소볼레프 공간

수학에서 소볼레프 공간은 함수의 L-규범과^p 주어진 순서까지의 파생상품이 결합된 규범을 갖춘 기능의 벡터 공간이다. 그 파생상품들은 그 공간을 완전하게 만들기 위해 적절한 약점으로 이해된다. 즉, 바나흐 공간이다. 직관적으로, 소볼레브 공간은 부분 미분방정식과 같은 일부 응용 영역에 대해 충분히 많은 파생상품을 보유하며 함수의 크기와 규칙성을 모두 측정하는 규범을 갖춘 기능의 공간이다.

소볼레프 공간은 러시아의 수학자 세르게이 소볼레프의 이름을 따서 명명되었다. 이들의 중요성은 고전적 의미로 이해되는 파생상품으로 연속적인 기능의 공간에 강력한 해결책이 없을 때에도 적절한 소볼레프 공간에 일부 중요한 부분 미분방정식의 약한 해법이 존재한다는 사실에서 비롯된다.

동기

이 섹션과 기사 전체에서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}$의 공개 하위 집합이다$$.$}$

수학적 함수의 평활화에는 여러 가지 기준이 있다. 가장 기본적인 기준은 연속성의 기준일 수 있다. 부드러움에 대한 더 강한 개념은 차별성(다양한 기능도 연속적이기 때문에)이고, 더 강하면서도 부드러움에 대한 개념은 파생상품도 연속적이라는 것이다(이 기능들은 $클래스{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 1${\$ —$$ Differiability 클래스 참조). 많은 영역에서, 특히 미분방정식의 경우 서로 다른 기능이 중요하다. 그러나 20세기에는 공간 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$$또는{\displaystyle {}^{}}$ C ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{2}}$등)이 미분 방정식의 해법 연구에 꼭 맞는 공간이 아니라는 것이 관찰되었다. 소볼레프 공간은 부분 미분방정식의 해결책을 찾는 이러한 공간들의 현대적인 대체물이다.

미분방정식의 기초모델의 수량이나 성질은 균일한 규범보다는 적분규범에 의해 주로 표현된다. $L{\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\$}}$$- 정규$$ 분포로 온도 또는 속도 분포의 에너지를 측정하는 것이 대표적인 예다. 따라서 르베그 공간 기능을 차별화하는 도구를 개발하는 것이 중요하다.

The integration by parts formula yields that for every ${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$, where ${\displaystyle k}$ is a natural number, and for all infinitely differentiable functions with compact support ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

$\displaystyle \int _{\Oomega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \,dx=(-1)^{\alpha }\int _{\Oomega }\varphi \,D^{\alpha \!}u\,dx,}$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$alpha$ $}$은(는) ${\displaystyle 순서}$ α =${\displaystyle k}${\$displaystyle \$= =$k}$의 다중 색인이며 다음$$ 표기법을 사용하고 있다.

${\displaystyle D^{\alpha \!}f={\frac {\partial^{\alpha }\f}{\partial x_{1}^{1}\dots \partial x_{n}^{n}}}}}.}$

이 방정식의 왼쪽은 우리가 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$을(를) 로컬로 통합할 수 있다고$$ 가정할 때 여전히 타당하다. 로컬로 통합할 수 $있는{\displaystyle }$ 함수$$v {\$displaystyle$ v}이$($가) 있는 경우 다음과 같이 하십시오$.$

$\displaystyle \int _{\Oomega }u\,D^{\alpha \!}\\varphi \;dx=(-1)^{ \alpha }\int _{\Oomega }v\,\varphi \;dx\qquad{\text{}}}}}}모든 }\varphi \in C_{c}^{\infort(\Oomega }),}}}}}}}}}}}}}}}}}}},}}}}}}}}}}}$

그런 다음 $v{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $v}$을(를) $약한{\displaystyle }$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$$u}$의 부분파생인$$α$$$$ ${\$$displaystyle$$$u} -th$$$부분파생$인 α {\$displaystyle$$u$}이$($가$)$ 존재하면 거의 모든 곳에서 고유하게 정의되어 a의 요소로 고유하게 결정된다. 르베그 공간. 반면 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C^{}}$ k $){\displaystyle u\in C^{k}(\Oomega )}}$가 되면 고전파 및 약한파생물이 일치한다$.$ 따라서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가$)$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 약한 α {\$displaystyle$ $u$$}$ -th$$ 부분파생인 경우$,$ 우리는 $D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle :=v}$ {\$displaystyle$ D$^{\alpha }u:=v}$로 나타낼 수 있다$.$

예를 들어, 함수

${\displaystyle u(x)={\displaystyle u(x)={\case}-1+x&-1<0\\10&x=0\1-x&#{\text}}\case}}}}$

0에서 연속되지 않고 -1, 0 또는 1에서 서로 다를 수 없다. 하지만 그 기능은

${\displaystyle v(x)={\displaystyle v(x)={\case}-1&#1&0<x<1\\\cH00\\text{now}}\case}}}}$

$u{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle u(x)}$의 약한 파생상품에 대한 정의를 충족하며, ${\displaystyle {이}^{}}$는 소볼레프 공간 $W{\displaystyle {}^{1\mathrm{}}}$, p ${\$ W$^{1,p}}$에 있는 것으로 간주된다($$허용된 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p}에 대해서는 $아래$정의를 참조하십시오$).$

소볼레프 공간 $W{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$, ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle$ W$^{k,p}(\Oomega$)은 약한 차별성과 르베그 규범의 개념을 결합한다$$.

