전류(수학)

수학에서, 특히 기능 분석, 미분 위상 및 기하학적 측정 이론에서, 조르주 드 람의 의미에서의 k-전류는 부드러운 다지관 M에서 압축적으로 지원되는 미분 k-폼의 공간에 대한 기능이다.전류는 공식적으로 미분 형태의 공간에 있는 슈워츠 분포처럼 동작하지만 기하학적 설정에서는 서브매니폴드에 대한 통합을 나타낼 수 있고, 디락 델타 함수를 일반화하거나, M의 서브셋을 따라 펼쳐지는 델타 함수(다중점)의 방향 유도체(다중점)를 보다 일반적으로 나타낼 수 있다.

정의

Let $\Omega _{c}^{m}(M)$ denote the space of smooth m-forms with compact support on a smooth manifold $M.$ A current is a linear functional on $\Omega _{c}^{m}(M)$ which is continuous in the sense of distributions.따라서 선형 기능

[\displaystyle T:\Oomega _{c}^{m}(M)\to \mathb {R}}}

m-차원 전류는 다음과 같은 의미로 연속되는 경우:

k

한 콤팩트 세트에서 모두 지원되는 부드러운

\omega _{k}

형태의 시퀀스

\omega _{k}

k

{\

가 k

k

이(가) 무한대 경향이

k

있을 때 모든 계수의 모든 파생상품이 0으로 균일하게 경향되는 경우,

T(\omega _{k})

(

T(\omega _{k})

T(\omega _{k})

)

{\displaystystyle

T

(\ome _{k})

가 0})가

T(\omega _{k})

0이 0이 된다.

$M$ $M$ 에서 m-차원 전류의 ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ D ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ ( ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ ${D}_{m}(M)$ 은 조작이 정의된 실제 벡터 공간이다 $M$ .

(\displaystyle(T+S)(\omega ):=T(\omega )+S(\omega ),\qquad(\lambda T)(\omega ):=\lambda T(\omega ).}

분포 이론의 대부분은 최소한의 조정으로 전류를 이어간다.예를 들어, 가장 큰 오픈 $U\subset M$ U $⊂$ $U\subset M$ ( $T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)$ M $T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)$ ) $T\in {\mathcal {D}_{m}(M)$ 의 보완으로서 현재 $T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)$ $T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)$ $T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)$ D $T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)$ ( $M$ )의 지원을 다음과 같이 $U\subset M$ 정의할 수 있다 $.$

T(\omega )=0

\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)

\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)

c m

\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)

(

\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)

)

\omega \in \Oomega_{c}^{m}(U)}

$M$ $M$ 의 콤팩트한 부분 집합인 지원 전류(위의 의미)로 구성된 ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ m( ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ ) ${D}_{m}(M)$ 의 선형 하위 공간은 ${\mathcal {E}}_{m}(M).$ ${\mathcal {E}}_{m}(M).$ ) ${\mathcal {E}}_{m}(M).$ . ${\displaystystyle {\e}{M}(M$ )으로 표시된다 $M$ $.$

동질론

치수 m의 경계가 있는 소형 정류 가능한 서브매니폴드 M에 대한 통합은 다음과 같이 $[[M]]$ [ $[[M]]$ [ $[[M]]$ $[[M]]$ $[[M]]$ 으로 표시된 m 전류를 정의한다 $[[M]]$

[[M](\omega )=\int_{M}\omega.

만일 M의 경계 mM이 정류할 수 있다면, 그것 역시 통합에 의해 전류를 정의하고, 스톡스의 정리 덕택에 다음과 같은 것을 갖는다.

[[\partial M](\omega )=\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega =[M](d\omega).

이것은 M의 동질성에 관한 경계 연산자 ∂과 외부 파생상품 d를 연관시킨다.

이 공식의 관점에서 임의 전류에 대한 경계 연산자를 정의할 수 있다.

\partial :{\mathcal{D}_{m+1}\to {\mathcal{D}_{m}}}

에 의해 외부 파생 모델과의 이중화를 통해

(\displaystyle(\partial T)(\omega)):=T(d\omega )}

압축적으로 지원되는 모든 m-m³

\omega .

\omega.

에 대해

$\partial$ $\partial$ 에 따라 닫히는 특정 전류의 하위 클래스를 모든 전류 대신 사용하여 호몰로지 이론을 만들 수 있으며 $\partial$ , 특정 경우 에일렌베르크-스테인로드 공리를 만족시킬 수 있다.고전적인 예로는 립스치츠 근린 수축장치의 적분류의 하위계급이다.null

위상 및 규범

전류의 공간은 자연적으로 약한-* 토폴로지를 부여받는데, 이것은 더욱 간단히 약한 수렴이라고 불릴 것이다.시퀀스 $T_{k}$ $T_{k}$ $T_{k}$ ${\$ 다음과 $T$ 같은 경우 $현재$ T ${\displaystyle$ T $}($ 으)로 수렴함

T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \ forall \omega.

