축척 역치 제곱 분포

Scaled inverse chi-squared distribution
축척 역치 제곱
확률밀도함수
Scaled inverse chi squared.svg
누적분포함수
Scaled inverse chi squared cdf.svg
매개변수
지원
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CDF
평균 2 -2 }}:> 2
모드
분산 (- ) (- 4) 4}{{{(\ -2
왜도 - (- 4) >
엑스트라 쿠르토시스( - ) (- ) (- ) {\
엔트로피

MGF
CF

스케일 역치 제곱 분포x = 1/s2 대한 분포로, 여기서 s2 평균 0과 역분산 1/22 = τ을2 갖는 independent 독립 정규 랜덤 변수의 제곱의 표본 평균이다.따라서 분포는 각각 카이-제곱 자유도와 스케일링 매개변수라고 하는 두 가지 양인 ν과 τ에2 의해 매개변수화된다.null

이 스케일링된 역치-제곱 분포의 집단은 두 개의 다른 분포 집단, 즉 역치-제곱 분포역감마 분포와 밀접하게 관련되어 있다.축척된 분포는 역치-제곱 분포에 비해 추가 모수 τ2 있어 분포의 축척을 수평 및 수직으로 하여 원래 기초 공정의 역분산을 나타낸다.또한, 스케일 역치-제곱 분포는 ν 제곱 편차의 평균에 대한 역분포로서, 합계의 역분포가 아니라 ν 제곱 평균의 역분포에 대한 분포로 표시된다.따라서 두 분포는 다음과 같은 관계를 갖는다.

then

역 감마 분포와 비교하여 스케일 역치-제곱 분포는 동일한 데이터 분포를 설명하지만, 어떤 상황에서는 다른 파라메트리제이션(parametrization)을 사용하는 것이 더 편리할 수 있다.구체적으로 말하자면

then

어떤 형태든 첫 번째 고정 역모멘트( 1/ ) 및 첫 번째 로그모멘트( ( X) X에 대한 최대 엔트로피 분포를 나타내기 위해 사용할 수 있다.

스케일 역치-제곱 분포는 베이시안 통계량에서도 특히 사용되는데, 는 x = 1/s2 대한 예측 분포로서의 사용과는 다소 무관하다.특히, 척도 역치-제곱 분포는 정규 분포의 분산 모수에 대한 이전의 결합으로 사용될 수 있다.이 맥락에서 스케일링 파라미터는 τ이2 아닌 σ으로02 표시되며 해석이 다르다.이 적용은 대신 반감마 분포식을 사용하여 더 일반적으로 제시되었지만, 특히 겔만 외 연구진(1995/2004)에 이은 일부 저자는 역치 제곱 파라메트리가 더 직관적이라고 주장한다.null

특성화

스케일링된 역치-제곱 분포의 확률밀도함수 x {\x>을(를) 초과하며 다음과 같다.

여기서 (는) 자유도 매개 변수, {\ \tau 척도 매개 변수다.누적분포함수는

여기서 (, ) 불완전한 감마함수, ( x) 감마함수, (, ) 정규화된 감마함수다.특색 함수는

여기서 ( ) 은 두 번째 종류의 변형된 베셀 함수.null

모수 추정

최대우도 추정치는 다음과 같다.

최대우도 추정치는 다음 뉴턴의 방법을 사용하여 확인할 수 있다.

여기서 ( ) digamma 함수다. Let = = x i _{을(를) 표본 평균으로 하여 초기 추정치를 구할 수 있다.그런 다음 에 대한 초기 추정치는 다음을 통해 제시된다.

정규 분포의 분산에 대한 베이지안 추정

스케일 역치 제곱 분포는 정규 분포의 분산을 베이지안 추정하는 데 두 번째 중요한 응용이 있다.null

베이지스의 정리에 따르면 관심 수량에 대한 후방 확률 분포는 수량 및 우도 함수대한 사전 분포의 산물에 비례한다.

여기서 D는 데이터를 나타내고 나는 이미 우리가 가지고 있을 수 있는 σ에2 대한 초기 정보를 나타낸다.null

가장 간단한 시나리오는 평균 μ가 이미 알려진 경우 또는 μ의 특정 가정 값에 대해 μ의2 조건부 분포인 경우 발생한다.

그러면 우도 용어 L2 D) = p(D) σ은2 친숙한 형태를 가진다.

이 문제를 aling에2 대해 가능한 가장 덜 유용한 사전(예: 제프리스에 이어)이라고 주장할 수 있는 rescaling-invariant p(σ2 I) = 1/3과2 결합하면 결합된 후확률을 얻을 수 있다.

이 형식은 모수 ν = n 및 τ2 = s2 = (1/n) σ (x-μi)2로 스케일링된 역치-제곱 분포로 인식할 수 있다.

Gelman 은 이전에 샘플링 맥락에서 보았던 이 분포의 재출현은 놀랄만한 것처럼 보일 수 있지만, 이전의 선택으로 볼 때 "결과가 놀라운 것은 아니다"[1]라고 말한다.null

특히 σ에2 앞서 레스칼링-인바리안을 선택하면 σ2/s2 비율에 대한 확률은 σ에2 조건화했을 때와 s2 조건화했을 때 동일한 형태(조건화 변수와 무관)를 갖는다는 결과가 있다.

σ에2 조건화된 샘플링 이론 사례에서, (1/s2)에 대한 확률 분포는 스케일링 역치 제곱 분포로서, s에 대해22 조건화된 probability에 대한 확률 분포는 스케일-애그노스틱 이전의 스케일링된 스케일링 역치 제곱 분포이기도 하다.null

정보 제공 이전으로 사용

σ의2 가능한 값에 대해 더 많이 알려진 경우, Scale-inv-su2(n0, s02)와 같은 스케일링된 역치-제곱 계열의 분포는 마치 이전의 n개0 관측치(n0 반드시 정수일 필요는 없지만)의 결과인 것처럼 σ에2 대해 덜 비정보적인 전을 나타내기에 편리한 형식이 될 수 있다.null

그런 선행은 후분포로 이어질 것이다.

그것은 그 자체로 스케일 역치 제곱 분포다.따라서 스케일 역치-제곱 분포는 σ2 추정에 편리한 결합 선행 패밀리다.null

평균을 알 수 없는 경우 분산 추정

평균을 알 수 없는 경우, 그것에 대해 취할 수 있는 가장 비정보적인 사전은 거의 틀림없이 μ와 μ에2 대해 다음과 같은 관절 후분포를 제공하는 변환-상변성 p(μI) ∝ const constance이다.

σ에2 대한 한계후분포는 μ에 걸쳐 집적하여 관절후분포로부터 얻는다.

은 다시 n- 2= ( /(- 1) ^{

관련 분포

  • If then
  • If (Inverse-chi-squared distribution) then
  • If then (Inverse-chi-squared distribution)
  • If then (Inverse-gamma distribution)
  • 스케일 역치 제곱 분포는 유형 5 Pearson 분포의 특별한 경우

참조

  • Gelman A. 외 연구진(1995), 베이지안 데이터 분석, 페이지 474–475; 페이지 47, 480
  1. ^ Gelman 등(1995), Bayesian Data Analysis(1차 에드), 페이지 68