감마/곰퍼츠 분포

감마/곰퍼츠 분포

확률밀도함수 참고: b=0.4, β=3
누적분포함수
매개변수	$b,s,\displaystyle b,s,\0\,\!}$
지원	$[0,\flashstyle x\in [0,\infully )\!}$
PDF	${\displaystyle bse^{bx}\cHB ^{s}/\왼쪽(\reft)(\reft -1+e^{bx}\right)^{s+1}{\text}{{where{}b,s,\cHB >0}$
CDF	${\displaystyle 1-\board ^{s}/\left(\displaystyle -1+e^{bx}\right)^{s},x>0,b,s,\message >0}$ ${\displaystyle 1-e^{-bsx},\displays =1}$
평균	${\displaystyle =\왼쪽(1/b\오른쪽)\왼쪽(1/s\오른쪽){_{2}{\text{F}_{1}}\좌(s,1;s+1;\좌(\베타 -1\우)/\베타 \우)}$ ${\displaystyle b,s>0,\display \neq 1}$ ${\displaystyle =\좌측(1/b\우측)\좌측[\좌측]\ln \좌측(\우측)],}$ ${\displaystyle b>0,s=1,\disput \neq 1}$ ${\displaystyle =1/\좌측(bs\우측),\b,s>0,\properties =1}$
중앙값	${\displaystyle \left(1/b\오른쪽)\ln\{\put \left[\좌측(1/2\오른쪽)^{-1/s}-1\우측]+1\}}$
모드	${\displaystyle {\begin{aligned}x^{*}&=(1/b)\ln \left[(1/s)(\beta -1)\right],\\&{\text{with }}0<{\text{F}}(x^{*})<1-(\beta s)^{s}/\left[(\beta -1)(s+1)\right]^{s}<0.632121,\\&\beta >s+1\\&=0,\quad \beta \leq s+1\\\end{aligned}}}$
분산	${\displaystyle =2(1/b^{2})(1/s^{2})\reason ^{s}{_{3}{\text}{F}_{2}}(s,s,s;s+1,s+1;1-\beta )}$ ${\displaystyle -{\text}E}^{2}(\tau b,s,\beta )\quad \beta \neq 1}$ ${\displaystyle = (1/b^{2})(1/s^{2}),\cHB \cHB =1}$ ${\displaystyle {\text{with}}}$ ${\displaystyle {_{3}{\text{F}}_{2}}(a,b,c;d,e;z)=\sum _{k=0}^{\infit }\{k}(b)_{k}(c)_{k}/[d)_{k}(e)_{k}}\}z^{k}/k!}$ ${\displaystyle {\text{and}}}$ ${\displaystyle (a)_{k}=\감마(a+k)/\감마(a)}$
MGF	${\displaystyle {\text{E}(e^{-tx})}$ ${\displaystyle =\property ^{s}[message/(t+properties)]{_{2}{\text{F}_{1}}(s+1,(t/b)+s;(t/b)+s+1;1-\beta )}$ $\displaystyle \cHB \neq 1}$ ${\displaystyle =filename/(t+filename),\filename \filename =1}$ ${\displaystyle {\text{}}{_{2}{\text}{\text}}F}}_{1}}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infit }[(a)_{k}(b)_{k}/(c)_{k}]z^{k}/k!}$

확률과 통계에서 감마/곰퍼츠 분포는 연속 확률 분포다.고객 수명의 종합적 수준 모델과 사망률 위험 모델로 사용되어 왔다.null

사양

확률밀도함수

감마/곰퍼츠 분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f(x;b,s,\properties )={\frac {bx}\properties ^{s}}{s}}{s}}}{s}}}}{s+1}:{s+1}:{s+1}:{s+1}}}}$

여기서 > ${\displaystyle b>0}$은 척도 파라미터이고, ,s> $displaystyle \beta$ ,$s>0\,\!}$은 감마/곰퍼츠 분포의 형상 파라미터다.null

누적분포함수

감마/곰퍼츠 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;b,s,\beta )&=1-{\frac {\beta ^{s}}{\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s}}},{\ }x>0,{\ }b,s,\beta >0\\[6pt]&=1-e^{-bsx},{\ }\beta =1\\\end{aligned}}}$

모멘트생성함수

모멘트 생성 기능은 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle {\begin{tx}{\text{E}}(e^{-tx})={\begin{case}\displaystyle \beta^{s}{\frac {sb}{t+sb}{}}}{_{2}{\text}{\text}}F}_{1}:{1}(s+1,(t/b)+s;(t/b)+s+1;1-\beta )&\beta \beta \neq 1;\\\displaystyle {\frac {sb}{t+sb},&\beta =1.\end{case}\end{aigned}}}$

여기서 ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$; c${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$[${\displaystyle }$( ${\displaystyle a{}_{}}$) ${\displaystyle k_{}}$( ) ${\displaystyle k{}_{}}$/${\displaystyle }$( c${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$/ ${\displaystyle k}$! ${\displaystyle {_{$2}{\$text${\text$}$$F}}_{1$}}($a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infit }[(a)_{k}/(c)_{k}z^{k}/k!}}$는 초지하 함수다.null

특성.

감마/곰퍼츠 분포는 오른쪽 또는 왼쪽으로 치우칠 수 있는 유연한 분포다.null

관련 분포

• β = 1인 경우, 이것은 모수 sb를 갖는 지수 분포로 감소한다.
• 감마 분포는 알려진 척도 모수 $b{\displaystyle .}$ ${\displaystyle b\,\!$를 갖는 곰퍼츠 우도 이전의 자연 결합이다.$}$^[1]
• When the shape parameter ${\displaystyle \eta \,\!}$ of a Gompertz distribution varies according to a gamma distribution with shape parameter ${\displaystyle \alpha \,\!}$ and scale parameter ${\displaystyle \beta \,\!}$ (mean = ${\displaystyle \alpha /\beta \,\!}$), the distribution of ${\displa$$ystyle x}$은(는) 감마/곰퍼츠다.^[1]

참고 항목

• 곰퍼츠 분포
• 고객수명가치

메모들

참조

• Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas (2012). "Modeling Purchasing Behavior With Sudden 'Death': A Flexible Customer Lifetime Model". Management Science. 58 (5): 1012–1021. doi:10.1287/mnsc.1110.1461. Archived from the original on 2015-06-26.
• Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas (2011). "Implementing the Gamma/Gompertz/NBD Model in MATLAB" (PDF). Cergy-Pontoise: ESSEC Business School.^{[영구적 데드링크]}
• Gompertz, B. (1825). "On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 115: 513–583. doi:10.1098/rstl.1825.0026. JSTOR 107756. S2CID 145157003.
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. pp. 25–26. ISBN 0-471-58494-0.
• Manton, K. G.; Stallard, E.; Vaupel, J. W. (1986). "Alternative Models for the Heterogeneity of Mortality Risks Among the Aged". Journal of the American Statistical Association. 81 (395): 635–644. doi:10.1080/01621459.1986.10478316. PMID 12155405.