위그너 반원 확률밀도함수
누적분포함수
매개변수 R 0 {\ displaystyle R>0\!} 반지름 실제 ) 지원 x ∈ [ − R ; + R ] [-R;+R]\!} PDF 2 π R 2 R 2 − x 2 {\displaystyle {\frac {2}{\pi R^{2}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}\!} CDF 1 2 + x R 2 − x 2 π R 2 + 아크신 ( x R ) π {\displaystyle {\frac{1}:{2}}: {x{\sqrt{R^{2}-x^{2}}:{\pi R^{2}}:{\pi R^{2}}+{\fracin \!}{\frac}{R}\오른쪽){\pi }}}}}} - R ≤ x ≤ R {\displaystyle -R\leq \leq R} 평균 0 0\displaystyle 0\,} 중앙값 0 0\displaystyle 0\,} 모드 0 0\displaystyle 0\,} 분산 R 2 4 {\displaystyle {\frac {R^{2}}{4}\!} 왜도 0 0\displaystyle 0\,} 엑스트라 쿠르토시스 − 1 -1\,} 엔트로피 ln ( π R ) − 1 2 {\displaystyle \ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}\,} MGF 2 I 1 ( R t ) R t {\displaystyle 2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}} CF 2 J 1 ( R t ) R t {\displaystyle 2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}}}
물리학자 인 유진 위그너 의 이름을 딴 위그너 반고리 분포 는 확률밀도함수 f 가 (0, 0)를 중심으로 한 스케일 반고리(즉, 반엘리프)인 [-R , R]에 대한 확률 분포 다.
f ( x ) = 2 π R 2 R 2 − x 2 {\displaystyle f(x)={2 \over \pi R^{2}}:{\\sqrt {R^{2}-x^{2}\,},} -R ≤ x ≤ R 의 경우, f (x ) = x > R 의 경우 0.
또한 스케일 베타 분포 로, Y 가 매개변수 α = β = 3/2로 베타 분산된 경우, X = 2RY – R 은 위그너 반원 분포를 가진다.
분포는 행렬의 크기가 무한대에 근접함에 따라 많은 랜덤 대칭 행렬 의 고유값 의 제한 분포로 발생한다. 고유값 사이의 간격 분포는 유사하게 이름이 붙여진 위그너 추측 에 의해 설명된다.
일반 속성 두 번째 종류의 체비셰프 다항식 은 위그너 반원 분포와 관련된 직교 다항식 이다.
양의 정수 n 의 경우 이 분포의 2n번째 모멘트는
E ( X 2 n ) = ( R 2 ) 2 n C n {\displaystyle E(X^{2n})=\좌({R \over 2}\우)^{2n}C_{n}\,} 여기서 X 는 이 분포를 갖는 임의의 변수와 C 는n 카탈로니아 n번째 숫자
C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) , {\displaystyle C_{n}={1 \over n+1}{2n \선택 n},} 따라서 R = 2. (대칭 때문에 모든 홀수 순서가 0인 경우) 순간은 카탈로니아 숫자임.
대체 x R cos θ ){\displaystyle x=R\cos(\theta )} 모멘트 생성 함수 에 대한 정의 방정식으로 만들면 다음과 같은 것을 알 수 있다.
M ( t ) = 2 π ∫ 0 π e R t cas ( θ ) 죄를 짓다 2 ( θ ) d θ {\displaystyle M(t)={\frac {2}{\pi }\int _{0}^{\pi }e^{Rt\cos(\teta )}\sin ^{2}(\teta )\,d\ta } 다음을 산출하기 위해 해결할 수 있다(아브라모위츠 및 스테건 §9.6.18 참조).
M ( t ) = 2 I 1 ( R t ) R t {\displaystyle M(t)=2\,{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}}} 여기서 I 1 z {\displaystyle I_{1}(z)} Besel 함수 다. 마찬가지로 특성 함수는 다음과 같이 주어진다.[1] [2] [3]
φ ( t ) = 2 J 1 ( R t ) R t {\displaystyle \varphi(t)=2\,{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}}} 여기서 J 1 z {\displaystyle J_{1}(z)} (Abramowitz 및 Stegun §9.1.20 참조) 죄 Rt \ cos (\ theta )} displaystyle \sin(Rt (\thea)})
0 displaystyle R} 디락 델타 함수 가 된다.
