도메인(수학적 분석)

Domain (mathematical analysis)
"지역(수학)"은 여기서 리디렉션된다. 맥베이트 지역과 혼동하지 않기 위해서입니다.

수학적 분석에서 도메인이나 영역은 위상학적 공간, 특히 실제 좌표 공간 Rn 또는 복합 좌표 공간 C의n 비어 있지 않은 열린 부분 집합이다. 이것은 함수의 영역과는 다른 개념으로, 예를 들어 부분 미분 방정식과 소볼레프 공간에서 그러한 목적으로 자주 사용된다.

공간의 연결된 부분집합에 대한 기본 개념은 19세기부터 시작되지만, 독일어, 프랑스어, 영어 작품 사이에서 개념이 발달하고 용어가 번역되면서 정밀한 정의는 세대에 따라, 작가에 따라, 그리고 판에 따라 조금씩 다르다. 영어에서 어떤 저자는 도메인이라는 용어를 사용하고, 어떤 저자는 지역이라는 용어를 사용하고,[1][2] 어떤 저자는 두 용어를 서로 바꾸어 사용하며,[3] 어떤 저자는 두 용어를 약간 다르게 정의한다;[4] 어떤 저자는 비어 있지 않은 연결된 오픈 서브셋과 같은 문구를 고수함으로써 모호성을 피한다.[5] 하나의 일반적인 관습은 도메인을 연결된 열린 집합으로 정의하고 지역을 제한점이 없거나 일부 또는 전부인 도메인의 결합으로 정의하는 것이다.[6] 닫힌 영역 또는 닫힌 도메인은 도메인과 모든 제한 지점의 결합이다.

적분 정리(녹의 정리, 스톡스 정리), 소볼레프 공간의 특성 등 보유할 영역에 정의된 기능의 다양한 성질과 트레이스의 경계와 공간(경계에 정의된 일반화된 함수)에 대한 대책을 정의하기 위해서는 도메인의 경계의 부드러움의 다양한 정도가 요구된다. 일반적으로 고려되는 도메인의 유형은 연속 경계, 립스치츠 경계, C1 경계 등이 있는 도메인이다.

경계 도메인은 경계 집합인 도메인인 반면, 외부 또는 외부 도메인은 경계된 도메인의 보완 내부 도메인이다.

복합 분석에서 복합 도메인(또는 단순 도메인)은 복합 평면 C의 연결된 열린 하위 집합이다. 예를 들어, 전체 복합 평면은 열린 단위 디스크, 열린 위쪽 하프 평면 등과 같이 도메인이다. 종종 복잡한 도메인은 홀로모르픽 함수에 대한 정의의 영역 역할을 한다. 몇 가지 복잡한 변수에 대한 연구에서, 도메인의 정의는n C의 연결된 열린 부분집합을 포함하도록 확장된다.

역사 노트

정의. Eine offene Punktmenge Heißt Zusammenhengend, wenn man sie nicht alsume von zwei offenen Punktmengen darstellen Kannnn. Eine offene zusammenhaengende Punktmenge Heißt ein Gebiet.[7]

— Constantin Carathéodory, (Carathéodory 1918, p. 222)

한스 한에 따르면,[8] 오픈 커넥티드 세트로서의 도메인 개념은 콘스탄틴 카라테오도리가 그의 유명한 저서(Carathéodory 1918)에서 소개하였다. 한씨는 또한 "게비엣" ("Domain")이라는 단어가 때때로 오픈 세트의 동의어로 사용되었다고 말한다.[9] 대략적인 개념은 더 오래되었다. 19세기와 20세기 초에는 명시적 정의 없이 비공식적으로(때로는 상호 교환적으로) 도메인 및 지역이라는 용어를 사용하는 경우가 많았다.[10]

그러나, "도메인"이라는 용어는 밀접하게 연관되어 있지만 약간 다른 개념들을 식별하기 위해 가끔 사용되었다. 예를 들어, 타원 미분 방정식에 그의 영향력 있는 논술서 뒤 표지에, 카를로 미란다가 열린 연결되어 set,[11][12]을 파악하기 위하여 갖고 용어 내부 points,[11]의 그의 이전 주인 M.에 따라 내부적으로 connected,[13]완벽한 세트의 각 지점은 집적점을 확인할 용어"지역""도메인"를 사용한다auro 피콘 씨:[14]교류만약 A 세트가 지역이라면, A 세트의 폐쇄는 도메인이다.[11]

