폰 미제스 분포

폰 미제스

확률밀도함수 지지대는 μ = 0으로 [-190,190]으로 선택된다.
누적분포함수 지지대는 μ = 0으로 [-190,190]으로 선택된다.
매개변수	$[\displaystyle\mu }$ real$$. $\displaystyle \kappa >0}$
지원	${\displaystyle x}$interval 길이 2π의 간격$$ ${\\displaystyle x\in }$
PDF	${\displaystyle {\frac {e^{\cappa \cos(x-\mu )}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}}$
CDF	(분석적이지 않음 – 텍스트 참조)
평균	$\displaystyle \mu }$
중앙값	$\displaystyle \mu }$
모드	$\displaystyle \mu }$
분산	${\displaystyle \mathrm{var}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\kappa }$)${\displaystyle }$/ I ${\displaystyle 0{}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\kappa }$) ${\displaystyle {\dextrm {\var}(x)=1-I_{1}(\kappa )/$I_{0}(\kappa $)}($순환)
엔트로피	${\displaystyle -\kappa {\frac {I_{1}(\kappa )}{{{}}{{{}}}{{{}}}}}}{{}}}}}}}}}}{{$$I_{0}(\kappa )}}+\ln[2\pi I_{0}(\kappa )]}($차동)
CF	${\displaystyle {\frac {I_{ t}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}e^{it\mu }}}}$

확률 이론과 방향 통계에서 폰 미제스 분포(순환 정규 분포 또는 티코노프 분포라고도 한다)는 원의 연속 확률 분포다.이것은 정상 분포의 원형 아날로그인 포장된 정규 분포에 가까운 근사치 입니다.원 위의$$ 자유롭게 확산되는 $각도{\displaystyle }$ ${{\displaystyle \theta$}는 정규 분포를 따르는 랜덤 변수로서, 시간에 따라 선형으로 성장하는 포장되지 않은 분산이다.한편, 폰 미제스 분포는 조화 전위, 즉 선호하는 방향을 갖는 원상의 표류 및 확산 과정을 고정적으로 분포하는 것이다.^[1]폰 미제스 분포는 첫 번째 원형 모멘트의 실제 부분과 가상 부분을 지정할 때 원형 데이터의 최대 엔트로피 분포다.폰 미제스 분포는 N차원 구체에 폰 미제스-피셔 분포의 특수한 경우다.null

정의

각도 x에 대한 폰 미제스 확률 밀도 함수는 다음과 같이 주어진다.^[2]

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(x-\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}}}}}$

여기서 I₀( ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$)는 순서 0의 수정된 베셀 함수다.

매개변수 μ 및 1/ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$은 정규 분포에서 μ 및 μ²(평균 및 분산)와 유사하다$$.

• μ는 위치의 척도(분포가 μ 주위에 군집화되어 있음)이며,
• ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$은(는) 농도의 척도(분산의 역수 척도이므로 1/ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$은 σ과² 유사하다.null
  • $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$이(가) 0이면 분포가 균일하고, 작은 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$의 경우 균일성에 가깝다$.$
  • $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$이(가) 크면 분포가 각도 μ에 매우 집중되며, $with{\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$은 농도의 측정값이다$$.실제로 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$이(가) 증가함에$$ 따라 분포는 평균 μs 및 분산 1/2 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$의 정규 분포에 접근한다$.$

확률밀도는 일련의 Besel 함수로^[3] 표현될 수 있다.

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\왼쪽(1+{\frac {2}){I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\\infit }I_{j}(\kappa )\cos[j(x-\mu )]\right)}}$

여기서 I_j(x)는 순서 j의 수정된 베셀 함수다.

누적분포함수는 분석적이지 않으며 위의 시리즈를 통합하여 가장 잘 찾을 수 있다.확률밀도의 무한정 적분은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi(x\mid \mu ,\kappa )=\int f(t\mid \mid \mu ,\kappa )\\,dt={\frac {1}{1}{2\pi }}}\flt(x+{\frac {2}{2}{2}{}{}{}}}{}{}}}}}}}{}{}{}{}{}I_{0}(\kappa )}}}\sum _{j=1}^{\\inflat }{{j}(\kappa ){\sin[j(x-\mu )]}{j}\right).}$

누적 분포 함수는 통합 x:의₀ 하한값의 함수가 될 것이다.

