직교 기준

수학, 특히 선형대수학에서 유한 치수의 내부 제품 공간 V에 대한 직교 기초는 $벡터$가 직교인 V$$ ${\displaystyle V}$의 기초가 된다. 즉, 모두 단위 벡터로서 서로 직교한다.^[1][2][3] 예를 들어 유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 표준기준은 직교 기준이며$$, 여기서 관련 내제품은 벡터의 도트 제품이다. 회전이나 반사(또는 모든 직교 변환)에 따른 표준 기준의 영상도 직교이며, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 모든 직교 기준도 이러한 방식으로 발생한다$$.

일반적인 내부 제품 공간 $V{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle V,}$의 경우 직교 기준을 사용하여 $V{\displaystyle .}$ ${\displaystyle V.}$에서 정규화된 직교 좌표를 정의할 수 있다. 이러한 좌표 아래에서$$ 내부 제품은 벡터의 도트 제품이 된다. 따라서 정형외과적 기초가 존재하면 도트 제품 아래에서$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 연구를 위한 유한 차원 내부 제품 공간의 연구가 감소한다. 모든 유한 차원 내부 제품 공간에는 직교 기초가 있으며, Gram-Schmidt 프로세스를 사용하여 임의의 기초에서 얻을 수 있다.

기능분석에서 정형근거의 개념은 임의(무한차원) 내부 제품공간으로 일반화할 수 있다.^[4] $Hilbert{\displaystyle }$ 이전의 공간 $H{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ H$}$에 대한 정형화된 기반은 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 모든 벡터가 기초에 있는 벡터의 무한 선형 조합으로 기록될$$ 수 있는 속성을 가진 정형 벡터 집합이다$$. 이 경우 정형외과적 기초는 $H{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ H$.}$에 대한 힐버트 기초라고 부르기도 한다. 이러한$$ 의미에서의 정형외과적 기초는 무한 선형 결합이 필요하기 때문에 일반적으로 Hamel 기초가 아니라는 점에 유의한다. 구체적으로 기초의 선형 범위는 $H{\displaystyle }$, ${\displaystyle H,}$로 밀도가 높아야 하지만$$ 전체 공간이 아닐 수 있다.

우리가 힐버트 우주로 간다면, 정형외과적 기초와 동일한 선형 스팬을 가진 비정형 벡터의 집합은 전혀 기초가 되지 않을 수 있다. 예를 들어$,{\displaystyle }$[ -${\displaystyle 1}$, 1$]{\displaystyle$[-$1,1]}$ 간격의 모든 사각형 통합 함수는 범례 다항식의 무한 합(정형문자 기반)으로 표현될$$ 수 있지만, 반드시 $단항{\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle n^{}}${\$displaystyle$ x$^{n}$의 무한 합으로 표현될 필요는 없다.$}$

예

• The set of vectors ${\displaystyle \left\{e_{1}=(1,0,0),e_{2}=(0,1,0),e_{3}=(0,0,1)\right\},}$ which is called the standard basis, forms an orthonormal basis of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

  Proof: A straightforward computation shows that the inner products of these vectors equals zero, ${\displaystyle \left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle =\left\langle e_{1},e_{3}\right\rangle =\left\langle e_{2},e_{3}\right\rangle =0}$ and that each of their magnitudes equals one, ${\displaystyle \left\ e_{1}\right\ =\left\ e_{2}\right\ =\left\ e_{3}\right\ =1.}$ This means that ${\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},e_{3}\right\}}$ is an orthonormal set. 모든 벡터$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$은(는) 기본 벡터 축척의 합으로 표현할 수 있다$$.

  $${\displaystyle (x,y,z)=xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}}$$

  

  따라서${\displaystyle }${ ${\displaystyle e{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$e ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$e ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 걸쳐 있으므로$$ 기본이 되어야 한다. 또한 원점을 통하여 축을 중심으로 회전하거나 원점을 통하여 평면에 반사되는 표준기준이 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$^{$3}}$의 정형근위를 형성하고 있음을 보여줄 수 있다$.$

• 표준 내부 제품 공간의 직교 변환$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle \cdot ,\cdot }$⟩ ) ${\displaystyle(\mathb {R}^{n},\langle \cdot$\cdot$\rangle$ )을 $사용$하여 ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\\$ \$mathb{R}{n}}}}}}$의 다른 직교직교직교반 기초를 구성할 수 있다$$$.$
• The set ${\displaystyle \left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$ with ${\displaystyle f_{n}(x)=\exp(2\pi inx),}$ where ${\displaystyle \exp }$ denotes the exponential function, forms an orthonormal basis of the space of functions with finite Lebesgue integrals, $$${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle L^{2}([0,1]),$ 2-규범에 대해. 이것은 푸리에 시리즈 연구의 기본이다.
• The set ${\displaystyle \left\{e_{b}:b\in B\right\}}$ with ${\displaystyle e_{b}(c)=1}$ if ${\displaystyle b=c}$ and ${\displaystyle e_{b}(c)=0}$ otherwise forms an orthonormal basis of ${\displaystyle \ell ^{2}(B).$$}$
• 스터름-리우빌 아이겐 문제의 고유 기능.
• 직교 행렬은 열 벡터가 직교 집합을 형성하는 행렬이다.