자유 확률과의 관계 자유확률론 에서 위그너의 반원 분포의 역할은 고전적 확률론에서 정상 분포 의 역할과 유사하다. 즉, 자유확률론에서 적출물 의 역할은 "자유적 적출물"에 의해 점유되는데, 보통 적출물 이론에서 유한한 집합 의 모든 칸막이 의 역할이 유한 집합의 모든 비교차적 칸막이 의 집합으로 대체되는 것은 단순히 보통 적출물과 관련된 것이다. 확률 분포 의 2 이상의 누적치가 정규 분포를 따르는 경우에만 0 이듯이, 또한 분포가 위그너의 반원 분포인 경우에만 확률 분포의 2 이상의 자유 누적치가 모두 0이 된다.
관련 분포
위그너(구형) 포물선 분포 위그너 포물선 매개변수 R 0 {\ displaystyle R>0\!} 반지름 실제 ) 지원 x ∈ [ − R ; + R ] [-R;+R]\!} PDF 3 4 R 3 ( R 2 − x 2 ) {\displaystyle {\frac {3}{4} R^{3}}\,(R^{2}-x^{2})} CDF 1 4 R 3 ( 2 R − x ) ( R + x ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{4} R^{3}}\,(2R-x)\,(R+x)^{2 }} MGF 3 i 1 ( R t ) R t {\displaystyle 3\,{\frac {i_{1}(R\,t)}{R\,t}}} CF 3 j 1 ( R t ) R t {\displaystyle 3\,{\frac {j_{1}(R\,t)}{R\,t}}}
(0, 0)을 중심으로 한 반지름 R의 [-R , R ] 구간에서 지원되는 포물선 확률 [citation needed 분포:
f ( x ) = 3 4 R 3 ( R 2 − x 2 ) {\displaystyle f(x)={3 \over \4R^{3}{{(R^{2}-x^{2}}}\,}
-R ≤ x ≤ R 의 경우, f (x ) = x > R 의 경우 0.
예. 공동분포는
∫ 0 π ∫ 0 + 2 π ∫ 0 R f X , Y , Z ( x , y , z ) R 2 d r 죄를 짓다 ( θ ) d θ d ϕ = 1 ; {\displaystyle \int _{0}^{0}^{+2\pi }\int _{0}^{R}f_{X,Y,Z}(x,y,z) R^{2}\,dr\sin(\theta )\,d\d\theta \,d\d\phi =1;}
f X , Y , Z ( x , y , z ) = 3 4 π {\displaystyle f_{X,Y,Z}(x,y,z)={\frac {3}{4\pi }}}
따라서 구면(모수) 분포의 한계 PDF는 다음과 같다.[4]
f X ( x ) = ∫ − 1 − y 2 − x 2 + 1 − y 2 − x 2 ∫ − 1 − x 2 + 1 − x 2 f X , Y , Z ( x , y , z ) d y d z ; {\displaystyle f_{X}(x)=\int _{-{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-x^{2}}}}f_{X,Y,Z}(x,y,z)\,dy\,dz; }
f X ( x ) = ∫ − 1 − x 2 + 1 − x 2 2 1 − y 2 − x 2 d y ; {\displaystyle f_{X}(x)=\int_{-{\sqrt{1-x^{2}}^{1-x^{2}}:2}}:{\sqrt{1-y^{2}-x^{2}}:{1-y^{2}}}\,dy\,},}
F X x 4 2 {\displaystyle f_{X}(x)={3 \over \}{4}{1-x^{2}}\,;},
구면 분포의 특성 함수는 X, Y, Z의 분포 예상 값의 패턴 곱셈이 된다.
포물선 위그너 분포도 원자 궤도처럼 수소의 단극 모멘트로 간주된다.
위그너 n-sphere 분포 (0, 0)을 중심으로 반경 1의 [-1, 1] 간격에서 지원되는 정규화된 N-sphere 확률 밀도 함수:
f n ( x ; n ) = ( 1 − x 2 ) ( n − 1 ) / 2 Γ ( 1 + n / 2 ) π Γ ( ( n + 1 ) / 2 ) ( n >= − 1 ) {\displaystyle f_{n}(x;n)={(1-x^{2})^{(n-1)/2}\Gamma (1+n/2) \over {\sqrt {\pi }}\Gamma ((n+1)/2)}\,(n>=-1)}
-1 ≤ x ≤ 1에 대해, 그리고 x > 1인 경우 f(x ) = 0에 대해.
