지원(수학)

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수학에서 실제 값 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 지원은 0에 매핑되지 않은 요소를 포함하는 도메인의 하위 집합이다$$. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 도메인이 위상학적 공간인 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 지원은 대신 0에 매핑되지 않은 모든 점을 포함하는 가장 작은 닫힌 집합으로 정의된다$$. 이 개념은 수학적 분석에 매우 널리 사용된다.

공식화

는 f:XR→{\displaystyle f:X\to \mathbb{R}}는 실수를 사용한 기능의 도메인은 임의의 집합 X.{X\displaystyle}그 .mw-parser-output .vanchor&gt은 f의 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}set-theoretic 지원,{\displaystyle f,}supp ⁡(f),{\displaystyle \operatorn 쓴다고 가정해 보세요.포인트의 X{X\displaystyle}안에 Ame((f),}집합. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$이(가) 0이 아닌 경우:

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 지원은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 가장 작은 부분 집합이며$$, $해당$ 속성은$f$ {\$displaystyle$ f}이(가$)$ 하위 집합의 보완에 0이라는$$ 것이다. ${\displaystyle \mathrm{만약}}$ f${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0$${\$displaystyle f(x)=0}$의 점 x${\displaystyle x}$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ x$\in$ X$,}$을 제외한 모든 점에 대해$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f}이$($가) 유한 지지를 갖는다고 한다$$.

세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 추가 구조(예: 토폴로지)가 있는$$ 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f}$이(가) 보어에 적절한 의미로 사라지는 것과$$ 같은 적절한 유형의$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 중 가장 작은 부분 집합으로 f$$ ${\displaystyle$ f}의 지원을 유사하게 정의한다. 지원의 개념은 $또한{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$보다 더 일반적인 집합에서 값을 취하는 기능과 측정이나 분포와 같은 다른 개체로 자연스럽게 확장된다.

폐쇄지원

가장 일반적인 상황은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 위상학적 공간(예: $실제{\displaystyle }$ 선 또는 n ${\displaystyle n}$ -차원$$ 유클리드 공간)이고$$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$→ R ${\$이(가) 연속 리얼(또는 복합) 값 함수일$$ 때 발생한다. 이 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 지원은 위상학적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합($X{\displaystyle }${\$displaystyle$ X$}$에 표시됨$)$으로 정의되며$$, $여기$서 f ${\displaystyle f}$은 0이 아닌^[1][2][3], 즉,

닫힌 집합의 교차점이 닫히기 때문에 ${\displaystyle \mathrm{supp}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \operatorname {supped} (f)$는 $f{\displaystyle }$. ${\displaystyle f$의 이론적 지원을 포함하는 모든 닫힌 집합의 교차점이다$.$$}$

$예$를 들어 ${\displaystyle f\mathbb{}}$: R${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$이(가) 정의된$$ 함수인 경우

$그러면{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이${\displaystyle (}$가$)$ 열린 간격$({\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$)에서$$f {\$displaystyle$ f$}$이(가) 0이 아니며$$( - ${\displaystyle 1}$, 1) ${\displaystyle(-1,$1)이$($가) 이 집합의 닫힘이${\displaystyle }$[${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$. {\$displaystystyle$[-$1]$이기 때문에$$f}은 닫힘이다$.$$}$

폐쇄적 지원의 개념은 대개 연속적 함수에 적용되지만, 위상학적 공간의 임의의 실질 또는 복합적 가치 함수에 대해서는 정의가 타당하며,$$ 일부 저자는 ${\displaystyle f}$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$X\$$to$ ^[4]$\backslash$$mathb$$${$R$$}($또는 ${\displaystyle f}$: X${\displaystyle }$→ $})을$연속적으로 요구하지 $않는다$.

컴팩트 서포트

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 콤팩트하게 지원되는 함수는$$ 닫힌 $지지대$가${\displaystyle }$X$$. {\$displaystyle$ X$}$의 콤팩트 서브셋인 $함수$로$,$ X {\$displaystyle$ X$}$이(가$$) 실제 선 $또는{\displaystyle }$n {\$displaysty$n} -dension$$ 공간인 경우$$, 기능이 제한된 경우에만 콤팩트한 지원을 가진다. $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 부분 집합은 닫히고 경계된 경우에만 압축되기$$ 때문에.