기본식

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) $H{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ H$,}$의 직교 기반인$$ 경우 모든$$ 요소 x${\displaystyle }x{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x\in H}$은(는) 다음과 같이 기록될 수$$ 있다.

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 정형일$$ 때 다음과 같이 단순화됨

$x$ ${\displaystyle x}$의 정규 제곱은

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) 계산할 수 없더라도 이 합에서 거의 틀림없이 많은 용어만 0이 아닐 것이며, 따라서 표현은 잘 정의된다. 이 합은 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle x,}$의 푸리에 확장이라고도 하며, 이$$ 공식은 보통 파르세발의 정체성으로 알려져 있다.

If ${\displaystyle B}$ is an orthonormal basis of ${\displaystyle H,}$ then ${\displaystyle H}$ is isomorphic to ${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$ in the following sense: there exists a bijective linear map ${\displaystyle \Phi :$$다음과$같은 H$\to \ell ^{2$}(B$$$)}$

불완전한 직교 세트

Given a Hilbert space ${\displaystyle H}$ and a set ${\displaystyle S}$ of mutually orthogonal vectors in ${\displaystyle H,}$ we can take the smallest closed linear subspace ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle H}$ containing ${\displaystyle S.}$ Then ${\displaystyle S}$ will be an orth$물론{\displaystyle }$ $H{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $H$$}$ 자체보다$$ 작을 수 있는$$ V${\displaystyle ;}$ ${\$displaystyle $V$$;}$의 오곤 기반, 완전한 직교 집합일 경우$$ $H{\displaystyle }$,${\displaystyle H,}$일 수 있다.

존재

소른의 부명제와 Gram–Schmidt 과정(또는 더 간단하고 초한 귀납 법well-ordering)을 사용하여, 사람이 모든 힐베르트 공간은 정규직 교기 입장할 수 있고,[5]으며 같은 공간의 어떤 두개의 정규화된 기지(이것은 그러한 통상적인 차원 정리 항의라도의 입증과 유사한 것에서 증명해야 할 수 있는 동일한 기수를 보여 줄 수 있다.rv큰 기본 후보가 카운트할 수 있는지 여부에 따라 별도의 사례가 있는 엑터 공간). 힐베르트 공간은 계산 가능한 정형외과적 근거를 인정하는 경우에만 분리가 가능하다. (선택의 공리를 사용하지 않고도 이 마지막 진술을 증명할 수 있다.)

균질 공간으로서

공간에 대한 직교 기준 집합은 직교 그룹 $O{\displaystyle (n}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle O$${\displaystyle {}^{}}$$n)}$에 대한 주된 동질 $공간$이며$,$ 직교 $n{\displaystyle }$ ${\\$$displaystyle V_{n}(\mathb {R}$^{$n})$이라고 하며, 직교 n {\$displaystystyle n}$ - frames$$.^[6]

즉, 직교근거의 공간은 직교군(직교군)과 같지만, 기준점을 선택하지 않으면 직교공간이 주어지면 자연스럽게 직교근거가 선택되는 것은 아니지만, 일단 한 번 주어지면 기지와 직교군 사이에 일대일 교락이 있는 것이다. 구체적으로, 선형 지도는 주어진 근거를 보내는 위치에 따라 결정된다. 즉, 변환 불가능한 지도가 다른 기초에 대한 어떤 기초도 취할 수 있듯이, 직교 지도도 다른 직교 기준으로 어떤 기초도 취할 수 있다.

다른 Stiefel k<>;직교 그룹을 위해 불완전한 정규화된 기지(직교 함수계인. k{\displaystyle k}-frames)의 n{\displaystyle k<, n}은 여전히 균질 공간이 아니라 주요한 균질 공간:k{k\displaystyle}-fr Vk({\displaystyle V_{km그리고 4.9초 만}(\mathbb{R}^{n})}칼라비-야우 다양체다.amen 직교 지도로 다른 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 프레임으로$$ 이동하지만 이 지도가 고유하게 결정되지는 않는다.

참고 항목

• 직교 기준
• 기준(선형 대수) – 좌표를 정의할 수 있는 벡터 공간의 부분 집합
• 직교 프레임 – 유클리드 공간을 일반화하는 기하학적 구조
• 슈어더 기준
• 총 집합

참조

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

외부 링크

• 이 Stack Exchange Post에서는 Dirac Delta 함수의 집합이 L([0,1])의² 기반이 아닌 이유에 대해 논의한다.