예. 공동분포는
∫ − 1 − y 2 − x 2 + 1 − y 2 − x 2 ∫ − 1 − x 2 + 1 − x 2 ∫ 0 1 f X , Y , Z ( x , y , z ) 1 − x 2 − y 2 − z 2 ( n ) d x d y d z = 1 ; {\displaystyle \int _{-{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-x^{2}}}}\int _{0}^{1}f_{X,Y,Z}(x,y,z){{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}^{(n)}}dxdydz=1;}
f X , Y , Z ( x , y , z ) = 3 4 π {\displaystyle f_{X,Y,Z}(x,y,z)={\frac {3}{4\pi }}}
따라서 한계 PDF 배포는
f X ( x ; n ) = ( 1 − x 2 ) ( n − 1 ) / 2 ) Γ ( 1 + n / 2 ) π Γ ( ( n + 1 ) / 2 ) ; {\displaystyle f_{X}(x;n)={(1-x^{2})^{(n-1)/2)}\Gamma (1+n/2) \over \ {\sqrt {\pi }}\Gamma ((n+1)/2)}\,;}
누적분포함수(CDF)는
F X x x γ 1 n 2 F 1 n 2; 3 ; x 2 π π n 1 {\displaystyle F_{X}(x)={2x\Gamma (1+ n/2 )_{2}F_{1 1-n)/2;3/ 2;x^{2} \\\sqrt{\pi }}\\\감마(((n+1)/2)}\;}(
PDF의 특성 함수(CF)는 아래와 같이 베타 분포 와 관련이 있다.
C F ( t ; n ) = 1 F 1 ( n / 2 , ; n ; j t / 2 ) ⌝ ( α = β = n / 2 ) ; {\displaystyle CF(t;n)={_{1}F_{1}(n/2,;n;jt/2)}\,\urcorner(\alpha =\beta =n/2);; }
베셀 함수의 관점에서 이것은
C F ( t ; n ) = Γ ( n / 2 + 1 ) J n / 2 ( t ) / ( t / 2 ) ( n / 2 ) ⌝ ( n >= − 1 ) ; {\displaystyle CF(t;n)={\Gamma(n/2+1) J_{n/2}}(t)/(t/2)^{(n/2)}}\,\urcorner(n>=-1);}
PDF의 순간은
μ N ′ ( n ) = ∫ − 1 + 1 x N f X ( x ; n ) d x = ( 1 + ( − 1 ) N ) Γ ( 1 + n / 2 ) 2 π Γ ( ( 2 + n + N ) / 2 ) ; {\displaystyle \mu '_{N}(n)=\int _{-1}^{+1}x^{ N}f_{X}(x;n)dx={(1+(1-1)^{N}\감마(1+n/2) \{2{\sqrt{\pi }}\감마 ((2+n+N)/2) };}
중심적인 순간은
μ 0 ( x ) = 1 {\displaystyle \mu _{0}(x)=1}
μ 1 ( n ) = μ 1 ′ ( n ) {\displaystyle \mu _{1}(n)=\mu _{1}'(n)}
μ 2 ( n ) = μ 2 ′ ( n ) − μ 1 ′ 2 ( n ) {\displaystyle \mu_{2}(n)=\mu_{2}'-\mu_{1}^{2}(n)}
μ 3 ( n ) = 2 μ 1 ′ 3 ( n ) − 3 μ 1 ′ ( n ) μ 2 ′ ( n ) + μ 3 ′ ( n ) {\displaystyle \mu _{3}(n)=2\mu_{1}^{3}-3\mu_{1}-3\mu_{1}(n)\mu_{2}(n)+\mu_{3}(n)}
μ 4 ( n ) = − 3 μ 1 ′ 4 ( n ) + 6 μ 1 ′ 2 ( n ) μ 2 ′ ( n ) − 4 μ 1 ′ ( n ) μ 3 ′ ( n ) + μ 4 ′ ( n ) {\displaystyle \mu _{4}(n)=-3\mu_{1}^{4}(n)+6\mu_{1}^{1}{1}(n)\mu_{2}(n)-4(n)\mu '_{3}+\mu '_{4}(n)}
해당 확률 모멘트(평균, 분산, 꼬치, 첨도와 과부하)는 다음과 같다.