정수 k가 있는 소볼레프 공간

1차원 케이스

In the one-dimensional case the Sobolev space ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} )}$ for ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ is defined as the subset of functions ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ such that ${\displaystyle f}$ and its weak 주문 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$까지의 파생상품은 L 규범이^p 유한하다$$. 위에서 언급한 바와 같이, 적절한 의미에서 파생상품을 정의하기 위해 어느 정도 주의를 기울여야 한다. 1차원 문제에서${\displaystyle }$(${\displaystyle k\mathrm{}}$- 1$){\displaystyle (k{-1})}$ - 제3차$$ $파생상품{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {(k}^{}}$- $){\$ f$^{(k-1)}$는 거의 모든 곳에서 차별성이 있으며$$, 그 파생상품의 르베그 적분(이것은 칸토어의 기능과 같은 관련없는 예는 제외)이라고 가정해도 충분하다.

이 정의로, 소볼레프 공간은 자연적인 규범을 인정하지만

${\displaystyle \ f\ _{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\ f^{(i)}\right\ _{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left f^{(i)}(t)\right ^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.}$

이것을 사례 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle p=\infit }$까지 확장할 수 있으며$,$ 표준은 다음에 의해 필수적 우월성을 사용하여 정의된다.

${\displaystyle \ \{k,\infit }=\max _{i=0,\ldots,k}\f^\{{\infit }\i=\max_{i=0,\ldots, k}\left}\cext}\sub _{t}f^{i}(t)(t)(오른쪽\right\\\\right\right\right)}$

노르말 ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle {}_{}}$ k${\displaystyle k_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ,${\displaystyle W^{}}$ k ,$$p {\$displaystyle \cdot \_{k,p},W^{k$,p$}}}$를 갖추면 바나흐 공간이 된다$$. 순서에서 처음과 마지막, 즉 에 의해 정의되는 규범만 취해도 충분하다는 것이 밝혀졌다.

${\displaystyle \left\f^{(k)}\right\ _{p}+\f\}$

위의 표준과 동일하다(즉, 규범의 유도 토폴로지는 동일하다.

사례 p = 2

p = 2가 있는 소볼레프 공간은 푸리에 시리즈와의 연관성과 힐버트 공간을 형성하기 때문에 특히 중요하다. 이 공간은 힐버트 공간이기 때문에 이 경우를 다루기 위해 특별한 표기법이 생겼다.

${\displaystyle H^{k}=W^{k,2}.}$

공간 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$는 계수가 충분히 빠르게 부패하는 푸리에 시리즈, 즉, 다음과 같이 자연적으로 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {T} )={\Big \{}f\in L^{2}(\mathbb {T} ):\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+n^{2}+n^{4}+\dots +n^{2k}\right)\left {\widehat {f}}(n)\right ^{2}<\infty {\Big \}},}$

여기서 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는)${\displaystyle }$f , ${\displaystyle f,}$ 및$$ $T{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) 1-토루스를 나타낸다$$. 위와 같이 동등한 규범을 사용할 수 있다.

${\displaystyle \ \ f\ _{k,2}^{2}=\sum _{n=-\nft }^{n=\nfty }\좌측(1+n ^{2}\오른쪽)^{k}\왼쪽 {\widehat{f}(n)\오른쪽 ^{2}.}$

두 가지 표현은 모두 파르세발의 정리로부터 쉽게 따르며, 분화가 푸리에 계수를 in으로 곱한 것과 같다는 사실에서 따르게 된다.

더욱이 $스페이스{\displaystyle {}^{}}$ H ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ H$^{k}}$는 ${\displaystyle {스페이스\mathrm{}}^{}{H\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= L$$2 . {\$displaystyle H^{0}=L^{$2$$}}}${\displaystyle {사실상\mathrm{}}^{}}$$$H k {\$displaysty$H^{k$}}}$의 내부$$ 제품은 $L{\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\$

${\displaystyle \langle u,v\langle _{H^{k}=\sum _{i=0}}\left\langle D^{i}u,D^{i}v\rigle _{L^{L^{2}.}$

공간 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$는 이 내적인 제품으로 힐버트 공간이 된다$$.

