리그드 힐버트 공간

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2020년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서, 조작된 힐버트 공간(Gelfand, 삼중, 내포된 힐버트 공간, 장착된 힐버트 공간)은 기능 분석의 분포와 사각 통합적인 측면을 연결하기 위해 고안된 건축물이다.그러한 공간들은 넓은 의미에서 스펙트럼 이론을 연구하기 위해 도입되었다.^[vague]그들은 '경계 상태'(유전자 벡터)와 '연속 스펙트럼'을 한 곳에 모은다.

동기

복합평면에 있어서의 실선의 규범적 동형성 등의 기능

$e^{ix},}$

디퍼렌셜 오퍼레이터의 고유 기능임

${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$

실제 라인 R에 있지만, R에 대한 일반적인 보렐 측정에 대해서는 정사각형 통합이 불가능하다.이 기능을 고유함수로서 적절히 고려하려면 힐베르트 우주론의 엄격한 테두리를 벗어나는 어떤 방법이 필요하다.이것은 슈워츠 분포의 기구에 의해 공급되었고, 1950년 이후 몇 년 동안 일반화된 고유 기능 이론이 개발되었다.

기능분석 접근법

조작된 힐버트 공간의 개념은 이 아이디어를 추상적인 기능분석적 프레임워크에 배치한다.공식적으로, 조작된 Hilbert 공간은 Hilbert 공간 H와 더 미세한 토폴로지를 운반하는 하위 공간 φ으로 구성되며, 이는 자연적인 포함을 위한 공간이다.

$Phi \subseteq H}$

연속적이다.Hilbert 규범에 대해 H가 밀집되어 있다고 가정해도 손해는 없다.우리는 φ에^* 이중공간 H를^* 포함하는 것을 고려한다.후자는 '시험함수' 위상에서 φ에 이중으로, 어떤 종류의 분포 또는 일반화 함수와 타입의 하위 공간 φ에 있는 선형 함수의 공간으로 실현된다.

$\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \angle }$

v in H는 분포로 충실하게 표현된다(우리는 φ 밀도를 가정하기 때문이다).

이제 리에즈 표현 정리를 적용함으로써 우리는 H와^* H를 구별할 수 있다.그러므로, 조작된 힐버트 공간의 정의는 샌드위치에 관한 것이다.

${\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}$

가장 중요한 예는 φ이 핵공간인 경우다. 이 설명은 φ이 시험기능과 해당 분포의 functions*로 구성되어 있다는 생각을 추상적으로 표현한 것이다.또한 소볼레프 공간에는 다음과 같은 간단한 예가 제시되어 있다.여기(${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 Sobolev 공간의 가장 단순한 경우

${\displaystyle H=L^{2}(\mathb {R} ^{n}),\Phi =H^{s}(\mathb {R} ^{n}),\Phi ^{*}=H^{s}(\mathb {R} ^{n}),},}}}}$

서 s> 0 ${\displaystyle$ s$>0$

형식 정의(헬프 및 3중)

고정된 힐버트 공간은 H a 힐버트 공간, φ 밀도가 높은 하위 공간을 가진 쌍(H,NOW)으로, φ에는 포함 지도 i가 연속적으로 존재하는 위상학적 벡터 공간 구조가 주어진다.

이중 공간 H로^* H를 식별하면, i에 대한 부호는 지도다.

${\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$

φ과 φ의^* 이중성 쌍은 다음과 같은 의미에서 H의 내부 제품과 호환된다.

$\displaystyle \langle u,v\angle _{\Phi \time \Phi ^{*}=(u,v)_{H}}$

whenever ${\displaystyle u\in \Phi \subset H}$ and ${\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}$. In the case of complex Hilbert spaces, we use a Hermitian inner product; it will be complex linear in u (math convention) or v (physics convention), and conjugate-linear (complex anti-linear) in the oth변광성성의

3중$({\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$,${\displaystyle H}$ , ${\displaystyle \phi {\mathrm{}}^{}}$ ) ${\displaystyle$(\$Phi ,\,\,H,\,\,\,\,\Phi ^{*})$은 수학자 이스라엘 겔프랜드의 이름을 따서 "헬프랜드 트리플"(Gelfand trip)로 명명되는 경우가 많다.

φ이 φ과^* 이형성이더라도 φ이 그 자체로 힐베르트 공간인 경우 φ은 φ에 이형성이지만, 이러한 이형성은 adj과 그 부속 i의 구성과는 같지 않다는 점에 유의하십시오*

${\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$

참조

• J.-P. 앙투안, 힐버트 스페이스를 넘어선 양자역학(1996)은 불가역성과 인과관계, 셈그룹과 리그드 힐버트 스페이스, 아르노 봄, 하인츠 디트리히 도브너, 피오트르 키엘라노프스키, 에즈, 스프링거-베라크, ISBN3-540-64305-2(설문조사 개요 제공)
• J. 디우도네, 엘레멘츠 달날리세 7세 (1978년)(문단 23.8 및 23.32 참조)
• I. M. Gelfand와 N. Ya. 빌렌킨.일반화 함수, 제4권: 고조파 분석의 일부 응용.'힐버트 스페이스'를 설치했어1964년 뉴욕 아카데미 프레스
• K. Maurin, Generalized Eigenfunction Expansions and Unitarative Dispositions of Topological Groups, 폴란드 과학 출판사, 바르샤바, 1968.
• R. de la Madrid, "Ligged Hilbert 우주언어의 Quantum Mechanics in Rigged Hilbert Space Language," 박사 논문(2001년)
• R. de la 마드리드, "퀀텀 메카닉스에서 조작된 힐버트 공간의 역할," 유로.J. 물리적 26, 287 (2005); quant-ph/0502053.
• Minlos, R.A. (2001) [1994], "Rigged_Hilbert_space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press