베니니 분포

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베니니

매개변수	> ${\displaystyle \alpha >0}$ 모양(실제) > ${\displaystyle \property >0}$ 모양(실제) > ${\displaystyle \sigma >0}$척도(실제)
지원	$\displaystyle x>\disma }$
PDF	${\displaystyle e^{-\frac \x}{\frac {x}{\frac {x}{\frac }}}{\frac }{\frac }{x}}}{\frac }{x}{x}}}}}}{x\prima }}}}}}}}}}}}}}}}}}\recright}}}$
CDF	${\displaystyle 1-e^{-\cHB \log{\frac {x}{\fracma }}}-\reason[\log {\frac {x}{\fracma }}}}^{2}}}$
평균	${\displaystyle \sigma +{\tfrac {\sigma }{\sqrt {2\beta }}H_{-1+\alpha }{\sqrt {2\beta}\오른쪽)}}$ 여기서 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle H_{n}(x)}$은(는) "확률론자의 Hermite 다항식"이다.
중앙값	${\displaystyle \frac \left(e^{-\frac \-\frac +{\sqrt \\\nflict \\\log{16}}}}{2\filences }}}}}$
분산	${\displaystyle \left(\sigma ^{2}+{\tfrac{2\sigma ^{2}}:{\sqrt{2+\alpha }{\sqrt{2\beta }\right)-mu ^{2}}}$

확률, 통계, 경제 및 보험수리적 과학에서 베니니 분포는 연속 확률 분포로, 모형 소득, 보험수리적 적용의 보험금이나 손실의 심각도, 기타 경제 데이터에 종종 적용되는 통계적 크기 분포다.^[1][2] 그것의 꼬리 행동은 파워 법칙보다 더 빨리 해독되지만, 지수처럼 빠르지는 않다. 이 분포는 로돌포 베니니가 1905년에 도입했다.^[3] 베니니의 원작보다 다소 늦은 시점에, 그 배포는 독자적으로 발견되거나 다수의 작가들에 의해 논의되었다.^[4]

분배

베니니 분포 $B{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$(${\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$ ,${\displaystyle \sigma }$ )${\displaystyle \mathrmat {Benini}(\alpha ,\beta ,\sigma )}$은 누적$$ 분포함수(cdf)를 갖는 3개의 파라미터 분포다.

${\displaystyle F(x)=1-\exp\{-\alpha (\log x-\log \sigma )-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}\}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\alpha -\beta \log {\left({\frac {x}{\sigma }}\right)}}}$

여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x\geq \sigma$ $\},$ 형상 매개변수 α, β > 0, σ > 0은 척도 매개변수다. Parsimony의 경우 Benini는^[3] cdf를 가진 두 모수 모델(α = 0)만 고려했다.

${\displaystyle F(x)=1-\exp\{-\beta(\log x-\log \sigma )^{2}\}=1-\왼쪽({\frac {x}{\sigma }}\오른쪽)^{-\beta(\log x-\log \log \sigma )}.}$

2-모수 베니니모형의 밀도는

${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta }{x}}\exp \left\{-\beta \left[\log \left({\frac {x}{\sigma }}\right)\right]^{2}\right\}\cdot \log \left({\frac {x}{\sigma }}\right),\qquad x\geq \sigma >0.}$

시뮬레이션

두 개의 변수 베니니 변수는 역 확률 변환 방법에 의해 생성될 수 있다. 두 모수 모델의 경우, 퀀텀 함수(역 cdf)는

${\displaystyle F^{-1(u)=\sigma \exp {-{\sqrt {-{\frac {1}{\beta }}}}\log(1-u)}}},\quad 0<1>.}$

관련 분포

• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle B\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$(${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$, 0 ,${\displaystyle \sigma }$) ${\$이$($가)인 경우, X는 pareto 분포를 ${\displaystyle {가지며\mathrm{}}_{}}$ $x{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystystylem x_{m}$ = ${}이다.$
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle B\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$( ${\displaystyle 0,}$ 1 ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$, ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle X\sim \mathrm {Benini} (0,{\tfrac {1}{2\sigma ^{2},1}),$ X$$${\displaystyle }$~ ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$U}$ 여기서$$ U${\displaystyle }$~ ${\displaystyle R\mathrm{}}$ a ${\displaystyle \mathrm{l}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ g ${\displaystyle \mathrm{h}}$ (${\displaystyle \sigma }$ ) ${\displaystyle U\sim \mathrm {Rayley}(\sigma )}$

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소프트웨어

(2개의 매개변수) 베니니니 분포 밀도, 확률 분포, 퀀텀 함수 및 난수 생성기는 R용 VGAM 패키지에 구현되며, 형상 모수의 최대우도 추정도 제공한다.^[5]

참고 항목

• 조건부 확률 분포
• 접합확률분포
• 퀘이프로브성
• 경험적 확률 분포
• 히스토그램
• Rieman-Stieltjes의 확률 이론에 대한 필수적용

참조

외부 링크

• Wolfram Mathematica에서의 Benini 분포(PDF의 정의 및 플롯)