기타 예

한 차원에서는 다른 일부 소볼레프 공간은 더 간단한 설명을 허용한다. For example, ${\displaystyle W^{1,1}(0,1)}$ is the space of absolutely continuous functions on (0, 1) (or rather, equivalence classes of functions that are equal almost everywhere to such), while ${\displaystyle W^{1,\infty }(I)}$ is the space of Lipschitz functions on I, for every interval I. 그러나 이러한 속성은 둘 이상의 변수의 함수에 대해 손실되거나 단순하지 않다.

p<>에의 사례가 아닌 이 Sobolev 공간;∞의 두 요소의 제품은 다시 함수이다.{\displaystyle p<, \infty.}(예:기능은 발신지)−1/3처럼 행동하고 L2,{\displaystyle L^{2},에 있}. 즉 모든 간격 Wk, ∞{\displaystyle W^{k,\infty}}이(기준)algebras지만, 페이지의 주의 roduct $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ )에는 이러한 두 가지 기능이 없다.

다차원 케이스

다차원으로의 전환은 바로 그 정의에서 출발하여 더 많은 어려움을 가져온다. $f{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {(k}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$- $){\$ f$^{(k-1$$)}}}{\$의 적분으로 해야$$ 한다는 요건은 일반화되지 않으며$$, 가장 간단한 해결책은 유통 이론의 관점에서 파생상품을 고려하는 것이다.

이제 공식적인 정의가 뒤따른다. Let ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .}$ The Sobolev space ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ is defined to be the set of all functions ${\displaystyle f}$ on ${\displaystyle \Omega }$ such that for every multi-index ${\displaystyle \alpha }$ 혼합$$ 부분 파생 모델 ${\displaystyle \alpha \mathrm{with}}$ k${\displaystyle }$, ${\displaystyle \alpha \leqslant$ k$,}$

${\displaystyle f^{{n1}={\frace \\f}{\f}{\n1}^{\f}{\n1}^{1}\property \{n}^{n}}}}}}}}$

약한 의미에서 존재하며, $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ L$^{p}(\Oomega ),},$ 즉$$.

${\displaystyle \왼쪽\f^{(\alpha )}\오른쪽\{L^{p}}<\inful.}$

즉, ${\displaystyle {Sobolev}^{}}$ 공간 W $k{\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle p^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle W^{k,p}(\Oomega )}$는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle W^{k,p}(\Oomega )=\왼쪽\{u\in L^{p}(\Oomega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Oomega )\,\,\모든 \alpha \leqslant k\right\}.}$

자연수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은(는) 소볼레프 공간 W $k{\displaystyle {}^{}}$, p${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$)의 순서라 불린다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle W^{k,$p},$p}(\Oomega).$$}$

${\displaystyle W^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$, p (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle W^{k,p}(\Oomega$)에 대한 몇 가지 표준 선택사항이 있다.$}}$ 다음$$ 두 가지는 공통적이며 규범에 대한 동등성의 의미에서 동등하다.

${\displaystyle \ u\ _{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{ \alpha \leqslant k}\left\ D^{\alpha }u\right\ _{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty ;\\\max _{ \alpha \leqslant k}\left\ D^{\alpha }u\right\ _{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty ;\end{cases}}}$

그리고

${\displaystyle \ u\ '_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{ \alpha \leqslant k}\left\ D^{\alpha }u\right\ _{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty ;\\\sum _{ \alpha \leqslant k}\left\ D^{\alpha }u\right\ _{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}}$

이러한 두 가지 규범 중 $하나$에 ${\displaystyle {관해서}^{}}$ W k${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle p^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ $){\displaystyle W^{k,p}(\Oomega )}$는 바나흐 공간이다$$. < , , p($){\displaystyle p<\infit ,W^{k,p}(\Oomega )}$도 분리 가능한 공간이다. It is conventional to denote ${\displaystyle W^{k,2}(\Omega )}$ by ${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$ for it is a Hilbert space with the norm ${\displaystyle \ \cdot \ _{W^{k,2}(\Omega )}}$.^[1]

부드러운 함수에 의한 근사치

소볼레프 공간은 그 정의에만 의존해 일하는 것이 오히려 어렵다. 따라서 메이어스-세린 정리에 의해 함수 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$, p${\displaystyle {}^{}}$($){\displaystyle u\in W^{k,p}(\Oomega )}$는 부드러운 함수에 의해 근사치가 가능하다는 것이$$ 흥미롭다. 이 사실은 종종 우리가 부드러운 기능의 속성을 소볼레프 함수로 번역할 수 있게 한다. If ${\displaystyle p}$ is finite and ${\displaystyle \Omega }$ is open, then there exists for any ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ an approximating sequence of functions ${\displaystyle u_{m}\in C^{\infty }(\Omega )}$ such that:

${\displaystyle \좌측\u_{m}-우측\_{W^{k,p}(\Oomega )\to.}$

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에 Lipschitz 경계선이 있는$$ 경우, 우리는 ${\displaystyle u_{}}$ m ${\$이(가) $모든{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb$ {$R}$^{$n}$에 대해 콤팩트하게 지원되는 매끄러운 기능의 제한이라고$$ 가정할 수도 있다.$}$^[2]

