다변량 t 분포

표기법
매개변수	위치( p× 벡터); 척도 행렬(양-확정성 실제 p p 행렬); 은(는) 자유도
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CDF	분석 표현식은 없지만 텍스트에서 근사치를 참조하십시오.
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분산	-- {\}}},> 기타 정의되지 않은 경우
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다변량 t

통계에서 다변량 t-분포(또는 다변량 학생 분포)는 다변량 확률 분포다.학생 t-분포의 무작위 벡터에 대한 일반화인데, 이는 일변량 랜덤 변수에 적용할 수 있는 분포다.무작위 행렬의 경우는 이 구조 내에서 처리될 수 있지만, 행렬 t-분포는 구별되며 행렬 구조를 특별히 이용한다.null

정의

One common method of construction of a multivariate t-distribution, for the case of $p$ dimensions, is based on the observation that if $\mathbf {y}$ and $u$ are independent and distributed as $N({\mathbf {0} },{\boldsymbol {\Sigma }})$ $N({\mathbf {0} },{\boldsymbol {\Sigma }})$ and $\chi _{\nu }^{2}$ (i.e. multivariate normal and chi-squared distributions) respectively, the matrix $\mathbf {\Sigma } \,$ is a p × p matrix, and ${\mathbf {y} }/{\sqrt {u/\nu }}={\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }}$ , then ${\mathbf {x} }$ ${\mathbf {x} }$ ${\$ 의 밀도가 있음 ${\mathbf {x} }$

{\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left {\boldsymbol {\Sigma }}\right ^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{T}{{\boldsymbol {\Sigma }^{-1}({\mathbf {x}-{\boldsymbol{\mu}}}}\right]^{-(\nu +p)/2}

and is said to be distributed as a multivariate t-distribution with parameters ${\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\mu }},\nu$ . Note that $\mathbf {\Sigma }$ is not the covariance matrix since the covariance is given by ${\displaystyle \nu /(\nu -2)\mathbf {$ $\$ $\nu >2$ $}}($ ( $\nu >2$ > $\nu >2$ ${\displaystyle \nu >2$ }의 경우). $\nu >2$ null

다변량 t 분포의 건설적인 정의는 동시에 샘플링 알고리즘으로 작용한다.

$u\sim \chi _{\nu }^{2}$ ~ $u\sim \chi _{\nu }^{2}$ $u\sim \chi _{\nu }^{2}$ 2 ${\$ 및 $\mathbf {y} \sim N(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})$ ~ $\mathbf {y} \sim N(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})$ N $\mathbf {y} \sim N(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})$ ( $\mathbf {y} \sim N(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})$ , $\mathbf {y} \sim N(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})$ ) $\mathbf {y} \simbf {0},{\boldsymbol{\}}}}$ 을 독립적으로 생성하십시오 $\mathbf {y} \sim N(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})$
계산 $\mathbf {x} \gets {\sqrt {u/\nu }}\mathbf {y} +{\boldsymbol {\mu }}$ $\mathbf {x} \gets {\sqrt {u/\nu }}\mathbf {y} +{\boldsymbol {\mu }}$ $\mathbf {x} \gets {\sqrt {u/\nu }}\mathbf {y} +{\boldsymbol {\mu }}$ / $\mathbf {x} \gets {\sqrt {u/\nu }}\mathbf {y} +{\boldsymbol {\mu }}$ y + $\mathbf {x} \gets {\sqrt {u/\nu }}\mathbf {y} +{\boldsymbol {\mu }}$ ${\$ { $y} +{\boldsymbol$ {\ $mu$

This formulation gives rise to the hierarchical representation of a multivariate t-distribution as a scale-mixture of normals: $u\sim \mathrm {Ga} (\nu /2,\nu /2)$ where $\mathrm {Ga} (a,b)$ indicates a gamma distribution with density proportional to $x^{a-1}e^{-bx}$ $x^{a-1}e^{-bx}$ - $x^{a-1}e^{-bx}$ $x^{a-1}e^{-bx}$ - $x^{a-1}e^{-bx}$ b x ${\$ $displaystyle$ x $^{a-1}e^{-bx$ $\mathbf {x} \mid u$ $\mathbf {x} \mid u$ $\mathbf {x} \mid u$ ${\displaystyle \mathbf {x} \mid$ $u$ $}$ 이 $\mathbf {x} \mid u$ $($ 가 $N({\boldsymbol {\mu }},u{\boldsymbol {\Sigma }})$ 조건부로 $(μ$ , μ, $N({\boldsymbol {\mu }},u{\boldsymbol {\Sigma }})$ 을 따른다 $N({\boldsymbol {\mu }},u{\boldsymbol {\Sigma }})$

