누적분포함수

확률 이론과 통계에서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 평가된$$$실제{\displaystyle }$ 값 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ $X}$또는 X {\displaystyle $X}$의 누적 분포 함수(CDF)는 $X{\displaystyle }$ ${\d$ 표시 스타일 X$}$이(가) x ${\d$보다 작거나 같은 값을 가질 확률이다$.$$isplaystyle x}$^[1].

− ∞ F())0{\displaystyle \lim 초기 조향 순간 모든 확률 분포는 진짜 숫자에, 이산이나" 섞"뿐만 아니라 지속적이고 독특하게 한 이상에 의해 continuous[2])lim을 만족하는 단조 증가하고 누적 분포 함수 F:R→[0,1]{\displaystyle F:\mathbb{R}\rightarrow[0,1]}이 확인된 → 지원을 받고 있다._{$x\rightarrow$ -$\infit }F(x)=0}$ 및$$ ${\displaystyle \underset{}{im}}$ x${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}(x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infit }F(x)=1$

스칼라 연속 분포의 경우, 마이너스 무한도부터 x$[\displaystyle$ x$}$까지의 확률밀도함수 아래 영역을 부여하며$,$ 누적분포함수는 다변량 랜덤 변수의 분포를 지정하는 데도 사용된다.

정의

실제 값 랜덤 변수 $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$의 누적 분포 함수는$$^{[3]: p. 77}

여기서 오른쪽은 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$이(가) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$보다 작거나 같은 값을 가질$$ 확률을 나타낸다$.$ $따라서{\displaystyle }$^{[3]: p. 84} X ${\displaystyle$ X$}$이(${\displaystyle 가}$ 반닫힘 간격$(,{\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle(a,b)}$에 있을$$ 확률$.$ 여기서< ${\displaystyle a>는$다음과 같다.

위의 정의에서 "보다 작거나 같은" 부호 ","는 관습이지 보편적으로 사용되는 것이 아니다(예: 헝가리 문학은 "<>를 사용하지만 구분은 이산적인 분포에 중요하다. 이항 분포와 포아송 분포의 표의 적절한 사용은 이 관습에 따라 달라진다. 더욱이 특성 함수에 대한 폴 레비의 반전 공식과 같은 중요한 공식도 "보다 작거나 같은" 공식에 의존한다.

여러 랜덤 변수 $X{\displaystyle }$ ,${\displaystyle Y}$,${\displaystyle }$…을 처리하는$$ 경우, $[\displaystyle$ X,$Y,\ldots }$ 등. 해당 글자는 첨자로 사용하는 반면, 하나만 취급할 경우 첨자는 일반적으로 생략된다. 확률밀도함수와 확률질량함수에 사용되는$$ 소문자 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}과$는 대조적으로 누적분포함수에 $대문자$ F ${\displaystyle F}$를 사용하는 것이 일반적이다. 이는 일반 분포를 논할 때 적용된다. 예를 들어, 일부 특정 분포는 고유한 관습 표기법을 가지고 있다. 예를 들어 정규 분포는 각각 $F{\displaystyle }$ ${\\displaystyle$ F$}$과 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\Phi$ $}$ 대신 $uses$ ${\displaystyle \$$pi$ }을$$ 사용한다$.$

연속 랜덤 변수의 확률밀도함수는 미적분학의 기본 정리를 사용하여 분화함으로써^[4] 누적분포함수로부터 결정할 수 있다. 즉 $주어진{\displaystyle }$F ( $){\displaystyle$ F$(x)}$.

${\displaystyle f(x)={dF(x) \over dx}}$

파생상품이 존재하는 한

연속 랜덤 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 CDF는 다음과 같이$$ 확률밀도함수 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$의 적분으로 표현할 수 있다$$.^{[3]: p. 86}

${\displaystyle F_{X}(x)=\int_{-\infit }^{x_{X}(t)\,dt.}$

$분포$가 값$$b {\$displaystyle$$$b}에$이산형$ 구성요소를 갖는 $랜덤{\displaystyle }$ 변수 X {\$displaystyle$ X}의 경우$,$

${\displaystyle \operatorname {P}(X=b)=F_{X}(b)-\lim _{x\to b^{-}F_{X}(x)}$

$F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$가 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에서 연속적인 경우$$$,$ 이는 0이며 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 이산형 구성요소가 없다$.$

특성.

