보렐 함수 미적분학

수학의 한 분야인 기능분석에서 보렐 기능적 미적분은 기능적 미적분(즉, 상호작용 알제브라스에서 스펙트럼에 정의된 기능에 대한 연산자의 할당)으로, 특히 범위가 넓다.^[1][2]따라서 예를 들어 T가 연산자인 경우, 스퀴링 함수 s → s를² T에 적용하면 연산자 T가² 발생한다.기능적 미적분학을 더 큰 등급의 함수에 사용하여 예를 들어, (음) 라플라시안 연산자 -Δ 또는 지수 e ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^{}}$ ${\displaystyle$ e$^{it\Delta }}}$의 "제곱근"을 엄격하게 정의할 수 있다.

여기서 '범위'는 허용된 운영자의 기능 종류를 의미한다.보렐 기능 미적분은 연속 기능 미적분보다 일반적이며, 초점이 홀모픽 기능 미적분학과는 다르다.

보다 정확히 말하면, 보렐 함수 미적분학은 다항함수 적용을 일반화하는 방식으로 임의의 보렐 함수를 자기 적응 연산자에게 적용할 수 있게 해준다.

동기

T가 유한 차원 내부 제품 공간 H에 대한 자가 적응 연산자라면, H는 T의 고유 벡터로 구성된 정형근거 {e₁, ..., e_ℓ}을(를) 가지고 있다.

${\displaystyle Te_{k}=\lambda _{k},\qquad 1\leq k\leq \ell .}$

따라서, 어떤 양의 정수 n에 대해서도,

${\displaystyle T^{n}e_{k}=\lambda _{k}^{n}e_{k}.}$

만약 T의 다항식만 고려된다면, 사람들은 홀로모르픽 기능 미적분학을 얻게 된다.T의 더 일반적인 기능을 얻을 수 있을까?네, 그렇습니다.보렐 함수 h가 주어진 경우, 연산자 h(T)의 동작에 기초하여 연산자 h(T)를 정의할 수 있다.

${\displaystyle h(T)e_{k}=h(\lambda _{k}e_{k}.}$

일반적으로, 모든 자가 적응 연산자 T는 단위적으로 곱셈 연산자와 동등하다. 이는 많은 목적을 위해 T를 연산자로 간주할 수 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle [T\psi ](x)=f(x)\psi(x)}$

어떤 측정 공간의 L에² 따라 작용한다.T의 영역은 위의 식이 L인² 함수로 구성된다.이럴 경우 유사하게 정의할 수 있다.

$[\displaystyle [h(T)\psi ](x)=[h\circule f](x)\psi(x).}$

많은 기술적 목적을 위해, 이전의 공식은 충분하다.단, 곱셈 연산자로서 T의 특정한 표현에 의존하지 않는 방법으로 기능 미적분학을 공식화하는 것이 바람직하다.다음 코너에서 그렇게 하는 겁니다.

경계 함수 미적분학

형식적으로 힐버트 공간 H에 있는 자기 조정 연산자 T의 경계 보렐 함수 미적분은 실제 선에 경계된 복합 값 보렐 함수 f의 공간에 정의된 매핑이다.

${\displaystyle {\begin}\pi _{T:L^{\nothy}(\mathb {R},\mathb {C})\to {\mathcal {B}({\mathcal {H})\\f\mapsto f(T)\case}}}}}}}$

다음과 같은 조건이 유지되도록.

• π은_T R의 복잡한 가치의 경계 측정 가능한 함수의 링으로부터 동형성을 보존하고 단위 보존하는 것이다.
• 만약 ξ이 H의 원소라면,

$\displaystyle \nu _{\xi }:E\mapsto \langle \pi _{T}(\mathbf {1} _{E}\xi \angle })$

Borel 세트 R의 E에 카운트다운할 수 있는 첨가물 측정이다.위의 공식에서 1은_E E의 지표 함수를 나타낸다.이러한 측정 ν을_ξ T의 스펙트럼 측정이라고 한다.

• η이 C에서 mapping z → z를 나타내는 경우, 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \pi _{T}\왼쪽([\eta +i]^{-1}\오른쪽)=[T+i]^{-1}.}$

정리.모든 자가 적응 연산자 T는 독특한 보렐 기능 미적분을 가지고 있다.

이것은 한계 없는 자가 적응 연산자에 적용되는 경계 함수에 대한 함수 미적분을 정의한다.한정된 기능적 미적분학을 사용하여, 하나의 매개변수 단일 군집단에 대한 스톤(Stone)의 정리의 일부를 증명할 수 있다.

정리.A가 자체 승인 연산자일 경우

${\displaystyle U_{t}=e^{itA}\qquad t\in \mathb {R}}$

최소 발생기가 iA인 1-모수 연속 단일군이다.

응용 프로그램으로서 우리는 슈뢰딩거 방정식, 또는 동등하게 양자 역학 시스템의 역학을 고려한다.비상대적 양자역학에서 해밀턴 연산자 H는 양자 기계적 시스템 S의 관측 가능한 총 에너지를 모델링한다.iH에 의해 생성된 단일 집단은 S의 시간 진화에 해당한다.

