푸비니의 정리

수학적 분석에서 푸비니의 정리는 1907년 귀도 푸비니가 도입한 반복적 적분을 사용하여 이중 적분을 계산할 수 있는 조건을 주는 결과다. 통합이 절대값으로 대체될 때 이중 적분자가 유한한 답을 내는 경우 통합 순서를 바꿀 수 있다.

$\,\iint \limits _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y\qquad {\text{ if }}\qquad \iint \limits _{X\times Y} f(x,y) \,{\text{d}}(x,y)<+\infty .$

결과적으로, 그것은 특정한 반복된 통합에서 통합의 순서를 변경할 수 있게 한다. 푸비니의 정리는 두 개의 반복된 통합이 그것의 통합자들 전체에서 상응하는 이중 적분과 동일하다는 것을 암시한다. 1909년 레오니다 토넬리가 도입한 토넬리의 정리는 비슷하지만, 그들의 영역에 걸쳐 하나의 통합이 가능한 것이 아니라 비음성의 측정 가능한 함수에 적용된다.

A관련 정리 자주, 그리고 만약 ∑∈ N×N(m, n) m, n{\textstyle \sum_{(m,n)\in \mathbb{N}\times({N}}a_{m실제 숫자의{를 m, n}m=1, nx1∞{\textstyle\와 같이{a_{m,n}\}_{m=1,n=1}^{\infty}}은doubly-indexed 순서이라고 무한한 series,[1]에 푸비니의 정리라고 불린다,n} ${}$ 은(는) 절대적으로 수렴되는 것이다 ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}}$ .

$\sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{m,n}$

무한 시리즈에 대한 푸비니의 정리는 보다 일반적인 푸비니의 정리의 특수한 경우지만, 푸비니의 정리의 논리적 귀결로 특징짓는 것은 적절하지 않다. 이것은 측정의 일부 속성, 특히 하위 애독성은 무한 시리즈에 대한 푸비니의 정리를 이용하여 증명되는 경우가 많기 때문이다.^[2] 이 경우 푸비니의 일반 정리는 무한 시리즈에 대한 푸비니의 정리의 논리적 귀결이다.

역사

실제 벡터 공간의 폐쇄된 경계 하위 집합의 산물에 대한 지속적인 기능에 대한 푸비니의 정리의 특별한 사례는 18세기 레온하르트 오일러에게 알려졌다. 앙리 르베그(1904)는 이것을 간격의 산물에서 경계 측정 가능한 함수로 확장했다.^[3] Levi(1906) harvtxt error: no target: CITREFLevi1906 (도움말)^[4]은 정리가 경계보다는 통합 가능한 기능으로 확장될 수 있다고 추측했고, 이것은 Fubini(1907)에 의해 증명되었다. 레오니다 토넬리(1909)는 통합 가능한 기능보다는 비부정 기능에 적용되는 푸비니의 정리의 변화를 주었다.^[5]

제품측량

X와 Y가 측정값으로 공간을 측정하는 것이라면, 그들의 제품에 대한 제품 측정을 정의하는 몇 가지 자연스러운 방법이 있다.

측정 공간의 X × Y 제품(범주 이론상)은 측정 가능한 X와 Y의 측정 가능한 하위 집합의 A × B 제품에 의해 생성된 σ-알지브라 세트를 가지고 있다.

X × Y의 측정 μ는 측정 가능한 하위 집합 A μ X와 B μ Y에 대해 μ(A) μ₂(B) = μ₁(B)이고 X에서는 µ₁, Y에서는 µ를 측정하는₂ 경우 제품 측정이라고 한다. 일반적으로 X × Y에는 여러 가지 제품 측정이 있을 수 있다. 푸비니의 정리와 토넬리의 정리는 둘 다 이러한 복잡성을 피하기 위해 기술적 조건이 필요하다. 가장 일반적인 방법은 모든 측정 공간이 fin-핀라이트라고 가정하는 것인데, 이 경우 X×Y에 독특한 제품 측정치가 있다. X × Y에는 항상 고유한 최대 제품 측정치가 있는데, 여기서 측정 가능한 세트의 측정치는 측정 가능한 세트의 제품의 계산 가능한 결합인 그것을 포함하는 세트의 측정값의 inf이다. 최대 생산물 측정은 측정 가능한 집합의 생산물에 의해 생성되는 집합의 고리에 μ(A × B) = μ₁(A)μ₂(B)가 되는 첨가함수 μ(B)에 카라테오도리의 확장정리를 적용하여 구성할 수 있다.(카라테오도리의 확장정리는 일반적으로 측정공간보다 측정 가능한 집합이 더 많이 포함된 측정공간을 측정한다. X × Y, 따라서 엄밀히 말하면 X와 Y의 측정 가능한 하위 집합의 제품 A × B에 의해 생성된 σ-알제브라로 제한되어야 한다.)