${\displaystyle F(x\mid \mu ,\kappa )=\Phi(x\mid \mood \mu ,\kappa )-\Phi(x_{0}\mid \mid \mu ,\kappa \,},},}$

순간

폰 미제스 분포의 모멘트는 대개 각도 x 자체보다는 복합 지수 z = e의^ix 모멘트로 계산된다.이러한 순간들을 순환적인 순간이라고 한다.이러한 순간에서 계산된 분산을 순환 분산이라고 한다.이에 대한 한 가지 예외는 "평균"이 보통 복합 평균의 주장을 가리킨다는 점이다.null

z의 n번째 원시 모멘트는 다음과 같다.

${\displaystyle m_{n}=\langle z^{n}\langle z^\\int_{\\\\Gamma }z^{n}\,f(x \mu ,\kappa )\,dx}$

${\displaystyle ={\frac {I_{n }(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}e^{in\mu }}}}$

여기서 적분은 길이 2㎝의$$ ${\displaystyle \Gamma }$ 간격에 걸쳐 있다.위의ⁿ 적분을 계산할 때 ^[4]z = cos(nx) + i sin(nx) 및 Besel 함수 ID:

${\displaystyle I_{n}(\kappa )={\frac {1}{\pi }\int_{0}^{\pi }e^{\cappa \cos(x)\cos(nx)\,dx.}$

복합 지수 z의 평균은 다음과 같다.

${\displaystyle m_{1}={\frac {I_{1}(\kappa )}{{}}{{}}{I_{0}(\kappa )}e^{i\mu }}}$

그리고 각도 x의 원형 평균 값은 인수 μ로 간주된다.이것은 각 랜덤 변수의 예상 방향 또는 선호 방향이다.z의 분산 또는 x의 원형 분산은 다음과 같다.

${\displaystyle {\textrm {var}(x)=1-E[\cos(x-\mu )]=1-{\frac {I_{1}(\kappa )}{{{}}{{}}}{{}}}}}I_{0}(\kappa )}}.}$

제한행동

$\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$이(가) 크면$$ 분포가 정규 분포와 유사하다.좀 더 구체적으로, 큰 양의 $실수{\displaystyle }$ ▼ ${\displaystyle \kappa$

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )\약 {\frac {1}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \efrac[{\dfrac {-}-(x-\mu )^{2}}\}\오른쪽]}}$

여기서 σ² = 1/ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa },$ and$$ {\$displaystyle \kappa }$이(가$)$ 무한대로 가면서$$ 근사치의 왼쪽과 오른쪽의 차이가 균일하게 0으로 수렴된다.또한 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$이(가) 작을$$ 경우 확률밀도함수는 동일한 분포와 유사하다.

${\displaystyle \lim _{\kappa \rightarrow 0}f(x\mid \mu ,\kappa )=\mathrm {U}(x)}$

where the interval for the uniform distribution ${\displaystyle \mathrm {U} (x)}$ is the chosen interval of length ${\displaystyle 2\pi }$ (i.e. ${\displaystyle \mathrm {U} (x)=1/(2\pi )}$ when ${\displaystyle x}$ is in the interval and ${\displaystyle \mathrm {U}$$(x$$)=$$0}($$x$ {\displaystyle x}이$(가)$ 간격에 없는 경우).null

모수 추정

폰 ${\displaystyle {미제스}_{}}$ 분포에서 도출된$$ $일련$의 N 측정 z n${\displaystyle {}_{}}$= e ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {{in}_{}}^{}}$ ${\$을(를) 사용하여 분포의 특정 모수를 추정할 수 있다.^[5]영상 $시리즈{\displaystyle \stackrel{}{}}$ z$'{\${\$overline{z}}$의 평균은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle {\overline{z}={\frac {1}{{N}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}}}$

그리고 그 기대 가치는 단지 첫 순간일 것이다.