μ ( x ) = μ 1 ′ ( x ) = 0 {\displaystyle \mu(x)=\mu _{1}(x)=0}
σ 2 ( n ) = μ 2 ′ ( n ) − μ 2 ( n ) = 1 / ( 2 + n ) {\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\mu _{2}(n)-\mu ^{2}(n)=1/(2+n)}
γ 1 ( n ) = μ 3 / μ 2 3 / 2 = 0 {\displaystyle \property_{1}(n)=\mu _{3}/\mu _{2}^{3/2}=0}
β 2 ( n ) = μ 4 / μ 2 2 = 3 ( 2 + n ) / ( 4 + n ) {\displaystyle \property_{2}(n)=\mu_{4}/\mu_{2}^{2}=3+n/(4+n)}
γ 2 ( n ) = μ 4 / μ 2 2 − 3 = − 6 / ( 4 + n ) {\displaystyle \property_{2}(n)=\mu_{4}/\mu_{2}-3=-6/(4+n)}
특성 함수의 원시 모멘트는 다음과 같다.
μ N ′ ( n ) = μ N ; E ′ ( n ) + μ N ; O ′ ( n ) = ∫ − 1 + 1 c o s N ( x t ) f X ( x ; n ) d x + ∫ − 1 + 1 s i n N ( x t ) f X ( x ; n ) d x ; {\displaystyle \mu '_{N}(n)=\mu '_{N;E}(n)+\mu '_{N;O}(n)=\int _{-1}^{+1}cos^{N}(xt)f_{X}(x;n)dx+\int _{-1}^{+1}sin^{N}(xt)f_{X}(x;n)dx;}
균일한 분포를 위해 순간은
μ 1 ′ ( t ; n : E ) = C F ( t ; n ) {\displaystyle \mu _{1}'(t;n:E)= CF(t;n)}
μ 1 ′ ( t ; n : O ) = 0 {\displaystyle \mu _{1}'(t;n:O)=0}
μ 1 ′ ( t ; n ) = C F ( t ; n ) {\displaystyle \mu _{1}(t;n)= CF(t;n)}
μ 2 ′ ( t ; n : E ) = 1 / 2 ( 1 + C F ( 2 t ; n ) ) {\displaystyle \mu _{2}'(t;n:E)=1/2(1+CF(2t;n))}
μ 2 ′ ( t ; n : O ) = 1 / 2 ( 1 − C F ( 2 t ; n ) ) {\displaystyle \mu _{2}'(t;n:O)=1/2(1-CF(2t;n))}
μ 2 ′ ( t ; n ) = 1 {\displaystyle \mu '_{2}(t;n)=1}
μ 3 ′ ( t ; n : E ) = ( C F ( 3 t ) + 3 C F ( t ; n ) ) / 4 {\displaystyle \mu _{3}'(t;n:E)=(CF(3t)+3CF(t;n)/4}
μ 3 ′ ( t ; n : O ) = 0 {\displaystyle \mu _{3}'(t;n:O)=0}
μ 3 ′ ( t ; n ) = ( C F ( 3 t ; n ) + 3 C F ( t ; n ) ) / 4 {\displaystyle \mu _{3}(t;n)=(CF(3t;n)+3 CF(t;n)/4}
μ 4 ′ ( t ; n : E ) = ( 3 + 4 C F ( 2 t ; n ) + C F ( 4 t ; n ) ) / 8 {\displaystyle \mu _{4}'(t;n:E)=(3+4CF(2t;n)+CF(4t;n)/8}
μ 4 ′ ( t ; n : O ) = ( 3 − 4 C F ( 2 t ; n ) + C F ( 4 t ; n ) ) / 8 {\displaystyle \mu _{4}'(t;n:O)=(3-4CF(2t;n)+CF(4t;n)/8}
μ 4 ′ ( t ; n ) = ( 3 + C F ( 4 t ; n ) ) / 4 {\displaystyle \mu _{4}(t;n)=(3+CF(4t;n)/4}
따라서 CF(N=1)의 순간은 다음과 같다.
