근본해법

수학에서 선형 부분 미분 연산자 L의 근본 해법은 그린의 함수(Green의 함수와는 달리, 기본 해법은 경계 조건을 다루지 않는다)의 구개념 분포 이론의 공식이다.

디락 델타 "함수" Δ(x)의 관점에서, 기본 용액 F는 비균형 방정식의 해법이다.

여기서 F는 분포로만 가정된 선행이다.

이 개념은 2차원과 3차원의 라플라시안에게 오랫동안 활용되어 왔다. 그것은 마르셀 리에스에 의해 라플라시아인의 모든 차원에 대해 조사되었다.

일정한 계수를 가진 모든 연산자를 위한 근본적인 해결책의 존재, 즉 임의의 오른손측을 해결하기 위해 콘볼루션을 사용할 가능성과 직접 연결된 가장 중요한 사례인 것이 버나드 맬그랭지(Bernard Malgrange)와 리언 에렌프레이스(Leon Ehrenpreis)에 의해 나타났다. 기능 분석의 맥락에서 근본적인 해결책들은 대개 프레드홀름 대안을 통해 개발되고 프레드홀름 이론에서 탐구된다.

예

다음 미분 방정식 Lf = sin(x)을 고려하십시오.

${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}.}$

기본 해결책은 LF = Δ(x)를 명시적으로 풀어서 얻을 수 있다.

${\dplaystyle {\frac{d^{2}}:{dx^{2}}F(x)=\delta(x)~.}$

Hubiside 함수 H에 대해 우리는

${\displaystyle {\frac {d}{dx}H(x)=\delta(x)~,}$

해결책이 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}F(x)=H(x)+C~.}$

여기서 C는 통합에 의해 도입된 임의 상수다. 편의를 위해 C = -1/2를 설정하십시오.

$d{\displaystyle \frac{}{}}$ F ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\$을(를) 통합하고$$ 새 통합 상수를 0으로 선택한 후 다음

${\displaystyle F(x)=xH(x)-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{1}{2}} x ~.}$

동기

일단 근본적 해결책이 발견되면, 기본적 해결책과 원하는 오른손 측면의 콘볼루션을 통해 원래의 방정식의 해결책을 찾는 것이 간단하다.

또한 경계요소법에 의한 부분 미분방정식의 수치해결에도 근본적인 해결책이 중요한 역할을 한다.

예제에 적용

연산자 L과 예에서 언급한 미분 방정식을 고려하십시오.

${\dplaystyle {\frac{d^{2}}:{dx^{2}}f(x)=\sin(x)~.}$

기본 솔루션 $F{\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{}}}$ ${\$ : 우측$$ $x)$의 convolution(별표로 표시)을 통해 원래 방정식의 솔루션$$ $f{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle \sin($$x$$)}$을 $찾을$ 수 있다$.$

${\displaystyle f(x)=(F*\sin )(x):=\int _{-\inflit _{-\inflit }{\frac {1}{2}} x-y \sin(y)\ dy.}$

이는 충분한 규칙성(예: 콤팩트 서포트, L¹ 통합성)이 없는 기능을 사용할 때 어느 정도 주의를 기울여야 한다는 것을 보여준다. 우리는 원하는 솔루션이 f(x) = -sin(x)인 것을 알고 있다. 반면에 위의 일체형 솔루션은 모든 x에 대해 분산되기 때문이다. 그러나 f에 대한 두 식은 분포와 같다.

보다 명확하게 작동하는 예

${\displaystyle {\frac {d^{2}}:{dx^{2}}f(x)=아이(x)~,}$

여기서 I는 단위 간격의 특성(indicator) 함수 [0,1]이다. 이 경우 F(x) = x /2가 있는 콘볼루션 I ∗ F가 해결책임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉, 두 번째 파생상품은 I과 동일하다.

콘볼루션이 해결책이라는 증거

함수 F와 g의 경합을 F ∗ g로 나타낸다. Lf = g(x)의 해답을 찾으려고 노력하고 있다고 말한다. 우리는 F g g가 이전 방정식의 해법임을 증명하고 싶다. 즉, L(F g g) = g. 차동 연산자 L을 콘볼루션에 적용할 때 다음과 같이 알려져 있다.

$(\displaystyle L(F*g)=(LF)*g~,}$

제공된 L에는 일정한 계수가 있다.

F가 근본적인 해결책이라면 방정식의 오른쪽은 다음과 같이 줄어든다.

$\displaystyle \display *g~.}$

그러나 델타 함수는 콘볼루션의 아이덴티티 요소인 만큼, 이것은 그야말로 g(x)이다. 요약하면,

${\displaystyle L(F*g)=(LF)*g=\delta(x)=\int_{-\\infit }^{\infit }\delta(x-y)dy=g(x)~.}$

따라서 F가 근본적인 해결책이라면, 콘볼루션 F ∗ g는 Lf = g(x)의 하나의 해결책이다. 이것은 그것이 유일한 해결책이라는 것을 의미하지는 않는다. 다른 초기 조건에 대한 몇 가지 해결책을 찾을 수 있다.

일부 부분 미분 방정식의 기본 해법

푸리에 변환을 통해 다음 사항을 얻을 수 있다.

라플라스 방정식

라플라스 방정식은

${\displaystyle [-\Delta ]\Phi(\mathbf {x},\mathbf {x}')=\delta(\mathbf {x} -\mathbf {x}')}$

각각 2차원과 3차원의 근본적인 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi _{2D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{2\pi }}\ln \mathbf {x} -\mathbf {x} ' ,\qquad \Phi _{3D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{4\pi \mathbf {x} -\mathbf {x} ' }}~.}$

선별된 포아송 방정식

선별된 포아송 방정식의 경우,

$[-\Delta +k^{2}]\Phi(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta(\mathbf {x} -\mathbf {x}')\quad k\in \mathb {R},}$

근본적인 해결책은

${\displaystyle \Phi _{2D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(k \mathbf {x} -\mathbf {x} ' ),\qquad \Phi _{3D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {\exp(-k \mathbf {x} -\mathbf {x} ' )}{4\pi \mathbf {x} -\mathbf {x} ' }},}$

여기서 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 두 번째 종류의 변형된 베셀 함수다.

더 높은 차원에서는 선별된 포아송 방정식의 기본 해법이 베셀 전위에 의해 제시된다.

생체 방정식

생물학적 방정식의 경우

$[-\Delta ^{2}]\Phi(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta(\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$

생물학적 방정식은 근본적인 해결책을 가지고 있다.

${\displaystyle \Phi _{2D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac { \mathbf {x} -\mathbf {x} ' ^{2}}{8\pi }}\ln \mathbf {x} -\mathbf {x} ' ,\qquad \Phi _{3D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac { \mathbf {x} -\mathbf {x} ' }{8\pi }}~.}$

신호처리

신호 처리에서 미분 방정식의 기본 해법의 아날로그를 필터의 임펄스 응답이라고 한다.

참고 항목

• 그린의 기능
• 임펄스 반응
• 파라메트릭스

참조

• "Fundamental solution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 경계에서 그린의 기능에 대한 조정은 시즈에 우 참고사항을 참조한다.