언바운드 연산자

수학, 보다 구체적으로 기능 분석과 연산자 이론에서, 무한 연산자의 개념은 미분 연산자, 양자역학에서 무한 관측 가능성과 그 밖의 경우를 다루기 위한 추상적인 프레임워크를 제공한다.

"무경계 연산자"라는 용어는 오해의 소지가 있다.

• "경계"는 때때로 "필수적으로 제한되지 않음"으로 이해되어야 한다.
• "선형 연산자"로 이해해야 한다("경계 연산자"의 경우).
• 연산자의 영역은 전체 공간이 아닌 선형 하위 공간이다.
• 이 선형 아공간이 반드시 닫히는 것은 아니다. 종종(그러나 항상은 아님), 밀도가 높은 것으로 가정한다.
• 경계 연산자의 특별한 경우, 여전히, 도메인은 대개 전체 공간으로 가정된다.

경계 연산자와는 대조적으로, 주어진 공간의 무한 연산자는 각각 자신의 영역에서 정의되기 때문에 대수학도, 심지어 선형 공간도 형성하지 않는다.

"운영자"란 흔히 "경계된 선형운영자"를 의미하지만, 이 조의 맥락에서 "경계되지 않은 운영자"를 의미하며, 위에서 예약을 한다. 주어진 공간은 힐베르트 공간이라고 가정한다.^{[clarification needed]} 바나흐 공간과 보다 일반적인 위상 벡터 공간에 대한 일반화가 가능하다.

짧은 역사

무한 연산자 이론은 양자역학을 위한 엄격한 수학 체계를 개발하는 일환으로 1920년대 후반과 1930년대 초에 발전했다.^[1] 이 이론의 발전은 존 폰 노이만과^[2] 마샬 스톤 덕분이다.^[3] 폰 노이만은 1936년 무제한 연산자를 분석하기 위해 그래프를 사용하여 소개했다.^[4]

정의 및 기본 속성

X, Y를 바나흐의 공간이 되게 하라. 무한 연산자(또는 단순 연산자) T : X → Y는 선형 아공간 D(T) ⊆ X(T의 영역)에서 공간 Y로 가는 선형 지도 T이다.^[5] 통상적인 관례와는 달리 T는 전체 공간 X에 정의되지 않을 수도 있다. 두 연산자는 공통 도메인을 가지고 있고 그 공통 도메인에서 일치한다면 동일하다.^[5]

연산자 T의 그래프 Γ(T)는 닫힌 집합이 닫힐 것으로 알려졌다.직접적인 합 X⊕ Y의[6](여기서, 그래프 Γ(T)은 선형 부분 공간, 모든 쌍(), Tx)의 xT의 도메인을 세트로 정의되는)후추 스프레이, 이 지점 T의 도메인에서 모든 시퀀스{xn}에 xn → cm이고 Txn →는 y, x의 보유자 등을 의미한다. T와 Tx = y의 영역으로.^[6] 폐쇄성은 그래프 표준의 관점에서 공식화될 수도 있다. 연산자 T는 도메인 D(T)가 표준에 관한 완전한 공간인 경우에만 닫힌다.^[7]

${\displaystyle \ x\ _{T}={\sqrt {\\x\{2}+\ Tx\{2}}.}$

연산자 T는 그 영역이 X로 밀도가 높을 경우 밀도 있게 정의된다고 한다.^[5] 이는 또한 전체 공간이 그 자체로 밀도가 높기 때문에 전체 공간 X에 정의된 연산자를 포함한다. 도메인의 밀도는 부선(X와 Y가 힐버트 공간인 경우)과 전치(transpose)의 존재에 필요하고 충분하다. 아래 절을 참조한다.

