투키 람다 분포

투키 람다 분포

확률밀도함수
표기법	투키(key)
매개변수	λ ∈ R — 형상 모수
지원	x ∈ [-1/1], λ > 0에 대한 1/3 ∈ 0에 대한 x ∈ R
PDF	${\displaystyle(Q(p;\lambda ),q(p;\lambda )^{-1}),\,0\leq \,p\,\leq \,1}$
CDF	${\displaystyle ({}^{}}$- ${\displaystyle \mathrm{x}{}^{}}$+ 1${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$,${\displaystyle {}^{}\lambda }$= ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\$특수 사례) ${\displaystyle (Q(p}$; ${\displaystyle \lambda }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ${\$일반 사례)
평균	$###############################1.$
중앙값	0
모드	0
분산	${\displaystyle {\frac {2}{\lambda ^{2}}{\bigg (}{{\frac {1}{1+2\lambda }}}}-{\frac {\감마(\lambda +1)^{2}^2}}{\감마(2\lambda +2)}{\bigg )},\,\,\,\lambda >-1/2}}$ ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}},\,\,\,\cHBDA \,=\,0}$
왜도	$(\displaystyle 0,\,\,\data >-1/3}$
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle {\frac{\fractda +1)^{2}}:{2}{{g_{2}^{2}{{2}^{{3g_{2}^{1}-4g_{1}g_{3}g_{3}+g_{4}}}}}}{4}}{\big )}{g_{4}{\big (}g_{1}^{2}-g_{2}{\big )^{2}}\,-\,3,}}$ $\displaystyle 1.2,\\\\\data \,=\,0,}$ ${\displaystyle {\text{where}\,g_{k}\,=\\\\Gamma(k\lambda +1)\,{\text{and}\,\lambda \,>\,-1/4.}$
엔트로피	${\displaystyle h(\data )=\int _{0}^{1}\log(q;\data )\,dp}$[1]
CF	$\phi(t;\lambda )=\int _{0}^{1}\exp(\,it\,Q(p;\lambda )\,dp}$[2]

John Tukey에 의해 공식화된 Tukey 람다 분포는 정량적 함수의 관점에서 정의된 연속적이고 대칭적인 확률 분포다.일반적으로 적절한 분포를 식별하는 데 사용되며(아래 주석 참조) 통계 모델에서는 직접 사용되지 않는다.null

Tukey 람다 분포는 단일 형상 모수인 λ을 가지며, 다른 확률 분포와 마찬가지로 위치 모수인 μ와 척도 모수인 σ으로 변환할 수 있다. 확률 분포의 일반적인 형태는 표준 분포의 관점에서 표현할 수 있기 때문에, 후속 공식은 표준 형태 o에 대해 주어진다.f 함수null

퀀텀 함수

Tukey 람다 분포의 표준 형식에 대해서는 ${\displaystyle Q(p}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle ~Q(p)~~,}($예: 누적분포함수에 대한 역함수) 및 퀀텀 밀도 함수(${\displaystyle q}$= ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$/ ${\displaystyle d\mathrm{}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ ${\$가 있다$.$

$(\displaystyle Q\왼쪽(p;\lambda \오른쪽)~=~{\begin{cases}{\frac {1}{\lambda }}\left[p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\right]~,&{\mbox{if }}\lambda \neq 0~,\\\log({\frac {p}{1-p}})~,&{\mbox{if }}\lambda =0~.\end{case}}}$

$(\displaystyle q\왼쪽(p;\putda \오른쪽)~=~\operatorname {d} Q/\operatorname {d}p~=~p^{(\lambda -1)+\좌측(1-p\오른쪽)^{(\lambda -1)}.}$

형상 모수의 대부분의 값인 λ은 확률밀도함수(PDF)와 누적분포함수(CDF)를 숫자로 계산해야 한다.Tukey 람다 분포는 CDF 및/또는 PDF에 대한 단순하고 폐쇄적인 형태를 가지고 있으며, 예를 들어 shape∈{2,1,1/2, 0 } (균일 분포[사례 λ = 1] 및 로지스틱 분포[사례 λ = 0] 참조).null

단, λ의 어떤 값에 대해서도 CDF와 PDF 모두 모든 누적 확률의 수에 대해 표(p)를 계산할 수 있다. p는 누적 확률 p의 값 x를 계산하기 위해 양자 밀도 함수의 역수인 1/q로 주어진 확률 밀도를 사용하여 표로 계산할 수 있다.통계적 분포의 일반적인 경우와 마찬가지로, Tukey 람다 분포는 준비된 표에서 값을 검색하여 쉽게 사용할 수 있다.null

순간

Tukey 람다 분포는 0 주위에 대칭이므로 이 분포의 기대값은 0과 같다.λ > -1/2에 대한 분산이 존재하며 공식으로 주어진다(λ = 0인 경우는 제외).