모든 누적분포함수 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$은(는) 감소하지^{[3]: p. 78} 않고 우측 연속성이므로$$ ^{[3]: p. 79} cadlag 함수가 된다. 더 나아가

${\displaystyle \lim _{x\to -\infit }F_{X}(x)=0,\quad \lim _{x\to +\infit }F_{X}(x)=1.}$

이 네 가지 속성을 가진 모든 함수는 CDF이다. 즉, 그러한 모든 함수에 대해 함수가 해당 랜덤 변수의 누적 분포 함수가 되도록 랜덤 변수를 정의할 수 있다.

If ${\displaystyle X}$ is a purely discrete random variable, then it attains values ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ with probability ${\displaystyle p_{i}=p(x_{i})}$, and the CDF of ${\displaystyle X}$ will be discontinuous at the points ${\displaystyle x_{$$i}$:

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P}(X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P}(X=x_{i})=\sum _{x_}\leq x}p(x_{i})}p({i}).}$

실제 가치 랜덤 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 CDF ${\displaystyle F_{}}$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 연속적인 경우, $X{\displaystyle }${\$displaystyle$X}이(가) 연속적인 랜덤 변수인 경우, $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}${\$displaysty F_{X}$가 절대적으로 연속적인$$ 경우 Lebegue 통합 가능한 ${\displaystyle {함수}_{}}$ F$(x$${\displaystyle {}_{}}$가 존재한다.$yle$ $f_{X}(x)}:$

${\displaystyle F_{X}-F_{X}(a)=\operatorname {P}(a<X\leq b)=\int_{a}^{b}f_{X}(x)\,dx}$

모든 실제 숫자에 $대해{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$ 및 $b$ ${\displaystyle b$ ${\displaystyle F_{}}$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 함수는 F X ${\$의 거의 모든 곳에서 파생된 것과 같으며$$, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$ 분포의 확률밀도함수라고 불린다$.$

예

예를 들어 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 단위 간격 [${\displaystyle }$0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]}$에 균일하게 분포되어 있다고$$ 가정해 보십시오$.$

$그런$ 다음 X ${\displaystyle X}$의 CDF는

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{case}0&:\x\x&:\ 0\leq x\leq 1\\\1&:\x>1\case{case}}}}}$

$대신{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$이(가) 동일한 확률로 이산형 값 0과 1만 사용한다고$$ 가정합시다.

$그런$ 다음 X ${\displaystyle X}$의 CDF는

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{case}0&:\x<0\\\1/2:\ 0\leq x<1\1&:\x\geq 1\end{case}}}}}}}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 지수 분포라고 가정하십시오. $그런$ 다음 X ${\displaystyle X}$의 CDF는

${\displaystyle F_{X}(x;\lambda )={\begin{case}-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\0&x<0.\end{case}}}$

여기서 λ > 0은 분포의 모수로, 흔히 속도 모수라고 한다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 정규 분포라고 가정하십시오. $그런$ 다음 X ${\displaystyle X}$의 CDF는

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{{1}{\sigma {1}{\sqrt{2\pi }}}\int _{-\nfrac {(t-\mu )^{2}}:{2}\sigma \dt}.$

여기서 매개 변수 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 분포의 평균 또는 기대값이고$$, $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$이(가) 표준 편차입니다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 이항 분포라고 가정하십시오. $그런$ 다음 X ${\displaystyle X}$의 CDF는

${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \n 선택 \p^{}{p^{n-i}}}}$

여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은 성공 확률이며 함수는 n ${\displaystyle n}$의 일련의 $독립{\displaystyle }$ 실험에서 성공 횟수에 대한 이산 확률 분포를 나타내며$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ k${\displaystyle }${$${\$displaystyle \lfloor$\,}은 k$${\$displaystystyle$ k$\},$ 즉 가장 큰 정수 아래의 "바닥"이다$$.$ger$가 k ${\displaystyle k}$보다 작거나 같음$.$

파생 함수

보완적 누적분포함수(꼬리분포)

때로는 반대되는 질문을 연구하여 무작위 변수가 특정 수준보다 얼마나 자주 높은지를 물어보는 것이 유용하다. 이를 보완적 누적분포함수(cdf) 또는 단순히 꼬리분포나 초과도라고 하며, 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\bar{F}_{X}(x)=\operatorname {P}(X>x)=1-F_{X}(x).}$

이는 예를 들어, 단측 p-값이 적어도 관측된 통계량만큼 극단적으로 시험 통계를 관측할 확률이기 때문에 통계적 가설 검정에서 적용이 가능하다. 따라서 검정 통계량 T가 연속적인 분포를 갖는 경우, 단측 p-값은 ccdf: 검정 통계량의$$ 관측값 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 대해 간단히 제공된다.

