표기법 남용

수학에서 표기법의 남용은 저자가 완전히 정규적으로 옳은 것은 아니지만, 설명을 단순화하거나 올바른 직관을 제안하는 데 도움이 될 수 있을 것이다(아마도 오류와 혼란을 동시에 최소화하면서). 그러나 형식적/합성적 정확성의 개념은 시간과 맥락 모두에 따라 달라지기 때문에, 한 맥락에서 남용이라고 플래그가 붙는 수학의 특정 표기법은 하나 이상의 다른 맥락에서 공식적으로 정확할 수 있다. 시간 의존적인 표기법 남용은 이론이 처음 공식화되기 전에 새로운 공식이 이론에 도입될 때 발생할 수 있다; 이것들은 이론을 확고히 하거나 다른 방법으로 개선함으로써 공식적으로 수정될 수 있다. 표기법 남용은 전자의 현재적 이점을 갖지 못하고 (통합의^[1] 상수 오용 등) 피해야 하는 표기법 오용과 대비해야 한다.

관련 개념은 언어의 남용이나 용어의 남용이며, 여기서 표기법이 아닌 용어가 오용된다. 언어 남용은 본질적으로 비논리적인 학대의 거의 동의어적 표현이다. 예를 들어 표현이라는 단어는 그룹 G에서 그룹 GL(V)까지 집단 동형성을 적절하게 지정하지만, 여기서 V는 벡터 공간인 G(V)로 V를 "G의 표현"이라고 부르는 것이 일반적이다. 언어의 또 다른 일반적인 남용은 다르지만, 표준적으로는 이형질인 두 가지 수학적 대상을 식별하는 데 있다.^[2] 다른 예로는 값을 사용하여 상수함수를 식별하거나, 기본 집합의 이름으로 이항연산을 하는 그룹을 식별하거나, 데카르트 좌표계가 장착된 치수 3의 $\mathbb {R} ^{3}$ 유클리드 공간인 R $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ }}{3 $}}$ 을 식별하는 것이 있다.^[3]

예

구조화된 수학 객체

많은 수학 물체는 종종 기초 집합이라고 불리는 집합으로 구성되며, 수학 연산이나 위상과 같은 일부 추가적인 구조를 갖추고 있다. 기본 집합과 구조화된 객체(파라미터의^[3] 억제라고 알려진 현상)에 대해 동일한 표기법을 사용하는 것은 일반적으로 표기법을 남용하는 것이다. 예를 들어, $\mathbb {Z}$ ${\$ 은(는) 정수 집합, 추가와 함께 정수 그룹 또는 추가와 곱이 있는 정수 링을 나타낼 수 있다 $\mathbb {Z}$ . 일반적으로 참조 중인 사물을 잘 이해한다면 이것에는 문제가 없으며, 그러한 표기법 남용을 피하면 수학적 지문이 더 현학적이고 읽기가 더 어려워질 수도 있다. 이러한 표기법 남용이 혼동될 수 있는 경우 $(\mathbb {Z} ,+)$ 추가가 있는 정수 $(\mathbb {Z} ,+)$ $(\mathbb {Z} ,+)$ Z $(\mathbb {Z} ,+)$ + ) ${\displaystyle (\mathb {Z} ,+)$ 과 $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ ( $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ , $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ + , $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ ) $(\mathb {Z} ,+ )$ 정수의 링을 $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ 표시하여 이러한 구조를 구별할 수 있다.

마찬가지로 위상 공간은 세트 X(기본 세트)와 ${\mathcal {T}},$ T ${\mathcal {T}},$ , ${\mathcal{T$ 로 구성되는데, 이 ${\mathcal {T}},$ 위상 공간은 $X$ (개방 세트)의 하위 집합으로 특징지어진다. 가장 흔히 $X$ 의 위상 하나만 고려하기 때문에 $X$ 와 그 ${\mathcal {T}}$ T ${\$ 로 구성된 쌍이 기술적으로 구별되는 수학적 객체임에도 불구하고 X를 기초 집합으로 언급하는 데 문제가 없다. ${\mathcal {T}}$ 그럼에도 불구하고 동일한 집합에서 두 가지 다른 위상이 동시에 고려되는 경우가 있을 수 있다. 이 경우 서로 다른 위상적 공간을 구별하기 $(X,{\mathcal {T}}')$ 위해 주의를 기울이고 $(X,{\mathcal {T}})$ ( $X$ $(X,{\mathcal {T}})$ , $){\displaystyle ({\mathcal{T})$ 및 $(X,{\mathcal {T}})$ $(X,{\mathcal {T}}')$ ( $(X,{\mathcal {T}}')$ , $(X,{\mathcal {T}}')$ $){\mathcal{T}}$ 와 같은 표기법을 사용해야 한다.

함수 표기법

많은 교과서에서 " $f (x)$ 를 함수가 되게 하라..."와 같은 문장을 접하게 될 수도 있다. 이것은 함수의 $이름$ 이 f이기 때문에 표기법을 남용한 $것$ 이며, f $(x)$ 는 보통 그 영역의 요소 $x$ 에 대한 함수 $f$ 의 값을 나타낸다. 올바른 구절은 " $f$ 가 변수 $x$ 의함수가 되게 하라 $..."$ 또는 " $x$ 가함수가 되게 하라..."일 것이다. 이러한 표기법 남용은 제형을 단순화하면서 널리 사용되고 있으며,^[4] 올바른 표기법을 체계적으로 사용하는 것은 빠르게 현학적으로 변한다.

