곰퍼츠 분포

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곰퍼츠 분포

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	형상 > $displaystyle \eta >0$ 척도 > $displaystyle b>0\,\!}$
지원	$[0,\flashstyle x\in [0,\infully )\!}$
PDF	$\displaystyle b\eta \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right)$
CDF	${\displaystyle 1-\exp \left\eta \left(e^{bx}-1\오른쪽)\right}$
평균	${\displaystyle (1/b)e^{\eta }{\text{Ei}\왼쪽(-\eta \오른쪽)}$ ${\displaystyle {\text{where Ei}\left(z\right)=\int \limits _{-z}^{-z}}\ft }\left(e^{-v}/v\right)dv}$
중앙값	${\displaystyle \left (1/b\right)\ln \left[\lefted1/\eta \right)\ln \left(1/2\right)+1\right]}$
모드	${\displaystyle =\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right)\ }$ ${\displaystyle {\text{}}}}}0<{\text{F}}\왼쪽(x^{*}\오른쪽)<1-e^{-1}=0.632121,0<\eta <1}$ ${\displaystyle =0,\display \eta \geq 1}$
분산	${\displaystyle \left(1/b\right)^{2}e^{\eta }\{-2\eta {\}_{3}{\text{\text}F}_{3}\왼쪽(1,1,1,1,2,2,2;-\eta \right)+\감마 ^{2}}$${\displaystyle +\\lift(\pi ^{2}/6\right)+2\gamma \ln \left(\eta \right)+[\eta \e^{\ei}}}^{\eta}[\eta \right]^{2}\}}$ ${\displaystyle {\begin{arged}{\text{{}여기서 }}&\gamma {\text{\text{}는 오일러 상수: }}\,\!\\&\cHB =-\cHB \left(1\오른쪽)={\text{0.577215...}}}\end{정렬}}$${\displaystyle {\regated}{\text}{\text{} 및 }{}{}_{3}{\text}{\text}}F}_{3}&\왼쪽(1,1,1;2,2,2;-z\오른쪽)=\\&\sum _{k=0}^{\infit }\왼쪽[1/\왼쪽(k+1\오른쪽)^{3}\왼쪽1\오른쪽)^{k}\왼쪽(z^{k}/k!\right)\end{aigned}}$
MGF	${\displaystyle {\text{E}\왼쪽(e^{-tx}\오른쪽)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\왼쪽(\eta \오른쪽)}$ ${\displaystyle{\text{\t/b}\왼쪽(\eta \right)=\int_{1}^{{1}^{-\eta v^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\>0}$

확률과 통계에서 곰퍼츠 분포는 벤자민 곰퍼츠의 이름을 딴 연속 확률 분포다.곰퍼츠 분포는 인구학자^[1][2] 및 보험업자에 의한 성인용 생명팬의 분포를 설명하기 위해 종종 적용된다.^[3][4]생물학과^[5] 노인학^[6] 등 과학의 관련 분야도 생존 분석을 위해 곰퍼츠 분포를 고려했다.보다 최근에, 컴퓨터 과학자들은 곰퍼츠 분포에 의해 컴퓨터 코드의 고장률을 모형화하기 시작했다.^[7]마케팅 사이언스(Marketing Science)에서는 고객 평생 가치 모델링을 위한 개별 레벨 시뮬레이션으로 활용되어 왔다.^[8]네트워크 이론, 특히 Erdős-Rényi 모델에서는 임의 자기 방어 보행(Saw)의 보행 길이가 곰퍼츠 분포에 따라 분포한다.^[9]null

사양

확률밀도함수

곰퍼츠 분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f\left(x;\eta,b\right)=b\eta \ex \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right){}\text{}{}x\geq 0,\,}$

여기서 > $displaystyle b>0\,\!}$은(는) 척도 매개변수이고 > $displaystyle \eta$ >$0\,\!}$은 곰퍼츠 분포의 형상 매개변수다.보험수리적 및 생물학적 과학과 인구통계학에서 곰퍼츠 분포는 약간 다르게 파라메트리된다(곰퍼츠-메컴 사망률 법칙).null

누적분포함수

곰퍼츠 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)=1-\exp \left(-\eta \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right),}$

여기서 > ${\displaystyle \eta,b>0,}$ 및 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$ x$\geq 0\,.}$

모멘트생성함수

모멘트 생성 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle {\text{E}\왼쪽(e^{-tX}\오른쪽)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\왼쪽(\eta \오른쪽)}$

어디에

${\displaystyle {\text{E}}_{t/b}\왼쪽(\eta \오른쪽)=\int _{1}^{\not }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\>0.}$

특성.