특별한 경우 $\nu =1$ = $\nu =1$ $\nu =1$ 의 경우 분포는 다변량 Cauchy 분포다 $\nu =1$ null

파생

학생 t 분포의 다변량 일반화에는 사실 많은 지원자들이 있다.이 분야에 대한 광범위한 조사는 코츠와 나다라야(2004)에 의해 이루어졌다.본질적인 문제는 일변량 사례에 대한 공식의 적절한 일반화인 여러 변수의 확률밀도함수를 정의하는 것이다.1차원( $p=1$ = 1 ${\displaystyle p=1$ } $)$ 에서 $t=x-\mu$ = $t=x-\mu$ - $t=x-\mu$ $t=x-\mu$ 및 $t=x-\mu$ $\Sigma =1$ = $\Sigma =1$ ${\displaystyle \Sigma =1$ 확률밀도 함수를 갖는다.

{\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma [(\nu +1)/2]}}{{\sqrt {\nu \pi \,}\Gamma [\nu /2}}](1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}}:

그리고 한 가지 접근방법은 여러 변수의 해당 함수를 적는 것이다.이것은 타원 분포 이론의 기본 개념으로, $t_{i}$ $t^{2}$ ${\$ $t_{i}$ $^{2$ }}을 모든 $t^{2}$ t $t_{i}$ ${\$ t^{ $i}$ 의 2차 함수로 $t^{2}$ 대체하는 $t_{i}$ $p$ ${\$ $t_{$ $i}}}$ 의 $p$ 해당 함수를 적는 것으로, 이는 오직 이치에 맞는다는 것은 분명하다 $t_{i}$ $\mathbf {A} ={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}$ 한계 분포의 자유도가 $\nu$ 때 $\{\displaystyle \nu$ $\mathbf {A} ={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}$ A = $\mathbf {A} ={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}$ - $\mathbf {A} ={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}$ 1 {\ $displaystyle \mathbf$ {A $}$ ={\ $boldsymbol$ {\ $Sigma }^{-1},$ 다변량 밀도 함수를 간단하게 선택할 수 있다.

f(\mathbf {t})={\frac {\Gamma((\nu +p)/2)\left \mathbf {A} \right ^{1/2}}{{\sqrt {\nu ^{p}\pi ^{p}\,}}\,\Gamma (\nu /2)}}\left(1+\sum _{i,j=1}^{p,p}A_{ij}t_{i}t_{j}/\nu \right)^{-(\nu +p)/2}

표준이지만 유일한 선택은 아니다.null

중요한 특별한 경우는 표준 이바리산 t-분포 p = 2:

f(t_{1},t_{2})={\frac {\left \mathbf {A} \right ^{1/2}}{2\pi }}\left(1+\sum _{i,j=1}^{2,2}A_{ij}t_{i}t_{j}/\nu \right)^{-(\nu +2)/2}

$γ$ ( $ν$ + $2$ ) ${\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\pi }}$ ${\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\pi }}$ ${\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\pi }}$ ${\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\pi }}$ $ν$ ( ${\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\pi }}$ ( ( ( = = ${\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\pi }}$ = = ${\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\pi }}$ = = ${\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\pi }}$ = = = = { { { { { { { { ${$ { { { { { { ${$ { { { { { { { { ${$ { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { $}}}={\frac{1}{2\pi$ ${\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\pi }}$

이제 $\mathbf {A}$ ${\$ 이(가) ID $\mathbf {A}$ 행렬이면 밀도는

f(t_{1},t_{2})={\frac {1}{1}{2\pi }}\좌측(1+(t_{1}^{2}+t_{2})}^{2}/\nu \right)^{-(\nu +2)/2}.

표준표현의 난이도는 한계 1차원 분포의 산물로 고려되지 않는 이 공식에 의해 드러난다. $\Sigma$ ${\displaystyle \Sigma$ }이 $($ 가) 대각선인 $\Sigma$ 경우 표준 표현은 상관관계가 없음을 나타낼 수 있지만 한계 분포는 통계적 독립성과 일치하지 않는다.null

누적분포함수

한 차원에서의 누적분포함수(cdf)의 정의는 다음과 같은 확률을 정의하여 다차원까지 확장할 수 있다(여기서 $\mathbf {x}$ ${\$ \ $mathbf {x} }$ 는 $\mathbf {x}$ 실제 벡터임).null

F(\mathbf {x} )=\mathbb {P} (\mathbf {X} \leq \mathbf {x} ),\quad {\textrm {where}}\;\;\mathbf {X} \sim t_{\nu }({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}).