${\displaystyle p=\operatorname {P}(T\geq t)=\operatorname {P}(T>t)=1-F_{T}(t).}$

$생존{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 분석에서 F ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle {\f}_{X}(x)}$을(를) 생존함수라고 하며 $S{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaysty S(x)}$로 표기하고$,$ 공학에서는 신뢰함수라는 용어가 일반적이다.

Z-테이블:

누적분포함수의 대표적인 적용대상은 단위 정규표 또는 Z표라고도 하는 표준 정규표로서 정규분포의 누적분포함수의 값이다.^[5] Z-표(Z-table)는 누적분포함수의 원래 적용값인 값 이하의 확률뿐만 아니라 표준 정규분포의 값 이상 및/또는 사이의 확률에 매우 유용하며, 더 나아가 어떤 정규분포까지 확장되었다.

특성.

• 기대치를 갖는 비 음의 연속 랜덤 변수에 대해 마르코프의 불평등은 다음과^[6] 같이 말한다.
  $${\displaystyle {\bar{F}_{X}(x)\leq {\frac {\operatorname {E}(X)}{x}}.}$$

  
• As ${\displaystyle x\to \infty ,{\bar {F}}_{X}(x)\to 0\ }$, and in fact ${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)=o(1/x)}$ provided that ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ is finite.

증명:^{[citation needed]} c> 0 ${\displaystyle c>0}$에 대해 ${\$$displaystyle f_$$X}$의 밀도 함수가 ${\displaystyle f_{}}$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\$displaystyle f_{X}인$$ 경우

$${\displaystyle \operatorname {E}(X)=\int _{0}^{\inf_{X}(x)\,dx\geq \int_{0}^{c}xf_{X}(x)\,dx+c\int _{c}^{}{f_{X}x}x},d},d}\nt.$$

$그런$ 다음, F ${\displaystyle {\stackrel{}{¯}}_{}{X}_{}}$(${\displaystyle c}$) = ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\bar {F}_{X}(c)=\int _{c}^{{$c}^{\$inft }{X}(x)\,dx},$

$${\displaystyle 0\leq c{{F}_{X}(c)\leq \operatorname {E}(X)-\int _{0}^{c}xf_{X}(x)\,dx\to 0{{{}text{}}}}}}을(으)로 표시하십시오.$$

주장대로

접힌 누적분포

누적 분포의 플롯이 S와 같은 형태를 갖는 경우가 많지만, 다른 그림은 접힌 누적 분포 또는 산 그림으로, 그래프의 위쪽 절반을 접어서,^[7][8] 한 척도는 상향으로, 다른 척도는 하향으로 사용한다. 이 형식의 그림은 중위수, 산포(특히^[9], 중위수로부터의 평균 절대 편차) 및 분포 또는 경험적 결과의 왜도를 강조한다.

역분포함수(수분함수)

If the CDF F is strictly increasing and continuous then ${\displaystyle F^{-1}(p),p\in [0,1],}$ is the unique real number ${\displaystyle x}$ such that ${\displaystyle F(x)=p}$. In such a case, this defines the inverse distribution function or quantile function.

일부 분포는 고유한 역수를 가지지 않는다(${\displaystyle 예}$를 들어, x${\displaystyle {}_{}}$>${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f_{X}(x)=0}$이(가) 모든 < < b ${\displaystyle a>{$${\displaystyle x_{}}$$<b$에 대해$$ F $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 일정하게$$ 되는 경우). 이 문제는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle p\in [0,1$에 대해 일반화된 역분포함수를 정의하여 해결할 수 있다.

${\displaystyle F^{-1(p)=\inf\{x\in \mathb {R}:F(x)\geq p\}$

• 예 1: $중위수$는 F${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle 0}$.5${\displaystyle }$) ${\displaystyle F^{-1}$ ($0.5)}$ 입니다$.$
• 예 2: $\tau {\displaystyle }$= F${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( 0${\displaystyle .95}$) ${\displaystyle \tau =F^{-1}(0.95$)를 넣으십시오$.$ 그리고 나서 우리는$τ$을 95번째$$ $백분위수$라고 부른다$.$

역 cdf(일반화된 역분포함수의 정의에도 보존되어 있음)의 일부 유용한 특성은 다음과 같다.

