노멀 위샤트 분포

노멀위샤르트

표기법	${\displaystyle({\\boldsymbol {\mu },{\boldsymbol {\lambda }})\심(\boldsymbol {\\mu }}{0},\lambda ,\mathbf {W},\nu )}$
매개변수	${\displaystyle {\mathit{\mu }}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$μ R ${\displaystyle {}^{}}$ $displaystyle {\boldsymbol {\mu }_{0}\in \mathb {R}\{D}\,}$ 위치(실제 벡터) > ${\$실제) ${\displaystyle \mathbf{W}}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\displaystyle D^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ D ${\${R} ^{D\$time D}$ 척도$$ 행렬(대략 def.) > - ${\$실제)
지원	${\displaystyle ㎕\in }$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ D ${\$ {$R}^{D\time D}$ 공분산$$ 행렬(def).
PDF	${\displaystyle f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }} {\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }} {\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})\ {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }} \mathbf {W} ,\nu )}$

확률 이론과 통계에서 정규-위샤르트 분포(또는 가우스-위샤르트 분포)는 연속 확률 분포의 다변량 4-모수 계열이다.평균과 정밀 행렬(공분산 행렬의 역행렬)을 알 수 없는 다변량 정규 분포 이전의 결합물이다.^[1]null

정의

가정하다

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }} {\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Lambda }}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})}$

평균 $\mu {\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 공분산 행렬$({\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathrm{\lambda }}^{}}$ ) -${\displaystyle {}^{}}$1 ${\$ 여기서 다변량 정규 분포를 가진다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }} \mathbf {W},\nu \sim {\mathcal {W}({\boldsymbol {\\Lambda }}}}}) \mathbf {W}$

위시아트 배포가 있다.그러면${\displaystyle }$(${\displaystyle \mu \mathit{}}$ ,${\displaystyle \lambda \mathbf{}}$) ${\displaystyle({\\boldsymbol {\mu },{\boldsymbol {\lambda }}})$은(는) 정상-위샤트 분포로 표시된다$$.

${\displaystyle({\\boldsymbol {\mu },{\boldsymbol {\lambda }})\심(\boldsymbol {\\mu }}{0},\lambda ,\mathbf {W},\nu).}$

특성화

확률밀도함수

${\displaystyle f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }} {\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }} {\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})\ {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }} \mathbf {W} ,\nu )}$

특성.

스케일링

한계분포

공사별로 보면 ${\${\$boldsymbol${\$lambda$}}}}에 대한 한계 분포는 위스타트 분포이고, $\mu$에 대한 조건 분포는 ${\$에 대한 다변수 정규 분포이다.$\mu {\displaystyle \mathit{}}$ ${\$에 대한 한계 분포는 다변량 t-분포다.null

모수의 후방 분포

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 관측치$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\${\$boldsymbol {x}_{1},\dots,{\boldsymbol{x}_{n$을(를) 만든 후 파라미터의 후방 분포는 다음과 같다.

${\displaystyle({\boldsymbol {\mu },{\boldsymbol {\lambda }}}\심각 \mathrm {NW}({\boldsymbol {\mu }},\lambf {n}, {n}),}$

어디에

${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda +n,}$

${\displaystyle {\mu }}{n}={\frac {\mu }}{0}+n{\movsymbol {\x}{\bar{x}}}{\movsyda +n},},}$

${\displaystyle \nu _{n}=\nu +n,}$

${\displaystyle \mathbf {W} _{n}^{-1}=\mathbf {W} ^{-1}+\sum _{i=1}^{n}({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})^{T}+{\frac{n\lambda }{n+\lambda }}}{{\boldsymbol {\x}-{\boldsymbol {\\\bar{x}}-{\boldsymbol {\\}-{\mu_{0}}}}}}}}}}}}}}}^{{{{{n1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}^{{{{T}}$^[2]

Normal-Wishart 랜덤 변수 생성

랜덤 변수의 생성은 간단하다.

1. 매개 $변수{\displaystyle \mathbf{}}$ W ${\$ 및$$ $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$이(가) 있는 위시아트 분포의 샘플 $sample{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$
2. 평균 $\mu {\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및 분산$$$({\displaystyle \lambda }$ λ${\displaystyle {}^{}\lambda \mathbf{}}$ ) -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$(\$lambda${\$boldsymbol{\lambda }}}}}^{-1}}}$

관련 분포

• 정규-반복 위시아트 분포는 본질적으로 정밀도가 아닌 분산에 의해 모수화된 동일한 분포다.
• 정상 감마 분포는 1차원 등가물이다.
• 다변량 정규 분포와 위시아트 분포는 이 분포가 만들어지는 성분 분포다.

메모들

참조

• 비숍, 크리스토퍼 M. (2006년)패턴 인식 및 머신러닝.Springer Science+비즈니스 미디어.