포아송합산식

수학에서 포아송 합계 공식은 함수의 주기적 합산의 푸리에 시리즈 계수와 함수의 연속 푸리에 변환의 값을 연관시키는 방정식이다. 따라서 함수의 주기적 합계는 원래 함수의 푸리에 변환의 이산 샘플에 의해 완전히 정의된다. 그리고 반대로, 함수의 푸리에 변환의 주기적인 합계는 원래 함수의 이산 샘플에 의해 완전히 정의된다. 포아송의 합계 공식은 시메온 데니스 포아송에 의해 발견되었으며 때때로 포아송 재기명이라고 불린다.

방정식의 형태

Consider an aperiodic function $s(x)$ with Fourier transform ${\textstyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx,}$ alternatively designated by ${\hat {s}}(f)$ and ${$ $\displaystyle {\mathcal{F}\{s\}(f).$ $}$

포아송의 기본 합계 공식은 다음과 같다.

\displaystyle \sum _{n=-\nft }^{\nft }s(n)=\sum _{k=-\ft }^{\nft }s(k).}

(Eq.1)

$T>0$ 파라미터 T $T>0$ > $T>0$ $T>0$ 및 P $T>0$ $P>0$ > $P>0$ $P>0$ 이(가) $x$ $x$ 과(와) 동일한 단위에 있는 $P>0$ 주기적 기능도 고려하십시오 $x$

s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x\pm nP)\quad {\text{and}}\quad S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f\pm k/T).

Eq.1은 이 일반화의 특별한 경우(P=1, x=0)이다.

s_{_{P}}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} _{S[k]}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},

^[1]^[2].

(Eq.2)

즉, $S(f).$ S $S(f).$ ( $S(f).$ ) $S(f).$ . ${\displaystyle S(f$ )의 샘플인 계수를 갖는 푸리에 시리즈 확장이다 $.$ $}$ 이와 $S(f).$ 유사하게:

S_{1/T}=\sum _{n=-\infit }^{\inflt }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]\ e^{-i2\pi nTf}}

(Eq.3)

중요한 이산 시간 푸리에 변환이라고도 한다.

파생어

핀스키나^[1] 지그문트에서 증거를 찾을 수 있다.^[2] 예를 들어 Eq.2는 s ( $s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )$ ) $s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )$ $s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )$ 1 ( $s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )$ ) ${\displaystyle$ s $(x)(x)\in L_{$ 1}(\ $mathb$ {R $}$ $s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )$ 인 경우, 오른쪽이 왼쪽의 (분열된) 푸리에 시리즈라고 한다. $s_{_{P}}(x)$ P $s_{_{P}}(x)$ $s_{_{P}}$ $){\displaystyle s_{P}(x)}$ 이(가) 존재하는 $s_{_{P}}(x)$ 지배적인 수렴 정리에서 따르며 거의 $모든$ x $x$ 에 대해 유한하다 $x$ 더욱이 s $s_{_{P}}$ ${\$ 는 길이 $.{\displaystystyle$ P $.}$ 의 어떤 구간에서도 통합할 수 있으므로 $s_{_{P}}$ $P.$ sh에 충분하다. $s_{_{P}}(x)$ P( $s_{_{P}}(x)$ ) $s_{{P}}(x)$ 의 푸리에 시리즈 계수가 ${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).}$ P ${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).}$ ) ${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).}$ . ${\textstyle {\p}S\좌측({\frac {k}{P}}}\우측)$ 인지 $s_{_{P}}(x)$ ow. $}$ 푸리에 계수의 정의에 따르면 다음과 ${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).}$ 같다.

{\reasoned}S[k]\ &\triangleq \ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{_{P}}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x\pm nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(x\pm nP)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx,\end{aligned}}

통합과 합산의 교환이 지배적인 수렴에 의해 다시 한번 정당화될 수 있는 경우. $\tau =x+nP$ 변경( ( $\tau =x+nP$ = $\tau =x+nP$ + $\tau =x+nP$ $\tau =x+nP$ ${\displaystyle \tau =x+nP$ 의 경우 다음과 같이 된다.