T : X → Y가 그것의 도메인에서 닫히고, 조밀하게 정의되고, 연속적으로 된다면, 그 도메인은 X의 전부다.^[8]

Hilbert 공간 H에서 밀도 있게 정의된 연산자 T는 T + a가 일부 실수 a에 대한 양성 연산자라면 아래에서 경계라고 부른다. 즉, domainTx x - -a x는 T의 도메인(또는 a가 임의적이기 때문에 sinceTx x ≥ x)의 모든 x에 대한 x이다.^[9] T와 -T가 모두 아래에서 경계로 되어 있으면 T가 경계로 되어 있다.^[9]

예

Let C([0, 1])는 단위 간격의 연속함수의 공간을 나타내고, Let¹ C([0, 1])는 연속적으로 상이한 함수의 공간을 나타낸다. $우리$는 C${\displaystyle }$([${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ $){\displaystyle$ C $([0,1])}$에 최상규범인 ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${{\$\$\{\inflt}}}$을 장착하여 바나흐 공간으로 만든다$.$ 고전적인 미분 연산자.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output 정의합니다.Sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}d/dx:C1([0,1])→ C([0,1])은 평소 공식에 의해:.

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}{dx}f\오른쪽)(x)=\lim _{h\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1]}$

모든 다른 기능은 연속적이므로, C¹([0, 1]) ⊆ C([0, 1])가 된다. 우리는 d/dx : C([0, 1]) → C([0, 1])는 도메인¹ C([0, 1])와 함께 잘 정의된 언바운드 연산자라고 주장한다. For this, we need to show that ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ is linear and then, for example, exhibit some ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])}$ such that ${\displaystyle \ f_{n}\ _{\infty }=1}$ and ${\displaystyle \underset{n}{sup}\Vert \frac{d}{dx}{f}_n{\Vert }_{}}$${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}}$= +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \sup _{n}\\frac {d}{dx$}{dx$}f_{n}\ _{\inflt }=+\flotty$ $\}.$

이것은 선형 연산자인데, 선형 결합은 지속적으로 다른 두 함수의 f + bg, g는 또한 지속적으로 다를 수 있고,

${\displaystyle \left({\tfrac {d}{dx}\오른쪽)(af+bg)=a\left\tfrac {d}{dx}f\오른쪽)+b\left\tfrac {d}{dx}g\오른쪽).}$

오퍼레이터는 경계가 없다. 예를 들어,

${\displaystyle {\pin}f_{n}:[0,1]\to [-1,1]\f_{n}(x)=\sin(2\pinx)\end{case}}}}}$

만족시키다

$_{\displaystyle \left\f_{n}\right\ _{\infit }=1,}$

그렇지만

${\displaystyle \left\\tfrac {d}{dx}f_{n}\오른쪽)\right\ _{\inflt }=2\pi n\to \infty}$

$n{\displaystyle }$ →$$display {\$displaystyle n\to \fty$ $\}.$

오퍼레이터는 촘촘히 정의되어 있으며, 폐쇄되어 있다.

Banach Space Z의 많은 선택에서 동일한 연산자 Z → Z로 취급할 수 있으며, 이들 중 어느 하나에도 경계가 되지 않는다. 동시에 다른 바나흐 공간 X, Y 쌍에 대해서는 연산자 X → Y로, 일부 위상 벡터 공간 Z에 대해서는 연산자 Z → Z로 경계할 수 있다.^{[clarification needed]} 예를 들어, I ⊂ R을 개방된 간격이 되도록 하고 고려한다.

${\dplaystyle {\frac {d}{dx}}:\좌측(C^{1}(I),\\cdot \ _{C^{1}\우측)\좌측(C(I),\cdot \{\inflt _}\우측),}$

여기서:

${\displaystyle \ f\ _{C^{1}=\f\ _{\inflt}+\ f'\{\inflt}}$

조정

무제한 연산자의 부호는 두 가지 동등한 방법으로 정의될 수 있다. $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$( ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ T$:D(T)\subseteq H_{1}\to H_{2}}:$ 힐버트 공간 사이의 무한 연산자가 되게$$ 하라.

