페아노 존재 정리

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
리스트 아이작 뉴턴 고트프리드 라이프니즈 레온하르트 오일러 에밀 피카르 요제프 마리아 회네브로이스키 에른스트 린델뢰프 루돌프 립시츠 아우구스틴루이코치 존 크랭크 필리스 니콜슨 칼 데이비드 톨메 룬지 마르틴 쿠타
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수학에서, 특히 보통의 미분방정식에 대한 연구에서, 주세페 페아노와 아우구스틴-루이스 코치의 이름을 딴 페이노 존재 정리 또는 카우치-페이노 정리는 어떤 초기 가치 문제에 대한 해결책의 존재를 보장하는 근본적인 정리다.

역사

페아노는 1886년 잘못된 증거로 정리를 처음 출판했다.^[1] 1890년에 그는 연속적인 근사치를 이용하여 새로운 정확한 증거를 발표했다.^[2]

정리

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$을(를) R × R의 열린 하위 집합으로$$ 두십시오.

$\displaystyle f\colon D\to \mathb {R}}$

연속함수와

${\displaystyle y'(x)=f\왼쪽(x,y(x)\오른쪽)}$

D에 정의된 연속적이고 명시적인 1차 미분 방정식, 그 다음 모든 초기 값 문제

${\displaystyle y\왼쪽(x_{0}\오른쪽)=y_{0}}$

(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$)가 있는 f의 경우, ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{$0},{$0}\in D}$에 로컬 솔루션이 있음$$

$\displaystyle z\colon I\to \mathb {R}}$

where ${\displaystyle I}$ is a neighbourhood of ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, such that ${\displaystyle z'(x)=f\left(x,z(x)\right)}$ for all ${\displaystyle x\in I}$.^[3]

솔루션이 고유할 필요는 없음: 동일한 초기 값$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle(x_{0},y_{0}}})$이 $여러{\displaystyle }$ 가지 솔루션 z ${\displaysty$ z}을$($를) 발생시킬 수 있음$$$.$

관련 정리

피아노 정리는 같은 맥락의 다른 존재 결과인 피카르-린델뢰프 정리와 비교할 수 있다. 피카르-린델뢰프 정리는 둘 다 더 많은 것을 가정하고 더 많은 결론을 내린다. 그것은 립스키츠 연속성을 요구하는 반면, 페아노 정리는 연속성만을 필요로 하지만, 페아노 정리가 해결책의 존재만을 증명하는 존재와 독특성 모두를 증명한다. 예를 들어, 일반적인 미분 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle y^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= y ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{\frac{\mathrm{}}{}}}$ ${\$ y$'=\left\vert$ y$\right\vert ^{\frac{1}{2}}:$ 도메인$$${\displaystyle }$[${\displaystyle 0\mathrm{},}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle \left[0,1\right]$$}$

피아노 정리에 따르면, 이 방정식은 해법이 있지만, 오른손은 0을 포함하는 어떤 이웃에서도 립스키츠가 연속적이지 않기 때문에 피카르-린델뢰프 정리는 적용되지 않는다. 따라서 우리는 존재는 결론지을 수 있지만 독특하지는 않다. It turns out that this ordinary differential equation has two kinds of solutions when starting at ${\displaystyle y(0)=0}$, either ${\displaystyle y(x)=0}$ or ${\displaystyle y(x)=x^{2}/4}$. The transition between ${\displaystyle y=0}$ and ${\displaystyle y=(x-C{)}^2/4}$${\displaystyle y=(x-C)^{2}/4}$은(는) 모든 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에서 발생할 수 있다$$$.$

카라테오도리 존재정리는 연속성보다 조건이 약한 페이노 존재정리를 일반화한 것이다.

메모들

참조

• Osgood, W. F. (1898). "Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung". Monatshefte für Mathematik. 9: 331–345.
• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill.
• Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S. (1976) [1954]. Existence Theorems for Ordinary Differential Equations (Reprint ed.). New York: Krieger.
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.