{\reasoned}S[k]={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{nP+P}s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau \triangleq {\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}

분포형식

이러한 방정식은 파생상품이 모두 급속히 감소하는 함수 $s$ $s$ $s$ 에 대한 분포^[3]^[4]^{: §7.2} 언어로 해석될 수 있다(슈워츠 함수 참조). 포아송 합계 공식은 디락 빗 분포와 푸리에 시리즈를 사용하여 강화 분포에 대한 콘볼루션 정리의 특정 사례로 발생한다.

\sum \sum _{n=-\flac {1}^{\inflat }\delta (x\pmnT)\equiv \sum _{k=-\inflit }^{\frac {1}{\frac {1}{{}{}}{}}}}}}}}}}}{T}}\cdot e^{\pm i2\pi {\frac {k}{T}}\quad {\stackrel {\mathcal{F}}{\Long Leftriftrightarrow}}}}}\frac {1}{\f}}{{}}}}}}}}}T}}\cdot \sum _{k=-\inflt }^{\inflt }\delta (f\pm k/T)

즉, Dirac의 빗을 생성하는 $\delta ,$ Dirac 델타 $\delta ,$ , $\delta ,$ 의 주기화는 지속적으로 하나가 되는 그것의 스펙트럼의 소멸에 해당한다. 따라서, 이것은 다시 디락 빗이지만 역수적으로 증가하는 것이다.

$T=1,$ T $T=1,$ = $T=1,$ , $T=1,$ Eq $T=1,$ .1은 쉽게 다음과 같다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\sum _ᆮ^ᆯS(k)&, =\sum _ᆰ^ᆱ\left(\int_{}-\infty ^{}\infty s())\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _ᆳ^ᆴs())\underbrace{\left(\sum_{}k=-\infty ^{}\infty e^{-i2\pi kx}\right)}_{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-n)}dx\\&, =\sum _{n=-\infty}^{\infty}\left(\int다.{-\infty }^{\\inful }s(x)\\\n(x-n)\dx\right)=\sum _{n=-\infully }^{\infully }s(n)=\sum _{n.\end{정렬}}}

이와 유사하게:

{\begin{aigned}\sum _{k=-\fit }^{\npty }S(f+k/T)&=\sum _{k=-\infty}^{\infty}{{F\mathcal}}\left\{s())\cdot e^{-i2\pi{\frac{k}{T}}x}\right\}\\&, ={{F\mathcal}}{\bigg\와 같이{}())\underbrace{\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi{\frac{k}{T}}x}}_{T\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-nT)}{\bigg)}}={{F\mathcal}}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}T\cdot s(nT)\cdot \delta(x-nT)\right\}\\.&=\sum_{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (x-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot e^{-i2\pi nTf}.\end{정렬}}

또는:^[5]^{: p143}

{\begin}\sum _{k=-\infit }^{{k=-\infit }S(f-k/T)&={k=-\delta(f-k/T)\&#=S(f){\mathcal {F}\}\}\}\}\}\f}\f}\f}\f}}\nowitcalcH}\f}\cH00\f}\nocketcH00\nockethipef}T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\quad {\text{as above}}.\end{정렬}}

포아송의 합계 공식은 또한 다음과 같은 짧은 정확한 시퀀스를 가진 폰트랴긴 이중성의 호환성을 사용하여 상당히 개념적으로 증명될 수 있다.

0\to \mathb {Z} \mathb {R} \mathb {R} \mathb {Z} \to 0.

^[6]

적용가능성

Eq.2 holds 제공 $s(x)$ ( x $s(x)$ ) $s(x)$ 은 $s(x)$ (는) 충족되는 연속적인 통합 기능이다.

s(x) + S(x) \leq C(1+ x )^{-1-\delta }}}

일부 C을 들어;0,δ>0{\displaystyle C>, 0,\delta>0}과 모든 x.{\displaystyle인데}[7][8]는 그러한 s()){\displaystyle s())}균일하게 연속적입니다, 이것이 함께 s{s\displaystyle}에 붕괴 가정, 그 시리즈여서 정의하는 P{\displaystyle s_{_{P}}}conve을 보여 준다.rges 한결같이에 연속 함수 Eq.2는 양쪽이 균일하고 절대적으로 동일한 한계까지 수렴한다는 강한 의미를 지니고 있다.^[8]

Eq.2는 $s$ $s$ 이(가) 경계 변동을 가지고 $s$ 있다는 엄격히 약한 가정 하에서 점적 관점에서 유지된다.