예

더 높은 차원에서는, 예를 들어, ${\displaystyle {W\mathrm{}1}^{}}$, 1 ${\$ 스타일 $W^{1,1}$가 연속적인 기능만을 포함하고$$ 있다는 것은 더 이상 사실이 아니다. 예를 들어 ${\displaystyle x{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$∈ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle$x$^{-1}\in$ W$^{1,1}(\mathb {B} ^3})$에서 B 3 ${\$은 3차원 단위 공입니다. k > n/p의 경우 공간 W ${\displaystyle k^{}}$, p $){\displaystyle$ W$^{k,p}(\Oomega )}$는 연속 함수만 포함하지만$$, k는 이미 참인 경우 p와 치수 모두에 따라 달라진다. 예를 들어, 우리가 가지고 있는 n차원 공에 정의된$$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \cup }${${\displaystyle }$∞} ${\displaystyle$ f$:\mathb {B} ^{n}\to \mathb {R} \cupt{\infort \}}}$ 함수 f : B ${\displaystyle {}^{}}$ → R \cupto.에 대한 구형 극좌표를 사용하여 쉽게 확인할 수 있다.

${\displaystyle f(x)= x ^{-\alpha }\in W^{k,p}(\mathb {B}^{n})\롱좌우타로우 \alpha <{\tfrac{n}{p}-k.}$

직관적으로 단위 볼이 더 높은 차원에 "더 많은 외부와 더 적은 내부"를 가지고 있기 때문에 n이 클 때 0 "더 적은 것을 위한 카운트"에서 f를 블로업한다.

Sobolev 기능의 선상(ACL) 특성 절대 연속

Let ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty .}$ If a function is in ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ),}$ then, possibly after modifying the function on a set of measure zero, the restriction to almost every line parallel to the coordinate directions in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$$ 절대적으로 연속적이다. 더욱이 좌표 방향에 평행한 선을 따라가는 고전적 파생상품은 L ${\displaystyle p^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle )}$. ${\displaystyle$ L$^{p}(\Oomega )}$ 반대로$$ 좌표 방향에 평행인 거의 모든 선에$$ $대한{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f$}의 제한이 절대적으로 연속적인 경우, 그 다음 pointwise gradient ${\displaystyle \nabla f}$ exists almost everywhere, and ${\displaystyle f}$ is in ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ provided ${\displaystyle f, \nabla f \in L^{p}(\Omega ).$$}}$ 특히$$ 이 경우 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 약한 부분파생상품과 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 점근 부분파생상품은 거의 모든 곳에서 일치한다$$. 소볼레프 공간의 ACL 특성화는 오토 M에 의해 확립되었다. Nikodym(1933); (Maz'ya 2011, §1.1.3)을 참조한다.

A stronger result holds when ${\displaystyle p>n.}$ A function in ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ is, after modifying on a set of measure zero, Hölder continuous of exponent ${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}},}$ by Morrey's inequality. $특히{\displaystyle }$ p${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle p=\infit }$과 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$이(가) 립스키츠 경계선을 가지고$$ 있다면 그 기능은 립스키츠 연속이다.

경계에서 소멸되는 함수

소볼레프 공간 W ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle$ W$^{1,2}(\Oomega )}$도 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$)로 표시된다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ H$^{1}\(\Oomega$)$}$ It is a Hilbert space, with an important subspace ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ defined to be the closure of the infinitely differentiable functions compactly supported in ${\displaystyle \Omega }$ in ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).$$}$ 위에서 정의한 Sobollev 표준은$$ 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle \ f\ _{H^{1}=\왼쪽(\int _{\Oomega}\! f ^{2}\!+\! \nabla \!f ^{2}\오른쪽)^{\\!{\frac {1}{2}}.}$

When ${\displaystyle \Omega }$ has a regular boundary, ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ can be described as the space of functions in ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega )}$ that vanish at the boundary, in the sense of traces (see below). $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\$$displaystyle$$n=1$,}$$${\displaystyle \Omega }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle \Oome =(a,b)}$이(가) 경계 구간인 경우$$$$, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$(,${\displaystyle }$${\displaystyle b}$)${\displaysty H_{0}^{1$}^{1$}($$a,b)$은 형식의 연속 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$로 구성된다$.{\displaystyle }$

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d}t,\qquad x\in [a,b]}}$

여기서 일반화된 파생상품 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ f$'}$이(가$)$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}b}$) ${\displaystyle$ L$^{2}(a,b)}$에 있고 0$$ 적분을 가지므로 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle b}$) = ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 0.}${\$displaysty$ f$(b)=f(a)=0$.$}$

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$이(가) 경계된 경우, 푸앵카레 불평등은 다음과 같이$$${\displaystyle }C{\displaystyle }$ = ${\displaystyle C}$ ($){\displaystyle$ C$=C(\Oomega )}$ 상수가 있다고 명시한다.