모든 전류의 공간의 하위공간에서 몇 가지 규범을 정의할 수 있다.그러한 규범 중 하나는 질량 규범이다. $\omega$ $\omega$ 이 $\omega$ (가) m-form인 경우 다음을 기준으로 해당 comass를 정의하십시오.

\omega \=\sup\{\\왼쪽 \langle \omega,\xi \랑글 \rigle \right :\xi {\mbox{}}은(는) 하나의 단위, 단순한 단위, 단순한 단위, }mmbox{-mbox}}}}}

따라서 $\omega$ $\omega$ 이 $\omega$ (가) 단순한 m-형태라면 질량 규범은 계수의 일반적인 L-규범이다^∞.그런 다음 현재 $T$ $T$ 의 질량을 다음과 같이 정의한다 $T$ .

\mathbf {M}(T):=\supp\{T(\omega ):\supp_{x} \vert \omega(x) \vert \leq 1\}

전류의 질량은 일반화된 표면의 가중 영역을 나타낸다.M(T) < ∞이 정규 보렐 측정을 리에즈 표현 정리 버전에 의해 통합하여 나타내는 전류.이것이 동질적 통합의 출발점이다.null

중간 표준은 휘트니의 평평한 표준으로 정의되며,

\mathbf {F}(T):=\inf\{\mathbf {M}(T-\partial A)+\mathbf {M}(A):A\in {\mathcal {E}_{m+1}\}.

두 전류가 작은 부분에서 떨어져서 일치하면 질량 규범에 가깝다.반면 작은 변형에 일치하면 평준한 규범에 가깝다.null

예

그것을 상기하다.

\Oomega_{c}^{0}(\mathb {R} ^{n})\equiv C_{c}^{n}}(\mathb {R} ^{n})

다음이 0 전류를 정의하도록 한다.

[\displaystyle T(f)=f(0)]}

특히 서명된 모든 정기 측정 $\mu$ $\mu$ 은 $\mu$ (는) 0 전류:

[\displaystyle T(f)=\int f(x)\,d\mu(x)].}

(x, y, z)를 R $\mathbb {R} ^{3}.$ . $\mathb {R} ^{3$ 의 좌표로 설정. 그러면 $\mathbb {R} ^{3}.$ 다음은 2-전류(많은 것 중 하나)를 정의한다.null

{\dx\wedge dy+b\,dy\wedge dz+c\,dx\wedge dz)=\int _{0}^{1}b(x,y,0)\,dx\,dy.}

참고 항목

메모들

참조

de Rham, Georges (1984). Differentiable manifolds. Forms, currents, harmonic forms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 266. Translated by Smith, F. R. With an introduction by S. S. Chern. (Translation of 1955 French original ed.). Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-61752-2. ISBN 3-540-13463-8. MR 0760450. Zbl 0534.58003.
Federer, Herbert (1969). Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 153. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-62010-2. ISBN 978-3-540-60656-7. MR 0257325. Zbl 0176.00801.
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of algebraic geometry. Pure and Applied Mathematics. New York: John Wiley & Sons. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 0-471-32792-1. MR 0507725. Zbl 0408.14001.
Simon, Leon (1983). Lectures on geometric measure theory. Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis. Vol. 3. Canberra: Centre for Mathematical Analysis at Australian National University. ISBN 0-86784-429-9. MR 0756417. Zbl 0546.49019.
Whitney, Hassler (1957). Geometric integration theory. Princeton Mathematical Series. Vol. 21. Princeton, NJ and London: Princeton University Press and Oxford University Press. doi:10.1515/9781400877577. ISBN 9780691652900. MR 0087148. Zbl 0083.28204..
Lin, Fanghua; Yang, Xiaoping (2003), Geometric Measure Theory: An Introduction, Advanced Mathematics (Beijing/Boston), vol. 1, Beijing/Boston: Science Press/International Press, pp. x+237, ISBN 978-1-57146-125-4, MR 2030862, Zbl 1074.49011

이 글에는 Creative Commons Attribution/Share-Alike License에 따라 라이센스가 부여된 Current on PlanetMath의 자료가 통합되어 있다.

Search

전류(수학)

네임스페이스

더

목차

정의

동질론

위상 및 규범

예

참고 항목

메모들

참조