모멘트생성함수

확률 이론과 통계에서, 실제 값 랜덤 변수의 모멘트 생성 함수는 확률 분포의 대체 사양이다. 따라서 확률밀도함수 또는 누적분포함수를 직접 사용하는 것과 비교하여 분석결과에 대한 대체경로의 기초를 제공한다. 랜덤 변수의 가중 합계로 정의된 분포의 모멘트 생성 함수에 대한 결과는 특히 단순하다. 그러나 모든 변수에 모멘트 생성 기능이 있는 것은 아니다.

이름에서 알 수 있듯이, 모멘트 생성 함수는 분포의 모멘트를 계산하는 데 사용될 수 있다: n번째 모멘트는 모멘트 생성 함수의 n번째 파생상품이며, 0에서 평가된다.

실제 값 분포(일변량 분포) 외에도 벡터 값 또는 행렬 값 랜덤 변수에 대해 모멘트 생성 함수를 정의할 수 있으며, 더 일반적인 사례로 확장될 수도 있다.

실제값 분포의 모멘트 생성 함수는 특성 함수와 달리 항상 존재하는 것은 아니다. 분포의 모멘트 생성함수의 동작과 모멘트의 존재와 같은 분포의 속성 사이에는 관계가 있다.

정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) cdf ${\displaystyle F_{}}$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\$와(와) 함께 랜덤 변수가 되게$$ 하십시오$.$ $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( $){\displaystyle M_{X}$로 표시된 $$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}($$또는$ ${\displaystyle F_{}}$ X ${\$}}}$$}의 모멘트 생성 함수(mgf)는 다음과 같다$.$

${\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]}$

$0$의 일부 근방에$$ t ${\displaystyle t}$에 대한 이러한 기대가 존재한다면. 즉, > ${\displaystyle$ $h$$>$$0}$의 모든 $t$에 대해 - < < h$>$ {\$displaystyle -h<h$ E ${\displaystyle }$ [ ${\displaystyle e^{}}$X $]$ {\$displaysty \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]$가 존재하도록$$ 되어 있다. 0의 근방에 기대치가 존재하지 않으면 모멘트 생성 기능이 존재하지 않는다고 한다.^[1]

In other words, the moment-generating function of X is the expectation of the random variable ${\displaystyle e^{tX}}$. More generally, when ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }}$, an ${\displaystyle n}$-dimensional random vector, and ${\disp$$레이스타일$$$$\mathbf {t}은($는) 고정 벡터로서$$, ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$= T ${\$ {t} \$cdot \$mathbf {X} =\$mathbf {t} ^{\mathrmmatt}}}\$$mathbf$${X}}}$을(는$)$를 사용한다$.$

${\displaystyle M_{\mathbf {X}(\mathbf {t}):}=\operatorname {E} \left(e^{\mathbf {t} ^{\mathrmp {T} }}\mathbf {X} }\right)}$

${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle M_{X}(0)}$은(는) 항상$$ 존재하며 1과 같다. 그러나, 모멘트 생성 기능의 주요 문제는 통합이 절대적으로 수렴될 필요는 없기 때문에 모멘트 생성 기능과 모멘트 생성 기능이 존재하지 않을 수 있다는 것이다. 대조적으로 특성 함수나 푸리에 변환은 항상 존재하며(한정된 측정 공간에 경계 함수의 정수이기 때문에), 어떤 목적을 위해 대신 사용될 수 있다.

모멘트 생성 함수는 분포의 순간을 찾는 데 사용될 수 있기 때문에 그렇게 명명된다.^[2] ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\$ e$^{tX}}$의 시리즈 확장은

${\displaystyle e^{t\,X}=1+t\,X+{\frac {t^{2}\,X^{2}}!}}}}{\frac {t^{3}\,X^{3}}}{3}}{3!}}}+\cdots +{\frac {t^{n}\,X^{n}}}{n!}}}+\cdots .}$