${\displaystyle \int _{\Oomega }f ^{2}\leqslant C^{2}\int _\\\\Oomega \nabla f ^{2},\qquad f\in H_{0}^{1}(\Oomega ).}$

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$이(가) 경계일$$ 때 $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}{}_{}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle H_{0}^{1}\(\Oomega )$에서 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle ({}^{}\mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$, ${\displaysty L^{2}\(\Oomega })}$까지의 주입은 소형이다$$. 이 사실은 디리클레 문제에 대한 연구와 라플라스 연산자의 고유 벡터로 구성된 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$(Ω${\displaystyle }$) ${\displaystyle L^{2}(\Oomega )}$의 정형 기준이 존재한다는 사실(디리클레 경계 조건 포함)에 작용한다.

트레이스

부분 미분 방정식을 조사할 때 종종 소불레프 공간을 고려한다. 소볼레프 함수의 경계 값을 고려하는 것이 필수적이다. If ${\displaystyle u\in C(\Omega )}$, those boundary values are described by the restriction ${\displaystyle u _{\partial \Omega }}$. However, it is not clear how to describe values at the boundary for ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$, as the n-dimensional measure of the boun데리는 0이다. 다음과 같은 정리를^[2] 통해 문제를 해결한다.

추적 정리. Ω이 립스치츠 경계와 경계를 이루고 있다고 가정한다. 그러면 경계 선형 연산자 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle p^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle L^{}}$ p (${\displaystyle \mathrm{}}$Ω ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle T:$$W$$^{1,p}(\Oomega )\to L^{p}(\partial \Oomega )}:$

${\displaystyle {\reasoned}Tu&=u _{\partial \Omega }&&u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\overline {\Omega }})\\\ Tu\ _{L^{p}(\partial \Omega )}&\leqslant c(p,\Omega )\ u\ _{W^{1,p}(\Omega )}&&u\in W^{1,p}(\Omega ).\end{정렬}}}$

Tu는 u의 흔적이라고 불린다. 대략 이 정리는 소볼레프 공간 $W{\displaystyle {}^{}}$ 1,${\displaystyle {p\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle W^{1,p}(\Oomega )}$까지 제한 연산자를 품행 Ω에 대해 확장한다. 트레이스 연산자 T는 일반적으로 과부하하지 않지만, 1 < p < ∞은 1 p , p${\displaystyle {}^{}\mathrm{(\partial }}$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ )에 대해서는 소볼레프-슬로보데키즈 $공간{\displaystyle {}^{}}$ W${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$p , ${\displaystyle p^{}}$ , p ($.$ Ω )에 연속적으로 매핑된다. {\$displaystyle$ W$^{1-{p-{1},p},$p},p}(\$partial$ \partial \Oomega$)$$}$

직관적으로 추적을 하는 데 드는 비용은 파생상품의 1/p이다. 트레이스가 0인 함수^1,p u(Ω). Tu = 0, 동일성으로 특징지어질 수 있다.

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Oomega )=\왼쪽\{u\in W^{1,p}(\Oomega ).Tu=0\right\}}$

어디에

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Oomega ):=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):\exists \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C_{c}^{\infty }(\Omega ),\ {\text{such that}}\ u_{m}\to u\ {\textrm {in}}\ W^{1,p}(\Omega )\right\}.}$

즉, Lipschitz 경계로 경계된 Ω의 경우, W ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$p${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ )${\displaystyle$ W$^{1,p}(\Oomega )}$의 추적 영점 함수는 콤팩트한 지지로 부드러운 함수에 의해 근사치를 구할$$ 수 있다.

비정수 k가 있는 소볼레프 공간

베셀 전위 공간

자연수 k와 1 < p < ∞ ∞ ∞ ∞)의 경우 공간 W ${\displaystyle k^{}}$, ${\displaystyle p^{}}$( R ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle$ W$^{k,p}(\mathb {R} ^{n})$가 동등하게 정의될 수 있음을$$ (푸리에 승수를^[3][4] 사용하여) 보여줄 수 있다.

${\displaystyle W^{k,p}(\mathb {R}^{n}=H^{k,p}(\mathb {R} ^{n}):={\Big \{}f\in L^{p}(\mathb {R} ^{n}):{\mathcal{F}^{{{1}^{\big [}{{1+ \xi ^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}:{\mathcal {F}{\Big ]}\in L^{p}(\mathb {R}^{{n}}}},},},},})},}$

표준으로

${\displaystyle \ f\ _{H^{k,p}(\mathb {R}^{n}):=\\left\{\mathcal{F}^{1}{{{1}-1}{{1+ \xi ^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}:{\mathcal {F}{{{\Big ]}\{L^{p}(\mathb {R}^{{{n}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}).}$

이것은 위의 정의에서 k를 어떤 실제 숫자의 s로 대체할 수 있기 때문에 Sobollev 공간의 비정수 순서에 동기를 부여한다. 결과 공간

${\displaystyle H^{s,p}(\mathb {R} ^{n}):=\\left\{f\in {\mathcal {S}'(\mathb {R} ^{n}):{\mathcal{F}^{{1}-1}\왼쪽[{\big (1}1+ \xi^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}:{\mathcal {F}f\right]\in L^{p}(\mathb {R}{n}\rig}\}\rig\}})}}}}}}$

베셀 전위 공간이라고^[5] 불린다(프리드리히 베셀의 이름). 그것들은 일반적인 바나흐 공간과 특별한 경우 p = 2의 힐버트 공간이다.

