시프트 곰퍼츠 분포

시프트 곰퍼츠

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b\geq 0}$ 척도$$(실제) ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \eta \geq$ 0$} 모양$(실제$$)
지원	$[0,\flashstyle x\in [0,\infully )\!}$
PDF	${\displaystyle be^{-bx}e^{-\eta e^{-bx}}\좌측[1+\eta \좌측(1-e^{-bx}\우측)\우측]}$
CDF	${\displaystyle \left(1-e^{-bx}\right)e^{-\eta e^{-bx}}$
평균	${\displaystyle (-1/b)\{\mathrm {E} [\ln(X)]-\ln(\eta )\}\,}$ where ${\displaystyle X=\eta e^{-bx}\,}$ and ${\displaystyle {\begin{aigned}\mathrm {E}[\ln(X)]=&[1+}1/\eta ]\!\!\int _{0}^{\eta }\\!\!e^{-X}[\ln(X)]dX\\&-1/\eta \!\!\int _{0}^{\eta }\\!\\!Xe^{-X}[\ln(X)]dX\end{arged}}}$
모드	${\displaystyle 0{\text{{} for }}0<\eta \leq 0.5}$ ${\displaystyle(-1/b)\ln(z^{\star }}}{\text{, }}\eta >0.5}$ ${\displaystyle {\text{where }z^{\star }=[3+\eta -(\eta ^{2}+2\eta +5)^{1/2}]/(2\eta )}$
분산	${\displaystyle (1/b^{2})(\mathrm {E} \{[\ln(X)]^{2}\-(\mathrm {E}[\ln(X)])^{2}\,},}$ where ${\displaystyle X=\eta e^{-bx}\,}$ and ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} \{[\ln(X)]^{2}\}=&[1{+}1/\eta ]\!$$\!\int _{0}^{\eta }\\!$$\!e^{-X}[\ln(X)]^{2}dX\\&-1/\eta \!\!$$\int _{0}^{\eta }\\!$$\\!Xe^{-X}[\ln(X)]^{2}dX\end{arged}}}$

이동된 곰퍼츠 분포는 두 개의 독립 랜덤 변수 중 큰 변수의 분포로, 그 중 하나는 파라미터 b ${\displaystyle$ b$}$과(와) 지수 분포를 가지고 있고, 다른$$ 하나는 Gumbel 분포와 파라미터 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta$}과$(와$)를 가지고 있다$.$ 원래 공식에서는 산포함.입출력은 곱벨 분포 대신 곰퍼츠 분포를 참고하여 표현되었으나 곰퍼츠 분포는 역행 곱벨 분포이므로 라벨 표시는 정확하다고 볼 수 있다. 그것은 혁신 채택의 모델로 이용되어 왔다. 베메모르^[1](1994년)가 제안한 것이다. 일부 통계 속성은 지메네즈와 조드라(2009)와 지메네즈 토레스(2014)가 추가로 연구했다.

소셜 네트워크와 온라인 서비스의 성장과 쇠퇴를 예측하는 데 사용되어 왔으며, 베이스 모델과 웨이벌 유통(Bauckhage, Kersting^[4] 2014)보다 우위에 있는 것으로 나타났다.

사양

확률밀도함수

이동된 곰퍼츠 분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f(x;b,\eta )=be^{-bx}e^{-\eta e^{-bx}}\좌측[1+\eta \좌측(1-e^{-bx}\우측)]{\text{}}}}}}$

여기서 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b\geq$ 0$}$은(는) 척도 매개 변수이고 $and{\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \eta \geq$ 0$}$은 형상 매개 변수다. 혁신의 확산의 맥락에서 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$은(는) 혁신의 총체적인 매력으로 해석할 수 있으며$$, $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta}$은 성향-적응 패러다임에서 채택하는 경향이다. $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(가) 클수록 호소력이 강하고 $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$이(가) 클수록 채택 성향이 작아진다.