두 개의 완전한 측정 공간의 산출물은 대개 완전하지 않다. 예를 들어, 단위 간격 I에 대한 Lebesgue 측정의 산출물은 제곱 I × I에 대한 Lebesgue 측정치가 아니다. 완성되지 않은 제품보다는 조치의 생산물의 완성을 이용하는 푸비니의 완전 대책에 대한 정리 편차가 있다.

통합 기능용

X와 Y가 σ-마인드 측정 공간이라고 가정하고, X × Y가 제품 측정(X와 Y가 σ-마인드라는 고유한 것)을 제공한다고 가정한다. 푸비니의 정리에서는 f가 X × Y 통합이 가능하다면 f는 측정 가능한 함수라는 것을 의미하며

\int _{X\time Y}f(x,y) \,{\text{d}}(x,y)<\inflt ,

그때

\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).

처음 두 통합은 각각 두 가지 조치에 대한 반복 통합이며, 세 번째 통합은 제품 측정에 대한 필수 통합이다. The partial integrals ${\textstyle \int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y}$ and ${\textstyle \int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x}$ need not be defined everywhere, but this does not matter as the points where they are not defined form a set of measure 0.

만약 위의 절대값의 적분이 유한하지 않다면, 두 개의 반복된 적분들은 다른 값을 가질 수 있다. 이 가능성의 예는 아래를 참조하십시오.

X와 Y가 σ-핀라이트라는 조건은 거의 모든 측정공간에서 푸비니의 정리를 사용하고자 하는 σ-핀라이트이기 때문에 대개 무해하다. 푸비니의 정리에는 X와 Y가 σ-핀라이트(Fremlin 2003) 하브 오류로 가정되지 않는 경우에 다소 기술적인 확장성이 있다: 이 경우에 가장 큰 문제는 X×Y에 둘 이상의 제품 측정치가 있을 수 있다는 것이다. 푸비니의 정리는 최대 생산량 측정을 위해 계속 유지되지만 다른 생산량 측정에 실패할 수 있다. 예를 들어, f의 이중 적분은 0이지만 두 개의 반복적 적분은 서로 다른 값을 갖는 제품 측정값과 비 음의 측정 가능한 함수가 있다. 이에 대한 예는 아래의 계수형 표본 섹션을 참조하십시오. 토넬리의 정리 및 푸비니-토넬리 정리(아래에 기술)는 최대 생산량 측정에서도 σ-피니트가 아닌 공간에서 실패할 수 있다.

비음성 측정 기능에 대한 토넬리의 정리

토넬리의 정리(레오니다 토넬리의 이름을 따서 명명)는 푸비니의 정리의 계승자다. 토넬리의 정리 결론은 푸비니의 정리 결론과 동일하지만, $|f|$ $displaystyle$ f $}$ 이(가) 유한 적분을 가지고 $|f|$ 있다는 가정은 f $f$ 이 $f$ (가) 음이 아닌 측정 가능한 함수라는 가정으로 대체된다.

토넬리의 정리에는 (X, A, μ)와 (Y, B, ν)가 σ-완료 측정 공간인 경우, X×Y에서 [0,19]까지의 f는 음이 아닌 측정 가능한 함수라고 되어 있다.

\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).

A special case of Tonelli's theorem is in the interchange of the summations, as in ${\textstyle \sum _{x}\sum _{y}a_{xy}=\sum _{y}\sum _{x}a_{xy}}$ , where $a_{xy}$ are non-negative for all x and y. 정리의 핵심은 시리즈가 갈라져도 합계 순서 교체가 유지된다는 것이다. 실제로 합계의 순서가 변경될 수 있는 유일한 방법은 + $+\infty$ ${\displaystyle +\$ $infit$ $+\infty$ }(으)로 $+\infty$ 전환되는 $-\infty$ 부분과 - $display$ {\displaystyle -\infit $}($ 으)로 전환되는 부분이 있을 때뿐이다 $-\infty$ 모든 요소가 음이 아닌 경우, 명시된 예에서는 이러한 현상이 발생하지 않는다.