$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$, p${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle s\geq 0,H^{s,p$^,p$}(\Oomega$)는 표준이 장착된 ${\displaystyle {\omega }^{}}$ ,${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$){\$displaysty H^{s,p$}(\$mathb {R} ^{n$})에서$$ Ω까지의 함수의 제한 집합이다$$.

${\displaystyle \ f\ _{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\ g\ _{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g _{\Omega }=f\right\}}$.

다시 말하지만, H^s,p(Ω)는 바나흐 공간이고 사례 p = 2 a Hilbert 공간이다.

소볼레프 공간에 대한 확장 이론들을 이용하여, Ω이 균일한 C 경계^k, k 자연수, 1 p < ∞. 임베딩에 의해서도 등가 규범의 의미에서 W^k,p(Ω) = H(Ω^k,p)가 유지됨을 알 수 있다.

${\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1}$

베셀 전위 공간 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$, ${\displaystyle p^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle$ H$^{s,p}(\mathb {$${\displaystyle R^{}}$$} ^{n})$는 Sobolev 공간 W $k{\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle p^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle W^{k,p}(\mathb {R} ^{n})$ 사이의 연속 눈금을 형성한다$$.$}$ 추상적인 관점에서$$ 베셀 전위 공간은 소볼레프 공간의 복잡한 보간 공간으로서, 즉, 그 공간을 보유하고 있는 동등한 규범이라는 의미에서 발생한다.

$왼쪽[왼쪽]W^{k,p}(\mathb {R}^{n}),W^{k+1,p}(\mathb {R}^{n}\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathb {R}^{n}),}$

여기서:

$########################################################################################################$

소볼레프-슬로보데키 공간

소볼레프 공간을 정의하기 위한 또 다른 접근방식은 Hölder 조건을 L-setting으로^p 일반화하자는 아이디어에서 비롯된다.^[6] For ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)}$ and ${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega ),}$ the Slobodeckij seminorm (roughly analogous to the Hölder seminorm) is defined by

${\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Oomega }}=\왼쪽(\int _{\int _{\Oomega }}{\frac {f(x)-f(y)^{p}{x-y ^{\ta-y ^{\ta-y}}}}{\x\frac {1}.}$

Let s > 0 be not an integer and set ${\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)}$. Using the same idea as for the Hölder spaces, the Sobolev–Slobodeckij space^[7] ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$ is defined as

${\displaystyle W^{s,p}(\Oomega ):=\\lf\{f\in W^{\lfloor s\rfloor,p}(\Oomega ):\supple _{\alpha =\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\ta,p,\fty \}.}$

그것은 바나흐의 표준 공간이다.

${\displaystyle \ \f\s,p^,p}(\Oomega )}:\f\{W^{\lpoor s\rfloor,p}+\{\lpa =\lflow s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{ta,p,p\Oomega }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$특정{\displaystyle \mathrm{}}$ 확장$$연산자가 존재한다는 의미에서 Ω${\displaystyle$\Oomega}이(가) 적절히$$ 규칙적인 경우, Sobolev-Slobodecki 공간도 Barnach 공간의 척도를 형성한다. 즉, 연속 주사나 임베딩이 있다.

${\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.}$

불규칙 Ω의 예로서 $W{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$p (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle W^{1,p}(\Oomega )}$은 0 < 1>에$$ 대한 ${\displaystyle {W,}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ($){\displaystyle W^{s,p}(\Oomega$)의 벡터 하위 공간도 아니다$$(의 예 9.1 참조).

추상적인 관점에서, $공간{\displaystyle {}^{}}$ W${\displaystyle s^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}{p}^{}}$ (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle W^{s,p}(\Oomega )$은 소볼레프 공간의 실제 보간 공간과 일치한다$$. 즉, 동등한 규범이라는 의미에서 다음과 같은 것이 있다.

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor }$.

소볼레프-슬로보데키즈 공간은 소볼레프 함수의 흔적을 연구하는 데 중요한 역할을 한다. 그것들은 베소프 공간의 특별한 경우들이다.^[4]

확장 연산자

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$}이$($가) 경계가 너무 불량하게 동작하지 않는 도메인(예: 경계가 다지관인 경우 또는 보다 허용 가능한 "고정 조건$"$을 만족하는 경우)인$$ 경우, 다음과 같은$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 함수에 $대한$ 연산자 A 매핑 기능이 있다.

1. Au(x) = $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$의 거의 모든 x에 대한 u(x) 및
2. ${\displaystyle A:$$W^{k,p}(\Oomega )\to W^{k,p}(\mathb {R}^{n})$은 1 ≤ p ∞ 및 정수 k에 대해 연속적이다$$.

