라플라스 분포

라플라스

확률밀도함수
누적분포함수
파라미터	${\displaystyle \mu }${\$displaystyle \mu}$ 위치$$(실제) > < $displaystyle$ b > 0> 스케일(실제)
지지하다	$\displaystyle \mathbb {R}$
PDF	$({displaystyle {1}{2b}}\exp \leftflac {x-\mu}{b}}\right)$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\exp \frac {x-\mu}{b}\right}&{\text{f}x\leq \mu \\[8pt]1-{1}\exp \frac {\frac {\mu}{b}\text}\{b}\text}\right}\f}$
양분위수	${\displaystyle {begin{case}\mu +b\ln \left(2F\right)&{\text{f}F\leq{frac{1}{2}}\[8pt]\mu -b\ln \left(2-2F\right)&{text}F\ge {frac1}{\text}{\left}{\left}{\t}}{case}}}$
의미하다	${\displaystyle\mu}$
중앙값	${\displaystyle\mu}$
모드	${\displaystyle\mu}$
분산	${\displaystyle 2b^{2}}$
미친	$(\display style b)$
왜도	${\displaystyle 0}$
예: 첨도	$(\displaystyle 3)$
엔트로피	${\displaystyle\ln(2be)}$
MGF	${\displaystyle\frac{exp(\mu t)}{1-b^{2}t^{\text{ for }} t <1/b}$
CF	$(\displaystyle\frac\exp(\mu it){1+b^{2}t^{2}}})$

확률 이론과 통계학에서 라플라스 분포는 피에르-시몽 라플라스에서 명명된 연속 확률 분포이다.두 개의 지수 분포(추가 위치 모수가 있음)가 백투백으로 결합된 것으로 간주될 수 있기 때문에 이중 지수 분포라고도 불리기도 합니다. 단, 이 용어는 Gumbel 분포를 가리키는 데 사용되기도 합니다.두 개의 독립적인 동일한 분포 지수 랜덤 변수 간의 차이는 지수 분포 랜덤 시간에 평가되는 브라운 운동과 마찬가지로 라플라스 분포에 의해 제어됩니다.시간 척도에 따라 평가된 라플라스 운동 또는 분산 감마 공정의 증가분도 라플라스 분포를 가진다.

정의들

확률밀도함수

확률 밀도 함수가 다음과 같은 경우 랜덤 변수는 $μ$ ${\displaystyle ,b}$) { $displaystyle${ $Laplace}$ ( $mu , b$ ) } 분포를 가집니다$$.

${\displaystyle f(x\mid \mu,b)=param frac {1}{2b}\exp \frac {x-\mu}{b}\right!}$

${\displaystyle = specfrac {1}{2b}\left\{\exp {\frac {\mu - x}\right}&{\text {if}x<\mu \[8pt]\exp \left {\frac {x-\mu }{b}}\text {\gef}}\\text {\text}}$

$여기$서$$μ {\$displaystyle \mu}$는 로케이션 파라미터 0$(displaystyle b>0$)은 스케일 파라미터입니다.μ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle \mu$=$0$} $및$ b ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}${ $displaystyle$ b=$1}$인 경우 양의$$$하프라인$은 정확히 1/2 크기의 지수 분포입니다.

라플라스 분포의 확률밀도함수도 정규분포를 연상시키지만 $정규분포$는$$평균μ(\$displaystyle \mu$와의 제곱차이로 표현되는 반면 라플라스 밀도는 평균과의 절대차이로 표현된다.따라서 Laplace 분포는 정규 분포보다 꼬리가 굵습니다.

누적분포함수

라플라스 분포는 절대값 함수를 사용하기 때문에 (2개의 대칭 케이스를 구별하는 경우) 적분하기가 쉽습니다.누적 분포 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}())&,=\int _{-\infty}^{)}\!\!f(u)\,\mathrm{d}u={\begin{경우}{\frac{1}{2}}\exp \left({\frac{x-\mu}{b}}\right)&,{\mbox{만약}}x<, \mu \\1-{\frac{1}{2}}\exp \left(-{\frac{x-\mu}{b}}\right)&,{\mbox{만약}}x\geq\mu \end{경우}}\\&, ={\tfrac{1}{2}}+{\tfrac{1}{2}}\operatorname{sgn}(x-\mu)\left(1-\exp. \left(-{\frac{x-\mu } {b}} \ right ) \ right ) 。\end { aligned}}$

역 누적 분포 함수는 다음과 같습니다.

