델타 포텐셜

양자역학에서 델타 전위는 Dirac 델타 함수에 의해 수학적으로 잘 설명되는 잠재력이다 - 일반화된 함수.질적으로, 그것은 무한한 가치를 갖는 한 지점을 제외한 모든 곳에서 0인 잠재력에 해당한다.이것은 두 지역 사이에 장벽이 있는 우주의 두 지역에서 입자가 자유롭게 이동할 수 있는 상황을 시뮬레이션하는 데 사용할 수 있다.예를 들어 전도성 물질에서 전자는 거의 자유롭게 움직일 수 있지만, 두 개의 전도성 표면을 가깝게 붙이면 그 사이의 인터페이스는 델타 전위로 근사하게 추정할 수 있는 전자의 장벽 역할을 한다.

델타 전위 유정은 유한 전위 유정의 제한 케이스로, 유정 폭과 전위 상수의 산물을 유지하면서 유정 폭을 줄이고 전위를 증가시키면 얻는다.

이 글은 단순성을 위해 1차원 전위선만 고려할 뿐 분석은 더 많은 차원으로 확대될 수 있다.

단일 델타 전위

잠재적 $V (x)$ 에서 한 차원 입자의 파동 함수 $ψ (x)$ 에 대한 시간 독립적 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

-{\frac {\hbar ^{2}}:{2m}{\frac {d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x),

여기서

ħ

은 감소된 플랑크 상수,

E

는 입자의 에너지다.

델타 전위는 잠재력이다.

\displaystyle V(x)=\lambda \delta(x),}

여기서

Δ (x)

는 Dirac 델타 함수다.

$λ$ 이 음이면 델타 전위 우물, $λ$ 이 양이면 델타 전위 장벽이라고 한다.델타는 단순성을 위해 원점에서 발생하도록 정의되었다. 델타 함수의 논거의 변화는 다음 결과를 변경하지 않는다.

슈뢰딩거 방정식^[1] 해결

전위는 공간을 두 부분( $x$ < $0$ 과 x > $0$ )으로 나눈다.이러한 각 부분에서 전위 에너지는 0이며, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 감소한다.

{\dplaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}\psi ;}

이것은 일정한 계수를 갖는 선형 미분 방정식이며, 이

방정식

의^ikx

해법

은^−ikx e와 e의 선형 결합이며, 여기서 파장

numk는 다음과 같은 방법으로 에너지와 관련된다.

k={\frac {\sqrt {2mE}{\hbar }}.

일반적으로 원점에 델타 전위가 존재하기 때문에 용액의 계수가 두 반공간 모두에서 동일할 필요는 없다.

\psi (x)={\begin{case}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{r}e^{ikx}+A_{\text{l}e^{-ikx},&{\text{{}x<0,\\\psi _{\text{R}(x)=인 경우B_{\text{r}e^{ikx}+B_{\text{l}e^{-ikx},&{{\text{{}x>0,\end{case}}}}

여기서, 양 에너지(진짜

k

)의 경우,

e

는^ikx 오른쪽으로 이동하는 파동을 나타내며, e는

왼쪽

으로^−ikx 이동하는 파동을 나타낸다.

파동 기능을 원점에서 연속적으로 적용하여 계수 사이의 관계를 얻는다.

\psi (0)=\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)=A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}}

두 번째 관계는 파동함수의 파생모델을 연구함으로써 찾을 수 있다.보통은 원점에서 차별성을 부과할 수도 있지만, 델타 전위 때문에 이것이 가능하지 않다.단, $x$ = $0$ 주위에 슈뢰딩거 방정식을 통합할 경우, 간격 $[- 값,$ + $값]:$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi (x)\,dx.

$ε$ → $0$ 으로 한한에서는 이 방정식의 우측이 사라지고, 좌측이 된다.

-{\frac {\hbar ^{2}}:[\psi _{R}(0)-\psi _{L}'(0)]+\lambda \psi(0),

때문에

\int _{-\barepsilon }^{+\varepsilon }\properties"(x)\,dx=[\barepsilon )-\properties '(+\barepsilon )-\properties '(-\bepsilon )].

ψ

의 정의를 이 표현으로 대체하면 산출된다.

-{\frac {\hbar ^{2}}:{2mik(-A_{r}+A_{l}+A_{l}+B_{l}+\lambda(A_{r}+A_{l})=0.

따라서 경계조건은 계수에 대해 다음과 같은 제한을 준다.