우리는 그러한 연산자 A를 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$. ${\displaystyle \Oomega .}$의 확장 연산자라고 부를 것이다.

p = 2의 경우

확장 연산자는 비인정자 s에 $대해$ H ${\displaystyle s^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle H^{s}(\$Displaystyle \$Oomega )}$을(를) 정의하는 가장 자연스러운 방법이다(Fourier 변환을 취하는 것이 글로벌 연산이기 때문에$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaysty \Oomega}).$ We define ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ by saying that ${\displaystyle u\in H^{s}(\Omega )}$ if and only if ${\displaystyle Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).$$}}$ 동등하게$$, 복잡한 보간술은 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$displaystyle $H^{s}(\$$Displaystyle \Oomega })$이 확장 연산자를 가지고$$ 있는 한 동일한 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle$ H^{s}(\Displaysty \$Oomega )}$ 공간을$$ 산출한다. $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$에 확장 연산자가 없는$$ 경우, 복잡한 보간만이 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle H^{s}(\Oomega )}$ 공간을 얻을$$ 수 있는 방법이다.

그 결과 보간불평등은 여전히 유지되고 있다.

0으로 확장

Like above, we define ${\displaystyle H_{0}^{s}(\Omega )}$ to be the closure in ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ of the space ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ of infinitely differentiable compactly supported functions. 추적의 정의에 따라 위와 같이 다음과 같이 진술할 수 있다.

정리. $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$을(를) 균일하게 C 정규^m, m ≥s로 하고 P를 ${\displaystyle {Hs}^{}\mathrm{\Omega })}$ ${\displaystyle H^{s}(\Oomega$)로$$ u를 보내는 선형 지도가 되도록 한다.

$왼쪽.\left(u,{\frac {du}{dn}}}},\dots, {\frac {d^{k}u}{dn^{k}}\오른쪽)\{G}}$

여기서 d/dn은 G에 정규적인 파생상품이고, k는 s보다 작은 가장 큰 정수다. 그러면 $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$s}}}}}}}}}}}}}}은 정확하게 P의 커널이다$$.

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 초 ${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle u\in H_{0}^{s}(\Oomega$ ){n$}}$의 확장을 0$$ $u{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\displaystyle \stackrel{}{}\in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\tilde{u}\}\in$ L$^{2}(\mathb {R}$^{{$n}}}{$n}}}}})로 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle {\tilde{u}(x)={\begin}u(x)&x\in \Oomega \\0&{\text{else}}\case}}}}$

정리. >2. {\$displaystyle$ s$>{\tfrac$ {$1}{2}.$$}}$ 지도 $display$u ~ ${\displaystyle$ ${\$tilde {u$}}}$은(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle n\frac{\mathrm{}}{}}$ +$$ 2 {\$displaysty$ n$+{tfrac {n}{$$n}}$이($가$) 아닌 경우에만$$ $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystystysty}$로 연속된다$$.

f ∈ L^p(Ω)의 경우 0만큼 확장,

$(\displaystyle Ef):={\begin}f&{\textrm{on}}\Oomega ,\0&{\textrm {otherwise}\case}}}$

$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$( R ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle L^{p}(\mathb {R} ^{n})$의 요소다.$}$ 더 나아가서$$

${\displaystyle \ Ef\ _{L^{p}(\mathb {R}^{n}}=\ f\ _{L^{p}(\Oomega )}).}$

1 p p ∞에 대한 소볼레프 공간 W^1,p(Ω)의 경우 함수 u를 0으로 확장해도 반드시 $W{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$p${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle R^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}$.${\displaystyle$ W$^{1,p}(\mathb {R} ^{n})$의 요소가 생성되는 것은 아니다.$}$ 그러나$$ Ω이 Lipschitz 경계(예: Ω은 C¹)로 경계된 경우, Ω⊂⊂O(즉, Ω이 O에 압축적으로 포함됨)와 같이 경계된 열린 집합 O에 대해 경계 선형 연산자가^[2] 존재한다.

$[\displaystyle E:W^{1,p}(\Oomega )\to W^{1,p}(\mathb {R}^{n}),}$

각 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {W\mathrm{}}^{}}$ 1,${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u\in$ W$^{1,p}(\Oomega ):$$Eu=u}$ a$$.e.o. Ω에 대해 eu는 O옴 내에 콤팩트한 지원을 가지고 있으며, p, Ω, O 및 치수 n에만 의존하는 상수 C가 존재하며, 다음과 같은 특징이 있다.

${\displaystyle \ Eu\ _{W^{1,p}(\mathb {R}^{n})\leqslant C\ u\ _{W^{1,p}(\Oomega )}.}$

$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Eu}$을(를) ${\displaystyle {}^{}}$ .${\displaystyle \mathb$ {R$} ^{n}$에 대한$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 확장이라고$$ 부른다.$}$

소볼레브 임베딩

소볼레브 함수가 연속적인지 아니면 심지어 지속적으로 다른지 묻는 것은 자연스러운 질문이다. 대략적으로 말해서, 충분히 약한 파생상품(즉, 큰 k)은 고전적인 파생상품으로 귀결된다. 이 사상은 일반화되어 소볼레프 임베딩 정리에서 정밀하게 만들어진다.