${\displaystyle \langle {\overline{z}\rangele ={\frac {I_{1}(\kappa )}{{}}{}}{I_{0}(\kappa )}e^{i\mu }}$

즉, $z$의 ${\${\$overline{z}}$은(는) 첫 순간의 편견 없는 추정기라는 것이다$$.평균 $\mu s{\displaystyle }$${\displaystyle \mu }$이(가) 간격${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \pi }$ ,${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi$ $]\}\}$에 있다고$$ 가정하면 Arg$){\displaystyle({\overline {z})}$은 평균 $\mu s$의 (편향상)가 될 것이다$.$

${\displaystyle z_{}}$ n {\$displaystyle z_$${$$n$}}을$($를) 복잡한 평면에서 벡터 집합으로$$ 보면 ${\displaystyle R^{}}$의${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$2 {\$displaystyle {\bar{R}^{2$}} 통계량은$$ 평균 벡터 길이의 제곱이다.

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}}$

그리고 그 기대치는

${\displaystyle \langle{\bar{R}^{2}\angle ={\frac {1}{{N}+{\frac {{N:1}}\,{\frac {I_{1}{1}(\kappa )^{2}}:{\}{\frac {I_{1}}}}}}{2}}:{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}I_{0}(\kappa )^{2}}.}$

즉, 통계는

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{{N:1}}\왼쪽({\bar{R}}^{{\frac {1}{N}\오른쪽)}}$

$I{\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{{}_{}\kappa {}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{I\mathrm{}}_{}}{}}$ 0 (${\displaystyle \frac{{}^{}\kappa }{}}$ ) ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ $displaystyle {\frac {I_{1}(\kappa )^{2}}:{{}}$의 편향되지 않은 추정기가 될 것이다.$I_{0}(\kappa )^{2}}}\,}$ 등식을 풀고$$ $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$= I ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{{}_{}\kappa }{}}$) ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{\kappa }{}}$ ) $displaystyle R_{e}={\frac {I_{1}(\kappa )}}{{}}}}}}}}{{}}}}}}}}}}}}}{{$$I_{0}(\kappa )}}\,}$ for ${\displaystyle \kappa \,}$ will yield a (biased) estimator of ${\displaystyle \kappa \,}$. In analogy to the linear case, the solution to the equation ${\displaystyle {\bar {R}}={\frac {I_{1}(\kappa )}{$$I_{0}(\kappa )}}\,}$은(는) 최대우도 추정치 ${\$을(를) 산출하며$$, 큰$$ N의 한계에서는 둘 다 동일할 것이다.$\kappa {\displaystyle }$ ${\$에 대한 대략적인 용액은 von Mises-Fisher 배포를 참조하십시오$$.null

평균 분포

von Mises 분포에$$ 대한 표본 평균 $'$ = $e'$'$i'$i${\displaystyle {\stackrel{}{\text{'}}}^{}}$i'i'i'i'i'i'i'i'i$'i'$i'i'i$'{\$thea$'}}}$는 다음과 같다.^[7]

${\displaystyle P({\bar{R},{\bar {\theta}}})\,d{\bar {R}\,d{\bar {\theta}}}={\frac {1}{{{{{{{pi I_{0}(\cappa )^{{{{{{{{{}}}}}}}}}}^{{{{{}}}}}}}}}}}}}})^{{{{{{}}}N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left(e^{\kappa \cos(\theta _{n}-\mu )}d\theta _{n}\right)={\frac {e^{\kappa N{\bar {R}}\cos({\bar {\theta }}-\mu )}}{I_{0}(\kappa )^{{N}}}\왼쪽({\frac {1}{{{{{{{n}}}}\int_{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d_{n}d_{n}}\right)}}$

where N is the number of measurements and ${\displaystyle \Gamma \,}$ consists of intervals of ${\displaystyle 2\pi }$ in the variables, subject to the constraint that ${\displaystyle {\bar {R}}}$ and ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$ are constant, where ${\displaystyle {\bar {R}}}$$$ 평균 결과:

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}= {\bar {z}} ^{2}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n})\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})\right)^{2}}$