곰퍼츠 분포는 좌우로 치우칠 수 있는 유연한 분포다.그것의 $위험함수{\displaystyle }$h (${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle {}^{}}$ b ${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle b^{}}$ x$${\$displaystyle h($${\displaystyle x}$$)=\eta be^{bx}}$는 F ( x ;${\displaystyle (}$, b$){\$의 볼록함수다$.$모델은 혁신 계수로 p${\displaystyle }$${\displaystyle }$= ${\displaystyle \eta }$ b ${\displaystyle$ p$=\eta b},$ 모방 계수로$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$을(를) 사용하여 혁신-이미징 패러다임에 장착할 수 있다.$t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$이(${\displaystyle 가}$) 커지면$$ $z{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle z(t)}$이(가) $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \inft }$에 접근한다$.$ 또한 모델은 채택 성향으로$$ $b{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\eta},$ b$}$이(가)를 새로운 오퍼링의 전체적인 어필로 하는 성향으로 하는 성향에 속할 수 있다.null

모양들

곰퍼츠 밀도 함수는 형상 매개변수 $parameter{\displaystyle }$ $displaystyle \eta \,\}$의 값에 따라 다른 형상을 취할 수 있다$.$

• $\eta {\displaystyle 1}$, ${\$ 확률밀도함수는$$ 0에서 모드를 가진다.
• < < ,${\$가 되면 확률밀도함수의 모드는 다음과 같다.

${\displaystyle x^{*}=\left(1/b\오른쪽)\ln \left(1/\eta \right){}\text{{}}}}{1-e^{-1}=0.632121}$

컬백-라이블러 발산

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 ${\displaystyle f_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}개가 두 Gompertz 분포의 확률 밀도 함수인$$ 경우, Kullback-Leibler 차이는 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(f_{1}\parallel f_{2})&,=\int _ᆯ^ᆰf_ᆱ(x;b_{1},\eta_{1})\,\ln{\frac{f_{1}(x;b_{1},\eta_{1})}{f_{2}(x;b_{2},\eta_{2})}}dx\\&, =\ln{\frac{e^{\eta_{1}}\,b_{1}\,\eta _{1}}{e^{\eta_{2}}\,b_{2}\,\eta _{2}}}+e^{\eta_{1}}\left-LSB- \left({\frac{{2}}b_{b_{1}}}-1\right)\,\operatorname{Ei}(-\eta_{1.})+{\frac {\eta _{1}:{1}^{1}^{b_{1}:{1}:{1}}}\\\감마 \left({b_{1}{1}:{b_{1}}}}}+1,\eta _{1}\right}\eta _{1}+1)-(\eta _{1}+1)\{liged}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{Ei}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle \operatorname {Ei} (\cdot )$은 지수 적분을 나타내며$$, $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle }$, ,${\displaystyle \cdot }$ )${\displaystyle \Gamma (\cdot ,\cdot )}$은 상부 불완전 감마함수다.^[10]null

관련 분포

• X가 음의 값 Y가 생성될 때까지 Gumbel 분포로부터 샘플링한 결과라고 정의되고 X=-Y를 설정하면 X는 곰퍼츠 분포가 있다.
• 감마 분포는 알려진 척도 모수 $b{\displaystyle .}$ ${\displaystyle b\,\!$를 갖는 곰퍼츠 우도 이전의 자연 결합이다.$}$^[8]
• When ${\displaystyle \eta \,\!}$ varies according to a gamma distribution with shape parameter ${\displaystyle \alpha \,\!}$ and scale parameter ${\displaystyle \beta \,\!}$ (mean = ${\displaystyle \alpha /\beta \,\!}$), the distribution of ${\displaystyle x}$ is Gamma/Gompertz.^[8]

적용들

• 수문학에서 곰퍼츠 분포는 연간 최대 1일 강우량 및 하천 방류와 같은 극단적인 사건에 적용된다.파란색 그림은 곰퍼츠 분포를 연간 최대 1일 강우량에 맞추는 예를 보여 주며, 이항 분포를 바탕으로 한 90% 신뢰 벨트도 보여준다.강우 데이터는 누적 빈도 분석의 일부로 위치를 표시하여 나타낸다.

참고 항목

• 곰퍼츠메컴 사망률 법칙
• 곰퍼츠 함수
• 고객수명가치
• 감마 곰퍼츠 분포

메모들

참조

• Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas (2011). "Implementing the Gamma/Gompertz/NBD Model in MATLAB" (PDF). Cergy-Pontoise: ESSEC Business School.^{[영구적 데드링크]}
• Gompertz, B. (1825). "On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 115: 513–583. doi:10.1098/rstl.1825.0026. JSTOR 107756.
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. pp. 25–26. ISBN 0-471-58494-0.
• Sheikh, A. K.; Boah, J. K.; Younas, M. (1989). "Truncated Extreme Value Model for Pipeline Reliability". Reliability Engineering and System Safety. 25 (1): 1–14. doi:10.1016/0951-8320(89)90020-3.