그러므로

${\displaystyle {\reasoned}M_{X}(t)=\operatorname {E}(e^{t\,X})(e^{t\})&=1+t\operatorname {E}(X)+{\frac {t^{2}\operatorname {E}(X^{2}){2}{2!}}}{{\frac {t^{3}\operatorname {E}(X^{3}){3}{3!}}}}+\cdots +{\frac {t^{n}\operatorname {E}(X^{n}){n!2}}+\cdots \&=1+tm_{1}+{\frac{t^{2}m_{2}}!}}}+{\frac {t^{3}m_{3}}{3}}{3}}{3!}}}+\cdots +{\frac {t^{n}m_{n}}{n!}}}+\cdots,\end{aigned}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$초입니다. $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $t$$}$에 대해$$ $X{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle t}$ ) {\displaystyle $M_{X}(t)$ $i$${\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$을(를) 구별하고 t${\displaystyle }$= 0 ${\displaystystyle t$$=0$$\}$을(를) $설정$하면 m $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$displaystytime $i}$을 확인할 수 있다$.$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(${\displaystyle 가}$) 연속 랜덤 변수인 경우 모멘트 생성 함수 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$t${\displaystyle }$) ${\displaystyle M_{X}(t)}$와 확률 밀도 함수 $f{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x)}$ ${\displaystystyle f_{X}(x)$의 양면 Laplace 변환 사이의 관계는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle M_{X}(t)={\mathcal {L}\{f_{X}\}\(-t),}$

PDF의 양면 Laplace 변환은 다음과 같이 주어지기 때문에

${\displaystyle {\mathcal {L}\{f_{X}\}\s)=\int_{-\infit }^{-\infit }e^{-sx}f_{X}\,dx,}$

그리고 순간 생성함수의 정의는 (무의식 통계학자의 법칙에 의해) 으로 확장된다.

${\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int_{-\inter_{-\infit }^{tx}f_{X}(x)\,dx.}$

이는 모멘트 생성함수가 존재할$$ 때 X ${\displaystyle X}$이(${\displaystyle 가}$) ${\displaystyle M_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle M_{X}(t)}$의 Wick 로테이션인 $특성$ 함수와 일치하는데, 이는 연속 랜덤 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 특성 함수가 확률$$ 밀도함수의 푸리에 변환이기 때문이다. ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f_{X}(x)}$및 일반적으로 함수 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle f(x)}$이(가) 지수 순서일 때 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 푸리에 변환은 수렴 영역에서 양면 라플라스 변환의 Wick 회전이다$$. 자세한 내용은 푸리에 변환과 라플라스 변환의 관계를 참조하십시오.

예

다음은 모멘트 생성 함수와 비교를 위한 특성 함수의 몇 가지 예다. 특성 함수는 모멘트 생성 함수 ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle X{}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\$디스플레이 $스타일 M_{X}(t)}$이(가) 있을 때$$ Wick 로테이션임을 알 수 있다.