예를 들어 $위$에서 정의한$$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ f$:\mathb {R} \to \mathb {R}$\to \mathb {${\displaystyle \mathrm{R}}$} \to ${\displaystyle \backslash }$mathb {R} }은(는) 콤팩트 서포트${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.$${\$displaystyleyle$[-$1]$을 가진 연속 함수다.$}$ If ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ is a smooth function then because ${\displaystyle f}$ is identically ${\displaystyle 0}$ on the open subset ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f),}$ all of ${\displaystyle f}$'s 모든 주문의 부분파생상품도 R $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$supp ${\displaystyle \mathrm{supp}}$ (${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathb {R}^{n}\setminus \operatorname {supply} ($f)에서$$ 동일하게 0 ${\displaysty$ 0$}$이다$.$$}$

컴팩트 서포트 조건이 무한대에서 소멸되는 조건보다 강하다. 예를 들어 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ R ${\$\mathb {R} \to \$mathb$ {$R} }$에 의해$$ 정의됨

${\displaystyle \mathrm{f}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$→ 0 ${\displaystyle f(x)\to 0}$을(를) x $∞,$ {\$displaystyle$x \to $\inft ,}$으로 하여 무한대에서 사라지지만$$, 그 지원 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은 압축되지 않는다$$.

유클리드 공간에서 압축적으로 지원되는 실제 값을 범프 함수라고 한다. 몰리어는 콘볼루션(convolution)을 통해 원활하지 않은(일반화된) 기능에 근접한 부드러운 기능의 시퀀스를 만들기 위해 분포 이론에서 사용될 수 있기 때문에 범프 기능의 중요한 특별한 경우다.

좋은 경우, 콤팩트한 지원을 받는 기능은 무한대에서 사라지는 기능의 공간에 밀도가 높지만, 이 속성은 주어진 예에서 정당화하기 위한 어떤 기술적 작업이 필요하다. 더 복잡한 예들에 대한 직관, 그리고 한계의 어떤ε 을의 언어에;0,{\displaystyle \varepsilon>;0,}이라면 누구나 함수 f는 실수 직선에 R{\displaystyle \mathbb{R}{\displaystyle f}}는 무한대에 적절한 콤팩트 부분 집합 C{C\displaystyle}을 선택하여할 수 있는 사라진다. 의${\displaystyle \mathbb{다음}}$과 같은$$$$R {\$displaystyle \mathb$ {$R}$

모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle x\in X}$에 대해, $여기$서 ${\displaystyle I_{}}$ C ${\$은${\displaystyle (}$는) $.$ {\$displaystyle C.}$ 콤팩트한 토폴로지$$ 공간의 모든 연속적인 기능은 모든 닫힌 부분 집합이 실제로 컴팩트하기 때문에 콤팩트한 지지를 가지고 있다.

필수지원

If ${\displaystyle X}$ is a topological measure space with a Borel measure ${\displaystyle \mu }$ (such as ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ or a Lebesgue measurable subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ equipped with Lebesgue measure), then one typically identifies functions that are equal $[\displaystyle \mu }$ - 도처에$$. In that case, the essential support of a measurable function ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ written ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f),}$ is defined to be the smallest closed subset ${\displaystyle F}$ of ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle f=$$0}$ $\mu$$[\displaystyle$ $\mu }$ - 대부분$$ $F{\displaystyle .}$ ${\displaystyle F.}$ 동등하게$$ $e{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (f}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaysty \operatorname {ess\,super}(f)$은 ${\displaystyle \mathrm{f}}$= 0 ${\$$displaystyf$$=0}$$$$\mu$${\displaystyle }$ -almost$$ ally^[5] 모든 곳에 있는 가장 큰 오픈 세트의 보완물이다$$.

$함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$의 기본 지원은 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$ 및 $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle f,}$에 따라$$ 다르며$$, 폐쇄 지지대보다 엄격히 작을 수 있다. For example, if ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ is the Dirichlet function that is ${\displaystyle 0}$ on irrational numbers and ${\displaystyle 1}$ on rational numbers, and ${\displaystyle [0,1]}$ is equipped with Lebesgue measure, then the support of ${\displaystyle f}$ i$s{\displaystyle }$ 전체 간격${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle [0,1],}$이(가) 있지만 f {\displaystyle $f}$은(는) 거의 모든 곳에서 0 함수와 동일하기$$ 때문에 $f{\displaystyle }$$${\$displaystyle$ f}의 필수 지원은$$ 비어 있다.

