복합 포아송 분포

확률론에서 복합 포아송 분포는 동일한 분포의 독립 랜덤 변수 수의 합계에 대한 확률 분포로, 여기서 추가할 항 수는 그 자체가 포아송 분포 변수다.가장 간단한 경우 결과는 연속적 또는 이산적 분포일 수 있다.null

정의

라고 가정해 보자.

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson}(\lambda ),}$

즉, N은 분포가 기대값 λ을 가진 포아송 분포인 랜덤 변수로서, 다음과 같은 분포가 있다.

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

서로 독립적이고 N과도 독립된 동일한 분포 랜덤 변수.$그런{\displaystyle }$ 다음 N ${\displaystyle N}$ i$$.i.d 변수의 합계에 대한 확률 분포

${\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{N}X_{n}}}$

복합 포아송 분포다.null

N = 0인 경우, 이 값은 0 항의 합이므로 Y 값은 0이다.따라서 N = 0이 주어진 Y의 조건부 분포는 퇴보된 분포다.null

복합 포아송 분포는 N에 대한 (Y,N)의 공동 분포를 한계화하여 얻으며, 이 공동 분포는 조건부 분포 Y N과 N의 한계 분포를 결합하여 얻을 수 있다.

특성.

복합분포의 기대값과 분산은 총 기대치의 법칙과 총분산의 법칙에서 간단한 방법으로 도출할 수 있다.그러므로

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {E} (X)\right]=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),}$

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{바르}(Y)&,=\operatorname{E}\left[\operatorname{바르}(Y\mid N)\right]+\operatorname{바르}\left[\operatorname{E}(Y\mid N)\right]=\operatorname{E}\left[N\operatorname{바르}(X)\right]+\operatorname{바르}\left[N\operatorname{E}(X)\right],\\[6pt]&,=\operatorname{E}(N)\operatorname{바르}(X)+\left(\operatorname {E}(X)\right)^{2}\operatorname {Var}(N)\end{정렬}}}$

그 후, E(N) = N이 포아송 분포인 경우 Var(N)이므로, 이러한 공식은 다음과 같이 줄일 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {E}(Y)=\operatorname {E}(N)\operatorname {E}(X),}$

${\displaystyle \operatorname {Var}(Y)=\operatorname {E}(N)(\operatorname {Var})(X)+(\operatorname {E})(X)^{2}=\operatorname {E}(N){\operatorname {E}(X^{2}).}$

Y의 확률 분포는 특성 함수의 관점에서 다음과 같이 결정할 수 있다.

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E}(e^{itY}=\E} \left(\operatorname {E})(e^{itX}\mid N)\right)^{N}\오른쪽)=\operatorname {E} \left(\varphi _{X}(t))^{N}\right),\,}$

따라서 포아송 분포의 확률 생성 함수를 사용하여

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)={\textrm {e}^{\lambda(\varphi _{X}(t)-1)}\,}$

대안적 접근방식은 누적 생성 기능을 통한 것이다.

${\displaystyle K_{Y}(t)=\ln \operatorname {E}[e^{t]Y}]=\ln \operatorname {E} [\operatorname {E} [e^{t]Y}\mid N]=\ln \operatorname {E} [e^{NK_{X}(t)]=K_{N}(K_{X}(t)).\,}$

총 적산 법칙을 통해 포아송 분포의 평균 λ = 1일 경우 Y의 적산물이₁ X의 순간과 동일하다는 것을 알 수 있다.^{[citation needed]}

무한히 분리할 수 없는 확률 분포는 모두 복합 포아송 분포의 한계임을 알 수 있다.^[1]그리고 복합 포아송 분포는 정의에 의해 무한히 분리된다.null

이산 화합물 포아송 분포

P(X1)k)과 X1, X2, X3,…{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots}은non-negative고 정수 값i.i.d 확률 변수)α k,(k=1,2.){\displaystyle P(X_{1}=k)=\alpha_{k},\(k=1,2,\ldots)}, 이 화합물 푸아송 분포. 분리된 화합물 포아송 분포.[2][3][4](또는 말더듬이-포아송 분포^[5])확률 생성 함수 특성화를 만족하는$$ 이산 랜덤 변수 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$을(를) 말한다.

${\displaystyle P_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad ( z \leq 1)}$

매개 변수와 함께 분리된 화합물 Poisson(DCP)유통}, w.∈ R∞(∑ 나는 1∞ α 정도 나는 1,0≥ α원,λ>0){\displaystyle(\alpha_{1}\lambda ,\alpha_{2}\lambda ,\ldots)\in \mathbb{R}^ᆮ\left(\sum_{i=1}^{}\infty \alpha_{나는}=1,\alpha_{나는};0\right 0,\lambda 을 \geq)(α 1λ,α 2λ.)나hich 나는에 의해 표시된.