분배	모멘트 생성 함수 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X{}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle M_{X}(t)}$	특성 함수 $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \varphi (t)}$
퇴보하다 ${\displaystyle \delta _{a}}$	${\displaystyle e^{ta}}$	${\displaystyle e^{ita}}$
베르누이 ${\displaystyle P(X=1)=p}$	${\displaystyle 1-p+pe^{t}}$	${\displaystyle 1-p+pe^{it}}$
기하학 ${\displaystyle (1-p)^{k-1}\,p}$	${\displaystyle {\frac {pe^{t}{1-(1-p)e^{t}}}}}}}$ ${\displaystyle \forall t<-\ln(1-p)}$	${\displaystyle {\frac {pe^{it}{1-(1-p)\,e^{it}}}}$
이항체 $B(n,p)}$	${\displaystyle \left(1-p+pe^{t}\오른쪽)^{n}}}$	${\displaystyle \left(1-p+pe^{it}\오른쪽)^{n}}}$
음성 이항 분포 ${\displaystyle \operatorname {NB}(r,p)}$	${\displaystyle \left\frac {p}{1-e^{t}+pe^{t}}\right)^{r}}}}}}}$	${\displaystyle \left\frac {p}{1-e^{it}+pe^{it}}}\오른쪽)^{r}}}}{r}}}$
포아송 ${\displaystyle \operatorname {Pois}(\lambda )}$	${\displaystyle e^{\putda(e^{t}-1)}}}}$	${\displaystyle e^{\putda(e^{it}-1)}}}$
균일(연속) ${\displaystyle \operatorname {U}(a,b)}$	${\displaystyle {\frac {e^}-e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$
균일(분리) ${\displaystyle \operatorname {DU}(a,b)}$	${\displaystyle {\frac{e^}-e^{(b+1)t}{{(b-a+1){1-e^{t}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {e^}-e^{(b+1)it}{{(b-a+1)}{{it}}{(b-a+1)(1-e^{it}}}}}}$
라플라스 $L(\displaystyle L(\mu ,b)}$	${\displaystyle {\frac {e^{t\mu }{1-b^{2}, t <1/b}$	${\displaystyle {\frac {e^{e^{it\mu }{1+b^{2}t^{2}}:}$
정상 ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2}})$	${\displaystyle e^{t\mu +{\frac {1}{1}{2}}\{2}}\fracma ^{2}t^{2}}}$	${\displaystyle e^{it\mu -{\frac {1}{1}{2}}\{2}}\fracma ^{2}t^{2}}}$
카이-제곱 ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$	${\displaystyle (1-2t)^{-{\frac {k}{2}}:$	${\displaystyle (1-2it)^{-{\frac {k}{2}}:$
비중앙 카이-제곱 ${\displaystyle \chi _{k}^{2}(\data )}$	${\displaystyle e^{\displayda t/(1-2t)}(1-2t)^{-{\frac{k}{2}}:$	${\displaystyle e^{i\lambda t/(1-2it)}^{-{\frac{k}{2}}:$
감마 $\displaystyle \감마(k,\theta )}$	${\displaystyle (1-t\theta )^{-k},~\all t<{\tfrac {1}{\theta }}}$	${\displaystyle (1-it\theta )^{-k}}$
지수적 ${\displaystyle \operatorname {Exp}(\lambda )}$	${\displaystyle \left(1-t\putda ^{-1}\오른쪽)^{-1},~~t<\putda }$	${\displaystyle \left(1-it\putda ^{-1}\오른쪽)^{-11}$
다변량 정규 분포 ${\displaystyle N(\mathbf {\mu },\mathbf {\Sigma } )}$	${\displaystyle e^{\mathbf {t}^{\mathrm {T}}\왼쪽({\boldsymbol {\mu }}+{1}{1}:{1}\mathbf {\Sigma t} \오른쪽)}}$	${\displaystyle e^{\mathbf {t}^{\mathrm {T}}\왼쪽(i{\\boldsymbol {\mu }-{\frac{1}{1}{{1}{\boldsymbol {\\Sigma }}\mathbf{t}\오른쪽)}}$
카우치 ${\displaystyle \operatorname {Cauchy}(\mu ,\theta )}$	존재하지 않음	${\displaystyle e^{it\mu -\theta t}}$
다변량 코치 ${\displaystyle \operatorname {MultiCauchy}(\mu ,\Sigma )}$[3]	존재하지 않음	${\displaystyle \!\,e^{i\mathbf {t} ^{\mathrm {T}{\boldsymbol{\mathbf{t}-{\mathmartbf{}}{\boldsymbol{}}}{\mathbf{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

계산

모멘트 생성함수는 랜덤 변수의 함수에 대한 기대치로서 다음과 같이 기록할 수 있다.

• 이산 확률 ${\displaystyle \mathrm{질량}}$ 함수의 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{경우}}}$ ${\displaystyle M_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$ t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ e ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle i{{}_{}}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$
• 연속 확률밀도함수의 경우, ${\displaystyle M_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle t}$) =${\displaystyle {}_{-}^{}}$ -${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}{e}^{}}$ e ${\displaystyle {}^{}}$f (${\displaystyle x}$ ) d ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infit }^{-\inft }^{e^}f(x)\,dx}$
• 일반적인 경우: ${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)}$, using the Riemann–Stieltjes integral, and where ${\displaystyle F}$ is the cumulative distribution function.

$참고$로 X$${\$displaystyle$ X$}$에 연속 $확률밀도함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle$f($x)}$이(가) 있는 경우$,$ ${\displaystyle M_{}}$X${\displaystyle }$( - ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle M_{X}(-t)}$은 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystystylef(x)$의 양면 Laplace 변환이다$.$

${\displaystyle {\reasoned}M_{X}(t)&=\int _{-\int _{-\infit }^{-\\e^{tx}f(x)\,dx\&=\int _{-\infit }^{\infit }{+tx+{2x^{2}}!}}}+\cdots +{\frac {t^{n}x^{n}}{n}}{n!}}}+\cdots \right)f\,dx\&=1+tm_{1}+{\frac{t^{2}m_{2}}!}}}+\cdots +{\frac {t^{n}m_{n}}{n!}}}+\cdots,\end{aigned}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$초입니다.