첫째, 경계 연산자의 부정을 정의하는 방법과 유사한 방법으로 정의할 수 있다. 즉, 부선 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$: D${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle \subseteq }$ H ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$ T$^{*:$T의 $D\left$(T$^{*}\오른쪽)\subseteq H_{$2}\$to H_{1}}$는 다음 속성을 가진 연산자로 정의된다.

${\displaystyle {}^{}}$ 정확히 말하면, $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ y ${\displaystyle T^{*}y}$는 다음과 같은 방법으로$$ 정의된다. If ${\displaystyle y\in H_{2}}$ is such that ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ is a continuous linear functional on the domain of T, then ${\displaystyle y}$ is declared to be an element of ${\displaystyle D\left(T^{*}\right),}$ and after extending the linear Han-Banach 정리를 통해 전체 공간에 대해 기능하며, 다음과$$ 같은 ${\displaystyle {방법}_{}}$으로 H 1 ${\$}에서$$ $일부{\displaystyle }$ z$${\$displaystyle z}$를 찾을 수 있다. Riesz 표현 정리는 힐버트 공간 H ${\$}의 연속적인 이중화를 내제품에 의해 주어진 선형 함수 집합으로 식별할 수 있게$$ 하기 때문이다. 이 $벡터{\displaystyle }$ z ${\$$displaystyle z}$은(는) $선형{\displaystyle }$ 기능 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ T ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle y}$ ⟩ {\$displaystyle$ x$$ ${\$displaystyle x$\mapsto \langle Tx\mid y\angle }$이(가) 조밀하게 정의된 경우에만$$ y {\displaysty y}에$의해$고유하게 결정된다$$. ${\displaystyle \mathrm{마지막}}$으로 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= z ${\displaystyle T^{*}y=z}$이(가) 선형 지도인$$ $\$ , {\$displaystyle$ T$^{*}$의 작성을 완료하도록$$ 한다. T가 조밀하게 정의된 경우에만 조정 T ∗${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ T$^{*}y}$이(가$$) 존재한다.

정의상 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\$의 도메인은 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathrm{H\_}}$${2$}}의$$ ${\$displaystyle $x$ {\$displaystorelangle \mid$ y$\angle }$이(가)의 도메인에서 연속적인$$$$ y {\$displaystysty$ y}로 구성된다$$. 따라서 $∗{\$ T$^{*}}$의 영역은 무엇이든 될 수 있으며$$, 사소한 것일 수 있다(즉, 0만 포함한다).^[10] $∗{\$의 도메인이 닫힌 하이퍼플레인이고 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ 도메인의 모든 곳에서 소멸되는$$ 경우가 발생할 수 있다.^[11][12] 따라서 그 $도메인$에서 T$∗{\$의 경계가 T의 경계가 있음을 의미하지는 않는다. 한편, $∗{\$을 전체 공간에 대해 정의하면$$ T는 그 영역으로 경계되므로 전체 공간에 경계된 연산자로 연속성에 의해 확장될 수 있다.^[13] $∗{\$의 도메인이 조밀하면$$ 그 부호 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ T$^{*}}$ $닫힌$^[14] 밀도 정의 연산자 T는 T$style${\displaystytle $T^{*}$가 경계된$$ 경우에만 경계된다.^[15]

조정의 다른 동등한 정의는 일반적인 사실을 알아봄으로써 얻을 수 있다. 다음과 같이$$ 선형 연산자 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$을(를) 정의하십시오.^[14]

$J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) 등축추출이기 때문에 단일추출이다. 따라서: $J{\displaystyle }$( ${\displaystyle \gamma }$( T${\displaystyle }$)${\displaystyle {}^{\perp \mathrm{}}}$ ${\$ J$(\Gamma (T)^{\bot }}}}}$는 T가 조밀하게 정의된 경우에만$$ 일부 $연산자{\displaystyle }$ S ${\displaysty S}$의 그래프다.^[16] $간단한{\displaystyle }$ 계산을 통해 이 "일부" S ${\displaystyle S}$이(가) 다음을$$ 만족한다는 것을 알 수 있다. T 영역의 모든 x에 대해. $따라서{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$은 T의 부호다.

