주기 함수

주기 함수는 일정한 간격으로 값을 반복하는 함수입니다.예를 들어, $(\displaystyle 2$\pi$)$ 라디안$$ $간격$으로 반복되는 삼각 함수는 주기 함수입니다.주기 함수는 과학 전반에 걸쳐 주기성을 나타내는 진동, 파동 및 기타 현상을 설명하기 위해 사용됩니다.주기적이지 않은 함수를 비주기적 함수라고 합니다.

정의.

어떤 0이 아닌 상수에 대하여, 다음과 같은 경우, 함수는 주기적이라고 한다.

${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$

도메인 내의 모든 값에 대해 지정합니다.이 경우 0이 아닌 상수 P를 함수의 주기라고 합니다.이 속성에 최소 양의^[1] 상수가 존재하는 경우 기본 기간(원시 기간, 기본 기간 또는 소수 기간이라고도 함)이라고 합니다.종종 함수의 "주기"는 기본 주기를 의미하기 위해 사용됩니다.마침표를 가진 함수는 길이의 간격으로 반복되며, 이러한 간격은 함수의 기간이라고도 합니다.

기하학적으로 주기함수는 그래프가 변환대칭을 나타내는 함수로 정의될 수 있다. 즉, 그래프가 거리만큼 변환 중에 불변할 경우 함수는 주기와 함께 주기적이다.주기성의 정의는 평면의 주기적 테셀레이션과 같은 고차원으로 일반화될 뿐만 아니라 다른 기하학적 모양과 패턴으로 확장될 수 있습니다.수열은 또한 자연수에 정의된 함수로 볼 수 있으며, 주기 수열의 경우 이러한 개념이 그에 따라 정의됩니다.

예

실수의 예

사인 함수는 $주기{\displaystyle \mathrm{}}$ 2$$({$displaystyle$ 2$\pi$로 주기적입니다.

${\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x}$

x의 $모든$ 값(\$displaystyle$ x$)$에 대해 지정합니다.이 기능은 길이 ${\displaystyle 2}${\({$displaystyle 2$\pi$})$ 간격으로 반복됩니다(오른쪽 그래프 참조).

매일의 예는 변수가 시간일 때 나타난다. 예를 들어 시계 바늘이나 달의 위상이 주기적인 행동을 보여준다.주기 운동은 시스템의 위치가 주기 함수로 표현될 수 있는 운동으로, 모두 같은 주기를 가집니다.

실수 또는 정수에 대한 함수의 경우, 이는 전체 그래프가 일정한 간격으로 반복되는 특정 부분의 복사본에서 형성될 수 있음을 의미합니다.

주기 함수의 간단한 예로는 인수의 "분할 부분"을 제공하는 $함수{\displaystyle }$f\$displaystyle$f가$$ 있습니다.주기는 1입니다.특히,

${\displaystyle f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots=0.5}$

$함수$ f${$displaystyle$$ f} { displaystyle f$$} 。

삼각함수 사인 및 코사인(cosine)은 $주기{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\$ {$displaystyle$ 2$\pi }$인 일반적인 주기 함수입니다(오른쪽 그림 참조).푸리에 급수의 주제는 '임의' 주기 함수가 일치하는 주기를 가진 삼각 함수의 합이라는 생각을 조사합니다.

위의 정의에 따르면, 디리클레 함수와 같은 일부 외래 함수도 주기적이다. 디리클레 함수의 경우, 0이 아닌 유리수는 마침표이다.

복소수 예시

복잡한 변수를 사용하여 공통 주기 함수를 사용할 수 있습니다.

$\displaystyle e^{ikx}=\cos kx+i,\sin kx}$

코사인 및 사인 함수는 모두 $주기{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\$ { $displaystyle$ 2$\pi$이므로 복소 지수는 코사인 및 사인파로 구성됩니다.즉,$$오일러 공식(위)은 L {\$displaystyle$L}이$$ 함수의 주기일 경우 $다음$과 같은 특성을 갖는다.