랜덤 변수의 선형 변환

If random variable ${\displaystyle X}$ has moment generating function ${\displaystyle M_{X}(t)}$, then ${\displaystyle \alpha X+\beta }$ has moment generating function ${\displaystyle M_{\alpha X+\beta }(t)=e^{\beta t}M_{X}(\alpha t)}$

${\displaystyle M_{\alpha X+\beta }(t)=E[e^{(\alpha X+\beta )t}]=e^{\beta t}E[e^{\alpha Xt}]=e^{\beta t_{X}(\alpha t)}$

독립 랜덤 변수의 선형 조합

If ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$, where the X_i are independent random variables and the a_i are constants, then the probability density function for S_n is the convolution of the probability density functions of each of the X_i, and the moment-generating function for S_n is given by

${\displaystyle M_{S_}}}{n(t)=M_{X_{1}:{1}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}}}(a_{n}t)\,}$

벡터 값 랜덤 변수

실제 구성요소가$$ 있는 벡터 값 랜덤 $변수{\displaystyle \mathbf{}}$ X$${\$displaystyle \mathbf {X}$의 경우, 다음과 같이 모멘트 생성 함수를 제공한다.

${\displaystyle M_{X}(\mathbf {t} )=E\left(e^{\langle \langle \mathbf {t},\mathbf {X}\angle }\오른쪽)}}$

여기서 $t{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) 벡터, $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$is, ,$$ {\$displaystyle \langle \cdot \cdot \rangle}$은(는) 도트 제품이다.

중요 특성

모멘트 생성 함수는 양수 및 로그 콘벡스로 M(0) = 1이다.

모멘트 생성함수의 중요한 특성은 분포를 고유하게 결정한다는 것이다. 즉, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과 Y ${\displaystyle Y}$이(가) 두 개의 랜덤 변수이고 t의 모든 값에 대해

${\displaystyle M_{X}(t)=M_{Y}(t),\,}$

그때

${\displaystyle F_{X}(x)=F_{Y}(x)\,}$

모든 x 값(또는 동등하게 X와 Y의 분포가 동일함)에 대해 이 문장은 "두 분포가 같은 순간을 갖는다면 모든 점에서 동일하다"는 문구와 같지 않다. 이는 어떤 경우에는 순간들이 존재하지만, 그 한계 때문에 순간 생성 기능이 존재하지 않기 때문이다.

${\displaystyle \lim _{n\오른쪽 화살표 \inflt \}\sum _{i=0}^{n}{\frac {t^{i}m_{i}}}{i!}}}$

존재하지 않을 수도 있다. 로그 정규 분포는 이러한 현상이 발생하는 경우의 예다.

모멘트 계산

모멘트 생성함수는 t = 0 주위에 개방된 간격으로 존재한다면 확률 분포의 모멘트에 대한 지수 생성함수가 되기 때문에 다음과 같이 불린다.

${\displaystyle m_{n}=E\왼쪽(X^{n}\오른쪽)=M_{X}^{(n)}(0)=\왼쪽{\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}\오른쪽 _{t=0}}$

즉, n이 음이 아닌 정수일 때, 약 0번째 순간은 t = 0으로 평가된 모멘트 생성함수의 n번째 파생물이다.

기타 속성

젠센의 불평등은 모멘트 생성 기능에 대한 단순한 하한을 제공한다.

${\displaystyle M_{X}(t)\geq e^{\mu t}}$

여기서 $[\displaystyle \mu }$은(는) X의 평균이다.

모멘트 생성 함수의 상한은 실제 랜덤 변수 X의 위쪽 꼬리를 묶기 위해 마르코프의 불평등과 함께 사용할 수 있다. 이 진술은 체르노프 구속이라고도 불린다. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle t^{}}$ ${\$ e$^{xt}$는 t> ${\displaystyt t>0}$에 대해 단조롭게 증가하므로 우리는 다음과 같이 밝혔다.

${\displaystyle P(X\geq a)=P(e^{tX}\geq e^{ta}\leq e^{-at}E[e^{tX}]=e^{-at}M_{X}(t)}$

> ${\displaystyle t>0}$과(와) 제공된 m ${\displaystyle X_{}}$ (${\displaystyle {}_{}t}$) ${\displaystyle M_{X}(t)}$이(가) 있는$$ 경우. X는 표준 정규 분포와 a>0{\displaystyle a>0}예를 들면, 우리가 타선은{\displaystyle t=a}과 MX(t))et2/2{\displaystyle M_{X}(t)=e^{t^{2}/2}}를 회상하다 이 P(X는 ≥)− ≤ e2/2{\displaystyle P(X\geq)\leq e^{{2-a^}/2}을 준다}, whic지 선택할 수 있습니다.h는 정확한 값의 1+a 인수 내에서.