$\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b,\operatorname {sgn}(p-0.5),\ln(1-2 p-0.5)}$

특성.

순간

${\displaystyle \mu _{r}'=bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg}{\bigg [}{\frac {r!}{(r-k)!}b^{k}\mu^{(r-k)}\{1+(-1)^{k}\}{\bigg]}.}$

관련 분포

• $X$${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{Laplace}}$(${\displaystyle }$μ ,$b$) { $displaystyle$$$X \$sim$$${ $Laplace$} （ \ $textrm${ ${\displaystyle \text{Laplace}}$ } （ \$$$textrm${ $Laplace$}$$） 、 $μ$ +${\displaystyle c}$, $k$ 。
• ${\displaystyle \mathrm{X}}$~ ${\displaystyle \text{Laplace}}$( 0${\displaystyle }$,${\displaystyle b}$) { $displaystyle$X \$sim$ { $Laplace$} ( $0$, $b$) 、 ${\displaystyle X}$ ~ ${\displaystyle \text{지수}}$ ${\displaystyle ({}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ )$$（ $display$ style \$left X$ \$right$ \$sim$ \ $sim$ \$exponential$} \$）$ （ b$^$ { - 1 ） 。
• $X$,${\displaystyle Y}$ ~ ${\displaystyle \text{지수}}$ ${\displaystyle (}$"$displaystyle$X ,$Y$ \$sim$ { $Exponential$} （ \ $lambda$） }인 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle }$X${\displaystyle }$- ${\displaystyle Y}$ ~${\displaystyle Laplace\mathrm{}}$( 0 ,${\displaystyle 1^{}}$- 1 )$$（ $display style$ X $- Y$ \$sim$ { $Laplace$} \ (( 、 ( 0 , 0 , " - 1 ) 、 $lambda ）$。
• ${\displaystyle X}$~ ${\displaystyle \text{Laplace}}$(${\displaystyle }$μ ,${\displaystyle b}$) { $displaystyle$X \$sim$ { $Laplace$} （ \ $textrm$${$ Laplace } （ \ $mu$ , b$$） }일 $경우{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$-${\displaystyle \mu }$ ~ ${\displaystyle \text{지수}}$(${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle {}^{}}${ $displaystyle$\ $left$ X - \$mu$ \ $right \$sim { $Exponential$} } ( $b^$ { $exponential }$ )$$} } } }
• ${\displaystyle X}$~ ${\displaystyle \text{Laplace}}$(${\displaystyle \mu }$, b$$) { $displaystyle$X $\ sim$ { $Laplace$} ( \ $mu$, $b$)${\displaystyle }$} 、 X ~${\displaystyle \mathrm{EPD<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; X\backslash sim\; \{\backslash textrm\; \{Laplace\}\}(\backslash mu\; ,b)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/785d852922ab665db124110e4f4b1276025e5527"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:18.103ex;\; height:2.843ex;">}}$(${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle }$b , ${\displaystyle 1}$)$$、 { $displaystyle$X \$sim$ { $EPD$} ( \$mu$ ,$b$ ,$1$ )$$） 。 ( power power distrib distrib distrib distrib distributionutionutionutionutionution $if{\displaystyle }$ distrib distrib ) 。
• ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle ...,}$ ${\displaystyle {X4\mathrm{}}_{}N}$( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$ )$${ $displaystyle X_{1}$ , $X_$${4$$}$ \$sim${$textrm {N}$ ($0 ,$${\displaystyle 1}$)의 $경우{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$- $X3 X4$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \text{Laplace}}$ ${\displaystyle (0}$ , 1 )$。$
• ${\displaystyle {Xi}_{}}$~ ${\displaystyle \text{Laplace}}$(${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle b}$) { $displaystyle$ X _ { $i$} \$sim$ { $textrm${$Laplace$} \ $sim$$= 1$ ${\displaystyle n\underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$-${\displaystyle \mu }$ ~ ${\displaystyle 2{}^{}}$2 ( ${\displaystyle 2\frac{}{}}$){ $displaystyle \ frac$ { $displaystyle$2 } { b$}$ \ sum { $= 1 nmu$} $x$ - { $n$mu }
• X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y~\text{라플라스}(\mu ,}$ $)$ X, Y$\sim {textrm {Laplace}(mu,$ $b$$)}$의 $경우$ ${\displaystyle \frac{X}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mu }{}}$Y -${\displaystyle \frac{}{}\frac{\mu }{}}$ ~${\displaystyle \mathrm{F}}$ ${\displaystyle †}$ (${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$2)$${$displaystyle${$X$- \ $mu$} { $Y$- \ $mu$ } } { F }$（$ 2 $F }$