"함수 $x 2$ + $x$ + $1$ 을 고려하자..."와 같은 문장에서도 이와 유사한 표기법 남용이 발생하는데, 사실 $x 2$ + x + $1$ 은 함수가 아니다. 함수는 $x 2$ + $x$ + 1 ~ $x$ 를 연결하는 연산이며, 흔히 $x$ ↦ x $+ 1$ 로² 표기된다. 그럼에도 불구하고, 이러한 표기법의 남용은 널리 쓰이고 있는데, 이는 일반적으로 혼동하지 않으면서도 교양을 피하는 데 도움이 되기 때문이다.

평등 vs. 이소모르프

많은 수학 구조는 특성화 속성(흔히 보편적 속성)을 통해 정의된다. 일단 이 원하는 특성이 정의되면, 구조를 구성하는 다양한 방법이 있을 수 있고, 그에 상응하는 결과는 공식적으로 다른 객체지만 정확히 동일한 성질(즉, 이형체)을 갖는 것이다. 이러한 이형성 물체는 성질을 통해 구별할 수 있는 방법이 없으므로, 비록 이것이 정식으로 잘못되었다 하더라도 동등하게 간주하는 것이 표준이다.^[2]

이것의 한 예는 흔히 연관성으로 보이는 데카르트 제품이다.

(

E\time F\time

G

(E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G

But this is strictly speaking not true: if $x\in E$ , $y\in F$ and $z\in G$ , the identity $((x,y),z)=(x,(y,z))$ would imply that $(x,y)=x$ and ${\displa$ $ystyle z=(y,$ $((x,y),z)=(x,y,z)$ $)}$ 등 $((x,y),z)=(x,y,z)$ ( $((x,y),z)=(x,y,z)$ , y $((x,y),z)=(x,y,z)$ ) $((x,y),z)=(x,y,z)$ , z $((x,y),z)=(x,y,z)$ ) $((x,y),z)=(x,y,z)$ = $((x,y),z)=(x,y,z)$ ( $((x,y),z)=(x,y,z)$ , $((x,y),z)=(x,y,z)$ , $((x,y),z)=(x,y,z)$ ) $((x,y),z)=(x,y,z)$ 은 아무 의미도 없을 것이다 $((x,y),z)=(x,y,z)$ . 그러나 이러한 평등은 자연 이형주의 사상을 이용하여 범주 이론에서 정당화되고 엄격해질 수 있다.

'질서 8의 비아벨라 그룹이 두 개 있다'는 등의 진술에서도 유사한 사례가 발생하고 있는데, 이는 보다 엄격하게 '질서 8의 비아벨라 집단의 이형성계급이 두 개 있다'는 뜻이다.

등가 등급

[x] 대신 x에 의한 동등성 관계의 동등성 등급을 가리키는 것은 표기법 남용이다. 형식적으로 집합 X가 동등성 관계 ~에 의해 분할된 경우, 각 x ∈ X에 대해 동등성 등급 {y ∈ X y ~ x}이(가) [x]로 표시된다. 그러나 실제로는, 토론의 나머지 부분이 기초 집합의 개별 요소보다는 동등성 등급에 초점을 맞춘다면, 토론에서 대괄호를 내리는 것이 일반적이다.

예를 들어, 모듈형 산술에서, 한정된 순서 n 그룹은 등가 관계 "x ~ y if and only x ≡ y (mod n)"를 통해 정수를 분할함으로써 형성될 수 있다. 그러면 그 집단의 요소는 [0], [1], ..., [n - 1]이 되겠지만, 실제로는 일반적으로 단순히 0, 1, ..., n - 1로 표시된다.

또 다른 예로는 측정 가능한 함수의 공간 또는 Lebesgue 통합 함수의 클래스가 있는데, 여기서 동등성 관계는 "거의 거의 모든 곳에서" 평등이다.

주관성

언어의 남용과 표기법의 남용이라는 용어는 문맥에 따라 다르다. $A$ 에서 $B$ 까지의 부분함수에 대해 " $f$ : $A$ → $B$ "를 쓰는 것은 거의 항상 표기법을 남용하는 것이지만, $f$ 를 집합과 부분함수의 범주에서 형태론으로 볼 수 있는 범주 이론적 맥락에서는 그렇지 않다.

참고 항목

참조

^ "Common Errors in College Math". math.vanderbilt.edu. Retrieved 2019-11-03.
^ ^a ^b "Glossary — Abuse of notation". www.abstractmath.org. Retrieved 2019-11-03.
^ ^a ^b "More about the languages of math — Suppression of parameters". www.abstractmath.org. Retrieved 2019-11-03.
^ "Abuse of Math Notation". xahlee.info. Retrieved 2019-11-03.

[1] "Common Errors in College Math". math.vanderbilt.edu. Retrieved 2019-11-03.

[:1-2] "Glossary — Abuse of notation". www.abstractmath.org. Retrieved 2019-11-03.

[:2-3] "More about the languages of math — Suppression of parameters". www.abstractmath.org. Retrieved 2019-11-03.

[4] "Abuse of Math Notation". xahlee.info. Retrieved 2019-11-03.

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