\displaystyle 2\cdot s(x)=\lim _{\varepsilon \}s(x+\varepsilon )+\lim _{\barepsilon \to 0}s(x-\varepsilon).}

^[2]

Eq.2의 우측에 있는 푸리에 시리즈는 대칭 부분 합계의 (조건적으로 수렴) 한계로 이해된다.

As shown above, Eq.2 holds under the much less restrictive assumption that $s(x)$ is in $L^{1}(\mathbb {R} )$ , but then it is necessary to interpret it in the sense that the right-hand side is the (possibly divergent) Fourier series of ${\displaystyle s_{_$ ${P}(x).$ $}}$ 이 경우 $s_{_{P}}(x).$ ^[2] 체사로의 합계성 등 종합성 방법을 고려하여 평등이 유지되는 지역을 확대할 수 있다. When interpreting convergence in this way Eq.2, case $x=0,$ holds under the less restrictive conditions that $s(x)$ is integrable and 0 is a point of continuity of $s_{_{P}}(x)$ . However Eq.2 may fail to hold even when both ${\displaystyle$ $s}$ 과 $s$ (와) $S$ $S$ 은 $S$ (는) 통합이 가능하고 연속적이며 합계가 절대적으로 일치한다.^[9]

적용들

영상 방법

부분 미분방정식에서 포아송 합계 공식은 영상의 방법에 의해 직사각형 경계를 흡수하는 열 방정식의 기본 해법에 대한 엄격한 정당성을 제공한다. 여기서 R $\mathbb {R} ^{2}$ ${\$ 의 열 커널이 알려져 $\mathbb {R} ^{2}$ 있으며, 직사각형의 커널은 주기화를 취함으로써 결정된다. 포아송 합산식은 유사하게 유클리드 공간에 대한 푸리에 분석과 해당 치수의 토리 사이에 연관성을 제공한다.^[7] 한 차원에서는 결과적인 용액을 세타함수라고 부른다.

샘플링

시계열의 통계적 $s$ 에서는 s ${\displaystyle$ s $}$ 이(가) 시간의 함수라면 $s$ , 동일한 간격의 시간 지점에서 값만 보는 것을 "샘플링"이라고 한다. 응용 프로그램에서는 일반적으로{s\displaystyle}유한 대역은 기능 s, 조금의 차단 주파수 f시{\displaystyle f_{는 o}}과 같이 S){S(f)\displaystyle}이 0인 주파수에 따라 차단을 초과하는:S(f)f>에 0{S(f)=0\displaystyle}초기 조향 순간을 위해;f천박한 것.{\displaysty다.l $e f >f_{o}}}$ 대역 제한 함수의 경우 $|f|>f_{o}.$ 샘플링 속도 ${\tfrac {1}{T}}>2f_{o}$ ${\tfrac {1}{T}}>2f_{o}$ > ${\tfrac {1}{T}}>2f_{o}$ ${\tfrac {1}{T}}>2f_{o}$ ${\tfrac {1}{T}}>2f_{o}$ ${\$ $T$ $}}>2f_{o}}}$ 은(는) 어떠한 정보도 손실되지 않도록 보장한다 ${\tfrac {1}{T}}>2f_{o}$ .S ${\displaystyle$ S $}$ 는 이러한 샘플링된 값에서 재구성할 수 있기 $S$ 때문이다. 그러면 푸리에 $s.$ 으로도 . ${\displaystyle$ s $.}$ 이것은 나이키스트-샤논 샘플링 정리로 이어진다.^[1]

에발트 합계

계산적으로 포아송 합계는 실제 공간에서의 천천히 수렴되는 합이 푸리에 공간에서의 빠른 수렴 등가 합으로 변환될 것을 보장하므로 유용하다.(^[10]실제 공간에서의 넓은 함수는 푸리에 공간에서는 좁은 함수가 되고 그 반대도 된다.) 이것은 에발트 합산의 필수적인 아이디어다.