측정 공간이 σ-완료라는 조건이 없다면 이 세 통합 모두 다른 값을 가질 수 있다. 일부 저자들은 토넬리의 정리정돈에 대한 일반화를 σ-피니트가 아닌 일부 측정 공간에 주지만, 이러한 일반화는 fin-피니트 사례에 즉시 문제를 줄이는 조건을 추가하는 경우가 많다. 예를 들어, 측정 가능한 하위 집합의 모든 생산물이 생성하는 것이 아니라 유한한 측정의 하위 집합의 생산물이 생성하는 것으로 A×B의 σ-알지브라(algebra)를 선택할 수 있지만, 이는 제품에서 요인 A와 B까지의 예측을 측정할 수 없는 바람직하지 않은 결과를 가져올 수 있다. 또 다른 방법은 f의 지원이 유한 측정 집합의 곱셈 가능한 조합에 포함된다는 조건을 추가하는 것이다. Fremlin (2003) harvtxt error: no target: CITERREFFremlin2003 (도움말)은 토넬리의 정리를 일부 비 fin-피니트 공간에 다소 기술적인 확장성을 부여한다. 이러한 일반화 중 어느 것도 추상 측정 이론 이외의 유의한 응용을 발견하지 못했는데, 대체로 거의 모든 실제 관심 측정 공간이 fin-완료적이기 때문이다.

푸비니-토넬리 정리

푸비니의 정리와 토넬리의 정리를 결합하면 푸비니--이 된다.토넬리 정리(흔히 푸비니의 정리라고 한다)는 X와 Y가 σ-핀라이트라면 공간을 측정하고, f가 측정 가능한 함수라면 그 다음이다.

\int _{X}\left(\int _{Y} f(x,y) \,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X} f(x,y) \,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y} f(x,y) \,{\text{d}}(x,y)

게다가 이 통합들 중 하나가 유한하다면

\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).

위의 조건들에서 f의 절대값은 f의 양의 부분이나 음의 부분으로 대체될 수 있다; 이러한 형태들은 비 음의 함수의 음의 부분이 0이므로 유한한 적분을 가지고 있기 때문에 토넬리의 정리를 특수한 경우로서 포함한다. 비공식적으로 이 모든 조건들은 f의 이중 적분은 무한할 수 있지만 잘 정의되어 있다고 말한다.

푸비니의 장점-푸비니의 정리 위에 토넬리는 f의 절대값의 반복적인 통합이 이중 적분보다 연구하기가 더 쉬울 수 있다는 것이다. 푸비니의 정리처럼 단일 통합은 측정치 0 집합에서 정의되지 않을 수 있다.

전체 조치의 경우

위와 같은 푸비니와 토넬리의 정리 버전은 르베그 측도와 함께 실제 라인 R의 산물에 대한 통합에는 적용되지 않는다. 문제는 R×R에 대한 르베그 측정이 그 자체로 르베그 측정이 아니라, X와 Y의 두 가지 완전한 측정 공간의 산물이 일반적으로 완전하지 않다는 점이다. 이러한 이유로 사람들은 때때로 완벽한 측정을 위해 푸비니의 정리 버전을 사용한다: 대략적인 것은 모든 조치를 그들의 보완으로 대체하는 것이다. 푸비니의 정리의 다양한 버전은 위의 버전과 유사하며, 다음과 같은 사소한 차이가 있다.

두 치수 공간의 제품 XXXY를 취하는 대신 일부 제품의 완성을 취한다.
만약 f가 XXXY의 완성에 대해 측정할 수 있다면, 수직선 또는 수평선에 대한 제한은 측정되지 않을 수 있으므로, 측정 불가능한 기능의 통합을 포함하기 때문에 측정치 0의 집합에서 수직선 또는 수평선 통합이 정의되지 않을 가능성을 허용해야 한다. 이것은 거의 차이가 나지 않는데, 왜냐하면 그것들은 통합할 수 없는 기능들로 인해 이미 정의되지 않을 수 있기 때문이다.
또한 일반적으로 X와 Y에 대한 측정이 완료되었다고 가정하고, 그렇지 않으면 수직선이나 수평선을 따라 두 개의 부분적 통합이 잘 정의되어 있을 수 있지만 측정할 수는 없다. 예를 들어, f가 측정 가능한 세트와 측정 불가능한 세트 제품의 특성 함수인 경우, f의 단일 적분은 어디에서나 잘 정의되지만 측정될 수는 없다.