$[\displaystyle X\sim {\text{]DCP}}(\lambda {\alpha _{1},\lambda {\alpha _{2}},\ldots )}$

Moreover, if ${\displaystyle X\sim {\operatorname {DCP} }(\lambda {\alpha _{1}},\ldots ,\lambda {\alpha _{r}})}$, we say ${\displaystyle X}$ has a discrete compound Poisson distribution of order ${\displaystyle r}$ . When ${\displaystyle r=1,2}$, DCP becomes Poisson 각각 분포와 헤르미트 분포.${\displaystyle \mathrm{r}}$= ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$4 ${\displaystyle r=3,4$일 때 DCP는 각각 3중 말더듬-포아송 분포와 4중 말더듬-포아송 분포가 된다.^[6]다른 특별한 경우: 시프트기하 분포, 음이항 분포, 기하학적 포아송 분포, 네이만 유형 A 분포, 루리아-델브뤼크 실험에서의 루리아-델브뤼크 분포.DCP의 더 특별한 경우, 검토 문서와^[7] 참고 자료를 참조하십시오.null

Feller의 화합물 포아송 분포의 특성화에 따르면, 비 음의 정수 값 r.v. $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$은 그 분포가 이산 화합물 포아송 분포인 경우에만 무한히 분할된다$$.^[8]음의 이항 분포가 무한히 분리된다는 것을 보여줄 수 있다. 즉, X가 음의 이항 분포를 갖는 경우, 양의 정수 n에 대해서는 X와 동일한 분포를 갖는 이산 I.i.d. 랜덤 변수₁ X, ..., X가_n 존재한다.시프트 기하 분포는 음이항 분포의 사소한 경우이기 때문에 이산 화합물 포아송 분포다.null

이 분포는 일괄 도착(예: 대량 대기열^[5][9])을 모델링할 수 있다.이산형 화합물 포아송 분포는 총 클레임 금액의 분포를 모형화하는 보험수리적 과학에도 널리 사용된다.^[3]null

일부 ${\displaystyle {\alpha k}_{}}$ ${\$가 음수일 때는 이산 사이비 화합물 포아송 분포가 된다.^[3]확률 생성 함수 특성화를 충족하는$$ 이산 랜덤 변수 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y$}$을(를) 정의함

${\displaystyle G_{Y}(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }P(Y=n)z^{n}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad ( z \leq 1)}$

매개 변수와 함께 분리된 의사 화합물 포아송 분퐀나(λ 1, λ 2.)=:(α 1λ,α 2λ.)∈ R∞(∑ k=1∞ α k=1, ∑ k=1∞ α k<>∞,α k∈ R,λ>0){\displaystyle(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots)=:(\alpha_{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda.\ldots$)\in \mathbb {R} ^{\infty }\left({\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\alpha _{k}}=1,\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\left {\alpha _{k}}\right }<\infty ,{\alpha _{k}}\in {\mathbb {R} },\lambda >0}\right)}$.

복합 포아송 감마 분포

X가 감마 분포를 갖는 경우, 그 중 지수 분포가 특수한 경우라면 Y N의 조건부 분포는 다시 감마 분포가 된다.Y의 한계 분포는 분산력이 1<p<2(특성함수의 비교를 통한 증명(확률 이론)))인 트위디 분포로^[10] 보일 수 있다.더 명시적으로 말하면, 다음과 같다.

${\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson}(\lambda ),}$

그리고

${\displaystyle X_{i}\심 \operatorname {\Gamma }(\alpha ,\beta )}$

I.I.d. 다음에 다음 분포

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{{N}X_{i}}}}$

생식$$ 지수 분포 모델 ${\displaystyle E}$ $D{\displaystyle (\mu }$ ,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle ED(\mu ,\sigma ^{2}},$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha }{\beta }}=:\mu ,\\[4pt]\operatorname {Var} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha (1+\alpha )}{\beta ^{2}}}=:\sigma ^{2}\mu ^{p}.\end{정렬}}}$

파라미터 트위디 파라미터 ${\displaystyle {}^{},{}^{}{\mu \mathrm{}}^{}}$ 2 , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu ,\sigma ^{2},p}$를 포아송 및 감마 파라미터 gamma ,${\displaystyle }\alpha {\displaystyle }$ , ${\displaystyle \beta }${\$displaystyle \lambda ,\alpha ,\beta }$에 매핑하는 것은 다음과 같다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {\mu ^{2-p}}{(2-p)\sigma ^{2}}},\\[4pt]\alpha &={\frac {2-p}{p-1}},\\[4pt]\beta &={\frac {\mu ^{1-p}}{(p-1)\sigma ^{2}}}.\end{정렬}}}$

복합 포아송 공정

비율 > ${\displaystyle \lambda >0}$과(${\displaystyle 와}$) 점프 크기 분포 G의 복합 포아송 프로세스는 연속 시간 확률 프로세스 { ${\displaystyle Y}({\displaystyle }$ t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}$이(가)가$$ 부여한 것이다.

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i}}$

여기서 합계는 관례상 N(t)=0만큼 길다.Here, ${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}$ is a Poisson process with rate ${\displaystyle \lambda }$, and ${\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}$ are independent and identically distributed random variables, with distribution function G, which are also independent of ${\displaystyle \{N(t)}$${\$

복합 포아송 공정의 이산형 버전의 경우 취약성 모델의 생존 분석에 사용할 수 있다.^[12]null

적용들

총계가 지수 분포를 갖는 복합 포아송 분포는 Revfeim에 의해 하루 동안의 총 강우 분포를 모형화하기 위해 사용되었다. 여기서 각 날은 지수 분포를 갖는 강우량을 제공하는 포아송 분포의 수를 포함한다.^[13]톰슨은 같은 모델을 월간 총 강우량에 적용했다.^[14]null

보험 청구와^[15][16] X선 컴퓨터 단층 촬영에 대한 신청이 있었다.^[17][18][19]null

참고 항목

참조