통합의 근사치

포아송 합계 공식은 적분을 (리만) 합계로 근사치를 구할 때 얻은 오차를 결합하는 데도 유용하다. Consider an approximation of ${\textstyle S(0)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,s(x)}$ as ${\textstyle \delta \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n\delta )}$ , where $\delta \ll 1$ is the size of the bin. Eq.2에 따르면 이 근사치는 ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}$ approx ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}$ = - ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}$ S ( ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}$ / ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}$ ) $textstyle \sum \{k=-\infit }^{\infit }S(k/\delta )}$ 와 일치한다 ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}$ The error in the approximation can then be bounded as ${\textstyle \left \sum _{k\neq 0}S(k/\delta )\right \leq \sum _{k\neq 0} S(k/\delta ) }$ . This is particularly useful when the Fourier transform of $s(x)$ is rapidly decaying if $1/\delta \gg 1$ $1/\delta \gg 1$ ${\displaystyle$ 1 $/\displaystyle \gg$ 1 $1/\delta \gg 1$

구 안의 격자점

푸아송 합계 공식은 큰 유클리드 영역의 격자점 수에 대한 란도의 점증식 공식을 도출하는 데 사용될 수 있다. 또한 통합형 기능인 $s$ ${\displaystyle$ s $}$ 과 $s$ $S$ $S$ 이 $S$ (가 $)$ 모두 콤팩트하게 지지되는 $s=0.$ s $s=0.$ = $s=0.$ ${\displaysty s=0$ )임을 보여주는 데 사용할 수 있다. $}$ ^[1]

수 이론

수 이론에서 포아송 합계는 리만 제타 함수에 대한 함수 방정식을 포함한 다양한 함수 방정식을 도출하는 데도 사용될 수 있다.^[11]

그러한 포아송 합산의 중요한 용도는 ta 함수에 관한 것이다: 가우스인의 주기적인 합계. $\tau$ $q=e^{i\pi \tau }$ = e $q=e^{i\pi \tau }$ $q=e^{i\pi \tau }$ { ${\$ $displaystyle$ $q=e^{i\pi$ $\tau }}}}$ 을(를) 위쪽 절반 면에 복잡한 $\tau$ 숫자로 놓고 ta 함수를 정의한다.

\teta(\tau )=\sum _{n}q^{n^{2}.

$\theta (-1/\tau )$ ( $\theta (-1/\tau )$ - $\theta (-1/\tau )$ / $\theta (-1/\tau )$ ) $\teta (-1/\tau )$ 과 $\theta (-1/\tau )$ $\theta (\tau )$ ( $){\displaystyle \tau (\tau )}$ 의 관계는 이러한 종류의 관계가 모듈형 형태의 정의 속성 중 하나이기 때문에 숫자 이론에 중요한 것으로 판명되었다 $\theta (\tau )$ . $s(x)=e^{-\pi x^{2}}$ ( $s(x)=e^{-\pi x^{2}}$ ) $s(x)=e^{-\pi x^{2}}$ = e - $s(x)=e^{-\pi x^{2}}$ $s(x)=e^{-\pi x^{2}}$ $s(x)=e^{-\pi x^{2}}$ ${\$ x $^{2}}:}$ 를 선택하고 $s(x)=e^{-\pi x^{2}}$ $S(f)=e^{-\pi f^{2}},$ $S(f)=e^{-\pi f^{2}},$ ) $S(f)=e^{-\pi f^{2}},$ = e - $S(f)=e^{-\pi f^{2}},$ f $S(f)=e^{-\pi f^{2}},$ , ${\displaystyle S(f)=e^{-\pi f^{2$ }}:}를 선택하면 다음과 $S(f)=e^{-\pi f^{2}},$ 같은 결론을 내릴 수 있다 $.$

\theta \left({-1 \over \tau }\right)={\sqrt {\tau  \over i}}\theta (\tau ),

by putting

{\displaystyle {1/\lambda }={\sqrt {\tau /i}}.