• ${\displaystyle X}$${\displaystyle ,Y}$ ~${\displaystyle U}$ ( 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$) { $displaystyle$X ,$Y$ \$sim$ { $U$} ($$${\displaystyle 0}$ ,$$${\displaystyle 1}$ )$$（ \ $displaystyle \ log$ ($X$/$Y$) ~ ${\displaystyle \text{Laplace}}$( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$ ) \$sim$ { textrm { $Laplace$} ( 0 , 1$$) ${\displaystyle 。}$
• $X$${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{지수}}$( ${\displaystyle )}$ )$${ $displaystyle$$$X \$sim$$${ $Exponential$} ( $lambda$) } $y$ y${\displaystyle }$Y ~ $Bernouli$( 0.5$)$$display$ if if$$（ \$$$displaystyle$ X$）$${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle 2}$、$lace}}\left(0,\lavda^{-1}\right$
• ${\displaystyle X}$~ ${\displaystyle \text{지수}}$( ${\displaystyle )}$ )$$( \ $display style$X \$sim$ { $Exponential$} ( \ $lambda$) )$및$ $Y{\displaystyle }$${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{지수}}$($$${\displaystyle )}$ )$$( \ $display$$style$Y \$sim$ { $Exponential$$\}$ ( \ $nu )$가$$X${\displaystyle }$~$stylestylestyle$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ x x , , , ) )l${\displaystyle )\text{stylell}}$ ${\displaystyle (}$ ( ) ) ) lapl ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) , , , ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) , , , , , , ) , , , , , , ) , , , , x
• $X(\$displaystyle $X)$에 Rademacher 분포가 $있고{\displaystyle }$ Y$displaystyle$ Y$\sim {Exponential}(\lambda)$인 $경우{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{XY}~\text{라플라스}(}$0${\displaystyle ,1}$ /$))$는 XY$\sim$(\$textrm {Laplace}(0, 1/b$
• V$$~ ${\displaystyle \text{지수}}$ ${\displaystyle (}$ $)({$ $displaystyle V$ $\ sim$ { $Exponential$} ($1$) $Z$~ ${\displaystyle \mathrm{N}}$ ( 0${\displaystyle }$,${\displaystyle 1}$ $)({$ $displaystyle$ Z \$$$sim$N ( 0 ,$1$ ))이$$V로부터 $독립$된 $경우{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle =\mu }$ + ${\displaystyle 2}$V$$${\displaystyle Z\mathrm{}}$ ~ ${\displaystyle \mathrm{L}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ l ${\displaystyle \mathrm{a}}$ $display$x${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle ）}$。
• $X$~ ${\displaystyle \text{GeometryStable}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle ,}$ ,${\displaystyle 0}$) { $displaystyle$X \$sim$ { $GeometricStable$} ($2$, 0 , \ $lambda , 0$ ) }$$$$（ ometric stableution $distrib$ ）$、$ ${\displaystyle \text{X}}$ ~$Laplace$ ( ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ,}$、$0 )$。
• 라플라스 분포는 쌍곡선 분포의 제한 사례입니다.
• ${\displaystyle X}$ Y${\displaystyle ~N(\mu ,}$ ${\displaystyle {Y2\mathrm{}}^{}}$(\$displaystyle$X Y$\sim {N}(\mu, Y^{2})$이 Y${\displaystyle ~\text{Rayleigh}}$ ($b)$ (\$displaystyle$ Y$\sim {Rayleigh$})(\$displaystyle$ Y\$sim$ {Rayle$})$일 $경우{\displaystyle }$ X$~$($μ,$ Y\$style)$
• ${\displaystyle {정수}_{}}$ n${\$ ${\displaystyle 1}$ { $display style$n \ $geq$ 1$\}$ $if{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ Y ${\displaystyle i_{}}$ 、${\displaystyle \frac{\gamma }{}}$ ${\displaystyle （}$ 1${\displaystyle }$n , ${\displaystyle b}$) { $display style$ X _ {$$$i$ } 。$Y_{i}\sim \Gamma \leftfrac {1}{n},b\right}($k$style$ $,\theta}$ 특성화를$$ $사용$하여 분포 표시,${\displaystyle \underset{i}{\overset{}{}}}$ i ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$n +${\displaystyle {}_{}{X}_{}}$ i - ${\displaystyle Y_{}}$i${\displaystyle }$) ~ $(μ$,${\displaystyle b}$) 、 \$styleft$ { $sum$=$1n$ }^{$i$} } $）$간헐적)^[1]