{\displaysty}A_{r}+A_{l}-B_{r}-B_{l}&=0,\\-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{r}+A_{l}).\end{case}}

바운드 상태(E < 0)

델타 함수 전위에 대한 바운드 상태 파장 함수 솔루션의 그래프는 어디서나 연속적이지만, 그

파생상품

은 x =

0

으로 정의되지 않는다.

어떤 1차원적인 매력적 잠재력에도 구속 상태가 있을 것이다.그 에너지를 찾으려면 $E$ < $0$ 에 대해 $k$ = $i \sqrt 2m$ $E$ / $ħ$ = $iκ$ = iκ은 가상이며, 위의 계산에서 양의 에너지를 위해 진동하던 파동함수는 현재 x의 함수를 기하급수적으로 증가시키거나 감소시키고 있다는 점에 유의한다(위 참조).무한대에서 파동 기능이 분산되지 않도록 요구하면 다음 용어의 절반이 제거된다. $A r l$ = B = 0파동함수는 그때다.

\psi (x)={\begin{case}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{l}e^{\\kappa x},&{\text{{}. 만약 }x\leq 0,\\\\psi _{\text{R}(x)=이 경우B_{\text{r}e^{-\kappa x},&{{\text{{}x\geq 0인 경우.\end{case}}

경계 조건과 정상화 조건으로부터 다음과 같이 한다.

{\displaysty}A_{\l}}=B_{\text{r}}={\sqrt{\\cappa }}},\\cappa =-{m\lambda }{\hbar ^},\case}}}}}

여기서부터

λ

은 음수여야 한다, 즉 바운드 상태는 우물을 위해서만 존재하며, 장벽을 위해서 존재해서는 안 된다.이 파형 함수의 푸리에 변환은 로렌츠 함수다.

바운드 상태의 에너지는 그때가 된다.

E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}:{2m}=-{\frac {m\lambda ^{2}}:{2\hbar ^{2}}.

산란(E > 0)

델타 전위 유정의 변속기(T) 및 반사(R) 확률.에너지

E

>

0

은

{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}

{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}

2

{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}

{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}

ℏ 2

{\

2}}.

점선

고전적 결과.고체선: 양자역학.

양의 에너지의 경우 입자는 반공간( $x$ < 0 $또는$ $x$ > 0)에서 자유롭게 이동할 수 있다.델타 기능 전위로 산란될 수 있다.

양자 사례는 다음과 같은 상황에서 연구할 수 있다: 왼쪽( $A r$ )에서 방호벽의 입자 사건 $.$ 반영 $(A l)$ 하거나 전송( $B r$ )할 수 있다 $.$ 왼쪽에서 발생에 대한 반사와 전달에 대한 진폭을 찾기 위해 $위$ 의_l $방정식 r$ A = $1$ (반사), $A l$ = r( $반사$ ), B = $0$ (우측에서 들어오는 입자 없음), $B$ = $t r$ (전사)를 넣고 $t$ 에 방정식이 없음에도 $r$ 과 t에 대해 해결한다.결과는

t={\displaystyle t={1}{1-{\m\hbar ^{2}k}}},\chbar ^{\properac {1}{\i\hbar ^{2}k}{m\m-1}.

모델의 거울 대칭으로 인해 오른쪽에서 발생하는 발생 진폭은 왼쪽에서 발생하는 진폭과 동일하다.결과는 0이 아닌 확률이 있다는 것이다.

R=r ^{2}={\cfrac{1}{1+{\cfrac{1}{4}k^{4}k^{2}}:{m^{2}}\lambda ^{2}}}}={\cfrac{1}{1+{2\hbar{2}E}{m\lamba}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{namba}}}}}}}}

입자가 반사될 수 있도록.이것은

λ

의 부호, 즉 방벽은 입자를 우물처럼 반사할 확률은 같다.이것은 고전 역학과는 상당한 차이인데, 여기서 반사 확률은 장벽(입자는 단순히 튕겨져 나오는 것)의 경우 1이고, 우물(입자는 방해받지 않는 우물을 통과한다)의 경우 0이다.

전송 가능성은

T= t ^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}.

비고 및 적용

위에 제시된 계산은 처음에는 비현실적으로 보일 수도 있고 거의 유용하지 않을 수도 있다.그러나, 그것은 다양한 실생활 시스템에 적합한 모델임이 증명되었다.