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}{\bigg(}{\frac {1}{1+2\lambda }}}}}}-{\frac {\감마(\lambda +1)^{2}{2}^{2}{2}^2}}}{\감마(2\lambda +2)}}{\bigg )}.}$

보다 일반적으로 n번째 순서 모멘트는 λ > -1/n일 때 유한하며 베타 함수 β(x,y)의 관점에서 표현된다(λ = 0일 경우는 제외).

${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\,\mathrm {B} (\lambda k+1,\,\lambda (n-k)+1).}$

밀도 함수의 대칭으로 인해 홀수 순서의 모든 모멘트는 0과 동일하다는 점에 유의하십시오.null

엘-모멘츠

중심 순간과는 다르게 L-모멘트는 폐쇄적인 형태로 표현될 수 있다.주문 r>1의 L-moment는 다음과 같다^[3].

${\displaystyle L_{r}={\frac {\left[1+(-1)^{r}\right]}{\lambda }}\sum _{k=0}^{r-1}(-1)^{r-1-k}{\binom {r-1}{k}}{\binom {r+k-1}{k}}\left({\frac {1}{k+1+\lambda }}\right).}$

처음 6개의 L-모멘트는 다음과 같이 제시될 수 있다.^[3]

${\displaystyle L_{1}=0}$

${\displaystyle L_{2}={\frac {2}{\lambda }}}\왼쪽[-{\frac {1}{1+\lambda }}}+{\frac {2}{2+\lambda }\right]}}$

${\displaystyle L_{3}=0}$

${\displaystyle L_{4}={\frac {2}{\lambda }}}왼쪽[-{\frac {1}{1+\lambda }}}}}{12}-{\frac {30}{3+\lambda }}}}}{30}{4+\frac {lambda}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle L_{5}=0}$

${\displaystyle L_{6}={\frac {2}{\lambda }}\left[-{\frac {1}{1+\lambda }}+{\frac {30}{2+\lambda }}-{\frac {210}{3+\lambda }}+{\frac {560}{4+\lambda }}-{\frac {630}{5+\lambda }}+{\frac {252}{6+\lambda }}\right]\,.}$

평.

Tukey 람다 분포는 사실 다수의 공통 분포에 근사할 수 있는 분포의 집합이다.예를 들면

λ = −1	약 Cauchy C(0,1973)
λ = 0	정확히 논리적인.
λ = 0.14	약 정규 N(0, 2.142)
λ = 0.5	엄격히 오목한(${\displaystyle }${ ${\displaystyle \cap }$ - 모양$$)
λ = 1	정확히 동일한 U(1, 1)
λ = 2	정확히 동일한 U(1/2, 1/2)

이 분포의 가장 일반적인 용도는 데이터 집합의 Tukey 람다 PPCC 그림을 생성하는 것이다.PPCC 그림에 기초하여 데이터에 대한 적절한 모형이 제안된다.예를 들어, 데이터에 대한 곡선의 최적 적합도가 0.14 또는 그 부근의 for 값에 대해 발생한다면, 데이터는 정규 분포로 잘 모델링될 수 있다.0.14 미만의 값은 꼬리가 더 무거운 분포를 시사하며, ; = 0(논리학)의 마일포스트(milepost)는 λ = -1, 코치에 근접한 극한치인 꽤 뚱뚱한 꼬리를 나타낸다.즉, λ의 최적치는 0.14부터 -1까지 다양하므로 꼬리가 점점 무거워지는 종 모양의 PDF가 제안된다.마찬가지로 λ의 최적값이 0.14보다 크면 예외적으로 꼬리가 얇은 분포(정상 분포 자체가 처음에는 꼬리가 얇다는 관점에서)를 제안한다.null

0에 매우 근접한 values의 값을 제외하고, 제안된 PDF 함수는 모두 -1 / λ과 +1 / λ 사이에 유한한 지원을 가지고 있다.

Tukey 람다 분포는 대칭 분포이므로 데이터를 모형화하기 위한 합리적인 분포를 결정하기 위해 Tukey 람다 PPCC 그림을 사용하는 것은 대칭 분포에만 적용된다.데이터의 히스토그램은 데이터가 대칭 분포를 사용하여 합리적으로 모델링될 수 있는지 여부에 대한 증거를 제공해야 한다.^[4]null

참조

외부 링크

• "1.3.6.6.15 – Tukey-Lambda distribution". Gallery of Distributions. Engineering Statistics Handbook. US NIST – Information Technology Laboratory. EDA 366F.

이 글은 국립표준기술원 웹사이트 https://www.nist.gov의 공공 도메인 자료를 통합한 것이다.null