1. ${\displaystyle F^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ F$^{-1}$이(가) 감소하지 않음
2. ${\displaystyle F^{-1}(F(x)\leq x}$
3. ${\displaystyle F(F^{-1(p)\geq p}$
4. ${\displaystyle F^{}}$- ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle {}^{}}$p${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ x ${\$$displaystyle$ $F^{-1}(p)\$$leq x$$}$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ $(x)$인 경우만$$ 해당
5. $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 $U{\displaystyle }$[ 0, ${\displaystyle 1]}$ ${\displaystyle U[0,$${\displaystyle 1}$$]}$ 분포가 있는 경우$$${\displaystyle {}^{}}$$F{\displaystyle }$ - 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$Y )$${\$displaystyle$F^{-$1}(Y)$가 F {\$displaystystyle F}$로 분포한다$.$ 이는$$ 역변환 샘플방식 방법을 사용하여 랜덤 번호 생성에 사용된다.
6. If ${\displaystyle \{X_{\alpha }\}}$ is a collection of independent ${\displaystyle F}$-distributed random variables defined on the same sample space, then there exist random variables ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ such that ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ is distributed as ${\dis$$Playstyle U[0$$,$$1]$ 및 F$$${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$)${\displaystyle }$= X ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$$X\_{\displaystyle }$${\$$displaystyle \alpha$$}}}}$에 대한 확률 1이 있는$$ ${\displaystyle {}_{}}$$.$^{[citation needed]}

cdf의 역은 균일한 분포에 대해 얻은 결과를 다른 분포로 변환하는 데 사용할 수 있다.

경험적 분포함수

경험적 분포 함수는 표본에서 점을 생성했던 누적 분포 함수의 추정치다. 그것은 그 기초적인 분포에 대한 확률 1과 수렴된다. 기초 누적분포함수에 대한 경험적 분포함수의^{[citation needed]} 수렴 속도를 정량화하기 위한 다수의 결과가 존재한다.

다변량 케이스

두 랜덤 변수에 대한 정의

둘 이상의 랜덤 변수를 동시에 처리할 때 공동 누적 분포 함수도 정의할 수 있다. 예를 들어, $랜덤{\displaystyle }$ 변수 X${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X$,Y}$의 경우$,$ 공동 CDF $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\$$Y}}$이(가) 주어진다^{[3]: p. 89} .

여기서 오른쪽은 $임의{\displaystyle }$ $변수{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$이$($가$)$ $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle x$$}$보다 작거나 같은 값을 $가질$ 확률을 나타낸다$.$

합동 누적 분포 함수의 예:

For two continuous variables X and Y: ${\textstyle \Pr(a<X<b{\text{ and }}c<Y<d)=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx}$;

두 개의 이산형 랜덤 변수의 경우 확률표를 생성하여 X와 Y의 각 잠재적 범위에 대한 누적 확률을 다루는 것이 이로운데, 다음은 다음과 같은 예다.^[10]

표 형식의 접합 확률 질량 함수를 주어진 경우, 접합 누적 분포 함수를 결정한다.

해법: X와 Y의 각 전위 범위에 대해 주어진 확률 표를 사용하여 합동 누적 분포 함수를 표 형식으로 구성할 수 있다.

세 개 이상의 랜덤 변수에 대한 정의

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 랜덤$$ 변수 ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, X ${\displaystyle N_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {X\_{}_{}}_{}}$${1},\ldots ,X_$${N$$}$의 경우$,$ $CDF{\displaystyle {}_{}}$ F${\displaystyle {{}_{}{1\mathrm{}}_{}}_{}}$ ,${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {N_{}}_{}}$ ${\${1$},\dots ,X_{$N}}}}}이 제공된다$$.

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 랜덤$$ 변수를 변량 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$X${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, … ,${\displaystyle {}_{}{}^{}{X}_{}}$ ${\displaystyle N^{}}$ )$$T {\$displaystyle \mathbf${X} =($X_{1},\ldots ,X_${N})^{{{{N$}}}}}}}}$$T}$은(는) 더 짧은 표기법을 제시한다$$.

${\displaystyle F_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})=\operatorname{P}(X_{1}\leq{1},\ldots{N},X_ \leqx_{n}x_)}.$

특성.