그러한 예시 중 하나는 두 전도성 물질 사이의 접점에 관한 것이다.물질의 다량에서 전자의 움직임은 준자유로, 위의 해밀턴어로 유효 질량 $m$ 으로 운동 용어로 설명할 수 있다.종종 그러한 물질의 표면은 산화층으로 덮여있거나 다른 이유로 이상적이지 않다.이 얇은 비전도성 층은 위와 같은 국소 델타 기능 전위에 의해 모델링될 수 있다.그러면 전자는 한 물질에서 다른 물질로 터널을 통과하여 전류를 발생시킬 수 있다.

스캐닝 터널링 현미경(STM)의 작동은 이 터널링 효과에 의존한다.그 경우에 장벽은 STM의 끝과 그 밑에 있는 물체 사이의 공기 때문이다.장벽의 강도는 분리가 강할수록 두 개가 더 멀리 떨어져 있는 것과 관련이 있다.이러한 상황의 보다 일반적인 모델은 유한 전위 장벽(QM)을 참조한다. 델타 함수 전위 장벽은 매우 높고 좁은 장벽으로 간주되는 모델의 제한 사례다.

위의 모델은 1차원인 반면 우리 주변의 공간은 3차원이다.그래서 사실 슈뢰딩거 방정식을 3차원으로 풀어야 한다.반면에, 많은 시스템은 하나의 좌표 방향을 따라서만 변화하고 다른 좌표 방향을 따라 번역적으로 불변한다.그런 다음 슈뢰딩거 방정식은 타입 $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!$ $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!$ ) = $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!$ ( x $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!$ ) $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!$ $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!$ ) $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!$ { (, $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!$ ) $displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z$ 의 파형 함수에 대해 안사츠가 여기서 고려하는 경우로 축소될 수 있다.

또는 일부 영역 D의 표면에 존재하는 델타 함수를 일반화할 수 있다(지표 중 라플라시안 참조).^[2]

델타 함수 모델은 실제로 더들리 R 그룹이 개발한 치수 스케일링 방법에 따른 수소 원자의 1차원 버전이다. Herschbach^[3] Delta 함수 모델은 다음 절에서 볼 수 있듯이 수소 분자 이온의 1차원 버전을 나타내는 이중웰 Dirac Delta 함수 모델에서 특히 유용하게 쓰이게 된다.

이중 델타 전위

"내핵" 거리

R

=

2

를 갖는 이중웰 Dirac 델타 함수 모델의 대칭 및 대칭 파장 기능

이중웰 디락 델타 함수는 해당 슈뢰딩거 방정식에 의해 이원자 수소 분자를 모델링한다.

-{\frac {\hbar ^{2}}:{2m}{\frac {d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x),

현재 가능성이 있는 곳에

V(x)=-q\left[\delta \left(x+{\frac {R}{2}}\right)+\lambda \delta \left(x-{\frac {R}{2}}\rig)\right],},},

여기서

0<R<\infty

<

0<R<\infty

<

0<R<\infty

{\displaystyle 0<R>\

inforty}은 dirac 델타 함수(음극) 피크가

x =

±

R /2

(도표에서 갈색으로 표시됨)인 "내핵" 거리다

0<R<\infty

.3차원 분자상대와 이 모델의 관계를 염두에 두고, 우리는 원자단위를

\hbar =m=1

하고

\hbar =m=1

=

\hbar =m=1

=

\hbar =m=1

{\displaystyle \hbar =m=1

}을 설정한다

\hbar =m=1

여기서

0<\lambda <1

<

>

<<\

displaystyle 0><\lambda <1}>

는 정식으로

0<\lambda <1

조절할 수 있는 매개변수다.단일 웰 사례에서, 우리는 해결책이 될 "안사츠"를 유추할 수 있다.

[\displaystyle \cHB(x)=Ae^{-d\왼쪽 x+{\frac {R}{2}}\오른쪽}+Be^{-d\왼쪽 x-{\frac {R}{2}}\오른쪽}}}}

Dirac 델타 함수 피크에서의 파동 함수의 매칭은 결정 인자를 산출한다.

{\begin{vmatrix}q-d&qe^{-dR}\q\lambda e^{d\vmatrix}=0,\quad {\text{{where}E=-{\d^{2}}}}.

따라서

d

d

은(는) 의사 수량 방정식의 지배를 받는 것으로 확인됨

d

d_{\pm }(\lambda )={\frac {1}{2}}q(\lambda +1)\pm {\frac {1}{2}}\left\{q^{2}(1+\lambda )^{2}-4\lambda q^{2}\left[1-e^{-2d_{\pm }(\lambda )R}\right]\right\}^{1/2},

d=d_{\pm }

=

d=d_{\pm }

±

{\

d=d_{\pm }

동일한 전하의 경우(대칭 호모핵의 경우)

λ

=

1

이며, 사이비 양수는 다음과 같이 감소한다.

d_{\pm }=q\left[1\pm e^{-d_{\pm }R}\right].