분포는 외부 영향 계수로 $p$${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$0${\displaystyle }$; ${\displaystyle b}$ ,${\displaystyle \eta }$)${\displaystyle }$= b ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle -}$ {\$displaystyle p=f (0;b,\eta )=be$$^{-\eta$$}}}}}$을(를) 내부 영향 계수로 $하여$ 외부 대 내부 영향 $패러다임$에 따라 다시 분류할 수 있다. 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle f(x;p,q)=(p+q)e^{-(p+q)x}e^{-\ln(1+q/p)e^{-(p+q)x}}\left[1+\ln(1+q/p)\left(1-e^{-(p+q)x}\right)\right]{\text{ for }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,}$

${\displaystyle =(p+q)e^{-(p+q)x}{(1+q/p)^{-e^{-(p+q)x}}}\left[1+\ln(1+q/p)\left(1-e^{-(p+q)x}\right)\right]{\text{ for }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,}$

$q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle q=0}$일 때$,$ 이동된 곰퍼츠 분포는 지수 분포로 감소한다. $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p=0}$일$$때 채택자의 비율은 영(0)이다. 즉, 혁신은 완전한 실패다. 확률밀도함수의 형상변수는 $q{\displaystyle /p}$ ${\displaystyle q/p}$과 같다$.$ Bass 모델과 유사하게 위험률 $z{\displaystyle }$$($${\displaystyle x}$; p ,${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle z(x$$;$$p,q)}$이(가$)$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 0}$과 $같으며{\displaystyle }$$,$${\displaystyle }$p + ${\displaystyle q}${\$displaystystystystytytytytytytytylease$}에 접근한다$$.$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$에 가까워질$$ 때$$ $le$ p$+q$$\}.$ 자세한 분석은 Bemmaor와 Jung을 참조하십시오.

누적분포함수

이동된 곰퍼츠 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x;b,\eta )=\왼쪽(1-e^{-bx}\right)e^{-\eta e^{-bx}}{\text{{}{}}}}}}$

동등하게,

${\displaystyle F(x;p,q)=\왼쪽(1-e^{-(p+q)x}\right)e^{-\ln(1+q/p)e^{-(p+q)x}}{\text{{}}}}}}}$

${\displaystyle =\좌측(1-e^{-(p+q)x}\우측){(1+q/p)^{-e^{-e^{-(p+q)x}}{\text{{{{}}}}{}x\geq 0.\,}$

특성.

이동된 곰퍼츠 분포는 $values{\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$의 모든 값에 대해 오른쪽으로 치우쳐 있다$.$ Gumbel 분포보다 유연하다. 위험률은 ${\displaystyle {}^{(}}$${\displaystyle x}$; ${\displaystyle b}$ ,${\displaystyle \eta }$ $){\$$displaystyle be^{-\eta$$}}$에서 b {\$displaystyle b}}($)로 $증가하는 F(x;b$,\eta )의 오목함수로서$,$ 곡면성은 $모두{\displaystyle }$ $\$ {\$displaystyle$ \$eta }$이 크기$$ 때문에 더 가파르다. 혁신의 확산의 맥락에서, 채택자의 비율이 증가함에 따라 채택 가능성에 대한 입소문(즉, 이전 채택자)의 영향은 감소한다. (비교를 위해, Bass 모델에서는, 그 효과는 시간이 지남에 따라 동일하게 유지된다.) $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle b(1}$- ${\displaystyle e^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$- )${\displaystyle q=b(1-e^{-\eta }})$ 매개 $변수$는 x ${\displaystyle$ x}이$($$가$) 0 ${\displaystyle$ 0$}$에서${\displaystyle \mathrm{}}$∞ ${\displaysty \inft$}까지 다를$$ 때 위험률의 증가를 캡처한다$.$

모양들

이동된 곰퍼츠 밀도 함수는 형상 매개변수 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$의 값에 따라 다른 형상을 취할 수 있다$.$

• <0.5 $[\$.5$\,}$ 확률밀도함수는 0에서 모드를 가진다.
• >.5 ${\$확률밀도함수의 모드는 다음과 같다.

