가우스-쿠즈민 분포

가우스-쿠즈민

매개변수	(iii)
지원	${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle -\log _{2}\left[1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\오른쪽]}$
CDF	${\displaystyle 1-\log _{2}\왼쪽 사진\frac {k+2}{k+1}\오른쪽)}$
평균	$♪ 디스플레이 스타일 +\flatty }$
중앙값	$2\displaystyle 2\,}$
모드	$1\displaystyle 1\,}$
분산	$♪ 디스플레이 스타일 +\flatty }$
왜도	(정의되지 않음)
엑스트라 쿠르토시스	(정의되지 않음)
엔트로피	3.432527514776...[1][2][3]

수학에서 가우스-쿠즈민 분포는 (0, 1)에 균일하게 분포된 랜덤 변수의 연속적인 부분 팽창에 있는 계수의 한계 확률 분포로 발생하는 이산 확률 분포다.^[4]이 분포는 1800년경에 이를 도출한 칼 프리드리히 ^[5]가우스와 1929년 수렴율에 제약을 준 로디온 쿠즈민의 이름을 따서 지은 것이다.^[6][7]확률 질량 함수에 의해 주어진다.

${\displaystyle p(k)=-\log _{2}\왼쪽(1-{\frac {1}{1+k)^{2}}}\오른쪽)~.}$

가우스-쿠즈민 정리

내버려두다

${\displaystyle x={\frac {1}{k_{1}+{\frac {1}{1}{k_{2}+\cdots }}}}}}$

(0, 1)에 균일하게 분포된 무작위 숫자 x의 지속적인 분수 확장이다.그러면

${\displaystyle \lim \to \inflt }\mathb {P} \left\{k_{n}=k\right\}=-\log _{2}(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}}\오른쪽)~.}$

동등하게, let

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{k_{n+1}+{\frac {1}{1}{k_{n+2}+\cdots }}}}}$

그때

${\displaystyle \Delta _{n}=\mathb {P} \left\{x_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s)}$

n이 무한대로 되는 경향이 있기 때문에 0이 되는 경향이 있다.null

수렴율

1928년 쿠즈민은 바운드했다.

${\displaystyle \Delta _{n}s \leq C\exp(-\alpha {\sqrt{n}})~.}$

1929년에 폴 레비는^[8] 그것을 로 개선했다.

${\displaystyle \Delta _{n}s \leq C\,0.7^{n}~.}$

후에 에두아르 위르싱은 showed^[9]=0.30366의 경우...(Gauss-Kuzmin-Wirsing 상수), 한계

${\displaystyle \psi(s)=\lim _{n\to \inflt }{\fract {\delta _{n}}{(-\lambda )^{n}}}}}}}}}}$

[0, 1]의 모든 s에 대해 존재하며, 함수 ψ은 분석적이며 analy(0)=ψ(1)=0을 만족한다.K.I에 의해 더 많은 한계가 증명되었다.바벤코.^[10]null

참고 항목

• 킨친 상수
• 레비 상수

참조