치수 n의 콤팩트한 리만 다지관의 소볼레브 공간에는$$ $W{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$, ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ W$^{k,p}$라고 쓰시오. 여기서 k는 임의의 실수가 될 수 있으며, 1 ≤ p ≤ ∞. (p = ∞의 경우 Sobollev $공간{\displaystyle {}^W}$ k , ${\displaystyle {\mathrm{\infty }}^{}}$ ${\$W^{$k,\infit }}}}})$는 ö더 공간^n,α C로 정의된다. 여기서 k = n + α, 0 <α α ≤ ≤ 1. 소볼레브 임베딩 정리에서는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⩾m}$ ${\displaystyle k\geqslant m}$ 및 $k$ -n ${\displaystyle \frac{p}{}}$ ${\displaystyle ⩾}$ m${\displaystyle }$- ${\displaystyle n\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\$을 명시한다.

${\displaystyle W^{k,p}\subseteq W^{m,q}}$

임베딩은 지속적이고 더욱이 > ${\displaystyle k>m},$ -n > - n ${\$을(이것을 Kondrachov 정리 또는 렐리히-콘드라초프 정리라고 부르기도 한다. ${\displaystyle {Wm}^{}}$ ,$∞{\$의 함수는 모두 m 연속보다 작은 순서의 파생상품을 가지고$$ 있기 때문에, 특히 이것은 다양한 파생상품이 연속될 수 있는 소볼레프 공간에 대한 조건을 제공한다. 비공식적으로 이러한 임베딩들은 L^p 추정치를 경계 추정치로 변환하는 것은 차원당 파생상품 비용의 1/p라고 말한다.

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}($Stein 1970)과 같은 비 컴팩트 매니폴드에 대한 임베딩 정리도 비슷한 편차가 있다. 콤팩트하지 않은$$$$ {\$displaystyle$ \$mathb{R} ^{n$}에 임베딩된 소볼레브는 종종 cocomactness의 관련성이 있지만 약하다.

메모들

참조

• Adams, Robert A.; Fournier, John (2003) [1975]. Sobolev Spaces. Pure and Applied Mathematics. Vol. 140 (2nd ed.). Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-044143-3..
• Aubin, Thierry (1982), Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 252, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5734-9, ISBN 978-0-387-90704-8, MR 0681859.
• Bergh, Jöran; Löfström, Jörgen (1976), Interpolation Spaces, An Introduction, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 223, Springer-Verlag, pp. X + 207, ISBN 978-7-5062-6011-4, MR 0482275, Zbl 0344.46071
• Evans, Lawrence C. (2010) [1998]. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 19 (2nd ed.). American Mathematical Society. p. 749. ISBN 978-0-8218-4974-3.
• Leoni, Giovanni (2009). A First Course in Sobolev Spaces. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 105. American Mathematical Society. pp. xvi+607. ISBN 978-0-8218-4768-8. MR 2527916. Zbl 1180.46001.
• Maz'ja, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces, Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, pp. xix+486, doi:10.1007/978-3-662-09922-3, ISBN 0-387-13589-8, MR 0817985, Zbl 0692.46023
• Maz'ya, Vladimir G.; Poborchi, Sergei V. (1997), Differentiable Functions on Bad Domains, Singapore–New Jersey–London–Hong Kong: World Scientific, pp. xx+481, ISBN 981-02-2767-1, MR 1643072, Zbl 0918.46033.
• Maz'ya, Vladimir G. (2011) [1985], Sobolev Spaces. With Applications to Elliptic Partial Differential Equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 342 (2nd revised and augmented ed.), Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, pp. xxviii+866, doi:10.1007/978-3-642-15564-2, ISBN 978-3-642-15563-5, MR 2777530, Zbl 1217.46002.
• Lunardi, Alessandra (1995), Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems, Basel: Birkhäuser Verlag.
• Nikodym, Otto (1933), "Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet", Fund. Math., 21: 129–150, doi:10.4064/fm-21-1-129-150.
• Nikol'skii, S.M. (2001) [1994], "Imbedding theorems", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Nikol'skii, S.M. (2001) [1994], "Sobolev space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Sobolev, S.L. (1963), "On a theorem of functional analysis", Transl. Amer. Math. Soc., American Mathematical Society Translations: Series 2, 34 (2): 39–68, doi:10.1090/trans2/034/02, ISBN 9780821817346; Mat. Sb, 4페이지(1938)의 번역 471-497.
• Sobolev, S.L. (1963), Some applications of functional analysis in mathematical physics, Amer. Math. Soc..
• Stein, E (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton Univ. Press, ISBN 0-691-08079-8.
• Triebel, H. (1995), Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, Heidelberg: Johann Ambrosius Barth.
• Ziemer, William P. (1989), Weakly differentiable functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 120, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1015-3, hdl:10338.dmlcz/143849, ISBN 978-0-387-97017-2, MR 1014685.

외부 링크

• 엘레노라 디 네자, 지암피에로 팔라투치, 엔리코 발디노시(2011년) "히치히커의 단편적인 소볼레프 공간 안내서"