교정쇄

푸비니와 토넬리 이론의 증명들은 σ-완료성과 관련된 가설을 사용해야 하기 때문에 반드시 어느 정도 기술적이다. 대부분의 증거는 다음과 같은 단계를 통해 점점 더 복잡한 기능을 증명함으로써 완전한 이론에 도달하는 것을 포함한다.

제품에 대한 측정이 직사각형의 특징적 기능에 대한 이론적 근거를 입증하기 위한 제품 측도라는 사실을 이용한다.
측정 가능한 집합의 특성 함수에 대한 정리를 증명하기 위해 공간이 fin-핀라이트(또는 일부 관련 조건)라는 조건을 사용한다. 이것은 또한 단순한 측정 가능한 함수(측정 가능한 함수는 한정된 수의 값만 취함)의 경우를 다룬다.
함수가 측정 가능한 조건을 사용하여 측정 가능한 양의 함수에 대한 이론들을 단순 측정 가능한 함수로 근사화함으로써 입증한다. 이것은 토넬리의 정리를 증명한다.
기능들이 통합될 수 있다는 조건을 사용하여 이를 두 가지 양의 통합 가능한 함수의 차이로 적고, 토넬리의 정리를 이들 각각에 적용한다. 이것은 푸비니의 정리를 증명한다.

리만 통합

For Riemann integrals, Fubini's theorem is proven by refining the partitions along the x-axis and y-axis as to create a joint partition of the form $[x_{i},x_{i+1}]\times [y_{j},y_{j+1}]$ , which is a partition over $X\times Y$ . This is used to shoh 두 순서의 이중 적분 값이 $X\times Y$ $X\times Y$ $X\times Y$ ${\displaystyle X\time$ Y $}$ 에 대한 적분 값과 같아야 한다 $X\times Y$

백작샘플

다음의 예들은 그들의 가설을 하나라도 생략할 경우 푸비니의 정리나 토넬리의 정리가 어떻게 실패할 수 있는지를 보여준다.

σ-마인트가 아닌 공간에 대한 토넬리의 정리 실패

X는 르베그 측정 가능 세트와 르베그 측정값의 단위 구간이고, Y는 모든 하위 집합과 계수가 측정 가능한 단위 구간이므로 Y가 y-피니트가 아니라고 가정한다. f가 X×Y 대각선의 특성 함수라면, X를 따라 f를 통합하면 Y에 0의 함수가 되지만 Y를 따라 f를 통합하면 X에 1의 함수가 된다. 그래서 두 개의 반복된 통합은 다르다. 이는 어떤 제품 측정치를 선택해도 σ-핀라이트가 아닌 공간에 대해서는 토넬리의 정리가 실패할 수 있음을 보여준다. 그 대책은 둘 다 분해할 수 있어, 토넬리의 정리가 분해할 수 있는 조치( fails-완료 조치보다 약간 더 일반적인 조치)에 실패한다는 것을 보여준다.

비최대 제품 측정에 대한 푸비니의 정리 실패

푸비니의 정리는 최대 생산량 측정을 사용할 경우 provided-핀라이트라고 가정하지 않더라도 공간을 보유한다. 위의 예에서 최대 생산량 측정의 경우 대각선은 무한한 측정치를 가지므로 f의 이중 적분은 무한하며, 푸비니의 정리는 공허하게 유지된다. 그러나 XXXY에 제품의 측정값을 부여하여 세트의 측정치가 Lebesgue의 수평 섹션 측정값의 합이 되도록 한다면, f의 이중 적분은 0이지만, 두 개의 통합된 적분은 여전히 서로 다른 값을 갖는다. 이것은 푸비니의 정리가 실패하는 제품 측정의 예를 들어준다.

이것은 두 측정 공간의 동일한 제품에 대한 두 가지 다른 제품 측정의 예를 제공한다. 2개의 σ-마인 측정 공간 제품의 경우, 하나의 제품 측정치만 있다.

