잠수(수학)

Submersion (mathematics)

수학에서, 잠수란 어느 곳에나 굴절적차이를 가지고 있는 서로 다른 다지관들 사이의 서로 다른 지도다.이것은 미분 위상에서의 기본 개념이다.잠수 개념은 몰입 개념과 이중적이다.null

정의

MN구별할 수 있는 다지관으로 : M → f\ N을(를) 서로 다른 지도로 한다.지도 f지점 M 차등인 경우 하위 항목이다.

굴절성 선형 지도 입니다.[1]이 경우 p를 지도 f정규점이라고 하고, 그렇지 않으면 p임계점이다.point 은 preimage - ( ) 의 모든 p점이 정규점일 경우 f정규값이다. 지점 M 에 있는 submission인 differentable map fsubmission이라고 한다.동등하게, f 의 차등 Df_{p}가 N의 치수와 같은 일정한 순위를 갖는 경우 하위 항목이다.

경고의 말: 일부 저자들은 임계점이라는 용어를 사용하여 Jacobian 행렬p등급이 최대치가 아닌 점을 묘사한다.[2]사실 이것은 특이점 이론에서 더 유용한 개념이다.M의 치수가 N의 치수보다 크거나 같으면 이 두 가지 임계점 개념이 일치한다.그러나 M의 치수가 N의 치수보다 작을 경우, 위의 정의에 따라 모든 점들이 결정적이지만(차이가 굴절적일 수 없음) 제이콥의 등급은 여전히 최대일 수 있다(어두운 M과 같을 경우).위에서 주어진 정의는 더 일반적으로 사용되는 것이다; 예를 들어, 사르드의 정리 공식화에서.null

잠수 정리

M {\ m과 n {\displaystyle m}의 부드러운→ N {\displaystyle n {\ 에 하위 섹션이 주어질 경우, ject : U →R: : V : of around , such that restricts to a submersion which, when expressed in coordinates as 는) 일반적인 직교 투영이 된다.As an application, for each the corresponding fiber of , denoted can be equipped with the structure of a smooth submanifold of whose dimension is equal to the difference of the dimens M 의 이온

예를 들어 : z)= + . 자코비안 매트릭스는

이것은( )을 제외한 모든 점에서 최대 등급이 있다 또한,

< 0 의 경우 비어 있으며 = 인 점과 동일함따라서 뿐 아니라\mathbb{R}_{>0}, \{(0,0,0)\}\to 0,{\displaystyle f\colon \mathbb{R}^{3}\setminus}과 하위 집합 Mt){(a, b, c)∈ R3:4+b4+c4)t}{\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb{R}^{3}:a^{4}+b f:R3∖{(0,0,0)}→ R을 원활한 담겼다.^{4}+은(는) > 0 에 대한 2차원 평활 다지관이다

  • 임의의 투영 : + n + \colon \colon { 화살표 \mathb {
  • 국부 차이점
  • 리만 잠수정
  • 부드러운 벡터 번들 또는 보다 일반적인 부드러운 진동에서의 투영.미분류의 허탈성은 국소적인 사소한 것의 존재에 필요한 조건이다.

구체간 지도

잠수함의 한 가지 큰 등급의 예로는 다음과 같이 더 높은 차원의 구들 사이에 있는 잠수이다.

그 섬유는 n n왜냐하면 섬유(원소 k n 의 부드러운 다지관이기 때문이다그럼, 우리가 길을 가면

그리고 철수한다.

우리는 액자 보르디즘이라고 불리는 특별한 종류의 보르디즘의 예를 얻는다.실제로 프레임 f r {n안정적인 호모토피 그룹과 밀접하게 관련되어 있다.null

대수 품종

또 다른 큰 등급의 하위품종은 섬유질이 부드러운 대수품종인 대수품종 : → S 에 의해 주어진다.이러한 품종의 기저 다지관을 고려한다면, 우리는 매끄러운 다지관을 얻게 된다.예를 들어 타원곡선의 W }}는 교차로 호몰로지, 비뚤어진 절편 등 보다 복잡한 이론을 입증하는 데 사용되는 많은 기술적 복잡성을 포함하고 있기 때문에 널리 연구된 산물이다.이 가문은 에 의해 주어진다.

여기서 ^1}은는) 아핀 선이고 A2 {\ { 아핀 평면이다.복합 품종을 고려하고 있으므로, 이것들은 복합 선과 복합 평면의 }} 공간과 동등하게 같다.= }은(이중 루트가 있으므로) 특이점이 있기 때문에 실제로 제거해야 한다는 점에 유의하십시오.null

국소정상형

f: M Npf(p) = qN에 있는 경우, m에는 p오픈근린 U, N에는 q의 오픈근린 V, p(x11, …, xm)로컬 좌표(x, …, xn)가 존재하며, 이러한 로컬 좌표에는 f(U) = V가 표준 투영된다.

다른 종류의 지도 f → N에 있는 정규 q의 M에 있는 전체 프리이미지−1 f(q)가 비어 있거나 치수 dim N의 가변적인 다지관으로서, 연결이 끊어질 수 있다.이것은 정규 정리(일명 잠수 정리라고도 한다)의 내용이다.특히 지도 f가 잠수라면 결론은 N의 모든 q에 대해 유지된다.null

위상 다지관 잠수

일반 위상학 다지관에도 잠수부가 잘 정의되어 있다.[3]위상학적 다지관 침적은 연속적추론 f : M → N으로, 일부 연속 차트의 경우 p에서 p에서 ψ, f(p)에서 φ φ, 지도 ψ−1 f φ φ은 R에서mn R까지 투영 지도와 같으며 여기서 m = (M) ≥ = (N)이다.null

참고 항목

메모들

  1. ^ Rugin & Pirani 1994, 페이지 243. do Carmo 1994, 페이지 185. Frankel 1997, 페이지 181. Gallot, Hulin & Lafontaine 2004, 페이지 12.Kosinski 2007, 페이지 27.Lang 1999, 페이지 27.스턴버그 2012, 378페이지.
  2. ^ 아놀드, 구세인 자이드 & 바르첸코 1985.
  3. ^ Lang 1999, 페이지 27.

참조

  • Arnold, Vladimir I.; Gusein-Zade, Sabir M.; Varchenko, Alexander N. (1985). Singularities of Differentiable Maps: Volume 1. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
  • Bruce, James W.; Giblin, Peter J. (1984). Curves and Singularities. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42999-4. MR 0774048.
  • Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9.
  • do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. ISBN 978-0-8176-3490-2.
  • Frankel, Theodore (1997). The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38753-1. MR 1481707.
  • Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0.
  • Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
  • Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
  • Sternberg, Shlomo Zvi (2012). Curvature in Mathematics and Physics. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47855-5.