반복에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{로그<img\; alt="X"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.98ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="347">}}$ ${\displaystyle X!}$ ${\displaystyle \log$ X$!}$의 기대치, 분산 및 공분산은 이전 반복에서$$ $나온{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \lambda$} $및$ $\$ {\$displaysty \nu$ }에 대한 추정치를 사용하여 근사치를 계산한다$$.

${\displaystyle \operatorname {E}[f(x)]=\sum _{j=0}^{\f(j){\frac{\lambda ^{j}{{j!)^{\nu }Z(\lambda ,\nu )}.}$

이 $작업$은 ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ $^$ {\$displaystyle${\$hat${\$lambda$}}과($와$) $^$ {\$displaystyle$ {\$hat${\$nu}}$이(가) 융합될 때까지 계속된다$.$

일반화 선형 모형

위에서 논의한 기본 CMP 분포는 베이시안 제형을 이용한 일반화된 선형 모형(GLM)의 기초로도 사용되었다.CMP 배포에 기반한 듀얼 링크 GLM이 개발되었으며,^[10] 이 모델은 교통사고 데이터 평가에 이용되었다.^[11][12]기케마와 코펠트(2008)가 개발한 CMP GLM은 위의 CMP 분포의 개편에 기초하여 ${\displaystyle \lambda }$를 $\mu {\displaystyle }$ =${\displaystyle {}^{}{1\mathrm{}}^{}}$ / ${\displaystyle {\nu }^{}}$ ${\$로 대체하였다$.$$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$의 적분 부분은 그 다음 분포의 모드가 된다$$.전체 베이시안 추정 접근방식은 회귀 모수에 대한 비정보적 이전이 있는 WinBugs에서 구현된 MCMC 샘플링과 함께 사용되어 왔다.^[10][11]이 접근방식은 계산상 비용이 많이 들지만 회귀 모수에 대한 전체 후방 분포를 산출하며, 전문 지식이 유용한 이전 자료를 사용하여 통합될 수 있다.null

포아송 회귀 분석과 로지스틱 회귀 분석을 일반화하는 CMP 회귀 분석을 위한 전통적인 GLM 공식은 개발되었다.^[13]이는 CMP 분포의 지수적 패밀리 특성을 활용하여 우아한 모델 추정(최대우도), 추론, 진단 및 해석을 얻는다.이 접근방식은 전문적인 지식이 모델에 통합되는 것을 허용하지 않는 비용으로 베이시안 접근방식보다 계산 시간이 훨씬 적게 필요하다.^[13]또한 베이지안 공식에서 얻을 수 있는 전체 후방 분포와 비교하여 회귀 모수(Fisher Information Matrix를 통해)에 대한 표준 오차를 산출한다.또한 포아송 모형과 비교한 분산 수준에 대한 통계적 시험을 제공한다.CMP 회귀 분석 적합성, 분산 테스트 및 적합성 평가를 위한 코드를 사용할 수 있다.^[14]null

CMP 분포를 위해 개발된 두 개의 GLM 프레임워크는 데이터 분석 문제에 대한 이 분포의 유용성을 상당히 확장한다.null

참조

외부 링크

• 종합 R 아카이브 네트워크(CLAN)의 일부인 제프리 던(Jeffrey Dunn)의 R(콤포아송)용 Conway-Maxwell-Poisson 배포 패키지
• Tom Minka의 R(콤포아송)용 Conway-Maxwell-Poisson 배포 패키지, 타사 패키지