${\displaystyle L=syslogfrac {2\pi }{k}}.}$

이중 주기 함수

복소수 영역을 갖는 함수는 일정하지 않고 두 개의 불일치 기간을 가질 수 있습니다.타원함수는 그러한 함수입니다.(이 문맥에서 "불일치"는 서로의 실제 배수가 아님을 의미합니다.)

특성.

주기 함수는 여러 번 값을 가질 수 있습니다.보다 구체적으로, $f$가 $주기{\displaystyle }$P로 주기적인 경우, f ${\displaystyle$$$f$}$ $영역$의 $모든{\displaystyle }$x {\$displaystyle$ x$}$와 모든 양의 $정수{\displaystyle }$n {\$displaystyle$ n$\}$에 대해

${\displaystyle f(x+nP)=f(x)}$

f$)\$$displaystyle$f$(x$$)$가 $마침표$가$P$인 함수인 $경우{\displaystyle }$ f$)\displaystyle$f($ax$입니다.$여기서$x$(\$$displaystyle$ a$)$는 0이 아닌 실수이므로 $(\$$displaystyle$$$f$)$가 f(\displaystyle f$)$ $영역{\displaystyle }$ 내에 있는 $주기\frac{}{}$ $\frac{P}{}$(\$displaystyle)$와 함께 있습니다.$c {P}$ {$a$ 예를 들어${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$ ) $=$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ $){$ $displaystyle$ f$(x$)=\$sin(x)}$의 $마침표$는 2$(\displaystyle$ 2$\pi$ $}$이므로 sin ( 5${\displaystyle x}$ $displaystyle \sin$ ( $5x)}$의 $마침표$는 2(\$text$ 5$)$입니다$.$

일부 주기 함수는 푸리에 급수로 설명할 수 있습니다.예를 들어, L 함수의 경우², Carleson의 정리는 거의 모든 곳에 수렴 푸리에 급수가 있다는 것을 나타냅니다.푸리에 급수는 주기 함수 또는 유계(콤팩트) 간격의 함수에만 사용할 수 있습니다.f$${\$displaystyle$ f$}$가 푸리에 급수로 설명할 수 있는$주기적{\displaystyle }$ 함수인 $경우{\displaystyle }$$({$$displaystyle$P}) $시리즈의 계수$는 길이$$P({displaystyle P$\})$의 간격에 걸쳐 적분으로 설명할 수 있습니다.

동일한 주기를 갖는 주기적 함수만으로 구성된 함수도 주기적(주기가 같거나 작음)입니다.

• 주기 함수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈
• 주기 함수의 제곱 또는 루트를 구합니다($모든{\displaystyle }$ x$(\displaystyle$ x$)$에 대해 정의된 경우).

일반화

항주기 기능

주기 함수의 서브셋은 반주기 ^{[citation needed]}함수의 서브셋입니다.이는 $모든{\displaystyle }$x${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ x$)$에 대해 f${\displaystyle (x}$ + ${\displaystyle P)}$ $=$ - $)$ {$style$ f$(x) =-f(x)}$가 $되는{\displaystyle }$$함수$입니다. 예를 들어 사인 $및$$$코사인$$함수는$period{\displaystyle }$ {displaystyle \$pi }$ - $anti-periodic$, 2$$ { $display style$ 2$\pi }$입니다.$\displaystyle$ P$\$displaystyle$$ $2P\displaystyle$ 2P\displaystyle$$ 주기 함수는 ${\displaystyle \mathrm{2P}}$ $주기{\displaystyle \mathrm{}}$ 함수이지만 그 반대가 반드시 참인 것은 아닙니다.

블로흐 주기 함수

블로흐의 이론과 플로케 이론의 맥락에서 더 많은 일반화가 나타나는데, 이것은 다양한 주기 미분 방정식의 해법을 지배한다.이 문맥에서 솔루션(일차원)은 일반적으로 형식의 함수입니다.