측정이 불가능한 기능에 대한 토넬리의 정리 실패

X가 측정 가능한 집합이 카운트 가능(측정값 0) 또는 카운트 가능 보완 세트(측정값 1)인 유한 측정값의 첫 번째 마운트 불가능한 서수라고 가정하자. x<y>와 쌍(x,y)이 주는 X×X의 (측정 불가) 부분 집합 E는 모든 수평선에서 카운트할 수 있으며 모든 수직선에서 카운트 가능한 보완재가 있다. f가 E의 특성 함수라면 f의 두 개의 반복된 통합이 정의되며 값 1과 0이 다르다. f함수는 측정할 수 없다. 이것은 토넬리의 정리가 측정할 수 없는 기능에 실패할 수 있음을 보여준다.

측정이 불가능한 기능에 대한 푸비니의 정리 실패

위의 사례의 변동은 f가 통합이 가능하고 두 개의 반복적 통합이 잘 정의되더라도 푸비니의 정리가 측정 불가능한 기능에 실패할 수 있다는 것을 보여준다: 만약 우리가 f를 E에 1로, 그리고 E의 보완에 –1로 가져간다면, f는 통합 1로 제품에 통합될 수 있고, 두 개의 반복적 통합은 잘 정의되지만 다른 va를 가지고 있다.1루와 –1루.

연속체 가설을 가정하면 단위 간격 I로 X를 식별할 수 있으므로 I×I에는 두 개의 반복된 통합(Lebesgue 측정 사용)이 모두 정의되지만 동일하지 않은 경계 비음수 함수가 있다. 이 예는 와카와프 시에르피에스키(1920)에 의해 발견되었다.^[6] 기능이 더 이상 측정할 수 있는 것으로 가정되지 않고 단지 두 개의 반복된 통합이 잘 정의되고 존재한다고만 하는 르베그 측도로 두 개의 단위 간격의 제품에 대한 푸비니의 정리의 더 강한 버전은 집합 이론의 표준 제르멜로-프렌켈 공리와는 무관하다. 연속체 가설과 마틴의 공리는 둘 다 반복된 통합이 같지 않은 기능이 단위 광장에 존재한다는 것을 암시하는 반면, 하비 프리드먼(1980)은 [0, 1]에 대한 강력한 푸비니형 정리가 유지되고, 두 개의 반복된 통합이 존재할 때마다 동일하다는 것을 ZFC와 일치한다는 것을 보여주었다.^[7] ZFC에서 확인할 수 없는 문장 목록을 참조하십시오.

비통합 함수에 대한 푸비니의 정리 실패

푸비니의 정리는 우리에게 절대값의 적분이 유한하면 ( (-핀라이트 측정 공간의 산물에 대한 측정 가능한 함수에 대해) 통합의 순서는 중요하지 않으며, x에 대해 먼저 통합한 다음 y에 대해 통합하면 y에 대해 먼저 통합하고 그 다음에 y에 대해 통합하는 것과 같은 결과를 얻는다고 말해준다. x. 절대값의 적분이 유한하다는 가정은 "Lebesgue 통합성"이며, 그 적분 없이 두 개의 반복적 적분들은 서로 다른 값을 가질 수 있다.

반복된 통합이 일반적으로 다를 수 있음을 보여주는 간단한 예는 두 측정 공간을 양의 정수로 하고, 함수 f(x,y)를 x = y인 경우 1로, x = y + 1인 경우 -1로, 그렇지 않은 경우 0으로 취하는 것이다. 그러면 두 개의 반복된 적분 값이 0과 1이 다르다.

또 다른 예는 기능에 대한 다음과 같다.

{\frac{x^{2}-y^{2}}:{(x^{2}+y^{2})^{2}}=-{\frac{\frac}{\n1}{\frac x\,\}\niform y/x)

반복된 통합

{\daystyle \int_{x=0}^{1}\좌측(\int_{y=0}^{1}{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}:{x^{2}+y^{2}}^{2}}:00\,{\text}}}}}},{d}x={\frac\pi}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

그리고

\int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}}

가치관이 다르다 해당 이중 적분은 절대적으로 수렴되지 않는다(즉, 절대값의 적분은 유한하지 않다).

{\displaystyle \int \{0}^{1}\int _{0}^{1}\왼쪽 {x^{2}-y^{2}}:}{\frac(x^{2}+y^{2}\오른쪽)^{2}}: \right,{\text{d}}}}}}}}}\right.