지수 분포와의 관계

Laplace 랜덤 변수는 두 개의 독립적이고 동일한 분포(iid) 지수 랜덤 변수의 차이로 나타낼 ^[1]수 있습니다.이를 나타내는 한 가지 방법은 특징적인 함수 접근법을 사용하는 것입니다.독립 연속 랜덤 변수 집합의 경우, 이러한 변수의 선형 조합에 대해, 해당 특성 함수를 곱함으로써 특성 함수(분포를 고유하게 결정)를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{2개}}$의 i.i.d 랜덤 $변수{\displaystyle }$ X${\displaystyle ,Y}$ ~ ${\displaystyle \text{지수}}$( $){$ $displaystyle$ X$, Y, sim$ { $exponential$}(\$lambda )$에 대해 생각해 보겠습니다$.$$X$ ${\displaystyle ,}$-$Y$의 $특징적$인 기능은 다음과 같습니다$.$

$(*displaystyle\frac\it+\displayda}, (*displaystyle\frac\it+\displayda})$

각각 다음과 같다.이러한 특성 함수(랜덤 $변수{\displaystyle }$X${\displaystyle }$+${\displaystyle }$( -${\displaystyle }$Y$$)(\$displaystyle$ X$+(-Y)})$의 특성 함수에 해당)를 곱하면 결과는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac ^{2}}{(-it+\fracda)(it+\fracda)}=frac {\frac {{2}+\fracda ^{2}}.}$

${\displaystyle \mathrm{이}}$는 Z ${\displaystyle ~}$ ${\displaystyle \text{Laplace}}$ ${\displaystyle (}$ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$/${\displaystyle }$" )$${ $displaystyle$Z \$sim${$Laplace$} ($0$ , $1$/ \ $lambda$)$$} 의 $특성{\displaystyle }$ 함수와 동일합니다.

$({displaystyle {frac {1}{1+{\frac {t^{2}}}{\fracda ^{2}}}}).}$

사르간 분포

사르간 분포는 라플라스 분포가 핵심 멤버인 분포 체계입니다.p$\displaystyle$p-order$$ Sargan $분포$는 밀도가 있습니다^[2][3].

${\displaystyle f_{p}(x)=syslogtfrac {1}{exp\alpha x}{\frac {displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}x^{j}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}x^{j}}{\displaystylapa x }$

$파라미터\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$、 ${\displaystyle {\beta }_{}}$ j${\displaystyle {}_{}0}$ 0$$、 \ $displaystyle \alpha$ \$geq$0$$、 \ $displaystyle _$ { $j$} \ $geq$ 0$$} 。라플라스 분포 결과는 p ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ p$=0$입니다.

통계적 추론

N$(\displaystyle$ N$)$의 ${\displaystyle {}_{}}$이고 동일한 분포의 ${\displaystyle {샘플x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ 2, ${\displaystyle .,}$ ${\displaystyle x_{}}$N(\$displaystyle x_{1$},$x_{$2}, ..., $x_{N$의 $경우{\displaystyle }$,$$μ(\$displaystyle \mu})$의 최대우도 추정치는 샘플 ^[4]중앙값입니다.

${\displaystyle\hat\mathrm{med}(x)}$

$b\$b의 최대우도$$ 추정치는 중앙값으로부터의 평균 절대편차이다.

${{displaystyle {hat {b}}=sum _{i=1}^{N} x_{i}-{\hat {mu }}$

(라플라스 분포와 최소 절대 편차 사이의 링크를 표시합니다).

