홀노노미 함수

수학에서, 그리고 더 구체적으로 분석에서, 홀노믹 함수는 다항식 계수를 가진 선형 동질 미분 방정식의 시스템의 해법이며 D-모듈 이론의 관점에서 적절한 치수 조건을 만족하는 여러 변수의 부드러운 함수다.보다 정확히 말하면, 홀노믹 함수는 부드러운 함수의 홀노믹 모듈의 요소다.Holonomic 함수는 D-Finite 함수로도 알려져 있는 구별할 수 있을 정도로 유한함수로도 설명할 수 있다.변수에 있는 파워 시리즈가 홀노믹 함수의 테일러 확장일 때, 하나 또는 여러 개의 지수에서 그 계수의 시퀀스를 홀노믹스라고도 한다.홀로노믹 시퀀스는 P-재귀 시퀀스라고도 불리는데, 이는 전체 시퀀스에 의해 충족되는 다변량 반복과 그에 대한 적절한 전문화에 의해 재귀적으로 정의된다.상황은 일변량 사례에서 단순화된다. 다항식 계수와 선형 동종 재발 관계를 만족하는 일변량 시퀀스 또는 동등하게 다항식 계수를 갖는 선형 동종 차이 방정식이 홀노믹이다.^[1]

한 변수의 홀노믹 함수 및 시퀀스

정의들

$K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를) 특성 0의 필드(예: ${\displaystyle K\mathbb{}}$= Q ${\$ 또는$$ $K{\displaystyle \mathbb{}}$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$로 설정하십시오.$$

A function ${\displaystyle f=f(x)}$ is called D-finite (or holonomic) if there exist polynomials ${\displaystyle 0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x]}$ such that

${\displaystyle a_{r}(x)f^{(x)}+a_{r-1}(x)^{(r-1)}+\cdots +a_{1}(x)f'+a_{0}(x)f(x)=0}$

모든 x를 보유하다.또한$$ 이 $값$은 ${\displaystyle A}$f = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle Af=0}$로 기록될 수 있다.

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}}}}}$

and ${\displaystyle D_{x}}$ is the differential operator that maps ${\displaystyle f(x)}$ to ${\displaystyle f'(x)}$. ${\displaystyle A}$ is called an annihilating operator of f (the annihilating operators of ${\displaystyle f}$ form an ideal in the ring ${\dis$$놀이 스타일 \mathb {K}[x][$$D_{x$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 전멸기로 불린다.수량 r을 전멸 연산자의 순서라고 한다.확장자에 의해, 홀노믹 함수 f는 그러한 질서의 전멸 연산자가 존재할 때 순서 r이라고 한다.

A sequence ${\displaystyle c=c_{0},c_{1},\ldots }$ is called P-recursive (or holonomic) if there exist polynomials ${\displaystyle a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \mathbb {K} [n]}$ such that

${\displaystyle a_{r}(n)c_{n+r}+a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0}$

모든 n을 보유하다.또한$$ 이 $값$은 A${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle Ac=0}$로 기록될 수 있다.

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}}$

and ${\displaystyle S_{n}}$ the shift operator that maps ${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots }$ to ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots }$. ${\displaystyle A}$ is called an annihilating operator of c (the annihilating operators of ${\displaystyle c}$ form an ideal in링 $K{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathb {K}[n][$$S_{n}]},$$c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$의 전멸기로 불린다.$$수량 r을 전멸 연산자의 순서라고 한다.확장자에 의해, 홀노믹 시퀀스 c는 그러한 질서의 전멸 연산자가 존재할 때 순서 r이라고 한다.

홀노믹 함수는 정확하게 홀노믹 시퀀스의 생성 함수로서, $만약{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 홀노믹이라면, 파워 시리즈 확장의 계수$$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infit }c_{n}x^{n}}}}}}$

홀노믹 서열을 형성하다반대로 주어진 홀노믹 시퀀스 ${\displaystyle c_{}}$ ${\$에 대해$,$ 위의 합에 의해 정의되는 함수는 홀노믹(합의가 수렴 반경을 0으로 한다 하더라도 형식적인 파워 계열의 의미에서는 그렇다)이다.

마감 속성

홀노믹 함수(또는 시퀀스)는 여러 폐쇄 특성을 만족시킨다.특히 홀노믹 함수(또는 시퀀스)가 링을 형성한다.그러나 분할되어 폐쇄되지 않기 때문에 필드를 형성하지 않는다.

If ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}}$ and ${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}}$ are holonomic functions, then the following functions are also holonomic:

• ${\displaystyle h}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \alpha }$ f${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle g}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle h(x)=\displaystyle h(x)+\display g(x$ 여기서$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$ 및 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystystyle \beta$ \beta$}$은 상수이다$$.
• ${\displaystyle h}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle g}$ ( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}($시퀀스의 Cauchy 제품)
• ${\displaystyle h(}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle f_{}}$ g ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ x ${\displaystyle n^{}}$ ${\$n=$0}^{\nf_{n}g_{$n}$x^{$n}}}}}}}($$순서의 Hadamard 제품)
• ${\displaystyle h(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt}$
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\n=0}^(\sum _{k=0}^{n}f_{k}x^{n}}}}}}}}}}}$
• ${\displaystyle h}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle h(x)=f$${\displaystyle (}$$a$(x$)},$ 여기서 $a{\displaystyle }$ ($$x $)$ $displaystyle a(x$)}은 대수 함수다$.$그러나 $a{\displaystyle }$( f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle a(f(x))}$은(는) 일반적으로 홀노믹이 아니다$$.

홀노믹 함수의 중요한 속성은 닫힘 특성이 효과적이라는 것이다. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ $및{\displaystyle }$ g$$ ${\displaystyle g}$의 경우$,$ 위의 연산 중 하나를 사용하여 정의된$$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$의 전멸 연산자를 명시적으로 계산할 수 있다.

홀노믹 함수 및 시퀀스의 예

홀로노믹 함수의 예는 다음과 같다.

• 다항식 및 합리적인 함수를 포함한 모든 대수 함수
• 사인 및 코사인 함수(접선, 코탄젠트, 세컨트 또는 코사인 함수는 아님)
• 쌍곡선 사인 및 코사인 함수(쌍곡선 탄젠트, 코탄젠트, 세컨트 또는 코사인 함수는 아님)
• 지수 함수 및 로그(모든 기준)
• the generalized hypergeometric function ${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p},b_{1},\ldots ,b_{q},x)}$, considered as a function of ${\displaystyle x}$ with all the parameters ${\displaystyle a_{i}}$, ${\displaystyle b_{i}}$ held 고정된
• 오류 함수 ${\displaystyle \mathrm{erf}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \displayname {erf} (x)}$
• Besel $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Jn}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle J_{n}($${\displaystyle x}$$)\},$ ${\displaystyle Y_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle Y_{n}(x$ ${\displaystyle I_{}}$( ${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle I_{n}(x$${\displaystyle {}_{}{K}_{}}$ (${\displaystyle x)}${\$displaystystyle K_{n}(x)}}}}$
• Airy 함수 ${\displaystyle \mathrm{Ai}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \operatorname {Ai} (x$ ${\displaystyle \mathrm{Bi}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)}$

Holonomic 함수의 등급은 초기하 함수의 등급에 대한 엄격한 상위 집합이다.홀노노믹하지만 초지하학이 아닌 특수한 기능의 예는 헌함수를 포함한다.

홀노믹 시퀀스의 예는 다음과 같다.

• 피보나치 수 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$$n}$의 순서 및 보다 일반적으로는 모든 연속 반복 시퀀스
• 요인 $n{\displaystyle !}$의 순서! ${\displaystyle$ n$!}$
• 이항계수의 순서$({\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ k${\displaystyle }$)$${\$displaystyle {n \선택$ k$}($n 또는 k의 함수로)
• the sequence of harmonic numbers ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$, and more generally ${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$ for any integer m
• 카탈루냐 숫자의 순서
• 모츠킨 수의 순서
• 변절의 연속

초지하학적 함수, 베셀 함수, 고전적인 직교 다항식도 변수의 홀노믹 함수일 뿐 아니라 매개변수에 관한 홀노믹 시퀀스다.예를 들어 ${\displaystyle {베셀}_{}}$ 함수 $Jn{\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 $Y$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ $Y\_{\displaystyle }$${n}$은(는) 2차 선형${\displaystyle {반복}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ + ${\displaystyle 1_{}}$+${\displaystyle {}_{}{\mathrm{f}}_{}}$ - 1 )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle$ x$(f_{n+1}+f_{n-1}=2nf_{n$

비혼성 함수와 시퀀스의 예

비혼성 함수의 예는 다음과 같다.