분석에서는 거의 항상 두가지 다를 수 없는 닫힌 지원, s나 ss너 pp⁡보다는(f){\displaystyle \operatorname{ess\,supp}(f)}종종supp ⁡(f){\displaystyle \operatorname{supp}(f)단순히}로 그리고 지원이라고 쓰여진 기능의 필수적인 지원을 사용하고 싶어 한다.[5][6]

일반화

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 0을 포함하는 임의의 집합인 경우, 지원의 개념은 $즉시{\displaystyle }$f :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle M.}${\$displaystyle$ f$:X\to$ M$.}$ ID$$ 요소가 (그룹, 모노이드 또는 합성 대수 등)의 역할을 하는 모든 대수 구조에 대해 정의될 수 있다. 0. 예를 들어 자연수에서 정수까지의 함수의$$ $Z{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$은(는) 계산할 수 없는 정수 시퀀스 집합이다. 하위 패밀리${\displaystyle }${${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ N${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle \text{f는 유한 지원}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$ {$N} }}}:f{\text{ 유한 지원 }}}}}:$f{\$text}}$는 0이 아닌 항목만 포함하는 모든 정수 시퀀스의 카운트 가능한 집합이다$$.

유한지원의 함수는 그룹 링과 자유 아벨리아 그룹과 같은 대수 구조를 정의하는데 사용된다.^[7]

확률과 측정 이론에서

확률 이론에서 확률 분포의 지원은 그러한 분포를 갖는 랜덤 변수의 가능한 값 집합의 폐쇄로 느슨하게 생각할 수 있다. 그러나 위상학적 공간보다는 시그마 대수학에서 정의된 일반 분포를 다룰 때 고려해야 할 몇 가지 미묘한 점이 있다.

좀 더 공식적으로, $X{\displaystyle }$: ${\displaystyle \Omega \mathbb{}}$→ R ${\$ X$:$$\Omega \to \mathbb {R} }$ is a random variable on ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ then the support of ${\displaystyle X}$ is the smallest closed set ${\displaystyle R_{X}\subseteq \mathbb {R} }$ such that ${\displaystyle P\left(X\in R_{X}\right)=1.$$}$

그러나 분리된 무작위 변수 X{X\displaystyle}의 지원들이 그 자리에 있는 RX){)∈ R:P(X)))>0}{\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb{R}:P(X=x)&gt로;}과 연속 확률 변수 X{X\displaystyle}의 지원은 집합 RX로 계산 정의된다{)R∈:0\}정의된다. fX )> ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathb {R} :f_{X}(x)0\}}}.$ 여기서 ${\displaystyle f_{}(x}$)는 X$$${\displaystyle$ $f_{X}(x)$의 확률밀도함수(set-teative support$)$이다.$$^[8]

서포트라는 단어는 확률밀도함수의 가능성에 대한 로그(Logarithm)를 참조할 수 있다는 점에 유의하십시오.^[9]

분포 지원

실제 라인에서$$ 디락 델타 함수 ${\displaystyle \Delta }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \delta (x)}$와 같은 분포의 지원에 대해서도 이야기할 수 있다. 그 예에서는 점 $0$을 포함하지 않고 서포트 기능이 있는 부드러운 함수 F$$, ${\displaystyle F,}$을${\displaystyle (}$를)${\displaystyle \mathrm{고려}}$할 수 있다.$$$\Delta {\displaystyle }$(F ) {\displaystyle$\delta(F$)}($분포$$$$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$data$$$$\}).$이러한 기능에 대한$$ $isplaystyle 0}$은(는) $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$의 지원은 {${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$일$$ 뿐이라고$$ 말할 수 있다. 실선에 대한 조치(확률 측정 포함)는 분포의 특수한 경우이기 때문에, 우리는 같은 방법으로 조치의 지지를 말할 수도 있다.

