상품측량

수학에서, 두 개의 측정 가능한 공간과 그 위에 측정 가능한 공간을 제공하면, 한 개의 측정 가능한 공간과 그 공간에 대한 제품 측정치를 얻을 수 있다.개념적으로 이것은 제품 측정에 많은 자연적인 선택이 있을 수 있다는 점을 제외하고는 세트의 데카르트 제품과 두 개의 위상 공간의 제품 토폴로지를 정의하는 것과 유사하다.

Let ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ and ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ be two measurable spaces, that is, ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ and ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ are sigma algebras on ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\d$$isplaystyle X_{2$}}개씩$$, ${\displaystyle {\mu 1\mathrm{}}_{}}$ ${\$${1},$$$ ${\$}}개를 이러한 공간에 대한 측정이 되도록$$ 한다.Denote by ${\displaystyle \Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}}$ the sigma algebra on the Cartesian product ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ generated by subsets of the form ${\displaystyle B_{1}\times B_{2}}$, where ${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1}}$$$ 및 B ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle B_{2}\$in $\Sigma _{2}.}$ 이 시그마$$ 대수학은 제품 공간에 있는 텐서-제품 σ-알지브라라고 불린다.

A product measure ${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$ (also denoted by ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$ by many authors) is defined to be a measure on the measurable space ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}$속성을 만족하는$$)}

${\displaystyle(\mu _{1}\time \mu _{2})(B_{1}\time B_{2}=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})}$

대체적으로

${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈${\displaystyle {}_{}\text{1}{}_{}}$ 1, ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$ ∈ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$

(일부 무한도인 곱셈 측정에서는 어떤 요인이 0이면 0으로 정의한다.)

실제로 공간이 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ -finite일$$ 경우 제품 측정값이 고유하게 정의되며, 모든 측정 가능한 집합 E에 대해

${\displaystyle(\mu_{1}\time \mu_{2})(E)=\int_{X_{2}}\mu_{1}(E^{y})\,d\mu_{2}=\not _{X_{1}}\mu_{2}(E_{x}),d\mu _{1(x}},}}$

where ${\displaystyle E_{x}=\{y\in X_{2} (x,y)\in E\}}$ and ${\displaystyle E^{y}=\{x\in X_{1} (x,y)\in E\}}$, which are both measurable sets.

이 조치의 존재는 한-콜모고로프 정리에 의해 보장된다.The uniqueness of product measure is guaranteed only in the case that both ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}$ and ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}$ are σ-finite.

유클리드 공간 R에ⁿ 대한 보렐 측정치는 실제 라인 R에 보렐 측정치 n개의 사본으로 얻을 수 있다.

제품 공간의 두 요소가 완전한 측정 공간이라고 해도 제품 공간이 아닐 수 있다.따라서 보렐 측정을 르베그 측도로 확장하거나, 르베그 측정에 대한 르베그 측정에 대한 두 가지 르베그 측도의 산물을 연장하기 위해서는 완성 절차가 필요하다.

두 조치의 산물 형성과 반대되는 구조는 해체인데, 어떤 의미에서는 주어진 조치를 원래의 조치를 주기 위해 통합할 수 있는 조치의 한 패밀리로 '분할' 것이다.

예

• 두 개의 측정 공간을 주어진 경우, μ_max(A)가 일부 측정 가능한 집합 A에 대해 유한하면 μ(A) = μ(A)가 모든 제품에서 μ_max(A)가 유한하다는 특성을 가진 고유한 최대 제품 μ가_max 항상 존재한다.특히 어떤 측정 가능한 집합에 대한 그것의 가치는 적어도 다른 제품 측정값의 그것이다.이것은 캐러테오도리 확장 정리에 의해 생산된 조치다.
• 때때로 μ_min(S) = supp_{A⊂S, μmax(A) finite} μ_max(A)로 주어진 고유한 최소 제품 측정 μ도_min 있다. 여기서 A와 S는 측정할 수 있다고 가정한다.
• 한 제품이 두 가지 이상의 제품 측정값을 갖는 예는 다음과 같다.XXXY 제품을 취하십시오. 여기서 X는 Lebesgue 측정과 함께 단위 간격이고 Y는 계수 측정과 모든 측정 가능한 단위 간격입니다.그리고 최소 제품 측정의 경우 세트의 측정값은 수평 부분의 측정값의 합인 반면, 최대 제품 측정의 경우, A가 Lebegue 측정값 0 또는 B가 단일 점인 A×B 형식의 계수 가능한 수의 조합에 포함되지 않는 한 세트는 무한을 측정한다.(이 경우 측정치는 유한하거나 무한할 수 있다.)특히 대각선은 최소 제품 측정에 대해 0을 측정하고 최대 제품 측정에 대해 무한을 측정한다.

참고 항목

• 푸비니의 정리

참조

• Loève, Michel (1977). "8.2. Product measures and iterated integrals". Probability Theory vol. I (4th ed.). Springer. pp. 135–137. ISBN 0-387-90210-4.
• Halmos, Paul (1974). "35. Product measures". Measure theory. Springer. pp. 143–145. ISBN 0-387-90088-8.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath에 대한 제품 조치의 자료가 통합되어 있다.