그리고${\$은(는) 평균 각도:

${\displaystyle {\theta}}=\mathrm {Arg}({\overline {z})\,}$

괄호 안의 제품 항은 원형 균일 분포에 대한 평균의 분포일 뿐이라는 점에 유의하십시오.^[7]null

This means that the distribution of the mean direction ${\displaystyle \mu }$ of a von Mises distribution ${\displaystyle VM(\mu ,\kappa )}$ is a von Mises distribution ${\displaystyle VM(\mu ,{\bar {R}}N\kappa )}$, or, equivalently, ${\displaystyle VM(\mu ,R\kappa )}$$$.

엔트로피

정의상 폰 미제스 분포의 정보 엔트로피는^[2]

$(\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f(\theta ;\mu ,\kappa )\,\ln(\theta ;\mu ,\cappa )\,d\theta \,}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) 길이 2 $[\displaystyle 2\pi }$의 임의 간격이다$.$ Von Mises 분포의 밀도에 대한 로그는 간단하다.

$#\displaystyle \ln(f(\theta ;\mu ,\kappa )=-\ln(2\pi I_{0}(\kappa )+\cappa \cos(\theta )\,},}$

Von Mises 분포의 특성 함수 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\좌측(1+2\sum _{n=1}^{n}\inflty _{n}\cos(n\tea )\right)}}$

여기서 ${\displaystyle {\varphi n}_{}}$= I ${\displaystyle n_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\kappa }$)${\displaystyle }$/ I ${\displaystyle 0{}_{}}$ (${\displaystyle \kappa }$ ) ${\displaystyle \phi _{n}=$$I_{n }(\kappa )/I_{0}(\kappa$ $)\}.$ 이러한 표현을 엔트로피 적분으로 대체하고, 통합과 합산의 순서를 교환하며, 코사인의 직교성을 사용하여 엔트로피를 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle H=\ln(2\pi I_{0}(\kappa )-\cappa \pi \pi \{1}=\ln(2\pi I_{0})(\kappa )-\papa {\frac {I_{1}(\kappa )}{}}}}{}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}I_{0}(\kappa )}}$

$\kappa {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \kappa =0}$의 경우$,$ 폰 미제스 분포는 순환 균일 분포가 되고 엔트로피는 최대값 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ( 2${\displaystyle \pi }$ $){\displaystyle \ln (2\pi )}$에 도달한다$.$

폰 미제스 분포는 첫 번째 원형 모멘트의 실제와 가상의 부분이 지정되거나^[8] 동등하게 원형 평균과 원형 분산이 지정될 때 엔트로피를 최대화한다는 점에 유의한다.null

참고 항목

• 바이바리테 폰 미제스 분포
• 방향통계
• 폰 미제스-피셔 분포
• 켄트 분포

참조

추가 읽기

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• 아브라모위츠, M., 스테건, I. A. (edd.), 수학적 기능 핸드북, 국가표준국, 1964; 도버 출판물, 1965.ISBN 0-486-61272-4
• "알고리즘 AS 86: 폰 미제스 분포 함수", 마디아, 적용 통계, 24, 1975(pp. 268–272)
• "알고리즘 518, 불완전한 베셀 함수 I0: 폰 미제스 분포", 힐, ACM 수학 소프트웨어 거래, 제3권, 1977년 9월, 페이지 279–284.
• 베스트, D.와 피셔, N.(1979년).폰 미제스 분포의 효율적인 시뮬레이션.적용통계, 28, 152–157.
• 에반스, M, 헤이스팅스, N, 피콕, B, "본 미세스 배급"통계분포의 41장, 3차 개정.뉴욕와일리 2000.
• 피셔, 니콜라스 1세, 순환 데이터의 통계 분석.뉴욕케임브리지 1993.
• "통계 분포", 2번째.에디션, 에반스, 헤이스팅스, 피콕, 존 와일리 앤 선즈, 1993년 (제39장)ISBN 0-471-55951-2
• Borradaile, Graham (2003). Statistics of Earth Science Data. Springer. ISBN 978-3-540-43603-4. Retrieved 31 Dec 2009.