참고 항목

메모들

  1. ^ 예를 들면 (Sveshnikov & Tikhonov 1978, §1.3 페이지 21–22)이다.
  2. ^ 예를 들어(Churchill 1948, §1.9 페이지 16–17), (Ahlfors 1953, §2.2 페이지 58), (Rudin 1974, §10.1 페이지 213)는 기능의 영역에 대한 용어 도메인을 보존하고, (Carathéodory 1964, 페이지 97)는 연결된 개방형 집합에 대한 용어 지역과 연결된 닫힌 집합에 대한 연속성을 사용한다.
  3. ^ 예를 들어 (Townsend 1915, §10, 페이지 20); (Carrier, Krook & Pearson 1966, §2.2 페이지 32).
  4. ^ 예를 들어(Churchill 1960, §1.9 페이지 17)은 지역을 연결하거나 개방할 것을 요구하지 않는다.
  5. ^ 예를 들어(Dieudonné 1960, §3.19 페이지 64–67)는 일반적으로 개방형 연결 집합을 사용하지만, 나중에 단순하게 연결된 도메인(제9.7 페이지 215)을 정의한다. Tao, Terence (2016). "246A, Notes 2: complex integration"., 또한 (Bremermann 1956)는 지역을 오픈 세트라고 하고 도메인을 커넥티드 오픈 세트라고 불렀다.
  6. ^ 예를 들어 (Fuchs & Shabat 1964, §6 페이지 22–23), (Kreyszig 1972, §11.1 페이지 469); (Kwok 2002, §1.4, 페이지 23)
  7. ^ 영어=오픈 세트 2개를 합한 것으로 표현할 수 없으면 오픈 세트가 연결된다. 열린 연결 세트를 도메인"이라고 한다. 이 정의에서 카라테오도리는 분명히 비어 있지 않은 분리 세트를 고려한다.
  8. ^ 참조 (1921년 한, 페이지 85 각주 1)
  9. ^ Hahn (1921, p. 61 footnote 3), commenting the just given definition of open set ("offene Menge"), precisely states:-"Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung "Gebiet" in Gebrauch, die wir (§ 5, S. 85) anders verwenden werden." (Free English translation:-"Previously, the term "Gebiet" was occasionally used for such point sets, and it will be 우리가 (제5조, 페이지 85)에서 다른 의미로 사용함."
  10. ^ 예를 들어(Forsyth 1893년)는 z 면의 비공식적 표현 부분과 함께 전체(예: §16, 페이지 21)에 걸쳐 비공식적으로 지역이라는 용어를 사용하며, 함수 f가 f가 홀로모르픽인 a의 가장 큰 r-근접점(r-neighborhood)으로 정의한다. 영향력 있는 교과서 초판(Whittaker 1902)은 도메인과 지역이라는 용어를 비공식적으로 그리고 명백히 상호 교환적으로 사용한다. 제2판(Whittaker & Watson 1915, §3.21, 페이지 44)에 의해 단순한 닫힌 곡선의 내부가 되는 개방 영역을 정의하고, 경계 곡선과 함께 개방된 영역으로 폐쇄된 영역 또는 도메인을 정의한다. (Goursat 1905, §262, 페이지 10)는 레지온(region) 또는 aire[면적]을 평면의 연결된 부분으로 정의한다. (Townsend 1915, §10, 페이지 20)은 영역 또는 도메인을 내부 지점으로만 구성된 복잡한 평면의 연결된 부분으로 정의한다.
  11. ^ a b c 참고 항목(Miranda 1955, 페이지 1, 1970, 페이지 2)을 참조하십시오.
  12. ^ 정확히 말하면, 그의 모노그래프 초판에서 미란다(1955, 페이지 1)는 말 그대로 "야전"이라는 뜻의 이탈리아어 용어를 사용하는데, 이는 농업에서의 의미와 비슷한 의미로 "야전"을 의미한다: 제인 C라는 책의 제2판이다. 모텔러는 이 용어를 적절하게 "지역"으로 번역한다.
  13. ^ 내부적으로 연결된 집합은 내부가 연결된 집합이다.
  14. ^ 참조 (Picone 1923, 페이지 66).

참조