$조정{\displaystyle {}^{}}$ T from${\$은(는)^[14] 위의$$ 정의에서 바로 따라온다. 특히 자칭 연산자($T{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$는 폐쇄된다. ${\displaystyle \mathrm{연산자}}$ T는 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= T${\displaystyle }$. ${\displaystyle T^{**}=T.}$인 경우에만 폐쇄되고 밀도 있게 정의된다.

경계 연산자에 대해 잘 알려진 일부 속성은 폐쇄적으로 정의된 연산자에 일반화된다. 닫힌 연산자의 낟알이 닫혀 있다. 더욱이, 밀접하게 정의된 폐쇄형 $연산자{\displaystyle }$T : ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$1 → ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ T$:$$H_{1}\to H_{2$}는 조정 범위의 직교 보어와 일치한다$$. 즉,^[18]

폰 노이만의 정리에는 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ T$^{*}T}$와 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$는 자기 적응형이며, $I{\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle I+T^{*}$는 자기 적응형이라고$$ 되어 있다.$}T}$ 및$$ $I{\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$$TT^{*}}$ 둘 다 경계$$ 안쪽이 있다.^[19] $∗{\$가 사소한 커널을 가지고$$ 있다면 T는 (위의 아이덴티티 기준) 밀도 범위를 가진다. 더욱이 다음과 같다.

T is surjective if and only if there is a ${\displaystyle K>0}$ such that ${\displaystyle \ f\ _{2}\leq K\left\ T^{*}f\right\ _{1}}$ for all ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle D\left(T^{*}\right).$$}}($^[20]이는 본질적으로 소위 폐쇄 범위 정리의 변형이다.) 특히 T $∗{\$이(가) 닫힌 범위인 경우에만$$ T가 닫힌 범위를 가진다.

경계가 있는 경우와는 달리${\displaystyle }$(${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S{}^{}}$) ${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\$$displaystyle$ $(TS)^{*}}=S^{*}T$$^{*}}}}}}$이${\displaystyle {}^{}}$^{[citation needed]}$가)$ 존재하지$$ 않을 수도 있기 때문에$$ 그럴 필요는 없다$.$ 그러나, 예를 들어 T가 경계로 되어 있는 경우에는 그러하다.^[21]

밀도 있게 정의되고 폐쇄된 연산자 T는 다음과 같은 동등한 조건을 만족하면 정상이라고 한다.^[22]

• ${\$$TT^{*}}$;
• T의 영역은 이 도메인의 모든 x에 대해$$ $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\displaystyle$ T$^{*}$ 및$$ $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Vert }$= ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle T{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle \Vert }$ ‖ ${\$의 영역과 동일하다.
• there exist self-adjoint operators ${\displaystyle A,B}$ such that ${\displaystyle T=A+iB,}$${\displaystyle T^{*}=A-iB,}$ and ${\displaystyle \ Tx\ ^{2}=\ Ax\ ^{2}+\ Bx\ ^{2}}$ for every x in the domain of T.

모든 자칭 연산자는 정상이다.

전치하다

$T{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 스타일 $T:$$B_{1}\to B_{2}}:$ Banach 공간 사이의 연산자$$. 그런 다음 전치(또는 이중) ${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$→ ${\displaystyle {{B\mathrm{}}_{}}^{}}$ 1 ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\$$T{\displaystyle }$${\$$displaystyle T}$의${B_{1}^{*}\to {B_${1$}^{*}}$는 다음을 만족하는 선형 연산자다.

모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ B ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$및{\displaystyle }$ y$$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle$ y$\in B_{2}^{*}}}$ 여기서는$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x⟩}$= x${\displaystyle \langle$ x$,x'x(x$')라는 표기법을 사용했다$.$$}$^[23]

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 전치(transpose)에$$ 필요한 충분한 조건은 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가$$) 밀도 있게 정의되어 있다는 것이다(기본적으로 위에서 설명한 바와 같이 조정되는 이유와 동일).

