잠수(수학)

수학에서, 잠수란 어느 곳에나 굴절적인 차이를 가지고 있는 서로 다른 다지관들 사이의 서로 다른 지도다.이것은 미분 위상에서의 기본 개념이다.잠수 개념은 몰입 개념과 이중적이다.null

정의

M과 N을 구별할 수 있는 다지관으로${\displaystyle }하고{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$: M → ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$f\$colon M\to$ N$}$을(를) 서로 다른 지도로 한다$$.지도 f는 지점 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle p\in M}$의 차등인 경우$$ 하위 항목이다.

${\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

굴절성 선형 지도 입니다.^[1]이 경우 p를 지도 f의 정규점이라고 하고, 그렇지 않으면 p가 임계점이다.point $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q\in N}$은 preimage $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle f^{-1}(q)}$의 모든 p점이 정규점일$$ 경우 f의 정규값이다.${\displaystyle 각}$ 지점 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle p\in M}$에 있는 submission인 differentable map f를 submission이라고 한다$$.동등하게, f는 $차동{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$의 차등 Df_{p}가 N의 치수와 같은 일정한 순위를 갖는$$ 경우 하위 항목이다.

경고의 말: 일부 저자들은 임계점이라는 용어를 사용하여 Jacobian 행렬의 p의 등급이 최대치가 아닌 점을 묘사한다.^[2]사실 이것은 특이점 이론에서 더 유용한 개념이다.M의 치수가 N의 치수보다 크거나 같으면 이 두 가지 임계점 개념이 일치한다.그러나 M의 치수가 N의 치수보다 작을 경우, 위의 정의에 따라 모든 점들이 결정적이지만(차이가 굴절적일 수 없음) 제이콥의 등급은 여전히 최대일 수 있다(어두운 M과 같을 경우).위에서 주어진 정의는 더 일반적으로 사용되는 것이다; 예를 들어, 사르드의 정리 공식화에서.null

잠수 정리

$각$ $\$ M {\$displaystyle$ m$$$}$과 n {\displaystyle m$$}의 부드러운$다지관$→ N {\displaystyle $m$$}$과$($$)$ n {\$displaystyle n}$ $사이$에 하위 섹션이 주어질$$ 경우, ject : U →$$R$displaystystylement \phi$:$\to \mathb {R}$ $^{$$m$$}$ $x$ ${\displaystyle x}$및$$ $\psi {\displaystyle }$: V${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$:$V\to \mathbb {R} ^{n}}$ of ${\displaystyle N}$ around ${\displaystyle f(x)}$, such that ${\displaystyle f}$ restricts to a submersion ${\displaystyle f\colon U\to V}$ which, when expressed in coordinates as ${\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mat$$hbb {R} ^{m}\to \mathb {R} ^{n}}}$은$($는) 일반적인 직교 투영이 된다.As an application, for each ${\displaystyle p\in N}$ the corresponding fiber of ${\displaystyle f}$, denoted ${\displaystyle M_{p}=f^{-1}(\{p\})}$ can be equipped with the structure of a smooth submanifold of ${\displaystyle M}$ whose dimension is equal to the difference of the dimens$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 및$$ M ${\displaystyle M}$의 이온$.$

예를 들어 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$f$(x, ${\displaystyle y,}$ z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$+${\displaystyle {}^{}{z\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$. ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}}}}}}}}}}.$$$ 자코비안 매트릭스는

${\displaystyle{bmatrix}{\frac {\frac}{\frac x}}{\frac {\f}{\flac y}{\fract f}{\nd{bmatrix}}={\nd{bmatrix}4x^{3}&j^{bmatrix}}}}}}}$

이것은${\displaystyle }$($0, 0,$ ${\displaystyle 0}$ )을 제외한 모든 점에서 최대 등급이 있다$.$ 또한, $섬유는$

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\좌측\{(a,b,c)\in \mathb {R}^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}+c^{4}}}=t\right\}}}$

< 0 ${\displaystyle t<0$의 경우 비어 있으며 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$인 점과 동일함$.$따라서 뿐 아니라\mathbb{R}_{>0}, \{(0,0,0)\}\to 0,{\displaystyle f\colon \mathbb{R}^{3}\setminus}과 하위 집합 Mt){(a, b, c)∈ R3:4+b4+c4)t}{\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb{R}^{3}:a^{4}+b f:R3∖{(0,0,0)}→ R을 원활한 담겼다.^{4}+$c^{4}=t\right\}}$은(는) > 0 ${\displaystyle t>0}$에 대한 2차원 평활 다지관이다

예

• 임의의 투영${\displaystyle {\pi }^{}}$ : ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$+ n${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$\colon \colon $\mathb$ {$R} ^{m+n}\오른쪽$ 화살표 $\mathb {R}{n}\subset$\mathb {$R}^{m+n}}}}}}}$
• 국부 차이점
• 리만 잠수정
• 부드러운 벡터 번들 또는 보다 일반적인 부드러운 진동에서의 투영.미분류의 허탈성은 국소적인 사소한 것의 존재에 필요한 조건이다.