• $x{\displaystyle \frac{}{}}$ e ${\displaystyle \frac{x^{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}^{}1}{}}$ ${\$ 함수 e x - 1 {\frac {x}{e^{x}-1}
• 탄(x) + 초(x)^[3] 함수
• 두 개의 홀노믹 함수의 몫은 일반적으로 홀노믹이 아니다.

비혼성 시퀀스의 예는 다음과 같다.

• 베르누이 수
• 교번 순열의^[4] 수
• 정수 분할^[3] 수
• 숫자 ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \log(n)}$
• $숫자{\displaystyle {}^{}}$ n ${\displaystyle {\alpha }^{}}${\$displaystyle n^{\\alpha },$ 여기서$$ $\alpha {\displaystyle }$ α ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$
• 소수^[3]
• 되돌릴 수 없고 연결된 순열의 ^[5]열거

여러 변수의 홀노믹 함수

이 구간은 비어 있다.추가하면 도움이 된다. (2013년 6월)

알고리즘 및 소프트웨어

홀노믹 함수는 컴퓨터 대수학에서 강력한 도구다.홀로노미 함수나 시퀀스는 유한한 양의 데이터, 즉 전멸 연산자와 유한한 초기 값 집합으로 나타낼 수 있으며, 폐쇄 속성은 알고리즘 방식으로 동등성 시험, 합계 및 통합과 같은 작업을 수행할 수 있다.최근 몇 년 동안, 이러한 기술들은 많은 수의 특수 기능과 결합 정체성에 대한 자동화된 증거를 제공하는 것을 허용했다.

더욱이 복잡한 평면의 어느 지점에서 임의의 정밀도로 홀노믹 함수를 평가하고, 숫자적으로 어떤 입력도 홀노믹 시퀀스로 계산하는 빠른 알고리즘이 존재한다.

Holonomic 기능으로 작업하기 위한 소프트웨어에는 다음이 포함된다.

• Christop Koutschan이 개발한 HolonomicFunctions [1] Mathematica 패키지, 단변성 및 다변성 홀로노믹 함수에 대한 폐쇄 특성 계산 및 신원 증명 지원
• 메이플용 알골리브[2] 라이브러리, 여기에는 다음 패키지가 포함된다.
  • Gfun은 Bruno Salvy, Paul Zimmermann, Eithne Murray에 의해 단변 폐쇄 특성 및 증명용으로 개발되었다 [3]
  • mgfun은 다변량 폐쇄 특성 및 입증용으로 Fredéric Chyzak에 의해 개발되었다 [4]
  • 수치평가를 위해 마크 메자로바에 의해 개발된 numgfun.

참고 항목

온라인 소프트웨어인 Dynamic Dictionary of Mathematical functions는 많은 고전 및 특수 기능을 자동으로 연구하기 위한 홀노믹 함수를 기반으로 한다(한 지점에서 평가, Taylor series 및 사용자가 부여한 정밀도, 미분방정식으로 점증확장, Taylor 시리즈의 계수에 대한 반복, 파생, 비한계수, 무한계수).적분, 플롯, ...)

메모들

참조

• Flajolet, Philippe; Gerhold, Stefan; Salvy, Bruno (2005), "On the non-holonomic character of logarithms, powers, and the n-th prime function", Electronic Journal of Combinatorics, 11 (2), doi:10.37236/1894, S2CID 184136.

• Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009). Analytic Combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521898065.

• Kauers, Manuel; Paule, Peter (2011). The Concrete Tetrahedron: Symbolic Sums, Recurrence Equations, Generating Functions, Asymptotic Estimates. Text and Monographs in Symbolic Computation. Springer. ISBN 978-3-7091-0444-6.

• Klazar, Martin (2003). "Irreducible and connected permutations" (PDF) (122). {{cite journal}}: Cite 저널 요구 (도움말) (ITI Series 사전 인쇄)

• Mallinger, Christian (1996). Algorithmic Manipulations and Transformations of Univariate Holonomic Functions and Sequences (PDF) (Thesis). Retrieved 4 June 2013.

• Stanley, Richard P. (1999). Enumerative Combinatorics. Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56069-6.

• Zeilberger, Doron (1990). "A holonomic systems approach to special functions identities". Journal of Computational and Applied Mathematics. 32 (3): 321–368. doi:10.1016/0377-0427(90)90042-X. ISSN 0377-0427. MR 1090884.