Hilbert 공간 $H{\displaystyle }$ ,${\displaystyle H,}$에는 반선형 이형성이 있다$$.

$J{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Jf=y}$ 여기서$$ $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle y_{}}$ H , (${\displaystyle x\in }$ ${\displaystyle H}$ )$$. {\$displaystyle f(x$)=\$langle x\rangele _{H}(x\in$H)로 주어진다$.$$}}$ 이러한 이형성을 통해$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{T}T}$은(는) $다음$과 같은 방식으로$$ T ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ T$^{*}}$와(와$$) 관련된다.^[24] 여기서 ${\displaystyle {JJ}_{}}$: ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$→ ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$H_{j}^{*}}\to H_{j$ (유한 차원 사례의 경우 이는 행렬의 연선이 그 결합 전치라는 사실에 해당한다.) 이것은 전치(轉治)의 관점에서 조정(正正正)의 정의를 내린다는 점에 유의한다.

닫힌 선형 연산자

닫힌 선형 연산자는 바나흐 공간에 있는 선형 연산자의 한 종류다. 이들은 경계 연산자보다 일반적이며, 따라서 반드시 연속적인 것은 아니지만, 그러한 연산자에 대한 스펙트럼과 (특정 가정으로) 함수 미적분을 정의할 수 있을 만큼 좋은 속성을 여전히 가지고 있다. 파생상품과 다수의 차등사업자와 같이 경계를 정하지 못하는 많은 중요한 선형사업자들이 폐쇄된 것으로 나타났다.

X, Y를 두 개의 바나흐 공간이 되게 하라. 선형 연산자 A : D(A) ⊆ X → Y가 X로 수렴되는 D(A)의 모든 시퀀스 {x_n}에 대해 Ax_n → y as as n as as as one one one one one one one one 1이 x one D(A), Ax = y. 동등하게 A 그래프가 직접 합계 X ⊕에서 닫히면 A가 닫힌다.

X ⊕ Y에서 그래프의 폐쇄가 어떤 연산자의 그래프인 경우, 반드시 닫힐 필요는 없는 선형 연산자 A를 고려할 때, 그 연산자를 A의 폐쇄라고 하며, 우리는 A가 폐쇄될 수 있다고 말한다. A에 의한 A의 폐쇄를 나타낸다. A가 A에서 D(A)까지의 제한이라는 것을 따른다.

폐쇄형 사업자의 핵심 영역(또는 필수 영역)은 A에서 C까지의 제한의 폐쇄가 A인 D(A)의 서브셋 C이다.

예

파생 연산자 A = d/dx를 고려하십시오. 여기서 X = Y = C([a, b])는 간격 [a, b]에 있는 모든 연속함수의 Banach 공간이다. 도메인 D(A)를 C¹([a, b]로 하면 A는 폐쇄 연산자로, 경계가 없다.^[25] 반면 D(A) = C^∞([a, b])이면 A는 더 이상 닫히지 않지만 닫힘이 C¹([a, b]에 정의된 연장선으로 마감된다.

대칭 연산자 및 자체 승인 연산자

, 만약 T의 영역에서 각 x와 y에 우리는⟨ T=∣ y⟩ 힐베르트 공간에 연산자 T=⟨ x ∣ T⟩{\displaystyle \langle Tx\mid=\langlex\mid Ty\rangle y\rangle}. y가 빽빽이 들어선 정의된 연산자 T는 대칭 만일 그것이 수반과 T∗ T의 영역에, 다른 말이 제한되어 동의할 때 T∗은 대칭이다. 한 T의 ^[26]연장

일반적으로 T가 조밀하게 정의되고 대칭이 되면 부선 T의^∗ 영역은 T의 영역과 같을 필요가 없다. T가 대칭이고 T의 영역과 부선 영역의 영역이 일치한다면, 우리는 T가 자칭이라고 말한다.^[27] T가 자칭인 경우, 조정의 존재는 T가 촘촘하게 정의되어 있고 T가^∗ 반드시 닫혀 있기 때문에 T가 닫힌다는 것을 의미한다.