}

$\theta ^{8}$ 8 ${\$ $\tau \mapsto {-1/\tau }$ - 1 $\tau \mapsto {-1/\tau }$ / $\tau \mapsto {-1/\tau }$ ${\$ {-1 $/\tau }}}}}$ 에 따라 간단한 변환 특성을 가지며 $\theta ^{8}$ $\tau \mapsto {-1/\tau }$ , 이 특성을 사용하여 정수를 8개의 완벽한 제곱합으로 표현할 수 있는 여러 가지 방법에 대한 자코비의 공식을 증명할 수 있다.

스피어 패킹

Cohn^[12] & Elkies는 Poisson Summation 공식을 사용하여 구체 패킹의 밀도에 대한 상한을 입증했고, 그 결과 차원 8과 24에서 최적의 구체 패킹의 증거가 되었다.

기타

$0\leq x$ $0\leq x$ $0\leq x$ $0\leq x$ 의 $s(x)=e^{-ax}$ $0\leq x$ $s(x)=e^{-ax}$ $s(x)=e^{-ax}$ - $s(x)=e^{-ax}$ x $s(x)=e^{-ax}$ {\ $displaystyle s(x)=e^{-ax},$ $x<0$ < $x<0$ $x<0$ 의 $s(x)=0$ $x<0$ 경우 $s(x)=0$ ( $s(x)=0$ $s(x)=0$ = $s(x)=0$ 0 {\ $displaystyle s(x)=0}$ $\coth(x)=x\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n\in \mathbb {Z} _{+}}{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}.$
그것은 세타함수의 함수 방정식을 증명하는 데 사용될 수 있다.
포아송의 요약 공식은 라마누잔의 노트에 나타나 그의 공식의 일부를 증명하는데 사용될 수 있으며, 특히 하디에게 보내는 라마누잔의 첫 편지에 있는 공식 중 하나를 증명하는 데 사용될 수 있다.^{[clarification needed]}
2차 가우스 합계를 계산하는 데 사용할 수 있다.

일반화

포아송 합산식은 임의 치수의 유클리드 공간에 있다. Rd에 Λ{\Lambda\displaystyle}이 격자(^{d}}정수 좌표를 포인트로 구성된;Rd(^{d}}[의심스러운 –을 논의하]의 Λ{\Lambda\displaystyle}는 문자 그룹 또는 폰트랴긴 이중 보자.L1(의 기능을 s{s\displaystyle}. $L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ $L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ ) ${\dplaystyle L^{1}(\mathb {R} ^{d}},$ $\Lambda$ ${\displaystyle$ $s$ $}$ 의 원소를 기준으로 $s$ s{\ $displaystyle$ s $}$ 의 변환을 합산하여 주어진 시리즈를 고려하십시오 $\Lambda$

\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu).}

Theorem For $s$ in $L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ , the above series converges pointwise almost everywhere, and thus defines a periodic function $\mathbb {P} s$ on $\Lambda .$ $\mathbb {P} s$ lies in $L^{1}$ $L^{1}$ ${\$ $\|\mathbb {P} s\|_{1}\leq \|s\|_{1}.$ $\|\mathbb {P} s\|_{1}\leq \|s\|_{1}.$ $\|\mathbb {P} s\|_{1}\leq \|s\|_{1}.$ $\|\mathbb {P} s\|_{1}\leq \|s\|_{1}.$ . ${\displaystyle \mathb \mathb {P}s\$ _{1}\leq $\s\$ }. $}$
Moreover, for all $\nu$ in $\Lambda ,$ $\mathbb {P} S(\nu )$ (Fourier transform on $\Lambda$ ) equals $S(\nu )$ (Fourier transform on $\mathbb {R} ^{d}$ ).

$s$ $s$ 이(가) 연속적이고 $s$ s ${\displaystyle$ s $}$ 과 $s$ $S$ $S$ 이(가) 무한대에서 충분히 빠르게 붕괴되면 $S$ 도메인을 $\mathbb {R} ^{d}$ d {\ $}(\$ 로 다시 "반전"하고 $\mathbb {R} ^{d}$ 더 강한 진술을 할 수 있다. 더 정확히 말하자면

s(x) + S(x) \leq C(1+ x )^{-d-\delta }}

일부^[8]^{: VII §2} C의 경우, Δ > 0.