호프딩의 보조정리나 베넷의 불평등과 같은 다양한 레마는 제로미언의 경계 랜덤 변수의 경우 모멘트 생성 기능에 대한 한계를 제공한다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 음수가 아닌 경우 모멘트 생성 기능은 모멘트에 대해 간단하고 유용한 바인딩을 제공한다.

${\displaystyle E[X^{m}]\leq \leq({\frac {m}{te}\오른쪽)^{m}}M_{X}(t),}$

$X{\displaystyle }$, ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,m\geq 0}$ 및$$ > ${\displaystyle t>0}$에 대해

′)tx/m− 1{x'=tx/m-1\displaystyle}을 의미하지 어떤 x, t, m∈ R{\displaystyle x,t,m\in \mathbb{R}}에 x/m≤ etx/m− 1{\displaystyletx/m\leq e^{tx/m-1}}. 자, t&g 이것은 단순한 불평등 1+에서)는 우리가 대신할 수 있는)≤ e){\displaystyle 1+x\leq e^{)}}을 따른다.t;0{\displaystyle t>0}과 x, m, 이 xm≤(m/(te))met={\displaystyle x^{m}\leq(m/(te))^{m}e^{tx}에}고정되어 있다. 양측의 기대하는 것은 0{\displaystyle x,m\geq 0}≥ E[Xm]{E[X^{m}]\displaystyle}E[e 있어 X]{\displayst의 측면에서 행을 준다.yle$E[e^{tX}]}$.

예를 들어, 자유도가$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$\sim {\text{Chi-Squared}$인 $X{\displaystyle }$~ $}$을(를) 고려하십시오. $그러면{\displaystyle }$ $우리$는 M ${\displaystyle X_{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle 2}$ t${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {k\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\$ t${\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{2m}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle k}$) ${\displaystyty t=m/($2m$+k$)를$$ 알고 바운드에 연결하면 된다.

${\displaystyle E[X^{m}]\leq(1+2m/k)^{k/2}e^{-m}(k+2m)^{m}}$

We know that in this case the correct bound is ${\displaystyle E[X^{m}]\leq 2^{m}\Gamma (m+k/2)/\Gamma (k/2)}$. To compare the bounds, we can consider the assymptotics for large ${\displaystyle k}$. Here the Mgf bound is ${\displaystyle k^m(1+m^2/k+O(1/k^2))}$${\displaystyle k^{m}{m^{2}/k+O(1/k^{2$ 여기서 실제 바운드는 $k{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle m^{}1+({}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle m}$)${\displaystyle }$/ k${\displaystyle }$+ ${\displaystyle O(1}$/ ${\displaystyle {k\mathrm{}}^{}}$ 2 )${\displaysty$ k$^{m$}($1+(m^{2}-m)/k+O(1/k^{2$ Mgf 바운드는 따라서 이 경우에 매우 강하다.

다른 기능과의 관계

모멘트 생성함수와 관련된 것은 확률론에서 공통되는 다수의 다른 변환들이다.

특성함수

특성 함수 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$t )${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$은 $\phi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( ${\displaystyle i}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle \varphi _{X}(t)=$를 통한 모멘트 생성 함수와 관련이 있다$$.$M_{iX}(t)=$$M_{X}(it):}$ 특성$$ 함수는 iX의 모멘트 생성 함수 또는 X의 모멘트 생성 함수가 가상 축에서 평가된다. 이 함수는 확률밀도함수의 푸리에 변환이라고도 볼 수 있으며, 따라서 역 푸리에 변환에 의해 그것으로부터 추론할 수 있다.

누적생성함수

누적생성함수는 모멘트생성함수의 로그로 정의되며, 그 대신 누적생성함수를 특성함수의 로그로 정의한 반면, 다른 이들은 후자를 제2 누적생성함수라고 부른다.

확률생성함수

${\displaystyle \mathrm{확률생성함수}}$는 $G{\displaystyle }$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle z^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\$로 정의된다.$왼쪽[z^{X}\오른쪽]$$\,}$ 이는$$ $즉시{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$)${\displaystyle }$= E${\displaystyle }$[ e ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$. ${\$라는 것을 암시한다.$왼쪽[e^{tX}\오른쪽]=$$M_{X}(t).$$\,}$

참고 항목

• 위험시 진입성 값
• 요인 모멘트 생성 함수
• 요율함수
• 햄버거 모멘트 문제

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 보다 정확한 인용문을 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2010년 2월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

참조

인용구

원천