하위 공간 γ(T)(이전 절에서 정의)이 J(여기서 J(x,y:=(y,-x))^[28] 아래의 이미지 J(T)와 직교하는 경우, 조밀하게 정의된 연산자 T는 대칭이다.

마찬가지로, 연산자 T가 밀도 있게 정의되고 닫히고 대칭적이며 네 번째 조건을 만족한다면, 즉 두 연산자 T – i, T + i는 굴절적이며, 즉 T의 영역을 전체 공간 H에 매핑한다. 즉, H의 모든 x에 대해 T의 영역에는 Ty – iy = x와 Tz + iz = x와 같은 y와 z가 존재한다.^[29]

연산자 T는 두 개의 서브 스페이스 ((T), J(T)가 직교하고 그 합이 전체 $공간{\displaystyle }$ H ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H\oplus$ H$.}$인 경우 자가 승인된다.

이 접근방식은 비논리적으로 정의된 폐쇄형 사업자는 다루지 않는다. 비논리적으로 정의된 대칭 연산자는 직접 또는 그래프를 통해 정의할 수 있지만 부선 연산자를 통해서는 정의할 수 없다.

대칭 연산자는 Cayley 변환을 통해 종종 연구된다.

복잡한 Hilbert 공간의 연산자 T는 그것의 2차 형태가 진짜인 경우에만 대칭적이다. 즉, 숫자${\displaystyle }$number ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle Tx\mid x\angle }$은 T의 모든 x에 대해 진짜다$$.^[26]

밀도 있게 정의된 폐쇄형 대칭 연산자 T는^∗ T가 대칭인 경우에만 자체 적응한다.^[30] 그것은 일어나지 않을지도 모른다.^[31][32]

2차 형태가 음성이 아닌 경우, 즉 T 영역의 모든 x에 대해$$${\displaystyle }$for T ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \langle Tx\mid$ x$\angle \geq$ 0}이$($가) 조밀하게 정의된 연산자 T를 양수^[9](또는^[33] 음수)라고 한다. 그러한 연산자는 반드시 대칭이다.

연산자 TT는^∗ 자체 적응성이^[34] 뛰어나며, 밀도 있게 정의되고 닫힌 T마다 양성이다^[9].

스펙트럼 정리는 자체 적응 연산자 및 더욱이 정상 연산자에는 적용되지만,^[36][37] 이 경우 스펙트럼이 비어 있을 수 있으므로 일반적으로 밀도 있게 정의되고 폐쇄된 연산자에는 적용되지 않는다.^[38][39]

사방에 정의되어 있는 대칭 연산자는 폐쇄되어 있으므로 경계(^[6]Hellinger-)가 된다.토우플리츠 정리.^[40]

확장 관련

정의상 연산자 T는 if(S) ⊆ ⊆ ⊆(T)인 경우 연산자 S의 연장이다.^[41] 등가 직접 정의:^[5][41] S의 도메인에 있는 모든 x에 대해 x는 T와 Sx = Tx의 도메인에 속한다.

모든 연산자에 대해 정의된 확장이 존재한다는 점에 유의하십시오. 이는 불연속 선형 지도#일반 존재 정리에서 설명되고 선택 공리에 근거한 순수 대수적 사실이다. 주어진 연산자가 경계를 정하지 않는 경우, 확장자는 불연속 선형 지도가 된다. 주어진 사업자의 중요한 성질을 보존할 수 없기 때문에(아래 참조), 대개는 비유일성이 높다.

연산자 T는 다음과 같은 동등한 조건을 만족하는 경우 폐쇄성이라고 불린다.^[6][41][42]

• T는 폐쇄 연장이다.
• T 그래프의 닫힘은 일부 운영자의 그래프다.
• X_n → 0 및 Tx_n → y와 같은 T 도메인에서 점의 모든 시퀀스(x_n)에 대해 해당 y = 0을 보유한다.