\displaystyle \sum \{\nu \lambda }s(x+\nu )=\sum \\nu \nu \}\lambda }S(\nu ) e^{i2\pi x\cdot \}}}}}

여기서 두 시리즈가 λ에서 절대적이고 균일하게 수렴된다. d = 1이고 x = 0이면 Eq.1이 위에 표시된다.

보다 일반적으로, λ을 $\mathbb {R} ^{d}$ $\mathbb {R} ^{d}$ ${\$ 에서 보다 일반적인 격자로 교체할 경우 이 문장의 버전이 유지된다 $\mathbb {R} ^{d}$ 이중 격자 λ′은 이중 벡터 공간의 서브셋으로 정의하거나 폰트랴긴 이중성에 의해 대신 정의될 수 있다. 그렇다면 λ의 각 지점, λ의 각 지점에서 델타 기능의 합계가 다시 분포로서 푸리에 변환이며, 정확한 정규화를 조건으로 한다.

이것은 세타함수의 이론에 적용되며, 숫자의 기하학에서 가능한 방법이다. 사실, 지역에서의 격자점 계산에 관한 최근의 연구에서 그것은 일상적으로 사용되고 있다 - 지역 D의 표시기 기능을 격자점에 걸쳐 합친 것이 정확히 질문이다. 따라서 합계 공식의 LHS는 추구하는 것이고 RHS는 수학 분석의 공격을 받을 수 있는 것이다.

셀버그 미량 공식

숫자 이론에서는 국소적으로 콤팩트한 아벨리아 집단에 대한 추가 일반화가 필요하다. 비확정적 조화 분석에서, 그 생각은 셀버그 추적 공식에서 훨씬 더 멀리 취해지지만, 훨씬 더 깊은 성격을 띤다.

숫자 이론에 조화 분석을 적용하는 일련의 수학자들, 특히 마틴 아이클러, 아틀 셀버그, 로버트 랭글랜드, 제임스 아서 등이 별개의 부분군 $\Gamma$ ${\\\}$ 을 $G$ (를) 가진 비확산적 국소적 축소 대수 $그룹$ G $G$ 에 대한 푸리에 변환에 대한 포아송 합계 공식을 일반화했다. $G/\Gamma$ / $G/\Gamma$ ${\displaystyle G/\Gamma$ }이 $($ 가) 제한된 볼륨을 갖는 $G/\Gamma$ 디스플레이 $\Gamma$ $스타일 \Gamma }.$ For example, $G$ can be the real points of $SL_{n}$ and $\Gamma$ can be the integral points of $SL_{n}$ . In this setting, $G$ plays the role of the real number line in the classical version of Poisson summ $\Gamma$ 과 and ${\displaystyle \Gamma$ }은 $($ 는) 합계에 나타나는 $n$ 정수 $n$ $n$ 의 역할을 한다 $\Gamma$ . 포아송 합성의 일반화된 버전은 셀버그 트레이스 포뮬라로 불리며, 아르틴의 추측에 대한 많은 사례와 페르마의 마지막 정리를 증명하는 와일스의 증거에서 역할을 해왔다. Eq.1의 왼쪽은 $G$ ${\displaystyle G$ 의 수정 불가능한 단일 표현 위에 합이 되어 "스펙트럼 측"으로 불리고, 오른쪽은 $\Gamma$ $\감마$ 의 결합 등급 위에 합이 되어 "기하 측"으로 불린다.

포아송 종합 공식은 조화 분석과 숫자 이론의 방대한 발전을 위한 원형이다.

콘볼루션 정리

포아송 합계 공식은 강화 분포에 대한 콘볼루션 정리의 특별한 경우다. 두 요인 중 하나가 Dirac 빗인 경우, 한 쪽에서는 주기적인 합을 얻고 다른 쪽에서는 표본을 추출한다. 디락 델타 함수와 그 푸리에 변환에 적용되어 지속적으로 1인 함수에 적용되며, 이것은 디락 빗 ID를 산출한다.