μ ( t ; n ) = μ 1 ′ ( t ) = C F ( t ; n ) = 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) \\displaystyle \mu(t;n)=\mu _{1}'(t)= CF(t;n)=_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \4})}
σ 2 ( t ; n ) = 1 − C F ( t ; n ) 2 = 1 − 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 / 4 ) 2 {\displaystyle \sigma ^{2}(t;n)=1- CF(t;n) ^{2}=1- _{0}F_{1}({2+n \over 2},-t^{2}/4) ^{2}}
γ 1 ( n ) = μ 3 μ 2 3 / 2 = 0 F 1 ( 2 + n 2 , − 9 t 2 4 ) − 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) + 8 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) 3 4 ( 1 − 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) ) 2 ( 3 / 2 ) {\displaystyle \gamma _{1}(n)={\mu _{3} \over \mu _{2}^{3/2}}={_{0}F_{1}({2+n \over 2},-9{t^{2} \over 4})-_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})+8 _{0 }F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4}) ^{3} \{3} \4} \1}(1- _{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \} \4}) ^{2} ^{(3/2)}}}
β 2 ( n ) = μ 4 μ 2 2 = 3 + 0 F 1 ( 2 + n 2 , − 4 t 2 ) − ( 4 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) ( 0 F 1 ( 2 + n 2 , − 9 t 2 4 ) ) + 3 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) ( − 1 + 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 2 ) ) 4 ( − 1 + 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) ) 2 2 {\displaystyle \cHB_{2}(n)={\mu_{4}\over \mu_{2}^{2}}={3+_{0} F_{1}({2+n \over 2},-4t^{2})-(4_{0}F_{1}{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \2}{{0}F_{1}{1}({2+n \over 2},-9{t^{2} \})+3_{0}{0}} F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \cover 4})(-1+ _{0}) F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \4} ^{2}) \over 4(-1+ _{0}) \over 4(-1+ _{0} F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \4}) ^{2} ^{2}}}
γ 2 ( n ) = μ 4 / μ 2 2 − 3 = − 9 + 0 F 1 ( 2 + n 2 , − 4 t 2 ) − ( 4 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 / 4 ) ( 0 F 1 ( 2 + n 2 , − 9 t 2 4 ) ) − 9 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) + 6 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 3 ) 4 ( − 1 + 0 F 1 ( 2 + n 2 , − t 2 4 ) ) 2 2 {\displaystyle \property_{2}(n)=\mu_{4}/\mu_{2}^-3={-9+_{0} F_{1}({2+n \over 2},-4t^{2})-(4_{0}F_{1}({2+n \over 2},-t^{2}/4)(_{0}F_{1}({2+n \over 2},-9{t^{2} \over 4}))-9_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})+6 _{0 }F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4} ^{3} \over 4(-1+ _{0}) \over 4(-1) _{0}) F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \4}) ^{2} ^{2}}}
스큐와 쿠르토시스도 베셀 함수의 측면에서 단순화할 수 있다.
엔트로피는 다음과 같이 계산된다.
H N ( n ) = ∫ − 1 + 1 f X ( x ; n ) ln ( f X ( x ; n ) ) d x {\displaystyle H_{N}(n)=\int_{-1}^{+1}f_{X}(x;n)\ln(f_{X}(x;n)dx}
처음 5분(n=-1 ~ 3) R=1이 다음과 같은 경우
− ln ( 2 / π ) ; n = − 1 {\displaystyle \ -\ln(2/\pi );n=-1}
− ln ( 2 ) ; n = 0 {\displaystyle \ -\ln(2);n=0}
− 1 / 2 + ln ( π ) ; n = 1 {\displaystyle \ -1/2+\ln(\pi );n=1}
5 / 3 − ln ( 3 ) ; n = 2 {\displaystyle \5/3-\ln(3);n=2}
− 7 / 4 − ln ( 1 / 3 π ) ; n = 3 {\displaystyle \ -7/4-\ln(1/3\pi );n=3}
홀수 대칭이 적용된 N-sphere Wigner 분포 홀수 대칭이 있는 한계 PDF 분포는
f X ( x ; n ) = ( 1 − x 2 ) ( n − 1 ) / 2 ) Γ ( 1 + n / 2 ) π Γ ( ( n + 1 ) / 2 ) sgn ( x ) ; {\displaystyle f{_{X}}(x;n)={(1-x^{2})^{(n-1)/2)}\Gamma (1+n/2) \over \ {\sqrt {\pi }}\Gamma ((n+1)/2) }\operatorname {sgn}(x)\,;}
따라서 CF는 Struve 함수의 관점에서 표현된다.