또한 보렐 함수 미적분학을 사용하여 열 방정식이나 맥스웰 방정식과 같은 선형 초기 값 문제를 추상적으로 해결할 수 있다.

기능적 미적분학의 존재

기능적 미적분의 성질을 가진 지도화의 존재는 증거를 필요로 한다.경계 자기 적응 연산자 T의 경우, 보렐 함수 미적분의 존재는 다음과 같이 기본적인 방법으로 나타낼 수 있다.

스톤-바이어스트라스 정리를 사용하여 다항식 미적분학에서 연속 기능 미적분학으로 첫 통과.여기서 중요한 사실은, 경계된 자기 조정 연산자 T와 다항식 p에 대해서,

$\displaystyle \p(T)\\sup _{\lambda \in \sigma(T)}p(\lambda ) .}$

결과적으로, 매핑

$p(T)}$

다항식 함수의 링에 있는 등위계 및 조밀하게 정의된 동형성이다.연속성에 의한 확장은 T의 스펙트럼에 대한 연속 함수 f(T)를 정의한다.그러면 리에츠-마코프 정리는 연속함수에 대한 통합에서 스펙트럼 측정으로 넘어갈 수 있게 되는데, 이것이 보렐 기능 미적분학이다.

또는, 연속 미적분은 Gelfand 변환을 통해 상호 작용하는 바나흐 알헤브라의 맥락에서 얻을 수 있다.측정 가능한 기능으로 확장하는 것은 위와 같이 Riesz-Markov를 적용함으로써 달성된다.이 공식에서 T는 정규 연산자가 될 수 있다.

연산자 T에 주어진 연속 기능 미적분 h → h(T)의 범위는 T가 생성하는 (아벨리안) C*-알제브라 C(T)이다.보렐 함수 미적분학은 더 큰 범위를 가지는데, 그것은 약한 연산자 위상에서 C(T)의 폐쇄, 즉 (여전히 아벨리안) 폰 노이만 대수학이다.

일반 기능 미적분학

우리는 또한 반드시 경계 보렐 함수 h에 대한 기능적 미적분학을 정의할 수 있다; 그 결과는 일반적으로 경계되지 않는 연산자다.스펙트럼 정리에 의해 주어진 자기 적응 연산자의 함수 f 모델에 의한 곱셈을 사용한다면, 이것은 h와 f의 구성에 의한 곱셈이다.

정리.T는 H에서는 자가 적응 연산자가 되고, R에서는 실제 값을 갖는 보렐 함수가 된다.다음과 같은 독특한 연산자 S가 있다.

${\displaystyle \operatorname {dom}S=\왼쪽\{\xi \in H:h\in L_{\nu_}}}}{\xi ^{2}(\mathb {R} )\right\}}}}}}$

${\displaystyle \langle S\xi ,\xi \rangle =\int _{\mathb {h(t)\nu _{\xi }(t),\quad {\mbox{\mbox{for}}}\xi \in \operatorname {dom}S}S}}}$

이전 정리의 연산자 S는 h(T)로 표시된다.

보다 일반적으로, 보렐 함수 미적분학은 정규 연산자에 대해서도 존재한다.

신원 확인

T를 자칭 연산자가 되게 하라.E가 R의 보렐 부분집합이고 1이_E E의 지시 함수인 경우_E, 1(T)은 H에 대한 자기 적응 투영이다.그런 다음 매핑

${\displaystyle \Oomega :E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)}$

자체 조정 연산자 T에 대한 ID 분해능이라고 하는 투영 값 측정값이다.Ω에 대한 R의 측정치는 H의 ID 연산자다.즉, 아이덴티티 연산자는 $스펙트럼{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{적분}}$ I${\displaystyle }$=${\displaystyle d}$ 1 d ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ $[\$ 1$\,d\Oomega}}}}}}}}.$ 아이덴티티티 연산자의 이러한 표현을 스펙트럼 적분으로서 설명하는 데에도 "아이덴티티의 분해능"이라는 용어가 사용되기도 한다$.$

이산형 측정의 경우(특히 H가 유한차원일 때) $I{\displaystyle }$= ${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\$ {$I=\int 1\d\Oba }})$로 표기할 수 있다$$.

$\displaystyle I=\sum _{i}\left i\right\langle \left\langle i\right}$

Dirac 표기법에서, ${\displaystyle 각}$ i${\displaystyle }$⟩ ${\displaystyle i\rangele}$은(는) T의 정규화된 고유 벡터다.세트${\displaystyle }${${\displaystyle i\}\}}${\$displaystyle$\{$i\rangele \}}$은 H의 정형 기준이다.

물리학 문헌에서는, 위의 것을 휴리스틱으로 삼아, 스펙트럼 측정이 더 이상 분리되지 않은 경우에 패스하고, 아이덴티티의 분해능을 다음과 같이 기록한다.

$\displaystyle I=\int d i\angle \langle i }$

그리고 "지속적 기본" 또는 "지속적 기본 상태",${\displaystyle }${${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{i\rangele \}}$ 수학적으로$$, 엄격한 정당화가 주어지지 않는 한, 이 표현은 순수하게 형식적이다.

참조