"+" 경우는 중간점에 대칭되는 파동함수에 해당하며(도표에 빨간색으로 표시됨),

여기

서 A =

B

는 게레이드(gerade)라고 한다.이에 상응하여 "- 케이스"는 중간점에 대한 반대칭인 파동함수로,

여기

서

A =

-B

는 언제레이드(도표에서 녹색으로 표시)라고 한다.이 값은 3차원

{\ce {H2^+}}

{\ce {H2^+}}

+

{\

의 가장 낮은 이산 에너지 상태에 대한 근사치를 나타내며

{\ce {H2^+}}

, 분석에 유용하다.대칭 전하의 경우에 대한 에너지 고유값을 위한 해석적 해결책은 다음과^[4] 같다.

d_{\pm }=q+W(\pm qRe^{-qR}/R,

여기서 W는 표준 램버트 W 함수다.가장 낮은 에너지는 대칭 용액

d_{+}

+

{\

에 해당한다는 점에 유의하십시오

d_{+}

균등하지 않은 전하의 경우, 그리고 3차원 분자 문제는 램버트 W 함수의 일반화에 의해 해결책이 제시된다(여기서 램버트 W 함수의 일반화와 참고문헌에 대한 섹션 참조).

가장 흥미로운 사례 중 하나는 $d_{-}=0$ - $d_{-}=0$ = $d_{-}=0$ $d_{-}=0$ 의 결과가 되는 qR r 1일 때 입니다 $d_{-}=0$ $따라서$ E = $0$ 으로 비경쟁적 바인딩 상태 솔루션을 갖는다.이러한 특정 파라미터에 대해서는 흥미로운 특성들이 많이 발생하는데, 그 중 하나는 전송계수가 0에너지에서 통일성이라는 특이한 효과다.^[5]

참고 항목

참조

^ "quantum mechanics - Wave function with a delta potential". Physics Stack Exchange. Retrieved 2021-03-29.
^ Lange, Rutger-Jan (2012), "Potential theory, path integrals and the Laplacian of the indicator", Journal of High Energy Physics, 2012 (11): 1–49, arXiv:1302.0864, Bibcode:2012JHEP...11..032L, doi:10.1007/JHEP11(2012)032
^ D.R. 허쉬바흐, J.S. 에이버리, O.Goscinski (eds.), Springer, (1992) 화학물리학에서의 치수 스케일링.[1]
^ T. C. Scott, J. F. Babb, A. 달가노와 존 D.모건 3세 "환원군 계산: 일반 결과 및 특정 모델" J. Chem. 물리, 99, 페이지 2841–2854, (1993).
^ van Dijk, W.; Kiers, K. A. (1992). "Time delay in simple one‐dimensional systems". American Journal of Physics. American Association of Physics Teachers (AAPT). 60 (6): 520–527. doi:10.1119/1.16866. ISSN 0002-9505.

Griffiths, David J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. pp. 68–78. ISBN 978-0-13-111892-8.
3차원 사례의 경우 "델타 쉘 잠재력"을 찾으십시오. 자세한 내용은 K를 참조하십시오.고트프리드(1966), 양자역학 제1권: 기초, ch.III, 15초

외부 링크

Wikimedia Commons의 델타 잠재력과 관련된 미디어

[1] "quantum mechanics - Wave function with a delta potential". Physics Stack Exchange. Retrieved 2021-03-29.

[Lange_2012-2] Lange, Rutger-Jan (2012), "Potential theory, path integrals and the Laplacian of the indicator", Journal of High Energy Physics, 2012 (11): 1–49, arXiv:1302.0864, Bibcode:2012JHEP...11..032L, doi:10.1007/JHEP11(2012)032

[3] D.R. 허쉬바흐, J.S. 에이버리, O.Goscinski (eds.), Springer, (1992) 화학물리학에서의 치수 스케일링.[1]

[4] T. C. Scott, J. F. Babb, A. 달가노와 존 D.모건 3세 "환원군 계산: 일반 결과 및 특정 모델" J. Chem. 물리, 99, 페이지 2841–2854, (1993).

[5] van Dijk, W.; Kiers, K. A. (1992). "Time delay in simple one‐dimensional systems". American Journal of Physics. American Association of Physics Teachers (AAPT). 60 (6): 520–527. doi:10.1119/1.16866. ISSN 0002-9505.

[1]

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[3]

[4]

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