카우치-코왈레프스키 정리

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
리스트 아이작 뉴턴 고트프리드 라이프니즈 레온하르트 오일러 에밀 피카르 요제프 마리아 회네브로이스키 에른스트 린델뢰프 루돌프 립시츠 아우구스틴루이코치 존 크랭크 필리스 니콜슨 칼 데이비드 톨메 룬지 마르틴 쿠타
v t

수학에서 Cauchy-Kovalevskaya 정리(Cauchy-Kowalevski 정리라고도 쓰여 있음)는 Cauchy 초기값 문제와 관련된 분석적 부분 미분 방정식의 주요 국소적 존재 및 고유성 정리다. 오거스틴 카우치(1842년)가 특별한 경우를 증명했고, 소피 코발렙스카야(1875년)가 완전한 결과를 입증했다.

제1순서 카우치-코발레프스카야 정리

이 정리는 계수가 분석함수일 때 n차원의 m 미분방정식 시스템에 대한 해법의 존재에 관한 것이다. 정리와 그 증거는 실제 변수나 복잡한 변수의 분석 기능에 유효하다.

K는 실제 또는 복잡한 숫자의 필드를 나타내며, V = K와^m W = K로ⁿ 한다. Let₁ A, ...는_n−1 W × V의 (0, 0)의 일부 인접 지역에서 정의되고 m × matrix의 값을 취하며, b는 동일한 인접 지역에서 정의된 V의 값을 갖는 분석함수가 되도록 한다. 그리고 W에 0의 이웃이 있는데, 그 이웃은 퀘이린어 카우치 문제가 있다.

${\displaystyle \property_{x_{n}f=A_{1}(x,f)\partial _{x_{1}f+\cdots +A_{n-1}(x,f)\partial _{x_1}f+b(x,f)}$

초기 상태로

${\displaystyle f(x)=0}$

과장하여

${\displaystyle x_{n}=0}$

고유 분석 용액 ƒ : W → V가 0에 가깝다.

르위의 예는 정리가 모든 부드러운 기능에 대해 일반적으로 더 유효하지 않다는 것을 보여준다.

정리도 추상적(실제적 또는 복합적) 벡터공간으로 나타낼 수 있다. V와 W를 n = 희미한 W로 한정된 차원 실제 공간 또는 복합 벡터 공간으로 한다. Let₁ A, ..., A는_n−1 W × V의 일부 인접성에 정의된, End (V)의 값을 갖는 분석함수, b의 값을 갖는 분석함수가 된다. 이 경우, 동일한 결과는 유지된다.

분석적 전공화에 의한 증명

부분 미분방정식의 양쪽은 공식 파워 시리즈로 확장될 수 있으며 계수를 고유하게 결정하는 f에 대한 공식 파워 시리즈 계수에 대해 반복 관계를 제공할 수 있다. A와_i b의 Taylor 시리즈 계수는 단순한 스칼라 이성적 분석 함수에 의해 매트릭스와 벡터 노먼으로 주요화된다. A와_i b 대신 이 기능과 관련된 해당 스칼라 카우치 문제는 명시적인 국소 분석 솔루션을 가지고 있다. 그 계수의 절대값은 원래 문제의 규범들을 전공한다. 따라서 형식적인 파워 시리즈 솔루션은 스칼라 용액이 수렴되는 곳에 수렴해야 한다.

고차 카우치-코발레프스카야 정리

F와 f가_j 0에 가까운 분석 함수라면 비선형 Cauchy 문제

${\displaystyle \partial _{t}^{k}h=F\left(x,t,\partial _{t}^{j}\,\partial _{x}^{\alpha }h\오른쪽),{}\text{}{}{x}j<k},}}}}}}$

초기의 조건으로

${\displaystyle \cH_{t}^{j}h(x,0)=f_{j}(x),\qquad 0\leq j<k,}$

0에 가까운 고유한 분석 용액을 가지고 있다.

이는 벡터값 함수의 구성요소로 오른쪽에 나타나는 h의 파생상품을 고려함으로써 첫 번째 순서 문제에서 비롯된다.

예

열 방정식

${\displaystyle \ft_{t}h=\ft_{x}^{2}h}$

조건부로

${\displaystyle h(0,x)={1 \over 1+x^{2}}{\text{{}t=0}에 대한 경우$

고유한 공식 파워 시리즈 솔루션(0, 0 주위에 있음) 그러나 이 공식 파워 시리즈는 0이 아닌 t의 값에 대해 수렴하지 않기 때문에 원점 부근에는 분석 솔루션이 없다. 이는 위의 조건 α + j ≤ k를 떨어뜨릴 수 없음을 보여준다. (이 예는 코왈레프스키 때문이다.)

카우치-코발레프스카야-카시와라 정리

카시와라 마사키(1983) 때문에 분석 계수를 가진 선형 부분 미분 방정식인 카우치-코발레프스카야-카시와라 정리의 일반화가 광범위하게 이루어지고 있다. 이 정리는 D-modules 언어로 제시된 공생학적 제형을 포함한다. 존재 조건은 각 방정식의 비동일한 부분들 간의 호환성 조건과 파생 펑터 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 소멸을 포함한다$.$

예

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le m}$ ${\displaystyle n\leq m}$을$($를) 두십시오. $Y{\displaystyle }$ =${\displaystyle }${${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \cdots }$= ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$} ${\displaystyle$ Y$=\{x_{1}=\cdots =x_{n}\}}}$을(를) 설정하십시오$.$ The system ${\displaystyle \partial _{x_{i}}f=g_{i},i=1,\ldots ,n,}$ has a solution ${\displaystyle f\in \mathbb {C} \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$ if and only if the compatibility conditions ${\displaystyle \par$$tial _{x_{i}g_{j}=\cHB_{x_{j}g_{i}}}}$을(를) 검증한다$$. 고유한 솔루션을 가지려면 초기 ${\displaystyle {}_{}}$ f Y${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle$f$_{Y}=h$을(를) 포함해야 하며, 여기서 h${\displaystyle }h{\displaystyle }$ C {${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$1 ,${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\\displaysty h\in \mattb$ {$C} \{x_{n+1},\ldots,x_{m$

참조

• Cauchy, Augustin (1842), "Mémoire sur l'emploi du calcul des limites dans l'intégration des équations aux dérivées partielles", Comptes rendus, 15 오에브르에서 다시 인쇄된 1 세리에, 토메 7세, 17-58쪽.
• Folland, Gerald B. (1995), Introduction to Partial Differential Equations, Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
• Hörmander, L. (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035 (선형 케이스)
• Kashiwara, M. (1983), Systems of microdifferential equations, Progress in Mathematics, vol. 34, Birkhäuser, ISBN 0817631380
• von Kowalevsky, Sophie (1875), "Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 80: 1–32 (당시 독일어로 그녀의 성을 표기했다.)
• Nakhushev, A.M. (2001) [1994], "Cauchy–Kovalevskaya theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

외부 링크

• 플래닛매트릭스