$F(\mathbf {x} )$ ( $F(\mathbf {x} )$ ) $F(\mathbf {x$ $F(\mathbf {x} )$ 에 대한 간단한 공식은 없지만, 몬테카를로 통합을 통해 숫자로 근사할 수 있다.^[1]^[2]null

다변량 t에 기초한 코풀라

이러한 분포의 사용은 수학 금융의 응용, 특히 학생 t 코풀라의 사용으로 인해 새로운 관심을 받고 있다.^{[citation needed]}null

참고 항목

다변량 정규 분포, 다변량 학생 t 분포의 특별한 경우, $\nu \uparrow \infty$ $\nu \uparrow \infty$ ↑ $\nu \uparrow \infty$ { $\nu \uparrow \infty$ { {\ $displaystyle \nu \uparrow \infit$ $\nu \uparrow \infty$
카이 분포, 학생의 t 분포와 다변량 정규 분포 벡터의 2-정규(또는 유클리드 정규 분포)를 나타내는 pdf.null
- Rayleigh 분포#학생의 t, 다변량 t 분포의 랜덤 벡터 길이
마할라노비스 거리

참조

^ Botev, Z. I.; L'Ecuyer, P. (6 December 2015). "Efficient probability estimation and simulation of the truncated multivariate student-t distribution". 2015 Winter Simulation Conference (WSC). Huntington Beach, CA, USA: IEEE. pp. 380–391. doi:10.1109/WSC.2015.7408180.
^ Genz, Alan (2009). Computation of Multivariate Normal and t Probabilities. Springer. ISBN 978-3-642-01689-9.

문학

Kotz, Samuel; Nadarajah, Saralees (2004). Multivariate t Distributions and Their Applications. Cambridge University Press. ISBN 978-0521826549.
Cherubini, Umberto; Luciano, Elisa; Vecchiato, Walter (2004). Copula methods in finance. John Wiley & Sons. ISBN 978-0470863442.

외부 링크

[boLec16-1] Botev, Z. I.; L'Ecuyer, P. (6 December 2015). "Efficient probability estimation and simulation of the truncated multivariate student-t distribution". 2015 Winter Simulation Conference (WSC). Huntington Beach, CA, USA: IEEE. pp. 380–391. doi:10.1109/WSC.2015.7408180.

[Genz-2] Genz, Alan (2009). Computation of Multivariate Normal and t Probabilities. Springer. ISBN 978-3-642-01689-9.

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누적분포함수

다변량 t에 기초한 코풀라

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표기법	$t_{\nu }({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$
매개변수	${\$ ${T}$ 위치 ${\boldsymbol {\mu }}=[\mu _{1},\dots ,\mu _{p}]^{T}$ ( $p\times 1$ p $p\times 1$ × $p\times 1$ $p\times 1$ 벡터 $p\times 1$ ) ${\boldsymbol {\Sigma }}$ ${\$ 척도 ${\boldsymbol {\Sigma }}$ 행렬(양-확정성 실제 $p\times p$ $p\times p$ $p\times p$ ${\displaystyle$ p $\times$ p $}$ 행렬 $p\times p$ ) $\nu$ $\nu$ 은 $\nu$ (는) 자유도
지원	$\mathbf {x} \in \mathb {R} ^{p}\!$
PDF	${\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left {\boldsymbol {\Sigma }}\right ^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2}$
CDF	분석 표현식은 없지만 텍스트에서 근사치를 참조하십시오.
평균	${\boldsymbol {\mu }}$ ${\$ $displaysymbol$ ${\$ $mu{\mu$ 그 $\nu >1$ 의 정의되지 않은 경우 ${\boldsymbol {\mu }}$
중앙값	${\\mu }$
모드	${\\mu }$
분산	${\frac {\nu }{\nu -2}}{\boldsymbol {\Sigma }}$ - ${\frac {\nu }{\nu -2}}{\boldsymbol {\Sigma }}$ - ${\frac {\nu }{\nu -2}}{\boldsymbol {\Sigma }}$ ${\$ {\ $Sigma$ }}}, $\nu >2$ > $\nu >2$ ${\displaystyle \nu >2},$ 기타 정의되지 않은 경우 ${\frac {\nu }{\nu -2}}{\boldsymbol {\Sigma }}$
왜도	0