발생 및 응용 프로그램

Laplacian 분포는 음성 인식에서 DFT 계수에 대한 우선 순위를 모델링하기 위해, 그리고 DCT에 의해 생성된 AC 계수를 모델링하기 위해 JPEG 영상 압축에 사용되었습니다.

• 함수 민감도에 적합한 스케일링 매개변수를 사용하여 라플라시안 분포에서 도출된 노이즈를 통계 데이터베이스 쿼리의 출력에 추가하는 것은 통계 데이터베이스에서 차등 프라이버시를 제공하는 가장 일반적인 수단이다.

• 회귀 분석에서 오차에 Laplace 분포가 있는 경우 최소 절대 편차 추정치가 최대우도 추정치로 발생합니다.
• 라소는 ^[8]계수에 앞서 라플라시안이 있는 베이지안 회귀로 생각할 수 있다.
• 수문학에서 라플라스 분포는 연간 최대 하루 강우량 및 하천 유량과 같은 극단적인 사건에 적용된다.CumFreq로 작성된 파란색 그림은 이항 분포에 기초한 90% 신뢰 벨트를 보여주는 연간 최대 하루 강우량에 라플라스 분포를 적합시키는 예를 보여준다.강수량 데이터는 누적 주파수 분석의 일부로 위치를 표시하여 나타냅니다.
• Laplace 디스트리뷰션에는 재무 분야 응용 프로그램이 있습니다.예를 들어, S.G. Kou는 금융상품의 ^[9][10]가격 결정에 정규 분포를 사용할 때 종종 발생하는 왜도, 첨도 및 변동성 미소의 문제를 다루기 위해 Laplace 분포(때로는 비대칭 Laplace 분포)를 포함하는 금융상품 가격 모형을 개발하였다.

라플라스 분포는 복합 분포 또는 이중 분포이므로 낮은 값이 높은 값과 다른 외부 조건에서 시작되어 다른 ^[11]패턴을 따르는 경우에 적용할 수 있습니다.

계산 방법

Laplace 분포에서 값 생성

간격${\displaystyle (}$ -${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ ${\displaystyle 2}$ ,${\displaystyle }$1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ $)$의 균일한 분포로부터 도출된 랜덤 $변수{\displaystyle }$U {\ $displaystyle$$\ left$ $($ -$1$ /$2, 1$ / $2$\ $right )$를 지정하면$$ 랜덤 변수는

${\displaystyle X=\mu -b,\operatorname {sgn}(U),\ln(1-2U)}$

에는 $(\displaystyle\mu)$ $및$ b$(\displaystyle$ b$)$의 라플라스 분포가 있습니다.이것은 위에 주어진 역 누적 분포 함수에서 나옵니다.

${\displaystyle \text{Laplace}}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle b}$ $){$ $displaystyle${$textrm${ $Laplace$} ( 0 , $b$) }변형도 2개의 i.i.d의 차이로 생성할 수 있습니다.${\displaystyle \text{지수}(1}$/ ${\displaystyle b)}${$style {textrm {Exponential}}(1/b)}$ 랜덤$$ 변수.마찬가지로 ${\displaystyle \text{Laplace}}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$) ( \ $displaystyle$ { $Laplace$} ($0$ ,$$1 ) )는 2개의 균일한 랜덤 변수 비율의 로그로도 생성할 수 있습니다.

역사

이 분포는 종종 "레이플레이스의 제1의 오차 법칙"이라고 불립니다.그는 1774년에 이 부호가 무시되면 오차의 빈도를 그 크기의 지수함수로 모델링하여 발표했다.라플레이스는 나중에 중심 한계 ^[12][13]정리를 발견한 후 정규 분포에 기초한 "오차의 제2법칙"으로 이 모델을 대체했다.

케인즈는 1911년 라플라스 분포가 ^[14]중앙값으로부터의 절대 편차를 최소화한다는 것을 보여준 그의 초기 논문에 기초한 논문을 발표했다.

「 」를 참조해 주세요.

• 일반 정규 분포 #대칭 버전
• 다변량 라플라스 분포
• 함수 공간에 대한 Laplace 분포의 일반화인 Besov 측도
• '로렌츠 분포'(라플라스 푸리에 변환)라고도 불리는 코시 분포
• 특성 함수(확률론)
• Log-Lapace 배포

레퍼런스

외부 링크

• "Laplace distribution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]