참고 항목

참조

^ ^a ^b ^c ^d Pinsky, M. (2002), Introduction to Fourier Analysis and Wavelets., Brooks Cole, ISBN 978-0-534-37660-4
^ ^a ^b ^c ^d Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric Series (2nd ed.), Cambridge University Press (published 1988), ISBN 978-0-521-35885-9
^ Córdoba, A., "La formule sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 306: 373–376
^ Hörmander, L. (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035
^ 오펜 하임, 앨런 V;이 로널드 W., 벅, 존 R.(1999년).이산 신호 처리(2판).어퍼 새들 강, 뉴저지:프렌티스 홀.아이 에스비엔 0-13-754920-2. 주기적 시퀀스의 DFS계수 x[n]의 정기적인 복제품 총 망라를 통해 얻어진 비주기적인 시퀀스 x[n]의 푸리에 변환의 견본의 생각될 수 있다.url=https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf
^ Deitmar, Anton; Echterhoff, Siegfried (2014), Principles of Harmonic Analysis, Universitext (2 ed.), doi:10.1007/978-3-319-05792-7, ISBN 978-3-319-05791-0
^ ^a ^b Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc., pp. 253–257, ISBN 0-13-035399-X
^ ^a ^b ^c Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9
^ Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to harmonic analysis (Second corrected ed.), New York: Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-63331-4
^ 우드워드, 필립 M. (1953) 확률과 정보 이론(레이더에 응용 프로그램 포함) 학술지 36쪽
^ H. M. Edwards (1974년). 리만의 제타 기능. 학술지 209-11쪽. ISBN 0-486-41740-9
^ Cohn, Henry; Elkies, Noam (2003), "New upper bounds on sphere packings I", Ann. of Math., 2, 157 (2): 689–714, arXiv:math/0110009, doi:10.4007/annals.2003.157.689, MR 1973059

추가 읽기

Benedetto, J.J.; Zimmermann, G. (1997), "Sampling multipliers and the Poisson summation formula", J. Fourier Ana. App., 3 (5), archived from the original on 2011-05-24, retrieved 2008-06-19
Gasquet, Claude; Witomski, Patrick (1999), Fourier Analysis and Applications, Springer, pp. 344–352, ISBN 0-387-98485-2
Higgins, J.R. (1985), "Five short stories about the cardinal series", Bull. Amer. Math. Soc., 12 (1): 45–89, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15293-0

[Pinsky-1] Pinsky, M. (2002), Introduction to Fourier Analysis and Wavelets., Brooks Cole, ISBN 978-0-534-37660-4

[Zygmund-2] Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric Series (2nd ed.), Cambridge University Press (published 1988), ISBN 978-0-521-35885-9

[Córdoba-3] Córdoba, A., "La formule sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 306: 373–376

[Hörmander-4] Hörmander, L. (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035

[Oppenheim-5] 오펜 하임, 앨런 V;이 로널드 W., 벅, 존 R.(1999년).이산 신호 처리(2판).어퍼 새들 강, 뉴저지:프렌티스 홀.아이 에스비엔 0-13-754920-2. 주기적 시퀀스의 DFS계수 x[n]의 정기적인 복제품 총 망라를 통해 얻어진 비주기적인 시퀀스 x[n]의 푸리에 변환의 견본의 생각될 수 있다.url=https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf

[Deitmar-6] Deitmar, Anton; Echterhoff, Siegfried (2014), Principles of Harmonic Analysis, Universitext (2 ed.), doi:10.1007/978-3-319-05792-7, ISBN 978-3-319-05791-0

[Grafakos-7] Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc., pp. 253–257, ISBN 0-13-035399-X

[Stein-8] Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9

[Katznelson-9] Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to harmonic analysis (Second corrected ed.), New York: Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-63331-4

[10] 우드워드, 필립 M. (1953) 확률과 정보 이론(레이더에 응용 프로그램 포함) 학술지 36쪽

[11] H. M. Edwards (1974년). 리만의 제타 기능. 학술지 209-11쪽. ISBN 0-486-41740-9

[Cohn-12] Cohn, Henry; Elkies, Noam (2003), "New upper bounds on sphere packings I", Ann. of Math., 2, 157 (2): 689–714, arXiv:math/0110009, doi:10.4007/annals.2003.157.689, MR 1973059

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[8]

[9]

[7]

[10]

[11]

[12]

Search