C F ( t ; n ) = Γ ( n / 2 + 1 ) H n / 2 ( t ) / ( t / 2 ) ( n / 2 ) ⌝ ( n >= − 1 ) ; {\displaystyle CF(t;n)={\Gamma(n/2+1) H_{n/2}}(t)/(t/2)^{(n/2)}}\,\urcorner(n>=-1);}
"스트루브 기능은 무한 배플에 장착된 강체-피스톤 라디에이터의 문제에서 발생하며, 이 라디에이터에는 다음과 같은 방사선 임피던스가 있다."
Z = ρ c π a 2 [ R 1 ( 2 k a ) − i X 1 ( 2 k a ) ] , {\displaystyle Z={\rho c\pi a^{2}[R_{1}(2ka)-iX_{1}(2ka)], }}
R 1 = 1 − 2 J 1 ( x ) 2 x , {\displaystyle R_{1}={1-{2 J_{1}(x) \over 2x}}}}}
X 1 = 2 H 1 ( x ) x , {\displaystyle X_{1}={{2 H_{1}(x) \over x}}}}}}
예제(정규화된 수신 신호 강도): 2차 항 표준화된 수신 신호 강도는 다음과 같이 정의된다.
R = 1 N ∑ k = 1 N 생략하다 [ i x n t ] {\displaystyle R ={1 \over N}\sum _{k=1}^{N}\exp[ix_{n}t] }}
표준 2차 항 사용
x = 1 N ∑ k = 1 N cas ( x n t ) {\displaystyle x={1 \over N}\sum _{k=1}^{N}\cos(x_{n}t)}
y = 1 N ∑ k = 1 N 죄를 짓다 ( x n t ) {\displaystyle y={1 \over N}\sum _{k=1}^{N}\sin(x_{n}t)}
따라서 짝수 분포의 경우 NRSS를 확장하여 x = 1 및 y = 0을 얻음
x 2 + y 2 = x + 3 2 y 2 − 3 2 x y 2 + 1 2 x 2 y 2 + O ( y 3 ) + O ( y 3 ) ( x − 1 ) + O ( y 3 ) ( x − 1 ) 2 + O ( x − 1 ) 3 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}=x+{3 \{}y^{2}-{3 \over {}xy^{2}+{1 \over {}x^{2}y^{2}+O(y^{3})+++++++++ O(y^{3})(x-1)+O(y^{3})(x-1)^{2}+O(x-1)^{3}}}}}}
수신된 신호 강도의 특성 함수의 확장된 형태는
E [ x ] = 1 N C F ( t ; n ) {\displaystyle E[x]={1 \over N}CF(t;n)}
E [ y 2 ] = 1 2 N ( 1 − C F ( 2 t ; n ) ) {\displaystyle E[y^{2}]={1 \over 2N}(1-CF(2t;n))}
E [ x 2 ] = 1 2 N ( 1 + C F ( 2 t ; n ) ) {\displaystyle E[x^{2}]={1 \over 2N}(1+CF(2t;n))}
E [ x y 2 ] = t 2 3 N 2 C F ( t ; n ) 3 + ( N − 1 2 N 2 ) ( 1 − t C F ( 2 t ; n ) ) C F ( t ; n ) {\displaystyle E[xy^{2}]={t^{2} \over 3N^{2}}:CF(t;n)^{3}+({N-1 \over 2N^{2}})(1-tCF(2t;n)) CF(t;n)}
E [ x 2 y 2 ] = 1 8 N 3 ( 1 − C F ( 4 t ; n ) ) + ( N − 1 4 N 3 ) ( 1 − C F ( 2 t ; n ) 2 ) + ( N − 1 3 N 3 ) t 2 C F ( t ; n ) 4 + ( ( N − 1 ) ( N − 2 ) N 3 ) C F ( t ; n ) 2 ( 1 − C F ( 2 t ; n ) ) {\displaystyle E[x^{2}y^{2}]={1 \over 8N^{3}}(1-CF(4t;n))+({N-1 \over 4N^{3}})(1-CF(2t;n)^{2})+({N-1 \over 3N^{3}})t^{2}CF(t;n)^{4}+({(N-1)(N-2) \over N^{3}}) CF(t;n)^{2}(1-CF(2t;n))}
참고 항목 참조 ^ Buchanan, Kristopher; Flores, Carlos; Wheeland, Sara; Jensen, Jeffrey; Grayson, David; Huff, Gregory (2017). "Transmit beamforming for radar applications using circularly tapered random arrays". 