모든 다변량 CDF은:

1. Monotonically 각 variables,의non-decreasing.
2. 각각의 variables,의Right-continuous.
3. ${\displaystyle 0\leq F_{X_{1}\ldots X_{n}}}1,(x_{1},\ldots{n,x_})\leq.$
4. ${\displaystyle \lim_{x_{1},\ldots ,x_{n}\rightarrow +\infty}F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots{n,x_})=1{\text{과}}\lim _{x_{나는}\rightarrow -\infty}F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots{n,x_})=0,{모든 \text{에}}i.}.$

그 확률은 장점은 hyperrectangle에 속하는1-dimensional 사건:[11]과 유사하다.

${\displaystyle F_{X_{1},X_{2}}(a,c)+F_{X_{1},X_{2}}(b,d)-F_{X_{1},X_{2}}(a,d)-F_{X_{1},X_{2}}(b,c)=\operatorname{P}(a<, X_{1}\leq b,c<, X_{2}\leq d)=\int...}$

콤플렉스 케이스

복합 랜덤 변수

누적 분포 함수의 그 총괄론은 현실입니다 complex 확률 변수는 명확하지 않기 때문에 표현의 형태 P(Z나는 1+2≤){P(Z\leq 1+2i)\displaystyle}을 만드는 것도 없어요 형태 하지만 표현 P(ℜ(Z)≤ 1,ℑ(Z)≤ 3){P(\Re{(Z)\displaystyle}\leq 1,\Im{(Z)}\leq 3)}일리가 있습니다. 따라서, 우리는 그들의 현실과 상상의 부분의 결합 분포를 통해: 복잡한 확률 변수의 누적 분포를 정의합니다.

FZ(z))Fℜ(Z),ℑ(Z)(ℜ(z),ℑ(z)))P(ℜ(Z), ℑ(Z)≤ ℑ(z)){\displaystyle F_{Z}(z)=ℜ(z)≤.F_{\Re{(Z)},\Im{(Z)}}(\Re{(z)},\Im{(z)})=P(\Re{(Z)}\leq \Re{(z)},\Im{(Z)}\leq \Im{(z)})}.

복합 랜덤 벡터

Eq.4 수율 일반화

${\displaystyle F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )=F_{\Re {(Z_{1})},\Im {(Z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})},\Im {(Z_{n})}}(\Re {(z_{1})},\Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(z_{n})},\Im {(z_{n})})=\operatorname {P} (\Re {(Z_{1})}\leq \Re {(z_{1})},\Im {(Z_{1})}\leq \Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})}\leq \Re {(z_{n})},\Im {(Z_{n})}\leq \Im {(z_{n})})}$

복합 랜덤 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ Z${\displaystyle }$= ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}{}^{}}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$의 정의로서$.$

통계분석에서 사용

누적분포함수의 개념은 통계분석에서 두 가지(비슷한) 방법으로 명시적으로 나타난다. 누적 빈도 분석은 기준 값보다 작은 현상의 발생 빈도를 분석하는 것이다. 경험적 분포 함수는 단순한 통계적 특성을 도출할 수 있고 다양한 통계적 가설 검정의 기초를 형성할 수 있는 누적 분포 함수의 공식적인 직접 추정치다. 이러한 검정은 주어진 분포에서 발생한 데이터 표본에 대한 증거가 있는지 또는 동일한(알 수 없는) 모집단 분포에서 발생한 데이터 표본 2개에 대한 증거가 있는지 평가할 수 있다.

콜모고로프-스미르노프와 쿠이퍼의 시험

Kolmogorov-Smirnov 검정은 누적 분포 함수에 기초하며 두 경험적 분포가 다른지 또는 경험적 분포가 이상적인 분포와 다른지 여부를 검정하는 데 사용할 수 있다. 밀접하게 연관된 Kuiper의 검정은 분포의 영역이 요일처럼 주기적인 경우 유용하다. 예를 들어, 카이퍼의 테스트는 한 해 동안 토네이도의 수가 달라지는지 또는 제품의 판매가 요일 또는 요일에 따라 달라지는지 여부를 확인하기 위해 사용될 수 있다.

참고 항목

• 기술 통계량
• 분배 피팅
• 오기브(통계)

참조

외부 링크

• Wikimedia Commons의 누적 배포 기능과 관련된 미디어