참고 항목

Cavalieri의 원리 – 기하학적 개념 - 초기 특정 사례
코아 면적 공식 - 일반화와 기하학적 측정 이론
분해 정리 – 측정 이론에서의 정리 - 푸비니의 정리와의 제한된 역류
후비니의 분포 정리
쿠라토프스키-울람 정리 – 임의의 두 번째 계수 가능한 바이어 공간에 대한 푸비니의 정리의 아날로그
두 번째 파생 모델의 대칭성 - 분화를 위한 아날로그

참조

^ Tao, Terence (2016), Analysis I, p. 188, ISBN 9789811017896
^ Royden, Halsey (2010), Real Analysis, p. 34, ISBN 9780131437470
^ Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Paris: Gauthier-Villars
^ Fubini, Guido (1907), "Sugli integrali multipli", Rom. Acc. L. Rend. (5), 16 (1): 608–614, JFM 38.0343.02 다시 인쇄됨
^ Tonelli, Leonida (1909). "Sull'integrazione per parti". Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. (5). 18 (2): 246–253.
^ Sierpiński, Wacław (1920), "Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement", Fundamenta Mathematicae, 1 (1): 112–115, doi:10.4064/fm-1-1-112-115
^ Friedman, Harvey (1980), "A Consistent Fubini-Tonelli Theorem for Nonmeasurable Functions", Illinois Journal of Mathematics, 24 (3): 390–395, doi:10.1215/ijm/1256047607, MR 0573474

추가 읽기

DiBenedetto, Emmanuele (2002), Real Analysis, Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Boston: Birkhäuser, doi:10.1007/978-1-4612-0117-5, ISBN 0-8176-4231-5, MR 1897317
Billingsley, Patrick (1995), "Product Measure and Fubini's Theorem", Probability and Measure, New York: Wiley, pp. 231–240, ISBN 0-471-00710-2
Weir, Alan J. (1973), "Fubini's Theorem", Lebesgue Integration and Measure, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 83–92, ISBN 0-521-08728-7

외부 링크

Kudryavtsev, L.D. (2001) [1994], "Fubini theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Teschl, Gerald, Topics in Real and Functional Analysis, (lecture notes)

[1] Tao, Terence (2016), Analysis I, p. 188, ISBN 9789811017896

[2] Royden, Halsey (2010), Real Analysis, p. 34, ISBN 9780131437470

[3] Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Paris: Gauthier-Villars

[4] Fubini, Guido (1907), "Sugli integrali multipli", Rom. Acc. L. Rend. (5), 16 (1): 608–614, JFM 38.0343.02 다시 인쇄됨

[5] Tonelli, Leonida (1909). "Sull'integrazione per parti". Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. (5). 18 (2): 246–253.

[6] Sierpiński, Wacław (1920), "Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement", Fundamenta Mathematicae, 1 (1): 112–115, doi:10.4064/fm-1-1-112-115

[7] Friedman, Harvey (1980), "A Consistent Fubini-Tonelli Theorem for Nonmeasurable Functions", Illinois Journal of Mathematics, 24 (3): 390–395, doi:10.1215/ijm/1256047607, MR 0573474

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v t 측량 이론
기본개념	절대 연속성 르베그 통합 L공백^p 치수 공간 측정 확률공간 측정 가능한 공간/기능
놓다	거의 모든 곳에서 보렐 세트 측정의 수렴 𝜆-시스템 필수 범위 최소/최소 국소 측정 가능 π-시스템 σ-algebra 측정할 수 없는 집합 비탈리 세트 Null 집합 지원 횡척도
측정 유형	베이어 바나흐 베소프 보렐 콤플렉스 완성하다 내용 (논리적으로) 볼록스 이산형 유한한 내부 (Quasi-) 불변성 국소 유한 최대화 미터법 바깥쪽 바깥쪽 퍼펙트 사전측정 (하위-) 확률 투영 값 라돈 무작위 정규 보렐 정규 이너 레귤러 아우터 레귤러 포화상태 함수 설정 σ-finite s-through 서명된 단수형 스펙트럼 엄밀히 말하면 긍정적이다. 꽉 끼다 벡터
특정조치	계산 디락 오일러 가우스어 하르 조화 하우스도르프 강도 레베게 로그 제품 푸시포워드 구면계 접선 사소한 젊은
주요 결과	카라테오도리의 확장 정리 수렴 정리 지배적인 모노톤 비탈리 분해 정리 한 조던 에고로프스 파투 보조정리 푸비니즈 홀더 부등식 민코프스키 부등식 라돈-니코딤 리에즈-마르코프-카쿠타니 표현 정리
기타 결과	해체 정리 르베그 밀도 정리 르베그 분화 정리 사르트의 정리
적용들	확률론 실분석 스펙트럼 이론

Search