2017 IEEE Radar Conference (Radar Conf) . pp. 0112–0117. doi :10.1109/RADAR.2017.7944181 . ISBN 978-1-4673-8823-8 S2CID 38429370 . ^ Ryan, Buchanan (29 May 2014). "Theory and Applications of Aperiodic (Random) Phased Arrays" . ^ Overturf, Drew; Buchanan, Kristopher; Jensen, Jeffrey; Wheeland, Sara; Huff, Gregory (2017). "Investigation of beamforming patterns from volumetrically distributed phased arrays". MILCOM 2017 - 2017 IEEE Military Communications Conference (MILCOM) . pp. 817–822. doi :10.1109/MILCOM.2017.8170756 . ISBN 978-1-5386-0595-0 S2CID 11591305 . https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8170756/ ^ a b c Buchanan, K.; Huff, G. H. (July 2011). "A comparison of geometrically bound random arrays in euclidean space". 2011 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation (APSURSI) : 2008–2011. doi :10.1109/APS.2011.5996900 . ISBN 978-1-4244-9563-4 S2CID 10446533 . ^ Thomas M. Cover (1963). "Antenna patern distribution from random array" (PDF) (MEMORANDUM RM-3502--PR). Santa Monica: The RAND Corporation. ^ W., Weisstein, Eric. "Struve Function" . mathworld.wolfram.com . Retrieved 2017-07-28 . ^ "Advanced Beamforming for Distributed and Multi-Beam Networks" (PDF) . 밀턴 아브라모위츠와 아이린 A. 스테건, 에드. 공식, 그래프 및 수학 표를 포함한 수학 함수 핸드북 . 뉴욕: 도버, 1972. 외부 링크
이산형 일변도의
연속 일변도의
의 지지를 받고 있는. 경계 간격 의 지지를 받고 있는. 반무한 간격을 두고 지지의 대체로 실선 지지하여 누구의 타입이 다른가.
혼합 일변도의
다변량 (공동) 방향 퇴보하다 그리고 단수 가족들
![x \in [-R;+R]\!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3105e8d28b7609d6a4562c205f8431c29be1404c)
(는) 수정된 
(는) 베셀 함수다. (Abramowitz 및
![{\displaystyle Z={\rho c\pi a^{2}[R_{1}(2ka)-iX_{1}(2ka)],}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc77de73b171b5bbc9a0fc5ae5f52609fc38052c)
![{\displaystyle |R|={{1 \over N}|}\sum _{k=1}^{N}\exp[ix_{n}t]|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e3f8c0532c5a4a78398f6431e31d35613648ff)
![{\displaystyle E[x]={1 \over N}CF(t;n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c01b1883bc7fe7e05702ee3b12647f01408199c)
![{\displaystyle E[y^{2}]={1 \over 2N}(1-CF(2t;n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083e2407aa2415a98987f6a7e81e97e96fe1cc2b)
![{\displaystyle E[x^{2}]={1 \over 2N}(1+CF(2t;n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617a58c32996c7c8255cc1153038f4035aeb9573)
![{\displaystyle E[xy^{2}]={t^{2} \over 3N^{2}}CF(t;n)^{3}+({N-1 \over 2N^{2}})(1-tCF(2t;n))CF(t;n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9221f89cf8778847adc97d09b3c51e834d86a24a)
![{\displaystyle E[x^{2}y^{2}]={1 \over 8N^{3}}(1-CF(4t;n))+({N-1 \over 4N^{3}})(1-CF(2t;n)^{2})+({N-1 \over 3N^{3}})t^{2}CF(t;n)^{4}+({(N-1)(N-2) \over N^{3}})CF(t;n)^{2}(1-CF(2t;n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0172aae6eb42741cf59802500858508264aa798)