모든 교환원이 폐쇄적인 것은 아니다.^[43]

폐쇄형 교환원 T는 T의 폐쇄라고 불리는$$ T의 가장${\displaystyle \stackrel{}{}}$폐쇄형 확장자 $T$의 ${\$를 가지고 있다. T의 그래프의 폐쇄는 $T$의 ${\displaystyle {\overline {T}$의 그래프와 같다.$}$^[6][41]

기타 최소값이 아닌 닫힌 확장자가 존재할 수 있다.^[31][32]

밀도 있게 정의된 연산자 T는 T가^∗ 밀도 있게 정의된 경우에만 폐쇄할 수 있다. 이 경우 $T자{\displaystyle \stackrel{}{}}$= $=$ {\$displaystyle {\overline{T}}=$$T^{**}}$과$({\displaystyle T\stackrel{}{}¯){}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle({\overline{T}}^{*}=T^{*}}}}$

S가 조밀하게 정의되고 T가 S의 연장이라면 S는^∗ T의^∗ 연장이다.^[45]

모든 대칭 연산자는 닫을 수 있다.^[46]

대칭 연산자는 자신을 제외하고 대칭 확장이 없는 경우 최대 대칭이라고 한다.^[26]

모든 자기 적응 연산자는 최대 대칭이다.^[26] 역이 틀리다.^[47]

운영자는 폐쇄가 자체 적응인 경우 기본적으로 자체 적응이라고 불린다.^[46]

운영자는 한 개의 자체 연결 확장만 있는 경우에만 기본적으로 자체 연결이다.^[30]

대칭 연산자는 두 개 이상의 자기 결합 확장자를 가질 수 있으며, 심지어 연속적인 확장자를 가질 수도 있다.^[32]

조밀하게 정의된 대칭 연산자 T는 두 연산자 T – i, T + i가 조밀한 범위를 갖는 경우에만 기본적으로 자체 적응한다.^[48]

T를 밀도 있게 정의한 연산자가 되게 하라. S ⊂ T에 의한 "T는 S의 연장이다"라는 관계를 나타내는 ⊂(S) ⊆ ⊆(T)의 재래식 약어는 다음과 같다.^[49]

• T가 대칭이면 T^∗∗ ⊂ T ⊂ T^∗.
• T가 닫히고 대칭이면 T = T^∗∗ ⊂ T^∗.
• T가 자가 적합할 경우 T = T^∗∗ = T = T^∗.
• T가 본질적으로 자기 적응형인 경우^∗∗ T ⊂ T = T^∗.

자체 승인 연산자의 중요성

수학물리학에서는 특히 자기숙련 연산자의 계급이 중요하다. 모든 자기 적응 연산자는 밀도 있게 정의되고 폐쇄적이며 대칭적이다. 이 역은 한정된 운영자에 속하지만 일반적으로 실패한다. 자기 연민은 이 세 가지 속성보다 실질적으로 더 제한적이다. 유명한 스펙트럼 정리는 자기 적응 연산자를 위한 것이다. 하나의 매개변수 단일 그룹에 대한 스톤(Stone-adjoint)의 정리와 결합하여, 자기 성찰 연산자는 정확히 연속적인 단일 매개변수 단일 군집단의 극소수 생성자임을 보여준다. 양자역학에서 자기 성찰 연산자#자체 성찰 연장자를 참조한다. 그러한 단일 집단은 특히 고전학 및 양자역학에서 시간 진화를 기술하는데 중요하다.

참고 항목

• 힐버트 공간#무경계 연산자
• 스톤-본 노이만 정리
• 경계 연산자

메모들

참조

• Berezansky, Y.M.; Sheftel, Z.G.; Us, G.F. (1996), Functional analysis, II, Birkhäuser (12장 "힐버트 공간의 무한 운영자 일반 이론" 참조).
• Brezis, Haïm (1983), Analyse fonctionnelle — Théorie et applications (in French), Paris: Mason
• "Unbounded operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
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