${\displaystyle f(x+P)=e^{ikP}f(x)~,}$

$여기$서 k$(\displaystyle$ k$)$는 실수 또는 복소수(Bloch wavevector 또는 Floquet 지수)입니다.이 형식의 함수는 이 맥락에서 Bloch-periodic이라고 불리기도 합니다.주기 함수는 특수 $케이스{\displaystyle }$ k ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ k$=$$)$이고, 반주기 함수는 특수 $케이스{\displaystyle }$ k ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle /}$ /$$ {\$displaystyle$ k=\$pi$/${\displaystyle P}$$\}$입니다. k ${\displaystyle P}$/ ${\$ {\$displaystyle kP/\pi }$이(가) 합리적일 $때$마다 함수도 주기적입니다.

도메인으로서의 몫 공간

신호 처리에서 푸리에 급수가 주기 함수를 나타내며 푸리에 급수가 컨볼루션 정리(즉, 푸리에 급수의 컨볼루션은 표현된 주기 함수의 곱셈에 해당하며 그 반대도 마찬가지)를 만족하지만, 청구서 이후 주기 함수는 통상적인 정의로 컨볼루션할 수 없다는 문제가 발생합니다.lved 적분이 분산됩니다.가능한 방법은 유계가 있지만 주기적인 영역에 주기 함수를 정의하는 것입니다.이를 위해 몫 공간의 개념을 사용할 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbb{R}}$/ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle =}$ {${\displaystyle x}$ +${\displaystyle Z\mathbb{}}$ : ${\displaystyle xr\mathbb{}}$ R${\displaystyle }$} ${\displaystyle =}${ {${\displaystyle y}$- ${\displaystyle R\mathbb{}z\mathbb{}y}$ - x ${\displaystyle x}$ Z${\displaystyle \}}$ : x${\displaystyle r\mathbb{}}$ R$$ { { $displaystyle$ \ $mathbb { R$} / \ $mathbb { Z$ } $= \$ ${ x$ + \ $in \ mathbbb$ { $Z }$

즉, R$(\$ /\$mathbb {Z}})$의 각 원소는 동일한 소수 부분을 공유하는 실수의 등가 클래스입니다.$따라서{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$:${\displaystyle R\mathbb{}}$ / ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R$$} }$과 같은 함수는 1-소수함수의 표현이다.

계산기간

기본 주파수에 대한 비율로 세트로 표현되는 중첩 주파수로 구성된 실제 파형 f: F =1µf [f₁₂ f₃ f_N ... f] 여기서 모든 비제로 요소 θ1 및 세트의 요소 중 적어도 하나는 1이다.주기 T를 찾으려면 먼저 집합의 모든 원소에서 가장 작은 공통 분모를 찾으십시오.주기는 T = LCDff로 확인할 수 있습니다.단순 정현동의 경우 T = 1µf라고 가정한다.따라서 LCD는 주기성 승수로 볼 수 있습니다.

• 서양 장음계의 모든 음을 나타내는 세트 [1 9 8 8 5 4 4 3 3 2 3 2 2 5 3 3 15 8 8 ]의 LCD는 24이므로 T = 24 f f이다.
• 주요 3음계의 모든 음을 나타내는 세트: [1 5⁄4 3⁄2]의 경우 LCD는 4이므로 T = 4µf이다.
• 단조 삼합회의 모든 음을 나타내는 세트: [1 6⁄5 3⁄2]의 경우 LCD는 10이므로 T = 10µf이다.

예를 들어 위의 요소 중 하나가 비합리적인 경우, 최소 공통 분모가 존재하지 않는 경우 파동은 ^[2]주기적이지 않습니다.

참고 항목

참조

• Ekeland, Ivar (1990). "One". Convexity methods in Hamiltonian mechanics. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Vol. 19. Berlin: Springer-Verlag. pp. x+247. ISBN 3-540-50613-6. MR 1051888.

외부 링크

• "Periodic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• MathWorld 주기 함수