Suppose that ${\displaystyle f}$ is a distribution, and that ${\displaystyle U}$ is an open set in Euclidean space such that, for all test functions ${\displaystyle \phi }$ such that the support of ${\displaystyle \phi }$ is contained in ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f(\phi )=0.}$ Then ${\displaystyle f}$ is said to vanish on ${\displaystyle U.}$ Now, if ${\displaystyle f}$ vanishes on an arbitrary family ${\displaystyle U_{\alpha }}$ of open sets, then for any test function ${\displaystyle \phi }$ supported in ${\displaystyle \bigcup U_{\alpha },}$ a simple a$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$의 지원의 압축성과$$ 통합의 분할에 근거한 rgument는 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle \varphi }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ f$(\phi )=0}$을(를) 보여준다. 따라서 $우리$는 f ${\$$displaystyle$ f$}$이(가) 사라지는$$ 가장 큰 오픈 세트의 보완물로 f$$ {\$displaystyle$f}의 지원을 정의할 수 있다. 예를 들어 Dirac 델타의 ${\displaystyle \mathrm{지원}}$은${\displaystyle }${ 0 ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle \{0\}$이다.$}$

단수 지지대

특히 푸리에 분석에서 분포의 단수 지지에 대해 연구하는 것은 흥미롭다. 이것은 분포가 매끄러운 기능이 되지 못하는 지점들의 집합으로서 직관적인 해석을 가지고 있다.

예를 들어, Hubiside 스텝 함수의 푸리에 변환은 상수 $요인$까지${\displaystyle }$x = ${\displaystyle 0.}${\$displaystyle x=0$을 제외하고${\displaystyle }$1 / ${\displaystyle x}${\$displaystyle 1$/x$}($함수)로 간주될 수 있다$.$$}}$ $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$=0}$이(가) 분명히$$ 특수한 점이지만$$, 분포의 변환에는 단수 지지대 {${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle$\{$0$이(가) 있다고 하는 것이 더 정확하다. 0${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystytle$ 0$.}$을 포함한 시험 기능과 관련하여 함수로 정확하게 표현할 수 없다.n Cauchy principal value의 적용 부적절한 적분.

여러 변수의 분포에 대해 단수 지지대는 파장 전면 세트를 정의하고 수학적 분석 측면에서 Huygens의 원리를 이해할 수 있도록 한다. 단수 지지대는 분포 이론에 특별한 현상을 이해하는 데 사용될 수도 있다. 예를 들어 '다중' 분포의 시도(Dirac 델타 함수를 스퀴핑하지 못함 - 근본적으로 곱할 분포의 단수 지지대는 분리되어야 하기 때문에 실패함).

지원 제품군

피복 이론에 $적합$한 위상학적$$ 공간 X , {\$displaystyle X}$에 대한 지지 가족에 대한 추상적인 개념은 앙리 카르탄에 의해 정의되었다. 푸앵카레 이중성을 콤팩트하지 않은 다지관으로 확장하는 데 있어서, '콤팩트 서포트' 아이디어는 이중성의 한쪽에 자연스럽게 입력된다. 예를 들어 알렉산더-스페인어 코호몰로지(Alexander-Spanier cohomology)를 참조한다.

브레돈, 셰프 이론(2판, 1997년)은 이러한 정의를 제시한다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 폐쇄 하위 집합 중 $of$ ${\displaystyle \Phi }$ 계열은 유한 결합에 따라 다운폐쇄 및 폐쇄되는 경우 지원 계열이다. Its extent is the union over ${\displaystyle \Phi .}$ A paracompactifying family of supports that satisfies further that any ${\displaystyle Y}$ in ${\displaystyle \Phi }$ is, with the subspace topology, a paracompact space; and has some ${\displaystyle Z}$ in ${\displaystyle \Phi }$ which is a neighbourhood. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로컬 컴팩트 공간인 경우, 모든 컴팩트 서브셋의 가족이 추가 조건을 만족하여 파라콤프화한다고 가정했다.

참고 항목

• 경계함수 – 값이 경계된 수학함수의 유형
• 범프 기능 – 부드럽고 컴팩트하게 지원되는 기능
• 모듈 지원
• 티치마르슈 콘볼루션 정리

인용구

참조

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.