구체간 지도

잠수함의 한 가지 큰 등급의 예로는 다음과 같이 더 높은 차원의 구들 사이에 있는 잠수이다.

${\displaystyle f:S^{n+k}\to S^{k}}}$

그 섬유는 $차원{\displaystyle }$ n ${\displaystyle$ n$\}.$왜냐하면 섬유(원소 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S^{}}$ k ${\$는 $치수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$의 부드러운 다지관이기 때문이다$.$그럼, 우리가 길을 가면

$[\displaystyle \property :I\to S^{k}}$

그리고 철수한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\downarrow &&\downarrow f\\\\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}}$

우리는 액자 보르디즘이라고 불리는 특별한 종류의 보르디즘의 예를 얻는다.실제로 프레임 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $Ωn$ f r ${\displaystyle \Oomega_${n$}^{fr}$는 안정적인 호모토피 그룹과 밀접하게 관련되어 있다$$.null

대수 품종

또 다른 큰 등급의 하위품종은 섬유질이 부드러운$$ 대수품종인 대수품종 $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ S ${\displaystyle \pi :{\mathfrak{X}\to S}$에 의해 주어진다.이러한 품종의 기저 다지관을 고려한다면, 우리는 매끄러운 다지관을 얻게 된다.예를 들어${\displaystyle ,}$ 타원곡선의 W$$${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 1\mathcal{}}$ ${\$}}는 교차로 호몰로지, 비뚤어진 절편 등 보다 복잡한 이론을 입증하는 데 사용되는 많은 기술적 복잡성을 포함하고 있기 때문에 널리 연구된 산물이다.이 가문은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\mathcal{W}=\{(t,x,y)\in \mathb {A}^{1}\time \mathb {A}^{2}:y^{2}=x(x-t)\}}}}$

여기서 $A{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^1}은$($는) 아핀 선이고$$ A$$2 {\$displaystyle \mathb$ {$A} ^{2}}$은 아핀 평면이다.복합 품종을 고려하고 있으므로, 이것들은 복합 선과$$ 복합 평면의 $C{\displaystyle \mathbb{},}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}} 공간과 동등하게 같다.점 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t=0,1$}은(이중 루트가 있으므로) 특이점이 있기 때문에$$ 실제로 제거해야 한다는 점에 유의하십시오.null

국소정상형

f: M → N이 p와 f(p) = q ∈ N에 있는 경우, m에는 p의 오픈근린 U, N에는 q의 오픈근린 V, p와 (x₁₁, …, x_m)에 로컬 좌표(x, …, x_n)가 존재하며, 이러한 로컬 좌표에는 f(U) = V가 표준 투영된다.

${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{n},x_{n+1},\ldots,x_{m}=(x_{1},\ldots,x_{n}).}$

다른 종류의 지도 f → N에 있는 정규 값 q의 M에 있는 전체 프리이미지⁻¹ f(q)가 비어 있거나 치수 dim N의 가변적인 다지관으로서, 연결이 끊어질 수 있다.이것은 정규 값 정리(일명 잠수 정리라고도 한다)의 내용이다.특히 지도 f가 잠수라면 결론은 N의 모든 q에 대해 유지된다.null

위상 다지관 잠수

일반 위상학 다지관에도 잠수부가 잘 정의되어 있다.^[3]위상학적 다지관 침적은 연속적인 추론 f : M → N으로, 일부 연속 차트의 경우 p에서 p에서 ψ, f(p)에서 φ에 φ, 지도 ψ⁻¹ f ∘ φ φ은 R에서^mn R까지 투영 지도와 같으며 여기서 m = 딤(M) ≥ = 딤(N)이다.null

참고 항목

• 에흐레스만의 진동 정리

메모들

참조

• Arnold, Vladimir I.; Gusein-Zade, Sabir M.; Varchenko, Alexander N. (1985). Singularities of Differentiable Maps: Volume 1. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
• Bruce, James W.; Giblin, Peter J. (1984). Curves and Singularities. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42999-4. MR 0774048.
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9.
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Frankel, Theodore (1997). The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38753-1. MR 1481707.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0.
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Sternberg, Shlomo Zvi (2012). Curvature in Mathematics and Physics. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47855-5.