${\displaystyle {\text{mode}=-{\frac {\ln(z^{\star }}}}{b}\qquad 0<z^{\star }}}}}}$

여기서 $z{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\star }^{}}$ $displaystyle z^{\star }\,}$은(는) 의 가장 작은 루트다.

${\displaystyle \eta ^{2}z^{2}-\eta (3+\eta )z+\eta +1=0\...}$

어느 것이

${\displaystyle z^{\star }=[3+\eta -(\eta ^{2}+2\eta +5)^{1/2}]/(2\eta )}$

관련 분포

$\displaystyle \eta$}이$$(가) 형상 매개변수 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$} 및 척도 매개변수 ${\displaystyle \beta }$${\$$displaystyle \alpha \beta$$$}을($$가$)$ 있는 감마 분포에 따라 달라지는$$ $경우{\displaystyle }$, x ${\displaystytegpertz$($$$G$$).$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 1과 같을 경우 G/SG는 Bass 모델(Bemmaor 1994)으로 감소한다. 3변수 G/SG는 도버, 골든버그, 샤피라(2009)와 반덴 볼테, 스트레머슈(2004)가 혁신 확산의 맥락에서 적용했다. 모델은 찬드라세카란과 텔리스(2007)에서 논의된다.이동된 곰퍼츠 분포와 유사하게 G/SG는 채택 성향 패러다임 또는 혁신-이미징 패러다임에 따라 표현될 수 있다. In the latter case, it includes three parameters: ${\displaystyle p,q}$ and ${\displaystyle \alpha }$ with ${\displaystyle p=f(0;b,\beta ,\alpha )=b/(1+\beta )^{\alpha }}$ and ${\displaystyle q=b-p}$. {\displaystyle \alpha} 위험율이 F(x안, q, α){F(x;p,q,\alpha)\displaystyle}의 함수로 표현될 때 α{\displaystyle \alpha}은 0.5이상의 곡률을 수정할 매개 변수 α, 그것은 최소에 앞서 F(x안, q,α<1/2)로 꾸준히 증가한{에서 증가한 것이 감소한다.\d$isplaystyle F(x;p,q,\alpha <1/2)}$가 증가하며, $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 1보다 작거나$$ 같을 때 볼록하고, $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\alpha }$이(가$$ 1보다 클 때 선형이고,$$α {\$displaystyplaystyp$ 스타일 \alpha }). 다음은 특정 시간에 채택할 가능성과 관련하여 동질성의 경우(인구 전체) G/SG 분포의 몇 가지 특별한 경우:

 ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =0)}$ = Exponential${\displaystyle (p+q)}$ ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1/2)}$ = Left-skewed two-parameter distribution${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1)}$  = Bass 모델${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle (x}$; p${\displaystyle }$, ${\displaystyle q}$ ,${\displaystyle \alpha }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =\infty )}$ $$= Shifted Gompertz${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyty(p,q)}$ 

다음 항목 포함:

              ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1/2)=\왼쪽(1-e^{-(p+q)x}\right)/{1+(q/p)(2+q/p)e^{-(p+q)x}^{1/2}}{}{}{}x\x\x\geq 0,\}$ 

$동일$한 $개념$을$$캡처할$$때 α {\$displaystyle$ $\$alpha }의 값에서 p {\displaystyle $p}$과 $q{\displaystyle }$ {\$displaystyle q$$}$을(를) 비교할$$ 수 있다. 모든 경우에 위험률은 일정하거나 $F{\displaystyle (x}$; ${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$ ,$){\displaystyle F(x;p,q,\alpha )}$의 단조롭게 증가하는 기능이다.$$ 확산 곡선은$\alpha {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$alpha$}이$$(가) 커짐에 따라 더욱 치우쳐져 있기 때문에 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은(는) 우측 스큐의 레벨이 높아질수록 감소할 것으로$$ 예상한다.

참고 항목

• 줌벨 분포
• 일반화된 극단값 분포
• 혼합 모형
• 베이스 모델
• 곰퍼츠 분포

참조

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 보다 정확한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2012년 4월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)